Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере
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ɆɨɞɄ-06 Ƚɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɣ ɚɧɚɥɢɡ
311
ɷɬɨɝɨ ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɟɪɧɭɬɶɫɹ ɤ ɷɬɚɩɭ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɤɭɫɨɱɧɨ-ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɣ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɣ
ɮɨɪɦɵ ɡɚɤɨɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ (ɩɭɧɤɬ 11), ɚ ɡɚɬɟɦ ɩɪɨɞɨɥɠɢɬɶ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɣ
ɮɨɪɦɵ ɡɚɤɨɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ.
Ɂɚɪɢɫɭɣɬɟ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ.
13. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬɵ ɞɥɹ ɧɨɜɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ (ɩɭɧɤɬɵ
2–6).
Ⱦɥɹ ɧɨɜɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɩɨɞɛɟɪɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢ-
ɱɟɫɬɜɨ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (ɝɚɪɦɨɧɢɤ), ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɨɦ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ
ɧɟ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ
ɨɬ ɢɡɭɱɚɟɦɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ.
ɋɪɚɜɧɢɬɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɝɚɪɦɨɧɢɤ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɟ ɞɥɹ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɤɭɫɨɱɧɨ-
ɩɪɹɦɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɝɚɪɦɨɧɢɤ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɟ ɞɥɹ ɩɪɟɞ-
ɫɬɚɜɥɟɧɢɹ ɤɪɢɜɨɥɢɧɟɣɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ.
Ɂɚɜɢɫɢɬ ɥɢ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɝɚɪɦɨɧɢɤ ɨɬ ɫɩɨɫɨɛɚ ɫɨɟɞɢɧɟɧɢɹ ɭɡɥɨɜ?
ɋɬɚɧɭɬ ɥɢ ɧɭɥɟɜɵɟ ɩɪɢ ɫɨɟɞɢɧɟɧɢɢ ɩɪɹɦɵɦɢ ɥɢɧɢɹɦɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ
ɧɟɧɭɥɟɜɵɦɢ, ɢɡɦɟɧɹɬɫɹ ɥɢ ɡɧɚɤɢ ɭ ɧɟɧɭɥɟɜɵɯ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ a
n
, b
n
?
14. ɋɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.
əɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɫɯɨɞɹɳɢɦɫɹ?
Ɇɨɠɧɨ ɥɢ ɩɨɞɨɛɪɚɬɶ ɤɨɧɟɱɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɝɚɪɦɨɧɢɤ ɪɹɞɚ Ɏɭɪɶɟ, ɩɨɡɜɨɥɹɸ-
ɳɟɟ ɬɨɱɧɨ ɡɚɦɟɧɢɬɶ ɢɡɭɱɚɟɦɵɣ ɤɭɫɨɱɧɨ-ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɤɨɧɟɱɧɵɦ
ɪɹɞɨɦ Ɏɭɪɶɟ?
Ɉɞɢɧɚɤɨɜɨ ɥɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɝɚɪɦɨɧɢɤ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɟ ɞɥɹ ɡɚɦɟɧɵ ɢɡɭɱɚɟɦɨɝɨ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɤɨɧɟɱɧɵɦ ɪɹɞɨɦ Ɏɭɪɶɟ, ɞɥɹ ɞɜɢɠɟɧɢɣ ɪɚɡɧɨɝɨ ɜɢɞɚ? ɑɟɦ ɷɬɨ ɦɨɠɧɨ ɨɛɴ-
ɹɫɧɢɬɶ?
