Саградов В.А, Ионцев А.А. Введение в демографию

Подождите немного. Документ загружается.

413

Во втором случае из экспоненциального закона демографического

роста вытекает

ePP

⋅

⋅=⋅ )0()0(2 . Логарифмируя левую и правую части,

легко получить, что период удвоения для непрерывного случая равен:

2ln

. (16.12)

Вычисление периода удвоения в демографических, финансовых и

экономических расчетах известно также как «правило 70». Натуральный

логарифм 2 равен 0,6931… или округленно 0,7. Тогда в непрерывном слу-

чае период удвоения будет равен

rT /7,0

или )100/(70 rT

⋅

, если выра-

зить прирост населения в процентах (т.е.

⋅

100 ). В дискретном случае

для получения «правила 70» надо заменить величину

)1ln(

пр

θ+

ее приближенным значением

пр

16.11. МЕНЯЮЩАЯСЯ СКОРОСТЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО РОСТА

Пусть коэффициенты прироста населения меняются на протяжении перио-

да

),0( τ

таким образом, что на каждом временном интервале t

∆

(

∑

τ=∆t )

наблюдаются различные, постоянные на этих интервалах, темпы прироста

населения

…,210

,, rrr

. Тогда численность населения в конце периода может

быть представлена следующим экспоненциальным выражением:

…

+∆⋅+∆⋅+∆⋅

∆⋅∆⋅

∆⋅

⋅=⋅⋅⋅=τ

trtrtr

trtr

ePeeePP

)0()0()(

Если

∆

— бесконечно малая величина, то сумма показателей степени

является интегралом функции

)(tr

и численность населения в момент τ

равняется:

∫

⋅=τ

)(

)0()(

dttr

ePP . (16.13)

16.12. ЛОГИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЕМОГРАФИЧЕСКОГО РОСТА

Увеличение населения по экспоненциальному закону может продолжаться

до бесконечности. Очевидно, подобная динамика возможна тогда, когда

никакие факторы природного или социального порядка не ограничивают

этот рост. В реальности экспоненциальный рост наблюдается на ограни-

ченном временном интервале. Поэтому уже в XIX веке проводились поис-

ки «закона», который бы отражал факт сдерживания экспоненциального

414

роста населения по мере увеличения его численности. Так, известный бель-

гийский физик А. Кетле, опираясь на примеры из физики, предполагал, что

«сопротивление росту населения должно возрастать пропорционально

квадрату скорости этого роста». В дальнейшем бельгийский математик

П. Ферхюльст (1838) реализовал эту гипотезу в математической форме в

виде кривой, которую он назвал «логистической». Затем его открытие было

практически предано забвению до 1920 г., когда американские ученые

Р. Пирл и Л. Рид вновь ввели логистическую кривую в научный оборот для

описания роста численности популяций в биологии и демографии человека.

Математически логистическая функция выражается формулой

⋅−α

)(

где

)(tP — численность населения в момент

; e — основание натураль-

ных логарифмов;

rK ,, α — параметры уравнения логистической кривой.

Графически логис-

тическая фунция пред-

ставляется в виде

S-образной, или сигмо-

идной, кривой

(см. рис. 16.2). Пара-

метр

определяет

положение линии (аси-

мптоты), задающей

максимально воз-

можную или педель-

ную численность насе-

Рис. 16.2 Кривая логистического роста населения

ления при данных условиях. Его можно трактовать как меру «емкости сре-

ды» для особей данного вида. Величина этого параметра, как показали демо-

графические исследования, например, для США, увеличивается со временем.

Подобное увеличение пределов роста ученые связывали с растущей емко-

стью среды обитания человека благодаря научно-техническому прогрессу.

415

Вставка 16.4. Гиперболическая модель роста населения Земного шара

Попытки найти модель, описывающую динамику численности населения

всей Земли за длительный период времени

, привели некоторых ученых, среди

которых можно назвать известного физика академика С.

Капицу, к заключению,

что демографические данные за много поколений хорошо укладываются только

на гиперболическую кривую. На основе анализа демографических данных была

получена простая формула, соответствие которой реальным данным показано

на

рисунке 16.3:

)2025/(186)/(

TTTCP −=−=

где P — число людей на земле в момент времени

(млрд. чел.);

T — крити-

ческая дата;

C — постоянная C с размерностью (человеко-годы).

