Саградов В.А, Ионцев А.А. Введение в демографию

Подождите немного. Документ загружается.

433

Для расчетов функции возрастной структуры )(xc стабильного насе-

ления следует использовать дискретное приближение формулы (18.3):

),(),(

)2(

τ+⋅⋅≈τ+

τ+⋅−

xxLenxxc

, (18.5)

где

2τ+x — середина возрастного интервала.

Так, для пятилетнего возрастного интервала имеем

)5,()5,(

)5,2(

+⋅⋅≈+

+⋅−

xxLenxxc

Вставка 18.1. Пусть население разбито на

-летние возрастные группы. Доля каж-

дой возрастной группы в общей численности населения будет равна сумме всех

возрастов в τ -летнем интервале или интегралу от

до τ+

∫

+=τ+

)(),( dttxcxxс или, после подстановки формулы (18.3),

∫

+⋅−

+⋅⋅=τ+

)(

)(),( dttxlenxxc

txr

. (18.4)

После ряда преобразований подынтегральной функции получается расчетная

формула (18.5).

При 0=r из формулы (18.4) получается возрастная структура ста-

ционарного населения:

∫

+⋅=τ+

)(),( dttxlnxxc .

Из формулы (18.3) следует, что возрастная структура зависит от двух

переменных: порядка вымирания

)(xl и одного из двух взаимосвязанных

коэффициентов — общего коэффициента рождаемости и коэффициента

естественного прироста. При этом,

чем выше, при прочих равных условиях,

коэффициент естественного прироста или общий коэффициент рождае-

мости, тем ниже доля лиц старших возрастов в общей численности насе-

ления

. Эта зависимость отражена на рис. 18.2. Режим смертности трех по-

пуляций, расположенных в верхней части рисунка, определяется функцией

дожития типовой таблицы смертности ООН с ожидаемой продолжительно-

стью жизни при рождении для двух полов, равной 40 лет. Популяции раз-

личаются по коэффициентам прироста населения. Видно, что самая моло-

дая возрастная структура наблюдается у населения с наибольшим

коэффициентом естественного прироста, равным

r , самая старая —

у стационарного населения (

r ). Аналогичная закономерность наблюда-

ется у трех нижних популяций с низким уровнем смертности. Режим

434

смертности в данном случае задается типовой таблицей смертности ООН

с ожидаемой продолжительностью жизни при рождении для двух полов,

равной 70 годам. Из рисунка 18.2 видно, что при одном и том же уровне

естественного прироста те популяции, где продолжительность жизни выше,

имеют более низкую долю детских и более высокую долю старших возрас-

тов в общей численности населения.

Рис. 18.2. Возрастные пирамиды стабильных популяций с высокой

(

жен

e ) и низкой ( 70

жен

e ) смертностью и истинным

коэффициентом прироста

%2%,1%,0=r

18.5. РЕАЛЬНОЕ И УСЛОВНОЕ ПОКОЛЕНИЯ

В СТАБИЛЬНОМ НАСЕЛЕНИИ

Из свойства изменения числа родившихся в стабильном населении

по экспоненциальному закону следует, что численность реального поколе-

ния в модели стабильного населения больше предыдущего и меньше по-

435

следующего в

e раз

. Эта же величина определяет соотношение между

численностями соседних возрастных групп в условных поколениях. По-

следнее утверждение вытекает из формулы (18.3). Соотношения значений

родившихся, умерших и численности всего населения для условных и ре-

альных поколений стабильного населения можно отобразить на сетке Лек-

сиса (см. рис. 18.3). При этом из определения стабильного населения сле-

дует, что в нем интенсивности рождаемости и смертности реального и

условного поколений для одних и тех же возрастов совпадают.

время

возраст

(1,1)

(2,1)

(2,1) e

(3,1) e

(2,1) e

(3,1) e

(3,1)

(1,1) e

(0,1) e

(0)

(0,1)

(0,1) e

Рис. 18.3. Диаграмма Лексиса для стабильного населения

18.6. ИСТИННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ И РЕЖИМ ВОСПРОИЗВОДСТВА

У модели стабильного населения имеется одно фундаментальное свойство,

которое объясняет ее мощные аналитические возможности. Оно заключа-

ется в том, что каждой комбинации возрастных распределений смертности

)(xl и рождаемости )(xf соответствует единственное стабильное населе-

ние с определенной возрастной структурой, общими коэффициентами рож-

даемости и смертности, а также коэффициентом естественного прироста.