Ɍɚɛɥɢɰɚ
Ɂɚɤɨɧ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ Ɋɹɞ Ɏɭɪɶɟ
ɝɪɚɮɢɤ
ɝɪɚɮɢɤ
Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɚ A, ɫɦ
ɉɟɪɢɨɞ T, ɫ
Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɝɚɪɦɨɧɢɤ N
ȼɢɞ ɤɭɫɨɱɧɨ-ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ f(t)
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ
a
0
=
a
n
=
b
n
=
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
312
Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ Ɏɭɪɶɟ ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞ ɝɚɪɦɨɧɢɤ
ɇɨɦɟɪ
ɝɚɪɦɨɧɢɤɢ
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ
Ⱥɦɩɥɢɬɭɞɚ
ɝɚɪɦɨɧɢɤɢ
1
2
…
10
…
Ɇɥɚɞɲɚɹ ɫɬɟɩɟɧɶ
m ɜ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɯ
Ɏɭɪɶɟ
Ʉɨɧɫɬɚɧɬɚ ɋ ɩɪɢ ɦɥɚɞɲɟɣ ɫɬɟɩɟɧɢ 1/n ɜ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɯ
a
n
, b
n
ɉɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ H
5. Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɵɟ ɜɨɩɪɨɫɵ
1. Ʉɚɤɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɢɦ?
2. Ʉɚɤɨɟ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɦ?
3. ɑɬɨ ɬɚɤɨɟ Ɏɭɪɶɟ-ɚɧɚɥɢɡ?
4. Ʉɨɝɞɚ ɪɹɞ Ɏɭɪɶɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɤɨɧɟɱɧɵɦ?
5. Ʉɚɤ ɨɰɟɧɢɬɶ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɡɚɦɟɧɵ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɪɹɞɚ Ɏɭɪɶɟ ɤɨɧɟɱ-
ɧɵɦ?
6. Ɉɩɢɲɢɬɟ ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ.
___________________________
ɉɪɢ ɫɨɡɞɚɧɢɢ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɚɜɬɨɪɵ ɨɩɢɪɚɥɢɫɶ ɧɚ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ ɦɨ-
ɞɟɥɢɪɭɸɳɟɣ ɥɚɛɨɪɚɬɨɪɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ «Ƚɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɣ ɚɧɚɥɢɡ»,
ɧɚɩɢɫɚɧ-
ɧɨɣ Ʉ.Ȼ. Ʉɨɪɨɬɱɟɧɤɨ, ɘ.Ⱥ. ɋɢɜɨɜɵɦ ɜ 1996-98 ɝɝ.
313
ɅȺȻɈɊȺɌɈɊɇȺə ɊȺȻɈɌȺ ʋ ɆɨɞɄ-07
ɉɈ ɂɁɍɑȿɇɂɘ ɆɈȾȿɅȿɃ ɎɂɁɂɑȿɋɄɂɏ
ɉɊɈɐȿɋɋɈȼ ɂ əȼɅȿɇɂɃ ɇȺ ɄɈɆɉɖɘɌȿɊȿ
ɋɜɹɡɚɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ: ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɢɫɬɟɦɵ ɫ ɞɜɭɦɹ
ɫɬɟɩɟɧɹɦɢ ɫɜɨɛɨɞɵ. Ⱥɧɚɥɢɡ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɨɬ
ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɢ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɫɨɟɞɢɧɢɬɟɥɶ-
ɧɨɣ ɩɪɭɠɢɧɵ.
1. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ
1.1. ɋɜɹɡɚɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
Ⱦɥɹ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɨɞɧɨɝɨ ɬɟɥɚ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,
ɝɪɭɡɚ, ɩɨɞɜɟɲɟɧɧɨɝɨ ɧɚ ɧɢɬɢ, ɢɥɢ ɬɟɥɚ, ɩɪɢɤɪɟɩɥɟɧɧɨɝɨ ɤ ɩɪɭɠɢɧɟ, ɞɨɫ-
ɬɚɬɨɱɧɨ ɡɧɚɬɶ ɡɚɤɨɧ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɨɞɧɨɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ (ɭɝɥɚ ɨɬ-
ɤɥɨɧɟɧɢɹ, ɫɦɟɳɟɧɢɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ). ȿɫɥɢ ɞɥɹ
ɩɨɥɧɨɝɨ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɫɢɫɬɟɦɵ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɡɧɚɬɶ ɡɚ-
ɤɨɧ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɨɞɧɨɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɝɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ
ɨɞɧɭ ɫɬɟɩɟɧɶ ɫɜɨɛɨɞɭ. Ɍɨɝɞɚ ɜɫɟ ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɜɵɪɚɠɚɸɬɫɹ ɱɟɪɟɡ ɜɵɛɪɚɧɧɭɸ ɮɢɡɢɱɟɫɤɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ.
