Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере

Подождите немного. Документ загружается.

ɆɨɞɌ-04 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ

201

! 

)( vvvv dF .

ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ H ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɱɚɫɬɢ-

ɰɵ

vm H , ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɫɪɟɞɧɸɸ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ:

³³

 H! H

)(

)()( vvvvvv dFmdF .

ɂɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɩɨ ɬɚɤɨɦɭ ɢɧɬɟɪɜɚɥɭ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɨɩ-

ɪɟɞɟɥɟɧɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ (ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ).

ɇɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɡɚ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɧɨɫɹɬ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟ-

ɫɤɢɣ (ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɣ) ɯɚɪɚɤɬɟɪ. Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɧɵɟ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɢ ɦɨɝɭɬ

ɛɵɬɶ ɨɛɧɚɪɭɠɟɧɵ ɬɨɥɶɤɨ ɩɪɢ ɨɱɟɧɶ ɛɨɥɶɲɨɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ.

Ɉɞɧɚɤɨ, N ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɡɚ ɨɞɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɨɣ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨ

ɨɞɧɨɦɭ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɸ ɡɚ N ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɦɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦɢ

ɜɟɥɢɱɢɧɚɦɢ.

Ɍɚɤ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, N ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɡɚ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ ɨɞɧɨɣ ɦɨɥɟɤɭ-

ɥɵ ɝɚɡɚ ɫ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɨ ɨɞɧɨɦɭ ɨɩɵɬɭ, ɜ ɤɨɬɨ-

ɪɨɦ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɮɢɤɫɢɪɭɸɬɫɹ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ N ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɵɯ

ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɞɜɢɠɭɳɢɯɫɹ ɦɨɥɟɤɭɥ ɬɨɝɨ ɠɟ ɝɚɡɚ.

ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɦɢ, ɟɫɥɢ ɤɚɠɞɚɹ ɢɡ

ɧɢɯ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɫɜɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɨ ɨɬ ɨɫɬɚɥɶɧɵɯ. ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɚɦ

ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ

ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ, ɩɪɨɢɫ-

ɯɨɞɹɳɢɯ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ, ɩɟɪɟɦɧɨɠɚɸɬɫɹ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɜɟɪɨɹɬ-

ɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɜ ɤɚɤɨɦ-ɬɨ ɢɫɩɵɬɚ-

ɧɢɢ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ x ɞɨ x + dx, ɪɚɜɧɚ

dxxdP

)(I ,

ɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɞɪɭɝɚɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ Y ɩɪɢ

ɞɪɭɝɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ y ɞɨ y + dy, ɪɚɜɧɚ

dyydP

)(I , ɬɨɝɞɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ dP ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɛɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

ɩɪɢɦɭɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜ ɭɤɚɡɚɧɧɵɯ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚɯ ɩɪɢ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨɦ ɧɚɛɥɸɞɟ-

ɧɢɢ ɡɚ ɧɢɦɢ, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɤɚɤ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ

dydxyxdPdPdP

yxyx

)()( II 

ɝɞɟ

I ɢ

– ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ X ɢ Y, ɫɨɨɬ-

ɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ.

6.1.2. ȼɟɤɬɨɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ) ɬɚɤɠɟ ɤɚɤ ɢ ɜɟ-

ɪɨɹɬɧɨɫɬɶ – ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɫɤɚɥɹɪɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

202

ɉɭɫɬɶ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɚ R ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ

ɫɤɚɥɹɪ. ɇɟ-

ɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ,

ɱɬɨ ɷɬɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜ

ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ x ɞɨ x + dx. Ɍɨɝɞɚ ɢɧɬɟɪɟ-

ɫɭɸɳɢɟ ɧɚɫ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɥɟɠɚɬ ɜɧɭɬɪɢ ɧɟɤɨ-

ɬɨɪɨɝɨ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɞɥɢɧɨɣ dx. Ⱦɥɹ ɬɚɤɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢ-

ɧɵ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ I(x) – ɷɬɨ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ dP, ɩɪɢɯɨ-

ɞɹɳɟɟɫɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɱɧɵɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ dx:

x I )(

. Ɍɨɝɞɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ dP

ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ R ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ

[x, x + dx], ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɞɥɢɧɟ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ dx:

dP )(I

ɉɭɫɬɶ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɚ

ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɜɟɤɬɨɪ ɜ

ɞɜɭɦɟɪɧɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ

. ɇɟɨɛɯɨɞɢɦɨ

ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɷɬɚ ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ

ɨɬ

ɞɨ R

+ Rd

. Ɍɨɝɞɚ ɢɧɬɟɪɟɫɭɸɳɢɟ

ɧɚɫ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɥɟɠɚɬ ɜɧɭɬɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ

ɞɜɭɦɟɪɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɩɥɨɳɚɞɶɸ dS. Ⱦɥɹ

ɬɚɤɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ I(

) – ɷɬɨ ɢɡɦɟɧɟ-

ɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ dP, ɩɪɢɯɨɞɹɳɟɟɫɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɱɧɭɸ ɩɥɨɳɚɞɶ dS:

I )(

. Ɍɨɝɞɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ dP ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ

ɩɪɢ-

ɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [

, R

+ Rd

], ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɩɥɨɳɚɞɢ

dS, ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɤɨɬɨɪɨɣ ɦɨɝɭɬ ɥɟɠɚɬɶ ɢɧɬɟɪɟɫɭɸɳɢɟ ɧɚɫ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭ-

ɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ:

dSRdP )(

I .

ɉɭɫɬɶ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɚ

ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɜɟɤɬɨɪ ɜ

ɬɪɟɯɦɟɪɧɨɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ

. ɇɟɨɛɯɨɞɢ-

ɦɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɷɬɚ

ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚ-

ɥɟ ɨɬ

ɞɨ R

+ Rd

. Ɍɨɝɞɚ ɢɧɬɟɪɟɫɭɸɳɢɟ

ɧɚɫ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɥɟɠɚɬ ɜɧɭɬɪɢ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ

ɬɪɟɯɦɟɪɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɨɛɴɟɦɨɦ dV. Ⱦɥɹ

x x+dx

R+dR

ɆɨɞɌ-04 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ

203

ɬɚɤɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ I(

) – ɷɬɨ ɢɡɦɟɧɟ-

ɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ

dP, ɩɪɢɯɨɞɹɳɟɟɫɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɱɧɵɣ ɨɛɴɟɦ dV:

I )(

Ɍɨɝɞɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ

dP ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ R

ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚ-

ɱɟɧɢɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [

, R

+ Rd

], ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɨɛɴɟɦɭ dV, ɜ ɩɪɟɞɟ-

ɥɚɯ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɨɝɭɬ ɥɟɠɚɬɶ ɢɧɬɟɪɟɫɭɸɳɢɟ ɧɚɫ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɵ:

dVRdP )(

I .

6.2. Ɍɚɛɥɢɱɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ

dxe



( 0!a ),

dxxe



( 0!a ),

dxex



( 0!a ),

dxex



( 0!a ),

dxex



( 0!a ).

ɉɨ ɫɜɨɣɫɬɜɭ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɱɟɬɧɵɯ ɢ ɧɟɱɟɬɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɦɨɠɧɨ ɬɚɤɠɟ ɡɚɩɢ-

ɫɚɬɶ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɵɟ ɢɧɬɟɝɪɚɥɵ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (–f, f):

dxedxedxe

axaxax



³³³



f



f



222

(

0!a

222



³³³



f



f



dxxedxxedxxe

axaxax

(

0!a

dxexdxexdxex

axaxax



³³³



f



f



222

(

0!a

222



³³³



f



f



dxexdxexdxex

axaxax

(

0!a

dxexdxexdxex

axaxax



³³³



f



f



222

(

0!a

204

ɅȺȻɈɊȺɌɈɊɇȺə ɊȺȻɈɌȺ ʋ ɆɨɞɌ-05

ɉɈ ɂɁɍɑȿɇɂɘ ɆɈȾȿɅȿɃ ɎɂɁɂɑȿɋɄɂɏ

ɉɊɈɐȿɋɋɈȼ ɂ əȼɅȿɇɂɃ ɇȺ ɄɈɆɉɖɘɌȿɊȿ

Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ

ɐɟɥɶ ɪɚɛɨɬɵ: ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɧɚ ɩɪɢɦɟɪɟ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɜɡɜɟɲɟɧɧɵɯ ɱɚɫɬɢɰ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ ɜ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ. Ɉɩ-

ɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ.

1. Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ

Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ – ɷɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɨɩɢɫɵ-

ɜɚɸɳɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ ɦɨɥɟɤɭɥ ɢɞɟɚɥɶɧɨɝɨ ɝɚɡɚ ɨɬ ɜɵɫɨɬɵ

ɜ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɜ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɬɟɪɦɨɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ.