Если рассматривается дискретная модель, т.е. изменение численности населения и

числа родившихся происходит по закону геометрической прогрессии, то отношения

между двумя соседними поколениями и двумя соседними возрастными группами

составят

)1( r

раз.

436

Как уже отмечалось, одним из самых распространенных приемов демо-

графического анализа является проекция на будущее современных парамет-

ров воспроизводства населения. Зафиксировав имеющиеся реальные интен-

сивности рождаемости и смертности, можно оценить различные параметры

этого населения после стабилизации: общие коэффициенты рождаемости и

смертности, коэффициент естественного прироста, нетто-коэффициент вос-

производства, характеристики возрастной структуры и некоторые другие.

Совокупность количественных характеристик стабильного населения (ис-

тинные коэффициенты рождаемости, смертности, естественного прироста,

нетто-коэффициент воспроизводства, характеристики возрастной структуры

и некоторые другие), генерированных функциями рождаемости и смертности

некоторого реального населения, определяет

режим воспроизводства этого

населения. При этом заданные функции рождаемости и смертности называ-

ют экзогенными параметрами режима воспроизводства, а все остальные рас-

четные величины относятся к эндогенным параметрам.

Полученные показатели модели затем сравниваются с показателями ре-

ального населения. При этом они могут заметно отличаться друг от друга.

Однако показатели стабильного населения в отличие от реального обладают

важным преимуществом. Общие коэффициенты рождаемости и смертности,

коэффициент естественного прироста стабильного населения свободны от

влияния возрастной структуры. Поэтому с их помощью, освободившись от

влияния значимого структурного фактора, можно лучше понять демографи-

ческую специфику данного периода. По этой причине коэффициенты ста-

бильного населения назвали

истинными коэффициентами соответственно

рождаемости, смертности и естественного прироста.

18.7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВОСПРОИЗВОДСТВА НАСЕЛЕНИЯ

(ИУВ)

Одним из возможных математических выражений процесса смены поколе-

ний в стабильном населении (для одного пола) является интегральное

уравнение воспроизводства (или уравнение Лотки), которое описывает тра-

екторию рождений

)(tN в каждый точный момент времени

при заданных функциях рождаемости

)(xf

и смертности

)(xl

. Число рож-

дений

)(tN зависит от численности женщин в репродуктивных возрастах,

т.е. от числа девочек, рожденных 15–50 лет тому назад. Дети, родившиеся

лет назад и численность которых равна )( xtN

−

, с вероятностью )(xl

доживут до момента

. Вероятность рождения ребенка в возрастном ин-

тервале от

x до dxx + у тех, кто дожил до момента

, определяется

437

функцией dxxf )( . Таким образом, для всех возрастов от 15

до 50=β

можно записать:

∫

−= dxxfxlxtNtN )()()()( . (18.6)

С помощью интегрального уравнения были выведены многие свойства

стабильного населения и получены оценки его основных параметров. Так,

заменяя в уравнении (18.6)

)(tN

равной величиной

⋅

⋅)0( , а )( xtN −

на величину

)(

)0(

xtr

−⋅

⋅ , а затем сокращая на

⋅

⋅)0( , можно получить

характеристическое уравнение стабильного населения с неизвестным ко-

эффициентом естественного прироста

1)()(

∫

∞

⋅−

dxxlxfe

Это уравнение имеет бесконечно много комплексных корней и един-

ственный действительный корень

, который является истинным коэффи-

циентом естественного прироста

стабильного населения или коэффици-

ентом Лотки

. Поэтому каждой комбинации возрастных распределений

функции дожития

)(xl и функции рождаемости )(xf соответствует един-

ственное стабильное население с присущими ему одному возрастной

структурой, общими коэффициентами рождаемости и смертности, а также

коэффициентом естественного прироста

Уравнение (18.6) называют однородным интегральным уравнением

воспроизводства. Однако, если изучается реальное население, в котором

процесс стабилизации начался в некоторый момент времени, то при исчис-

лении

)(tN

следует ввести поправку

)(tG

, отражающую вклад исходного

женского населения в процесс рождаемости. Тогда получаем уравнение

Лотки в неоднородной форме:

∫

−+= dxxfxlxtNtGtN )()()()()( . (18.7)

При

β≥t функция )(tG равняется 0 , поскольку все женщины, жив-

шие в момент

0=t , выходят из репродуктивного возраста. Отказываясь

от предположения о неизменности функций рождаемости и смертности

в уравнениях (18.6) и (18.7), можно получить однородное и неоднородное

интегральные уравнения, описывающие процесс воспроизводства любого

населения.