ȿɫɥɢ ɞɥɹ ɩɨɥɧɨɝɨ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɤɚɤɨɣ-ɥɢɛɨ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɟɨɛ-
ɯɨɞɢɦɨ ɡɧɚɬɶ ɡɚɤɨɧɵ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɞɜɭɯ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɚ ɜɫɟ ɨɫɬɚɥɶ-
ɧɵɟ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨ ɜɵɪɚɠɚɸɬɫɹ ɱɟɪɟɡ ɜɵɛɪɚɧ-
ɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ, ɝɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɞɜɟ ɫɬɟɩɟɧɢ ɫɜɨɛɨɞɵ. ɉɪɢ-
ɦɟɪɨɦ ɫɢɫɬɟɦɵ, ɢɦɟɸɳɟɣ ɞɜɟ ɫɬɟɩɟɧɢ ɫɜɨɛɨɞɵ, ɦɨɠɟɬ ɫɥɭɠɢɬɶ ɫɢɫɬɟ-
ɦɚ, ɫɨɫɬɨɹɳɚɹ ɢɡ ɞɜɭɯ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ (ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɢɥɢ ɩɪɭɠɢɧɧɵɯ), ɫɨ-
ɟɞɢɧɟɧɧɵɯ ɭɩɪɭɝɨɣ ɧɟɜɟɫɨɦɨɣ ɩɪɭɠɢɧɨɣ. ȼ ɨɬɫɭɬɫɬɜɢɢ ɫɨɟɞɢɧɢɬɟɥɶɧɨɣ
ɩɪɭɠɢɧɵ ɨɛɚ ɬɟɥɚ ɫɨɜɟɪɲɚɸɬ ɫɜɨɛɨɞɧɵɟ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɟ-
ɡɚɜɢɫɢɦɨ ɞɪɭɝ ɨɬ ɞɪɭɝɚ. ȿɫɥɢ ɦɚɹɬɧɢɤɢ ɫɨɟɞɢɧɟɧɵ ɦɟɠɞɭ ɫɨɛɨɣ, ɬɨ ɢɡ-
ɦɟɧɟɧɢɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɨɞɧɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɛɭɞɟɬ ɡɚɜɢɫɟɬɶ ɧɟ
ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɯɚɪɚɤ-
ɬɟɪɢɫɬɢɤ ɫɚɦɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ, ɧɨ ɢ ɨɬ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɞɪɭɝɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɚ. Ⱦɜɢ-
ɠɟɧɢɟ ɨɛɨɢɯ ɬɟɥ ɛɭɞɟɬ ɧɨɫɢɬɶ ɩɨɜɬɨɪɹɸɳɢɣɫɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɫɜɹɡɚɧɧɵɦɢ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹɦɢ.