Ʉɨɝɞɚ ɧɚ ɦɨɥɟɤɭɥɵ ɝɚɡɚ ɧɟ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɜɧɟɲɧɢɟ ɫɢɥɵ, ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɨɟ

(ɬɟɩɥɨɜɨɟ) ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɬɨɦɭ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɢɰɵ ɝɚɡɚ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɸɬɫɹ ɩɨ ɨɛɴɟɦɭ ɫɨɫɭɞɚ, ɬɚɤ ɱɬɨ ɜ ɟɞɢɧɢɰɟ ɨɛɴɟɦɚ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ

ɜ ɫɪɟɞɧɟɦ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɟ ɱɢɫɥɨ ɱɚɫɬɢɰ. ȼ ɪɚɜɧɨɜɟɫɧɨɦ ɫɨɫɬɨɹɧɢɢ ɞɚɜɥɟɧɢɟ

ɢ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɝɚɡɚ ɬɚɤɠɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵ ɜɨ ɜɫɟɦ ɨɛɴɟɦɟ.

ȼɥɢɹɧɢɟ ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,

ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ, ɜ ɫɨɱɟɬɚɧɢɢ ɫ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɢɦ

ɞɜɢɠɟɧɢɟɦ ɦɨɥɟɤɭɥ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ ɧɟɪɚɜ-

ɧɨɦɟɪɧɨɦɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ

ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ. ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɷɬɨɦɭ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬɫɹ ɢ ɨɩɪɟ-

ɞɟɥɟɧɧɵɣ ɡɚɤɨɧ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ

ɦɨɥɟɤɭɥ ɢ ɞɚɜɥɟɧɢɹ

ɝɚɡɚ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɝɚɡ, ɧɚɯɨɞɹɳɢɣɫɹ ɜ

ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ, ɜ ɫɨɫɬɨɹɧɢɢ ɬɟɪɦɨ-

ɞɢɧɚɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ. Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢ-

ɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɝɚɡɚ

ɜɟɡɞɟ ɨɞɢɧɚɤɨɜɚ.

ɉɭɫɬɶ ɝɚɡ ɩɨɦɟɳɟɧ ɜ ɫɨɫɭɞ ɫ ɩɥɨɳɚɞɶɸ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ S.

ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ ɉɚɫɤɚɥɹ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɝɚɡɚ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ

ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɜɟɫɨɦ

ɫɬɨɥɛɚ ɝɚɡɚ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɨɝɨ ɜɵɲɟ, ɩɪɢɯɨɞɹɳɢɦɫɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɩɥɨɳɚɞɢ

(ɪɢɫ. 1). ȼ ɨɩɢɫɚɧɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɜɟɫ ɝɚɡɚ ɪɚɜɟɧ ɫɢɥɟ ɬɹɠɟɫɬɢ ɝɚɡɚ M

, ɝɞɟ M

– ɦɚɫɫɚ ɝɚɡɚ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɨɝɨ ɜɵɲɟ ɭɪɨɜɧɹ h.

ɇɚɞ ɭɪɨɜɧɟɦ

dhh  ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɨ ɦɟɧɶɲɟ ɝɚɡɚ

ɝɝ

dMM  , ɩɨɷɬɨɦɭ

ɞɚɜɥɟɧɢɟ

dpp 

ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ

dhh 

ɪɚɜɧɨ

p+dp

Ɋɢɫ. 1

ɆɨɞɌ-05 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ

205

gdMM

dpp

ɝɝ

)( 



ɝɞɟ

dM – ɦɚɫɫɚ ɝɚɡɚ, ɡɚɤɥɸɱɟɧɧɨɝɨ ɜ ɨɛɴɟɦɟ SdhdV . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ,

ɫ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ ɜɵɫɨɬɵ ɧɚ

ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɧɚ

pdppdp  )(

gdM



Ɇɚɫɫɚ ɝɚɡɚ

– ɟɫɬɶ ɫɭɦɦɚɪɧɚɹ ɦɚɫɫɚ ɜɫɟɯ ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ, ɧɚɯɨ-

ɞɹɳɢɯɫɹ ɜ ɨɛɴɟɦɟ

SdhdV . ȿɫɥɢ ɦɚɫɫɚ ɨɞɧɨɣ ɦɨɥɟɤɭɥɵ ɪɚɜɧɚ m, ɚ dN

– ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɦɨɥɟɤɭɥ ɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɦ ɨɛɴɟɦɟ, ɬɨ

dNmdM

. Ʉɨ-

ɥɢɱɟɫɬɜɨ ɦɨɥɟɤɭɥ ɪɚɜɧɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɸ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ ɦɨɥɟɤɭɥ n ɧɚ ɨɛɴ-

