Саградов В.А, Ионцев А.А. Введение в демографию

Подождите немного. Документ загружается.

423

Пример 1

. Применение модели стационарного населения в управлении

трудовыми ресурсами

В большинстве задач, связанных с управлением кадрами, имеют дело

с численностью персонала, работающего на фирме и, следовательно,

под выбытием кадров в данном случае подразумевают смерть, увольнение

или уход на пенсию. Для поддержания стационарного состояния численности

персонала ежегодно необходимо нанимать определенное число работников.

Коэффициенты выбытия могут зависеть как от возраста работающего, так и

от стажа работы (в некоторых случаях только от последнего показателя).

Задача.

Даны сведения о коэффициентах выбытия персонала на двух

крупных фирмах в зависимости от стажа работы. Посчитайте для каждой

фирмы:

1) cредний стаж работы одного работника;

2) cколько работников ежегодно необходимо нанимать, чтобы общая

численность персонала сохранялась в размере 1500 человек.

Коэффициенты выбытия

Стаж работы, лет

Фирма А Фирма В

0 0,50 0,667

1 0,50 0,500

2 0,50 0,300

3 0,50 0,250

4 0,50 0,200

5 0,50 0,067

6 0,50 1,000

7 0,50

8 0,50

9 0,50

Решение. Построим таблицу, аналогичную таблице смертности, где

в качестве вероятности смерти в возрасте

лет будет выступать вероят-

ность выбыть, проработав

лет (т.е. коэффициент выбытия при стаже ра-

боты

лет ). Предполагая, что выбытия распределены равномерно

в течение года, получим таблицу (см. табл. 17.1)

Средний стаж работы равен

. Такой средний стаж работы

для работников фирмы А составляет приближенно 1,5 года, а для работников

фирмы В — 1,3 года.

A.H. Pollard et al. Demographic Techniques. Pergamon Press Australia, 1974.

424

Таблица 17.1

фирма А фирма В

стаж работы,

лет

0 1000 750 1498 1000 667 1339

1 500 375 748 333 250 672

2 250 188 373 166 141 422

3 125 94 185 116 102 281

4 62 46 91 87 78 179

5 31 23 45 70 68 101

6 16 12 22 65 33 33

7 8 6 10 0 0 0

8 4 3 4

9 2 1 1

10 1 0 0

Ежегодный прием на службу

l , или 1000 новых работников. обеспечит

общую численность персонала в

T , или 1498 чел. для фирмы А и 1339 чел.

для фирмы В. Таким образом, если требуется поддерживать численность

персонала в 1500 чел., то ежегодно фирма А должна принимать:

1001

1498

15001000

⋅

человек, а фирма В — 1120

1339

15001000

⋅

человек.

Пример 2

. Применение модели стационарного населения для решения

задач управления контингентом учащихся

Задача.

Изучалась когорта из 203 учеников, поступивших в 1982-

1983 гг. в 6-й класс одной из французских школ. В итоге была получена

следующая картина переходов из одного класса в другой на конец учебного

года:

из них:

учебный

год

переход

в ... класс

общая

численность

учеников

покинуло

школу

отказались остаться

на второй год

1982-83 6-й 186 8 10

1983-84 7-й 141 12

1984-85 8-й 118 5 8

1985-86 9-й 83

1) рассчитайте вероятность перехода в каждый следующий класс

для одного школьника, ни разу не остававшегося на второй год;

Travaux pratiques d’analyse demographique / Alfred Dittgen, Marlene Lamy-Festy.

Paris: Masson, 1989. P. 204–205.

425

2) рассчитайте вероятность окончить среднюю школу, ни разу

не оставаясь на второй год. Какова доля детей, которые заканчива-

ют среднюю школу, ни разу не оставаясь на второй год?

На 6-м и 8-м годах обучения родители могут отказаться от того,

чтобы их дети оставались на второй год. Предположим, что эти де-

ти все же остаются на второй год в 7-м и 9-м классах соответствен-

но, и затем половина из них покидает школу.

3) предполагая, что школьники могут остаться на второй год только

один раз, рассчитайте, сколько лет в среднем провел в средней

школе один ребенок, поступивший в 1982–83 гг.

4) предположив, что ежегодный набор составляет одно и то же число

человек, и что в течение обучения никто дополнительно в школу

не приходит, рассчитайте общее число учеников в средней школе.