ɂɡɭɱɢɦ ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɟ ɞɜɭɯ ɩɪɭɠɢɧɧɵɯ ɦɚɹɬ-
ɧɢɤɨɜ, ɫɨɟɞɢɧɟɧɧɵɯ ɭɩɪɭɝɨɣ ɧɟɜɟɫɨɦɨɣ ɩɪɭɠɢɧɨɣ (ɪɢɫ. 1). ɉɟɪɜɵɣ ɦɚ-
ɹɬɧɢɤ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɬɟɥɚ ɦɚɫɫɨɣ
1
m ɢ ɩɪɭɠɢɧɵ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶɸ
1
k , ɜɬɨɪɨɣ ɦɚ-
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
314
ɹɬɧɢɤ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɬɟɥɚ ɦɚɫɫɨɣ
2
m ɢ ɩɪɭɠɢɧɵ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶɸ
2
k , ɫɨɟɞɢɧɢ-
ɬɟɥɶɧɚɹ ɩɪɭɠɢɧɚ ɢɦɟɟɬ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶ
0
k
. ɉɨɥɨɠɟɧɢɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɬɟɥɚ ɭɞɨɛɧɨ
O
1
O
2
x
1
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1
F
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F
0
F
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k
1
m
1
k
2
m
2
k
0
Ɋɢɫ. 1
ɨɩɢɫɵɜɚɬɶ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ ɨɬ ɟɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ:
1
x
G
ɢ
2
x
G
, ɫɨɨɬɜɟɬ-
ɫɬɜɟɧɧɨ. ɇɚ ɩɟɪɜɨɟ ɬɟɥɨ ɞɟɣɫɬɜɭɟɬ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ
111
xkF
G
G
ɫɨ ɫɬɨɪɨ-
ɧɵ ɩɪɭɠɢɧɵ
1
k ɢ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ )(
1200
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G
G
G
ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɩɪɭɠɢɧɵ
0
k . ɇɚ ɜɬɨɪɨɟ ɬɟɥɨ ɞɟɣɫɬɜɭɟɬ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ
222
xkF
G
G
ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ
ɩɪɭɠɢɧɵ
2
k ɢ ɫɢɥɚ ɭɩɪɭɝɨɫɬɢ )(
1200
xxkF
G
G
G
ɫɨ ɫɬɨɪɨɧɵ ɩɪɭɠɢɧɵ
0
k . Ɍɨɝɞɚ, ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɜɬɨɪɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɇɶɸɬɨɧɚ, ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɬɟɥ ɨɩɢɫɵɜɚ-
ɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɟɣ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜ ɜɟɤɬɨɪɧɨɦ ɢ ɫɤɚɥɹɪɧɨɦ ɜɢɞɟ:
°
°
¯
°
°
®
02
2
2
2
2
01
2
1
2
1
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FF
dt
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m
FF
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m
GG
G
G
G
G
ɢɥɢ
°
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°
®
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),(
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2
2
2
2
12011
2
1
2
1
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dt
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m
xxkxk
dt
xd
m
Ⱦɚɧɧɚɹ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɭɩɪɨɳɚɟɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɪɚɫ-
ɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɟ ɦɚɹɬɧɢɤɢ:
mmm {
21
ɢ
kkk {
21
. Ɍɨɝɞɚ
ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ:
°
°
¯
°
°
®
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1202
2
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1201
2
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xd
m
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dt
xd
m
ɑɬɨɛɵ ɪɚɡɞɟɥɢɬɶ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɟ ɧɚɣɞɟɦ ɫɭɦɦɭ ɢ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɷɬɢɯ ɭɪɚɜ-
ɧɟɧɢɣ
)(
21
2
2
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1
2
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§
,
ɆɨɞɄ-07 ɋɜɹɡɚɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
315
)(2)(
12021
2
2
2
2
1
2
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dt
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¸
¹
·
¨
¨
©
§
.
ȼ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɞɜɚ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɥɹ ɫɭɦɦɵ
ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
)(
21
xx ɢ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ )(
21
xx :
)(
)(
21
2
21
2
xx
m
k
dt
xxd
,
)(
2
)(
21
0
2
21
2
xx
m
kk
dt
xxd
.
Ɉɛɚ ɷɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
m
k
Z
1
ɢ
m
kk
0
2
2
Z
, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ. ɋɥɟɞɨɜɚ-
ɬɟɥɶɧɨ, ɫɭɦɦɚ
)(
21
xx ɢ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ )(
21
xx ɢɡɦɟɧɹɸɬɫɹ ɩɨ
ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ:
)cos(2
11121
MZ tAxx ,
)cos(2
22221
MZ tAxx .
Ɂɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɧɫɬɚɧɬ
1
A ,
2
A ,
1
M ,
2
M ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ.
Ɇɧɨɠɢɬɟɥɶ «2» ɜɜɟɞɟɧ ɞɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɞɚɥɶɧɟɣɲɢɯ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɣ.