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

300

-100

400

600

1000

120

1400

1700

2000

оценки Бюро Цензов (США)

гиперболическая модель

Однако ги-

перболическая

модель вызывает

целый ряд во-

просов среди

которых выде-

ляются два. Во-

первых, чис-

ленность насе-

ления по мере

приближения к

критической

дате обращает-

ся в бесконеч-

ность. Получа-

Рис. 16.3 Гиперболическая модель роста населения мира

(млн. чел.)

ется, что 2025 год является подобием конца света. Во-вторых, согласно этой мо-

дели можно прийти к другому абсурдному результату, что люди жили в далеком

прошлом, например, 10 или 20 млрд. лет тому назад.

В целях преодоления этих трудностей С. Капица установил границы роста

числа людей по гиперболе, как в прошлом, так и в настоящем. Минимальная гра-

ница определяется условием, что скорость роста не может быть менее одного

человека за поколение. Максимальная граница определяется тем, что по мере

приближения к критической точке в силу вступают факторы, ограничивающие

демографический рост. Скорость роста численности населения не становится

очень большой. Она проходит через максимум в период демографического пере-

хода. По мере того, как скорость демографического роста уменьшается, населе-

ние Земли выходит на плато и стабилизируется. Гиперболический закон измене-

ния численности населения перестает действовать.

416

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Капица С. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. Очерки

теории роста человечества. М., 1999.

2. Курс демографии под ред. Боярского А.Я. М..

Дополнительная

1. Капица С. Математическая модель роста населения мира // Математиче-

ское моделирование. М., 1992. Т 4, № 6.

2. Keyfitz N. Applied Mathematical Demography. N.-Y., 1985.

3. Капица С.П. Теория роста населения Земли. М., 1997.

417

ГЛАВА 17

МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОГО НАСЕЛЕНИЯ

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

17.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО НАСЕЛЕНИЯ

В главе, посвященной анализу смертности, было дано определение таблиц

смертности как численной модели вымирания поколения. Вместе с тем су-

ществует и другая, несколько отличная от «поколенной», интерпретация этих

таблиц, согласно которой таблицы смертности задают некоторое теоретиче-

ское население, не подверженное влиянию миграционных процессов. В этом

закрытом населении порядок смертности, числа рождений и возрастная

структура полностью определяются соответствующими показателями табли-

цы смертности и являются постоянными величинами. Поскольку все демо-

графические параметры такого населения, включая его общую численность,

не изменяются со временем, оно было названо

стационарным, что в перево-

де с латинского (stationarius) означает неподвижный.

Итак,

стационарное население — это теоретическое население

с неизменными числами рождений и возрастными характеристиками

смертности, определяемыми таблицей смертности.

Вставка 17.1. В демографическую науку понятие стационарного населения было

введено английским ученым Э. Галлеем еще в конце XVII века. С помощью модели

стационарного населения им был разработан наиболее популярный в XVIII–XIX вв.

метод построения таблиц смертности, получивший названия «метод смертных спи-

сков» или «метод Галлея». В конце XIX в. немецкий статистик Г. Кнапп детально

изучил основные количественные соотношения в стационарном населении. В со-

временной демографической науке модель стационарного населения рассматрива-

ется в рамках разработанной А. Лоткой теории стабильного населения (см. главу

«Модель стабильного населения и ее применение»). Здесь стационарное население

является частным случаем стабильного населения при условии равенства нулю ве-

личины естественного прироста населения.

Модель стационарного населения расширяет круг приложений таблиц

смертности за пределы изучения смертности. С помощью модели стацио-

нарного населения могут решаться не только демографические, но и самые

разнообразные экономические задачи, такие как, например, анализ движе-

ния кадров на предприятии, особенности формирования автомобильного

парка города, планирование расходов в области социального обеспечения.

Все эти задачи объединяет то, что, во-первых, подлежащие изучению сово-

купности состоят из элементов, которые выбывают из них через опреде-

ленное время и, следовательно, обладают такой характеристикой, как про-

418

должительность жизни в данной совокупности. Во-вторых, количество

этих элементов и их распределение по возрасту предполагается неизмен-

ным или почти неизменным во времени. Разработанные более трех столе-

тий тому назад таблицы смертности превратились из чисто демографиче-

ского в один из общенаучных методов исследования.