Решение.

1) чтобы рассчитать вероятность перехода в следующий класс для ученика,

ни разу не остававшегося на второй год, необходимо разделить число пере-

ходящих в следующий класс в конце учебного года на численность детей

в начале учебного года, поскольку в течение учебного года никто

не покидает школу. Вероятность перехода в 5-й класс равна

203/186 ,

то есть отношение закончивших 6-й класс к поступившим в 5-й. Вероят-

ность перехода в 4-й класс равна

)8186/(141

−

и так далее. В результате

в расчете на 1000 получим следующую таблицу:

переход в ... класс 6-й 7-й 8-й 9-й

вероятность перехода 916 792 915 735

2) вероятность перехода в следующий класс будет более высокой, если ро-

дители имеют право отказаться от оставления ребенка на второй год.

Она будет более низкой в следующем году, как если бы оставление

на второй год было только отложено.

Чтобы получить вероятность перехода на следующий уровень обуче-

ния, не оставаясь на второй год, нужно перемножить предыдущие вероят-

ности. Она равна 488 шансам из 1000. Вероятность закончить свое обуче-

ние в данном колледже, не оставаясь на второй год, равна

409203/83 =

на 1000.

Чтобы рассчитать время, проведенное в колледже в среднем одним

учеником данного набора, необходимо сначала рассчитать общее число

лет, проведенных в колледже 203 учениками. То есть сложить 4 года, про-

веденные в колледже теми, кто ни разу не оставался на второй год, приба-

вить время присутствия в колледже тех, кто оставался на второй год или

426

покинул школу. При этом число остававшихся на второй год можно полу-

чить на основе разницы между числом учеников в начале учебного года и

числом тех, кто переходит в следующий класс.

учебный

год

Класс

Присутствующие

в начале года

переходящие

в следующий класс

в конце года

остающиеся

на второй год

1982-83 6 203 186 17

1983-84 5 179 143 37

1984-85 4 129 113 11

1985-86 3 113 83 30

3) таким образом 95 учеников оставались на второй год один раз. Среди них

5человек отказались остаться на второй год в 6-м классе, остались на второй

год в пятом и по окончании этого второго года покинули школу, то есть про-

вели в колледже 3 года. Число лет, проведенных в колледже совокупностью

поступивших, можно разложить на следующие составляющие:

число лет, проведенных в колледже:

– не остававшимися на второй год

из них:

не ушедшими из школы до конца обучения 4·83

ушедшими после 6 класса 1·8

ушедшими после 5 класса 2·12

ушедшими после 4 класса 5·90

– остававшимися на второй год

из них:

не ушедшими из школы до конца обучения 5·90

ушедшими после 5 класса 3·5

Таким образом 203 ученика в целом провели в школе 844 года, то есть

4,16 года на 1 ученика.

4) Предположив, что каждый год в колледж поступает 203 ученика и что

условия перехода из класса в класс не меняются, мы будем иметь дело

со стационарным населением, общая численность которого

равна обще-

му числу прожитых лет, то есть лет, проведенных в колледже. Таким обра-

зом, общая численность учеников в колледже будет равна:

84416,4203

⋅

=P учеников.

427

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Венецкий И.Г. Математические методы в демографии М.,1971.

2. Курс демографии под редакцией А.Я. Боярского. Глава IX, раздел 1.

3. Пресса Р. Население и методы его изучения. М., 1966. Глава III, раздел 2.

Дополнительная

1. Keyfitz N., Applied Mathematical Demography. N.–Y., 1985.

2. Pollard J.H. at all, Demographic Techniques. Pergamon Press. Australia. 1974

428

ГЛАВА 18

МОДЕЛЬ СТАБИЛЬНОГО НАСЕЛЕНИЯ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

18.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАБИЛЬНОГО НАСЕЛЕНИЯ

Модель стационарного населения, несмотря на свою значимость при разра-

ботке отдельных понятий и решении целого класса практических задач, как

уже отмечалось, в большинстве случаев не соответствует демографической

реальности. Как правило, численность населения той или иной страны изме-

няется. Этот факт учитывается в модели

стабильного населения,

од которым в демографии понимают теоретическое закрытое население

с неизменными во времени возрастными интенсивностями рождаемости,

смертности и возрастной структурой населения

. Модель стабильного

населения является упрощенным изображением процесса воспроизводства

населения. Она строится для одного, главным образом для женского пола.