ɋɤɥɚɞɵɜɚɹ ɢ ɜɵɱɢɬɚɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ, ɧɚɣɞɟɦ ɡɚɜɢɫɢ-
ɦɨɫɬɶ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥ
1
x ɢ
2
x
)cos()cos(
2221111
MZMZ tAtAx ,
)cos()cos(
2221112
MZMZ tAtAx .
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɫɜɹɡɚɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɫɭɦɦɨɣ ɢ ɪɚɡ-
ɧɨɫɬɶɸ ɞɜɭɯ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
m
k
Z
1
ɢ
m
kk
0
2
2
Z
.
Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ ɬɟɥ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɥɟɝɤɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɩɭɬɟɦ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ
1
x ɢ
2
x :
)sin()sin(
222211111
MZZMZZ tAtAv ,
)sin()sin(
222211112
MZZMZZ tAtAv .
ȿɫɥɢ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ (
0 t ) ɩɟɪɜɨɟ ɬɟɥɨ ɢɦɟɥɨ ɤɨ-
ɨɪɞɢɧɚɬɭ
)0(
1
x ɢ ɫɤɨɪɨɫɬɶ )0(
1
v , ɚ ɜɬɨɪɨɟ ɬɟɥɨ – ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɭ )0(
2
x ɢ
ɫɤɨɪɨɫɬɶ
)0(
2
v , ɬɨɝɞɚ ɢɡ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ
1121
cos2)0()0( M Axx ,
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
316
2221
cos2)0()0( M Axx .
11121
sin2)0()0( MZ Avv
,
22221
sin2)0()0( MZ Avv
ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɤɨɧɫɬɚɧɬɵ
1
A ,
2
A ,
1
M ,
2
M ɜ ɫɥɟɞɭɸɳɟɦ ɜɢɞɟ:
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1
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21
2
2
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Z
M
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.
ȼ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɨɛɨɢɯ ɬɟɥ
ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ
0)0(
1
v ɢ 0)0(
2
v (ɬɟɥɚ ɜɵɜɟɥɢ ɢɡ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟ-
ɫɢɹ ɢ ɨɬɩɭɫɬɢɥɢ ɛɟɡ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ), ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɮɚɡɵ
1
M ,
2
M ɨɛɨɢɯ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ
0
1
M , 0
2
M , ɚ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶ-
ɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɬɟɥ:
)0()0(
2
1
211
xxA ɢ
)0()0(
2
1
212
xxA .
Ɍɨɝɞɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥ
1
x ɢ
2
x
tAtAx
22111
coscos ZZ ,
tAtAx
22112
coscos ZZ .
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɬɟɥɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ
ɫɭɦɦɭ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɫ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
1
Z ,
2
Z ɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚɦɢ
1
A ,
2
A , ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ,
ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ. Ⱦɜɢɠɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ
ɫɨɛɨɣ
ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɬɟɯ ɠɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. ɇɚ ɪɢɫɭɧɤɟ 2 ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɵ ɝɪɚɮɢɤɢ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɩɟɪɜɨɝɨ ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥ ɞɥɹ ɫɥɭɱɚɹ, ɤɨɝɞɚ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ
1
A
ɢ
2
A
ɪɚɡɥɢɱɧɵ ɢ ɨɬɥɢɱɧɵ ɨɬ ɧɭɥɹ.
ɋ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɩɟɪɜɵɣ ɢ ɜɬɨɪɨɣ ɦɚɹɬɧɢɤɢ ɧɟ ɪɚɡɥɢ-
ɱɢɦɵ – ɨɧɢ ɫɨɫɬɨɹɬ ɢɡ ɬɟɥ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɦɚɫɫɵ ɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ.
ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɢɯ ɧɭɦɟɪɚɰɢɹ ɭɫɥɨɜɧɚ. Ɏɢɡɢɱɟɫɤɚɹ ɤɚɪɬɢɧɚ ɧɟ ɢɡɦɟɧɢɬ-
ɫɹ, ɟɫɥɢ ɬɟɥɚ ɩɪɨɧɭɦɟɪɨɜɚɬɶ ɧɚɨɛɨɪɨɬ. Ɍɨɝɞɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɟ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɬɟɥɚ, ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɢɞɟɧɬɢɱɧɵ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɤɨɧɫɬɚɧɬ,
ɡɚɞɚ-
ɜɚɟɦɵɯ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟɦ.
Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥɚ,
ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɳɟɣ ɫɨɛɨɣ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟ-
ɆɨɞɄ-07 ɋɜɹɡɚɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
317
ɫɤɢɦ ɬɨɠɞɟɫɬɜɚɦ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɤɚɤ ɫɭɦɦɭ ɬɟɯ ɠɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ, ɧɨ
ɢɦɟɸɳɢɯ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ
)cos(coscoscos
221122112
SZZ ZZ tAtAtAtAx .
x
1
x
2
t
t
Ɋɢɫ. 2
ɂɡ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɬɚɤɠɟ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɫɥɨɠɟɧɢɢ
ɞɜɭɯ ɝɚɪɦɨɧɢɱɟɫɤɢɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɢ ɱɚɫɬɨɬɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚɦɢ ɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟ-
ɛɚɧɢɣ, ɚ ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɮɚɡ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɜɥɢɹɧɢɟ ɧɚ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɮɚɡɭ
ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ. ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɢ
ɩɟɪɜɨɝɨ, ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɬ ɫɨɛɨɣ ɫɭɦɦɭ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ
ɨɞɢɧɚɤɨ-
ɜɵɦɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɚɦɢ
1
A ,
2
A ɢ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɢɦɢ ɱɚɫɬɨɬɚɦɢ
1
Z ,
2
Z . ɋɥɟɞɨɜɚ-
ɬɟɥɶɧɨ, ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɩɟɪɜɨɝɨ, ɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɛɭ-
ɞɭɬ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶɫɹ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɶɧɵɦɢ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɹɦɢ, ɨɬɥɢ-
ɱɚɸɳɢɦɢɫɹ ɞɪɭɝ ɨɬ ɞɪɭɝɚ ɧɚ ɤɨɧɫɬɚɧɬɭ (ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɮɚɡɭ).
ɂɬɚɤ, ɨɛɚ ɦɚɹɬɧɢɤɚ ɛɭɞɭɬ ɤɨɥɟɛɚɬɶɫɹ ɫ
ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɱɚɫɬɨɬɨɣ, ɢɯ
ɚɦɩɥɢɬɭɞɚ ɛɭɞɟɬ ɢɡɦɟɧɹɬɶɫɹ ɜ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɦ ɞɢɚɩɚɡɨɧɟ, ɧɨ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɟ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɛɭɞɭɬ ɢɦɟɬɶ ɪɚɡɧɵɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɮɚɡɵ.
Ⱦɥɹ ɚɧɚɥɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɚ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɜɨɫ-
ɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɦɟɬɨɞɨɦ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ.