17.2. ТАБЛИЦЫ СМЕРТНОСТИ И МОДЕЛЬ СТАЦИОНАРНОГО

НАСЕЛЕНИЯ

Для того, чтобы построить модель стационарного населения, надо оценить

функции таблицы смертности. Возрастные коэффициенты смертности ста-

ционарного населения определяются соответствующей функцией

)(xm таб-

лиц смертности. Возрастная структура стационарного населения задается

табличной функцией

)(xL . Именно в интерпретации этой функции модель

стационарного населения отличается от модели вымирания поколений. В

таблицах смертности

)(xL обозначает число человеко-лет, прожитых в ин-

тервале теми, кто достиг возраста

. В модели стационарного населения

этот показатель определяет численность соответствующей возрастной груп-

пы. Поэтому второе название

)(xL — число живущих в стационарном насе-

лении в возрасте

. На рис. 17.1 представлены числа живущих в стационар-

ном населении для женского населения России, полученные из таблиц

смертности за 1896-1897, 1926 и 1996 гг. Если поменять оси координат мес-

тами, то мы фактически получим кривые дожития соотвествующих таблиц

смертности. Из графиков видно, что чем выше продолжительность пред-

стоящей жизни, тем больше численность стационарного населения.

Поскольку функция

)(xL , как и другие функции таблиц смертности,

по условиям построения модели неизменна, постольку

постоянной

является и возрастная структура стационарного населения.

Общая

численность стационарного населения соотвественно равна сумме всех

)(xL , т.е.

∑

)(xLT . Здесь

— предельный возраст таблиц смертности.

Аналог этого показателя в таблицах смертности

)0(T

интерпретируется

как общее число человеко-лет, которое проживут все новорожденные. Доля

отдельной возрастной группы в общей численности стационарного

населения составляет

)0(

)(

xc =

Число умерших в отдельных возрастных группах стационарного насе-

ления выражается функцией

)(xd . Общее число родившихся в течение

419

года в стационарном населении равно корню таблицы смертности )0(l .

Общий коэффициент смертности в стационарном населении равен

)0(

)(

∑

= ; общий коэффициент рождаемости равен

)0(

n =

Рис. 17.1 Числа живущих в стационарном населении для женского

населения России, за 1896-1897, 1926 и 1996 гг.

17.3. СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНОГО НАСЕЛЕНИЯ

Остановимся на других свойствах стационарного населения, вытекающих

из его определения:

1) из равенства числа умерших числу родившихся, т.е.

)0()(

lxd =

∑

, следует:

а) естественный прирост стационарного населения равен нулю;

б) общие коэффициенты рождаемости и смертности в стационарном

населении равны:

;

в) (с учетом условия закрытости) общая численность стационарного

населения неизменна во времени.

2) общие коэффициенты смертности и рождаемости обратно пропорцио-

нальны ожидаемой продолжительности предстоящей жизни

420

при рождении. Из определения ожидаемой продолжительности пред-

стоящей жизни при рождении

)0(

e =

и определений общих коэффи-

циентов (см. свойство 3) следует

)0(

mn ==

3) постоянство всех демографических показателей обусловливает идентичность

всех возрастных характеристик реального и условного поколений

в стационарном населении, что хорошо видно на сетке Лексиса (см. рис. 17.2).

время

возраст

lo lo

Рис. 17.2 Диаграмма Лексиса для стационарного населения

4) численность поколений в стационарном населении равна числу родившихся,

умноженному на среднюю продолжительность предстоящей жизни

при рождении, т.е.

)0()0( le

⋅

= . Это свойство вытекает из определения ожи-

даемой продолжительности жизни и интерпретации функции

)(xT в модели

стационарного населения.

5) средний возраст умерших стационарного населения равен ожидаемой

продолжительности предстоящей жизни при рождении. Это свойство не-

посредственно вытекает из определения соответствующих показателей

в таблицах смертности:

∑

⋅

)0(

)(

)0(

xdx

где

— средний возраст смерти в интервале )1,(

xx .

421

Средний возраст умерших в реальном населении отличается

от ожидаемой продолжительности предстоящей жизни, поскольку

он аккумулирует в себе колебания чисел родившихся и особенности воз-

растной структуры умерших, отличающейся от структуры умерших в ста-

ционарном населении.