Параметры модели для противоположенного пола рассчитываются

на основе соотношения полов при рождении.

Одним из первых к идее стабильного населения подошел Лео-

нард Эйлер (1760). В своих исследованиях он, в частности, обнаружил, что

население, в котором установился постоянный режим смертности, а число

родившихся изменяется по экспоненциальному закону, будет иметь неиз-

менную возрастную структуру. В начале XX века российско-немецкий ста-

тистик Владислав Борткевич использовал гипотезу стабильного населения

для исчисления возрастного состава реального населения, численность ко-

торого увеличивается с постоянным темпом прироста. Создание собствен-

но теории стабильного населения с математическим обоснованием ее ос-

новных положений связано с именем американского демографа Альфреда

Лотки

. Именно он, основываясь на аналогии с физическими процессами,

ввел в научный оборот термин «стабильное население», что в переводе с

латинского (от «stabilis») означает «устойчивое население». Если режимы

рождаемости и смертности стабильного населения внезапно изменятся, а

затем вновь вернутся к своим прежним постоянным величинам, то возрас-

тная структура и общие демографические коэффициенты в этом населении

постепенно также вернутся к своему равновесному состоянию.

А. Лотка изложил свою теорию полностью в давно ставшей классической работе:

Lotka A.J. Theorie analytique des associations biologiques. Part II. Analyse

demographique avec application particuliere a l’espece humaine. Paris, 1939.

429

18.2. СВОЙСТВА ЭРГОДИЧНОСТИ

В 1911 году в одной из первых своих работ Лотка вместе с другим амери-

канским ученым Ф. Шарпом

доказал одну из центральных в математиче-

ской демографии теорему:

закрытое население, в котором возрастные

интенсивности рождаемости и смертности с определенного момента

времени стали постоянными, со временем будет иметь неизменную воз-

растную структуру, постоянные общие коэффициенты рождаемости и

смертности и коэффициент естественного прироста

. Подобное населе-

ние называют

асимптотически стабильным, а процесс приближения

его первоначальной возрастной структуры и общих демографических ко-

эффициентов к некоторым постоянным (предельным) значениям —

стаби-

лизацией

населения. Сам Лотка пользовался термином «стабильный»

для обозначения именно такого населения. В процессе стабилизации воз-

растная структура населения постепенно как бы «забывает» свою первона-

чальную форму. Это особое свойство получило название

сильной эргодич-

ности

. После того, как население достигнет стабильного состояния,

параметры его возрастной структуры будут определяться только заданны-

ми режимами рождаемости и смертности.

В конце 1950-х гг. А. Коул высказал предположение, что все челове-

ческие популяции «забывают» свое прошлое. Когда уровни рождаемости и

смертности непрерывно изменяются, так же непрерывно изменяется воз-

растная структура населения. С каждым годом влияние исходной возрас-

тной структуры на форму каждой последующей ослабевает и постепенно

сходит на «нет». Это свойство любого населения с изменяющимися пара-

метрами рождаемости и смертности удаляться от своей возрастной струк-

туры далекого прошлого получило название

слабой эргодичности. Мате-

матически оно было доказано учеником А. Коула А. Лопесом в форме

следующей теоремы (

теорема Лопеса): если два населения подчиняются

одинаковым, но изменяющимся во времени режимам рождаемости и

смертности, то эти два населения в конце концов приобретут одинаковые

возрастные структуры, хотя конечно эти структуры не обязательно

стремятся к пределу, как в случае стабильного населения.

Свойства эргодичности и процесс стабилизации возрастных структур

представлены на рис. 18.1. На нем изображена серия изменений половозра-

стных пирамид двух различных на сегодня в демографическом отношении

Lotka, A.J. and Sharpe F.R. A problem in age distribution. Philosophical Magazine.

1911 Vol. 21 (124), April, pp. 435–438.

Доказательство этой теоремы выходит за рамки данного курса. Математически

подготовленным читателям рекомендуем обратиться к книге «Демографические

модели» (М., 1977).

430

стран — России и Замбии. Предполагается, что в этих странах, начиная с

1995 года, установились одинаковые режимы рождаемости и смертности.