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
318
1.2. ɋɥɨɠɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ
Ⱦɥɹ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɦɟɬɨɞɚ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦ ɤɚɠɞɨɟ
ɤɨɥɟɛɚɧɢɟ ɜ ɜɢɞɟ ɜɟɤɬɨɪɚ, ɞɥɢɧɚ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɪɚɜɧɚ ɚɦɩɥɢɬɭɞɟ, ɜɪɚɳɚɸɳɟ-
ɝɨɫɹ ɜɨɤɪɭɝ ɧɚɱɚɥɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ ɫ ɱɚɫɬɨɬɨɣ, ɪɚɜɧɨɣ ɱɚɫɬɨɬɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
(ɪɢɫ. 3). ȼ ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
t
ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɨɬ-
ɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɫɢ OX ɪɚɜɟɧ ɮɚɡɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɜ ɷɬɨɬ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. Ɍɨɝɞɚ
A
1
A
2
A
A
1
A
2
A
x
y
O
Ɏ
(
t
)
Ɏ
1
(
t
)
Ɏ
2
(
t
)
Z
1
Z
2
Ɋɢɫ. 3
ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɞɜɢɠɟɧɢɸ
)cos(
111
MZ tA ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɜɟɤɬɨɪ
1
A
G
(ɞɥɢɧɚ ɜɟɤɬɨɪɚ
1
A
, ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɪɚɳɟɧɢɹ
1
Z
, ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ
ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
1
M , ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
t
ɪɚɜɟɧ
111
)( MZ ) tt ); ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɦɭ ɞɜɢɠɟɧɢɸ )cos(
222
MZ tA ɫɨɨɬɜɟɬ-
ɫɬɜɭɟɬ ɜɟɤɬɨɪ
2
A
G
(ɞɥɢɧɚ ɜɟɤɬɨɪɚ
2
A
, ɱɚɫɬɨɬɚ ɜɪɚɳɟɧɢɹ
2
Z
, ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨ-
ɬɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
2
M
, ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɜɟɤɬɨɪɚ ɜ ɦɨɦɟɧɬ
ɜɪɟɦɟɧɢ
t
ɪɚɜɟɧ
222
)( MZ ) tt ). ɉɨɥɨɠɟɧɢɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ ɡɚɜɢɫɢɬ
ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɉɪɨɟɤɰɢɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɜɟɤɬɨɪɨɜ ɧɚ ɨɫɶ OX ɞɚɟɬ ɡɚɤɨɧ ɢɡɦɟ-
ɧɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɤɚɠɞɨɝɨ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ
(ɪɢɫ. 4).
ɆɨɞɄ-07 ɋɜɹɡɚɧɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ
319
Ɋɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɟ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɟ ɜ ɥɸɛɨɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
ɥɟɝɤɨ ɩɨɫɬɪɨɢɬɶ ɩɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɩɚ-
ɪɚɥɥɟɥɨɝɪɚɦɦɚ
21
AAA
G
G
G
. Ɍɨ-
ɝɞɚ ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɫɭɦɦɚɪɧɨɝɨ ɜɟɤɬɨ-
ɪɚ
A
G
ɧɚ ɨɫɶ OX ɞɚɫɬ ɡɚɤɨɧ ɢɡɦɟ-
ɧɟɧɢɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɪɟɡɭɥɶɬɢ-
ɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ (ɪɢɫ. 4)
)(cos)( ttA
x
) .
ɂɡ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɨ-
ɫɬɪɨɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɦ ɮɚɡɭ
)(t) ɢ
ɚɦɩɥɢɬɭɞɭ
A
ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ
ɞɜɢɠɟɧɢɹ. Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ ɩɨɜɨɪɨ-
ɬɚ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɜɟɤɬɨɪɚ
)(cos)(cos
)(sin)(sin
)(cos
)(sin
)(tg
2211
2211
tAtA
tAtA
tA
tA
t
))
)
)
)
)
)
.
ɉɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɤɨɫɢɧɭɫɨɜ
)]()(cos[2
1221
2
2
2
1
2
ttAAAAA )) .
ɂɡɦɟɧɟɧɢɟ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ ɩɨ
ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ
)(tA ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɨɞɭɥɹɰɢɟɣ. ȿɫɥɢ ɦɨɞɭɥɹɰɢɹ
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɟɪɢɨɞɢɱɟɫɤɨɣ, ɬɨ ɤɪɚɬɱɚɣɲɟɟ ɜɪɟɦɹ ɦɟɠɞɭ ɞɜɭɦɹ ɨɞɢɧɚɤɨ-
ɜɵɦɢ ɩɨ ɮɚɡɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɚɦɩɥɢɬɭɞɵ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɩɟɪɢɨɞɨɦ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ
:
T . ȼɟɥɢɱɢɧɚ
:
S
:
T
2
, ɨɛɪɚɬɧɚɹ ɩɟɪɢɨɞɭ, ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɰɢɤɥɢɱɟɫɤɨɣ ɱɚɫ-
ɬɨɬɨɣ ɦɨɞɭɥɹɰɢɢ
.