17.4. ПРИЛОЖЕНИЯ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНОГО НАСЕЛЕНИЯ

Демографические исследования

В демографических исследованиях модель стационарного населения ис-

пользуется в нескольких направлениях Она является одним из средств

сравнительного анализа демографических процессов и структур. Так, воз-

растная структура стационарного населения применяется в качестве стан-

дарта для сравнения смертности методом стандартизации. На основе моде-

ли стационарного населения были также разработаны и систематизированы

некоторые демографические показатели.

Модель стационарного населения применяется для изучения демо-

графических характеристик реального населения. Очевидно, что

в действительности не бывает населения, количественные характеристики

которого бы полностью совпадали с параметрами стационарной модели.

Для того, чтобы модель стационарного населения воплотилась в жизнь,

необходимо, чтобы режимы смертности и рождаемости не изменялись

в течение долгого периода времени при условии, что числа родившихся и

умерших были равны друг другу при полном отсутствии миграции. По-

добные требования невыполнимы применительно к человеческим попу-

ляциям. С определенной долей условности можно говорить

о стационарном населении применительно к древним историческим по-

пуляциям, поскольку их численность изменялась чрезвычайно медленно

на протяжении длительных исторических периодов. Однако при более

детальном рассмотрении за этой «неподвижностью» скрываются значи-

тельные колебания в демографической динамике из-за эпидемий, голода,

войн и вторжений чужеземцев. В современном мире в некоторых разви-

тых странах уровень прироста населения на протяжении последних лет

колеблется вокруг нулевой отметки. Но возрастная структура этих стран

далека от стационарной, во-первых, из-за сохраняющегося влияния демо-

графической волны, генерированной падением рождаемости в период

второй мировой войны и последующим за ним бэби-бумом, во-вторых,

из-за демографических тенденций последних десятилетий (колебаний

в уровне рождаемости, продолжающегося снижения смертности и значи-

тельного притока иммигрантов).

422

Вместе с тем, как отмечал французский демограф Р. Пресса, «хотя со-

ответствие между реальным населением и теоретическим стационарным

населением никогда не может быть вполне строгим, все же в некоторых

случаях такое сопоставление, поскольку оно допустимо, может дать некото-

рые полезные сведения»

. К проведению подобных оценок подталкивают

особенности статистических данных, свойственных тому или иному исто-

рическому периоду, а также простота свойств модели стационарного насе-

ления. Так, в палеодемографических исследованиях, как правило, доступ-

ными данными являются числа умерших по отдельным возрастным

группам, и неизвестными — данные о числах живущих. Гипотеза стацио-

нарности лежит в основе построения таблиц смертности по этому возрас-

тному распределению умерших (метод смертных списков). Исходя

из обратной зависимости между ожидаемой продолжительностью пред-

стоящей жизни и общими коэффициентами рождаемости и смертности,

можно получить вероятные комбинации этих показателей для исторических

популяций, общий и естественный прирост в которых был в среднем близок

к нулю. Если исходить из того, что наиболее вероятные значения средней

продолжительности предстоящей жизни для отдельных государств и наро-

дов в прошлом находятся в интервале от 20 до 30 лет, то соответствующие

им общие коэффициенты смертности и рождаемости (это следует из свойст-

ва 5) попадают в интервал от 30 до 50‰.

Недемографические исследования

Границы применения модели стационарного населения значительно рас-

ширятся, если мы расширим само понятие «население». Под «населением»

можно понимать не только численность людей, проживающих на опреде-

ленной территории, но и численность персонала на предприятиях, учащих-

ся школ и вузов, клиентов страховых компаний и пенсионных фондов, па-

циентов больниц и др. Кроме человеческой популяции, существуют

популяции в животном мире. Также можно говорить о «населении» приме-

нительно к различным совокупностям, состоящим из неодушевленных объ-

ектов: станочный парк, автомобильный парк, товары на складе и др. Мно-

гие из этих совокупностей в большей степени удовлетворяют условиям

стационарности, чем реальные населения регионов и стран. В целом, сово-

купности, для которых можно построить модель стационарного населения

(или таблицу смертности) обладают одним общим свойством. Выбытие

элемента из совокупности, подобно смерти, представляет собой неповто-

ряющееся событие, интенсивность которого зависит от возраста элемента.

Р. Пресса Народонаселение и его изучение / Пер. с фр. М., 1966.