438

18.8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИСТИННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

В СТАБИЛЬНОМ НАСЕЛЕНИИ

Лотка вычислил истинный коэффициент естественного прироста, решая

характеристическое уравнение (18.8):

1)()(

∫

∞

⋅−

dxxlxfe

, (18.8)

где

)(xl — вероятность для женщин дожить от рождения до возраста

;

— истинный коэффициент естественного прироста в расчете одного че-

ловека;

)(xf — функция рождаемости, т.е. вероятность рождения девочек

и женщины (или мальчиков у мужчин поскольку, напомним, речь идет

об однополом населении) в интервале от

до

∆

x лет. Так как )(xf

равно нулю за границами репродуктивного периода

[

]

, (обычно счита-

ют, что ,15

α а 50=β годам), то мы можем подставить значения α и β

в качестве пределов определенного интеграла. При

r стабильное насе-

ление превращается в стационарное

На практике достаточно хорошее приближение к действительному

корню уравнения (18.8) дает квадратное уравнение

0ln

=−λ+µ Rrr , (18.9)

где

−













=−λ=µ=λ . (18.10)

Функции

R ,

R и

R называют, соответственно, нулевым, первым и

вторым моментами. В терминах возрастных коэффициентов рождаемости и

смертности по

τ -летним возрастным группам формулы для

R ,

R и

имеют вид:

∑∑∑

−β

+α=

−β

+α=

−β

+α=

===

fLx

RfLx

RfL

R . (18.11)

Здесь

Ff ⋅δ= — возрастной коэффициент рождаемости девочек,

488,0

=δ — доля девочек при рождении,

F — возрастной коэффициент

рождаемости детей обоих полов (табличный).

439

Решая квадратное уравнение (18.9) относительно

и подставляя зна-

чения (18.10), получим выражение для действительного корня:

ln2













−

























−−













−

. (18.12)

R в формуле (18.11) представляет собой нетто-коэффициент воспро-

изводства (NRR), который показывает, в какой пропорции материнское

поколение замещается дочерним. Условно принимая численность дочерне-

го поколения равной 1, основываясь на формуле роста численности ста-

бильного населения (1) можно записать:

⋅

или

)1( Rr

=+ , (18.13)

где

T — период смены поколений или длина поколений. Отсюда можно

получить следующие приближенные формулы для

−=

Rr , (18.14)

r =

, (18.15)

Под

средней длиной поколения

в демографии понимают средний

интервал времени, разделяющий поколения родителей и их детей (матерей

и дочерей, отцов и сыновей).

В стабильном населении средняя длина поко-

ления

определяется как интервал времени, в течение которого числен-

ность поколения изменятся в

раз. Этот интервал, как следует из форму-

лы (18,13), равен:

= (18.16)

Для оценки длины женского поколения реального населения часто ис-

пользуют показатель «средний возраст матери» (MAF), равный

∑∑

+⋅= )(/)

()( xFxxFMAF ,

где

)(xF

— повозрастные коэффициенты рождаемости,

— середина

возрастного интервала.

440

Значения этого показателя, как правило, находятся в интервале от 25

до 30 лет.

Существует другой способ оценки длины поколения в стабильном насе-

лении, согласно которому

T =

, где

R и

R получены из формул (18.11).

В таблице 18.1 приведены этапы вычисления истинного коэффициента

естественного прироста по формуле (18.12) с использованием данных Гос-

комстата для женского населения России за 1989 г. Отметим, что оценка

коэффициента Лотки по формуле (18.15) равна — 0,198% и незначительно

отличается от полученного в таблице 18.1 результата.

Табл. 18.1. Вычисление истинного коэффициента естественного прироста для

женского населения России по данным Госкомстата 1989 г.

возрастные

группы

по воз

асту

матери

повозрастной

коэффициент

рождаемости

женщин

середина

возрастного

интервала

число

живущих

в возрасте

нулевой

момент

)4()2(

⋅

первый

момент

(3)

⋅

(5)

второй

момент

(3) ⋅ (6)

)5,[ +xx

Ff ⋅δ=

2/)5(

/ lL

1 2 3 4 5 6 7

15–19

0,0256 17,5 4,88781 0,12518 2,1906 38,3350

20–24

0,0800 22,5 4,87109 0,38945 8,7626 197,1589

25–29

0,0503 27,5 4,85338 0,24409 6,7125 184,5927

30–34

0,0266 32,5 4,83212 0,12870 4,1827 135,9387

35–39

0,0107 37,5 4,80210 0,05153 1,9326 72,4707

40–44

0,0024 42,5 4,75675 0,01160 0,4931 20,9558

45–49

0,0001 47,5 4,68704 0,00046 0,0217 1,0317

Итого

0,1958

0,95101

24,2958 650,48355

Итого ⋅ 5

0,9790

GRR

0,979

RNRR =

0,951

547,25

994,683

0502,0ln

−

R .