________________
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɵ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ ɞɜɢ-
ɠɟɧɢɹ ɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ, ɤɨɝɞɚ ɨɛɚ ɦɚɹɬɧɢɤɨɜ ɧɚɱɢɧɚɸɬ ɞɜɢɝɚɬɶɫɹ
ɛɟɡ ɧɚɱɚɥɶɧɨɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ (
0
1
M , 0
2
M )
tAtAx
22111
coscos ZZ ,
tAtAx
22112
coscos ZZ .
Ɍɨɝɞɚ, ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɬɟɥɚ ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)(cos)(coscos
122111
ttCtAtAx ) ZZ
.
A
1
A
2
A
x
y
O
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Ɏ
1
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Ɏ
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(t)
A
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Ɏ
1
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t
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A
2
cos Ɏ
2
(
t
)
A cos Ɏ(t)
Ɋɢɫ. 4
Ʉɨɥɟɛɚɧɢɹ ɢ ɜɨɥɧɵ
320
ɉɨɞɫɬɚɜɢɦ
tt
11
)( Z ) , tt
22
)( Z ) ,
)0()0(
2
1
211
xxA ,
)0()0(
2
1
212
xxA
, ɩɨɥɭɱɢɦ ɚɦɩɥɢɬɭɞɭ ɪɟɡɭɥɶɬɢɪɭɸɳɟɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɜ
ɜɢɞɟ
)]()(cos[2
1221
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1
ttAAAAC )) =
=
>@
))cos(()0()0()0()0(
2
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2
2
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2
2
1
txxxx ZZ .
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɱɚɫɬɨɬ ɫɤɥɚɞɵɜɚɟɦɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɱɟɪɟɡ
21
ZZ Z' , ɚ ɩɨɥɭɫɭɦɦɭ ɱɚɫɬɨɬ – ɱɟɪɟɡ
)(
2
1
21
ZZ Z
. Ɍɨɝɞɚ
)cos()cos(
)sin()sin(
)(tg
2211
2211
tAtA
tAtA
t
ZZ
ZZ
)
=
=
)2/sin()sin()()2/cos()cos()(
)2/sin()cos()()2/cos()sin()(
2121
2121
ttAAttAA
ttAAttAA
Z'ZZ'Z
Z'
ZZ'Z
=
=
)tg(
tg)(tg1
tg)(tg
MZ
MZ
MZ
t
t
t
,
ɢɥɢ
MZ ) tt)( ,
ɝɞɟ
t
x
x
t
AA
AA
Z' Z'
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2
1
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2
2
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21
21
tg
)0(
)0(
tgtg
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɬɟɥɚ ɦɨɠɧɨ ɨɩɢɫɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸ-
ɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ
)cos()(
11
MZ ttCx
>@
)cos()cos()0()0()0()0(
2
1
2
2
2
1
2
2
2
11
MZZ' ttxxxxx
.
Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ ɱɬɨɛɵ ɨɩɢɫɚɬɶ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥɚ,
)cos(coscoscos
221122112
SZZ ZZ tAtAtAtAx .
ɬɚɤɠɟ ɜɨɫɩɨɥɶɡɭɟɦɫɹ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɞɢɚɝɪɚɦɦɨɣ, ɧɨ ɜɬɨɪɨɣ ɜɟɤɬɨɪ ɛɭɞɟɬ
ɢɦɟɬɶ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɭɸ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɮɚɡɭ ɪɚɜɧɭɸ
S. Ɍɨɝɞɚ ɞɥɹ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɜɬɨɪɨɝɨ ɬɟɥɚ ɦɨɠɧɨ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɚɦɩɥɢɬɭɞɭ
>@
))cos(()0()0()0()0(
2
1
21
2
2
2
1
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2
2
1
2
2
SZZ txxxxC
ɢ ɮɚɡɭ SMZ )
~
)( tt ,
ɝɞɟ
t
x
x
t
AA
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Z' Z'
M
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