Мы видим, что в процессе стабилизации исходные возрастные пирамиды: в

одном случае — классическая пирамида, отличающая страны с высоким

уровнем рождаемости, в другом — пирамида, форма которой сильно де-

формирована войнами, — постепенно размываются, приобретая совершен-

но иные очертания. Поскольку замбийское и российское население, по ус-

ловию, подчиняются одинаковым режимам рождаемости и смертности,

постольку их столь непохожие в начале возрастные структуры стремятся к

совершенно одинаковым предельным возрастным структурам.

18.3. ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ, ЧИСЛА РОДИВШИХСЯ

И УМЕРШИХ В СТАБИЛЬНОМ НАСЕЛЕНИИ

1. Общие коэффициенты рождаемости и смертности стабильного насе-

ления постоянны

. Общие коэффициенты рождаемости n и смертности m

можно выразить формулами

∑

⋅=

cfn и

∑

⋅=

cmm , где

f и

m — соответственно, возрастные коэффициенты рождаемости, а

c —

доля лиц в возрасте от

до 1

x лет. Из постоянства этих возрастных

характеристик рождаемости, смертности и возрастного состава

в стабильном населении вытекает постоянство общих коэффициентов

рождаемости и смертности.

Коэффициент естественного прироста стабильного населения постоя-

нен

. Из равенства mn

−= , где n и m — постоянные величины, следует

постоянство и коэффициента естественного прироста

стабильного на-

селения.

Стабильное население растет по экспоненциальному закону (или в гео-

метрической прогрессии

). В главе «Рост населения» было показано, что

численность населения изменяется по этим законам, если его коэффици-

ент прироста неизменен во времени:

ePtP

⋅

⋅= )0()( . (18.1)

Современная математическая теория стабильного населения излагается

в терминах или непрерывных функций, или матриц. В этом учебном пособии осно-

вы модели стабильного населения изложены в виде широко используемых

на практике дискретных функций.

431

Рис. 18.1. Стабилизация возрастной структуры на примере России (слева)

и Замбии, предполагая, что в обеих странах в течении 100 лет сохраняется

режим рождаемости и порядок вымирания, наблюдаемые в России

в 1995 г.: 344,1=TFR ,

27,58

муж

лет, 7,71

жен

e лет.

432

4. Числа родившихся и умерших в стабильном населении изменяются

по экспоненциальному закону (или в геометрической прогрессии). Обо-

значим через

)0(P и )(tP — численность населения в моменты време-

ни

0 и

, через )0(N и )(tN — соответствующие числа родившихся.

Из постоянства общего коэффициента рождаемости можно записать про-

порцию

)0(

)(

, а затем выражение

)0(

)()(

tPtN ⋅=

. Соот-

ношение (18.1) позволяет нам получить искомое утверждение:

eNtN

⋅

⋅= )0()( . (18.2)

Аналогичным образом выводится закон изменения числа умерших

в стабильном населении

eMtM

⋅

⋅= )0()( , где )0(D и )(tD — соответст-

вующие числа умерших.

18.4. ВОЗРАСТНАЯ СТРУКТУРА СТАБИЛЬНОГО НАСЕЛЕНИЯ

Доля возрастной группы

в общей численности стабильного населения оп-

ределяется по формуле

exlnxc

⋅−

⋅⋅= )()( . Доля возрастной группы

в точном возрасте

(или в возрасте от

до xx

∆

, где x

∆

— бесконечно

малая величина) в общей численности населения определяется по формуле

)(

),(

)(

txP

xс =

, где ),( txP — численность людей в возрасте

в момент

Функция

),( txP представляет собой произведение числа родившихся

лет

назад и вероятности их дожития до возраста

, т.е. )()(),( xlxtBtxP ⋅

−

Число родившихся

лет назад равно произведению общего коэффициента

рождаемости на общую численность населения в момент

− :

)()( xtPnxtN −⋅=− . Из соотношения (18.1) легко получить, что

etPxtP

⋅−

⋅=− )()( . После всех необходимых подстановок получаем

exltPntxP

⋅−

⋅⋅⋅= )()(),( . Разделив обе части на )(tP , мы в итоге получаем

математическое выражение возрастной структуры в стабильном населении:

exlnxc

⋅−

⋅⋅= )()( . (18.3)

Из формулы (18.3) следует, что общий коэффициент рождаемости ра-

вен

)0(cn =

Здесь )(xl — вероятность дожития до возраста

лет по таблице смертности

с корнем, равным 1.