Таким образом: 00502,0547,25663,15

=−⋅−⋅ rr . Следовательно,

00196,0

−=r

или

%196,0

−

в год.

441

18.9. ИСТИННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РОЖДАЕМОСТИ И

СМЕРТНОСТИ

Истинные коэффициенты рождаемости и смертности представляют собой

коэффициенты, которые будут достигнуты в населении в конце периода

стабилизации, т.е. это коэффициенты рождаемости и смертности стабиль-

ного населения.

Истинный коэффициент рождаемости можно выразить следующей

формулой:

∫

∞

⋅−

)(

€

dxxle

. (18.16)

Хорошей аппроксимацией для формулы (18.16) служит выражение:

∑

∞

+⋅−

⋅

)

(

€

. (18.17)

Очевидно, что истинный коэффициент смертности равен разности ис-

тинного коэффициента рождаемости и истинного коэффициента естествен-

ного прироста:

rnm

−

€€

. (18.18)

18.10. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВОЗРАСТНОЙ СТРУКТУРЫ

СТАБИЛЬНОГО НАСЕЛЕНИЯ

Используя истинный коэффициент естественного прироста, найденный

в табл. 18.1, возрастные показатели таблиц смертности для России 1989 г. и

формулу (18.5)

, можно рассчитать возрастную структуру стабильного

женского населения. Соотношение полов при рождении, равное 1,05 маль-

чика на 1 девочку, позволяет при том же коэффициенте естественного при-

роста и показателях таблиц смертности для мужчин найти также и возрас-

тную структуру стабильного мужского населения. В табл. 18.2 приведены

Формула (18.5) используется в модифицированном виде, поскольку оцениваются

численности отдельных возрастных групп

),(

xxP , а не их доли в общей чис-

ленности населения, т.е.

)5,2(

),(),(

+⋅−

⋅τ+⋅=τ+

exxLNxxP .

442

вычисления, иллюстрирующие данную процедуру. В целях корректности

сопоставления возрастных структур различных стабильных населений,

их численность приводят к величине, кратной 10, например, 10000

или100000. Последний столбец табл. 18.2 дает распределение населения,

исходя из общей численности в 100000 человек. Он получен с помощью

умножения значений в столбцах (6) и (7) на поправочный коэффициент

равный

)68777057218695/(100000 + .

Найдем истинные коэффициенты рождаемости и смертности. Сумма

всех элементов колонки (7), представленное в строке «всего», равно

6877705. При этом число рождений девочек принимается равным 100000

(радикс женской таблицы смертности). Таким образом, коэффициент рож-

даемости на 1 женщину равен

01454,06877705/100000

или 14,54 на 1000

женщин. Аналогично для мужского населения: разделив число рождений

мальчиков 105000 на 7218695 (строка «всего» столбца 6) получим 0,01455

или 14,55 на 1000 мужчин. Общий коэффициент рождаемости стабильного

населения в целом равен

01454,0

72186956877705

105000100000

или 14,54 на 1000.

Общий коэффициент смертности стабильного населения составляет

5,16)96,1(54,14 =−− на 1000 населения.

18.11. ПРИЛОЖЕНИЯ МОДЕЛИ СТАБИЛЬНОГО НАСЕЛЕНИЯ

Модель стабильного населения широко используется в аналитических це-

лях. В ее терминах определяются многие демографические индикаторы,

в первую очередь система показателей режима воспроизводства.

На практике для оценки сложившейся демографической ситуации широко

используется метод сравнения параметров реального и стабильного насе-

ления. С помощью модели стабильного населения исследуются разнооб-

разные теоретические проблемы, изучение которых на основе наблюдений

за реальными данными затруднено. В первую очередь это относится

к изучению взаимосвязей между возрастной структурой и процессами

смертности и рождаемости. Включение в модель миграции позволяет уз-

нать, каким образом миграционные процессы влияют на процесс воспроиз-

водства населения.

На основе модели стабильного населения разработаны методы полу-

чения, восстановления или коррекции информации в условиях неполных

или недостоверных данных. Возможности исследователей здесь были су-

щественно расширены благодаря разработке французским демографом

Буржуа-Пиша (1958) модели квазистабильного населения.