ɟɦ dV. Ɍɨɝɞɚ

dhSnmdNmdM

ɋ ɞɪɭɝɨɣ ɫɬɨɪɨɧɵ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɦɨɥɟɤɭɥɹɪɧɨ-ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɬɟɨɪɢɢ

ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɝɚɡɚ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɟɝɨ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɟɣ

p (k – ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ

Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ). ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɟ (T = const)

ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɞɚɜɥɟɧɢɹ

dp ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɡɚ ɫɱɟɬ ɢɡɦɟɧɟɧɢɹ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚ-

ɰɢɢ:

dnk

dp .

ɉɨɞɫɬɚɜɢɜ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ

ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

gdM

 ,

ɜɵɜɟɞɟɧɧɨɟ ɢɡ ɡɚɤɨɧɚ ɉɚɫɤɚɥɹ, ɩɨɥɭɱɢɦ

gdM

 

mgnSdh

kTdn 

 dh

 .

ȿɫɥɢ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ

0 h

ɪɚɜɧɚ

n , ɬɨ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ

ɨɬ 0 ɞɨ h ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

³³



 h

nn  

lnln

ɢɥɢ



Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ ɜ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ

ɭɛɵɜɚɟɬ ɫ ɪɨɫɬɨɦ ɜɵɫɨɬɵ ɩɨ ɷɤɫɩɨɧɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ (ɪɢɫ. 3). Ⱥ ɬɚɤ

ɤɚɤ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ, ɬɨ ɢ ɞɚɜɥɟɧɢɟ ɝɚɡɚ ɭɛɵ-

ɜɚɟɬ ɫ ɜɵɫɨɬɨɣ ɩɨ ɬɨɦɭ ɠɟ ɡɚɤɨɧɭ.

ȼɟɥɢɱɢɧɚ

mgh ɜ ɩɨɤɚɡɚɬɟɥɟ ɷɤɫɩɨɧɟɧɬɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɩɨ-

ɬɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɨɞɧɨɣ ɦɨɥɟɤɭɥɵ ɝɚɡɚ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ

h. ɉɨɷɬɨɦɭ ɩɨ-

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

206

ɥɭɱɟɧɧɚɹ ɮɨɪɦɭɥɚ ɭɫɬɚɧɚɜɥɢɜɚɟɬ ɜɡɚɢɦɨɫɜɹɡɶ ɦɟɠɞɭ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɟɣ

ɦɨɥɟɤɭɥ (ɱɚɫɬɢɰ) ɫ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ

mghU ɢ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɟɣ

n ɱɚɫɬɢɰ ɫ ɷɧɟɪɝɢɟɣ ɪɚɜɧɨɣ ɧɭɥɸ. ɇɟɬ ɧɢɤɚɤɢɯ ɨɫɧɨɜɚɧɢɣ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ

ɩɨɜɟɞɟɧɢɟ ɝɚɡɚ ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɜɦɟɫɬɨ ɩɨɥɹ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɧɚ ɧɟɝɨ ɛɭɞɟɬ

ɞɟɣɫɬɜɨɜɚɬɶ ɤɚɤɨɟ-ɥɢɛɨ ɞɪɭɝɨɟ ɤɨɧɫɟɪɜɚɬɢɜɧɨɟ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɩɨɥɟ, ɚ

ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɷɧɟɪɝɢɢ ɛɭɞɟɬ ɢɦɟɬɶ ɞɪɭɝɨɣ ɜɢɞ.

ɉɨɷɬɨɦɭ ɟɫɥɢ ɝɚɡ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɤɚɤɨɦ-ɧɢɛɭɞɶ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦ ɫɢɥɨ-

ɜɨɦ ɩɨɥɟ, ɬɨ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɱɚɫɬɢɰ,

ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ

ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ



ɤɨɬɨɪɚɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ (ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ).

ɉɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ-

ɧɢɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɦ ɤɨɧɤɭ-

ɪɟɧɰɢɢ ɞɜɭɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ (ɜ ɩɨɤɚ-

ɡɚɬɟɥɟ ɷɤɫɩɨɧɟɧɬɵ): ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɨ-

ɝɨ (ɬɟɩɥɨɜɨɝɨ) ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɦɨɥɟ-

ɤɭɥ, ɫɬɪɟɦɹɳɟɝɨɫɹ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ ɜ ɩɪɨ-

ɫɬɪɚɧɫɬɜɟ, ɢ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɨɝɨ ɞɟɣ-

ɫɬɜɢɹ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɹ,

ɫɬɪɟɦɹɳɟɝɨɫɹ ɭɦɟɧɶɲɢɬɶ ɩɨɬɟɧ-

ɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɱɚɫɬɢɰ. ɋ

ɪɨɫɬɨɦ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ

U ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ

(ɩɪɢ

kT = const), ɚ ɫ ɪɨɫɬɨɦ ɷɧɟɪɝɢɢ kT ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɨɝɨ (ɬɟɩɥɨɜɨɝɨ) ɞɜɢɠɟ-

ɧɢɹ – ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬɫɹ (ɩɪɢ

U = const).

ɉɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚɯ

ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ

)(Unn

ɨɬ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ ɢɦɟɟɬ ɛɨɥɟɟ ɩɥɚɜɧɵɣ ɜɢɞ (ɪɢɫ. 2),

ɱɟɦ ɩɪɢ ɦɚɥɵɯ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚɯ

. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ ɬɟɦɩɟɪɚ-

ɬɭɪɚɯ

ɭɜɟɥɢɱɢɜɚɟɬɫɹ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɫ ɜɵɫɨɤɨɣ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ

ɷɧɟɪɝɢɟɣ. ɉɨɜɵɲɟɧɢɟ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ

T ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɱɚɫɬɢɰɚɦ ɩɪɢɨɛɪɟɫɬɢ

ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɭɸ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɢ

U. ȼ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɩɨ-

ɥɹ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɷɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɛɨɥɶɲɢɯ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚɯ ɱɚɫɬɢɰɵ

ɦɨɝɭɬ ɩɨɞɧɹɬɶɫɹ ɧɚ ɛɨɥɶɲɭɸ ɜɵɫɨɬɭ

Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɸ

ɱɚɫɬɢɰ ɧɚ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɜɵɫɨɬɟ – ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɟɞɢɧɢɰɟ ɨɛɴɟɦɚ. Ɋɚɫ-

ɫɦɨɬɪɢɦ ɢɞɟɚɥɶɧɵɣ ɝɚɡ, ɩɨɦɟɳɟɧɧɵɣ ɜ ɫɨɫɭɞ ɫ ɩɥɨɳɚɞɶɸ ɨɫɧɨɜɚɧɢɹ

ɩɪɢ T

> T

Ɋɢɫ. 2

ɆɨɞɌ-05 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ

207

(ɪɢɫ. 1). ɇɚ ɜɵɫɨɬɟ

h ɜɵɞɟɥɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬɚɪɧɵɣ ɨɛɴɟɦ SdhdV . Ʉɨɥɢɱɟ-

ɫɬɜɨ

dN ɦɨɥɟɤɭɥ (ɱɚɫɬɢɰ) ɜ ɷɬɨɦ ɨɛɴɟɦɟ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɜɟɥɢɱɢɧɟ

ɨɛɴɟɦɚ ɢ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ ɱɚɫɬɢɰ

dVnd

ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɪɚɫɩɪɟɞɟ-

ɥɟɧɢɟ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɢ

n ɩɨɞɱɢɧɹ-

ɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ, ɚ ɜ ɨɞ-

ɧɨɪɨɞɧɨɦ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ

ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ ɱɚɫɬɢɰ

ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɵɫɨɬɵ

mghU

, ɩɨ-

ɥɭɱɢɦ

dhSndN



ɑɬɨɛɵ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɤɨɥɢɱɟ-

ɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ

, ɧɚɯɨɞɹɳɢɯɫɹ ɜ

ɫɥɨɟ ɦɟɠɞɭ ɭɪɨɜɧɹɦɢ

ɢ h

, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ

ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ

h ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ h

ɞɨ h





³³

eee

SndhSndNN

ɋ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ

ɜ ɫɥɨɟ ɦɟ-

ɠɞɭ ɭɪɨɜɧɹɦɢ

ɢ h

– ɷɬɨ ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɞ ɤɪɢɜɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [

, h

] (ɪɢɫ. 3).

Ɉɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɱɚɫɬɢɰ

N ɜ ɫɨɫɭɞɟ ɧɟɨɝɪɚɧɢɱɟɧɧɨɣ ɜɵɫɨɬɵ (

) ɪɚɜɧɨ

SndhSnN



SnN

Ɍɨɝɞɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ

ɜ ɫɥɨɟ ɦɟɠɞɭ ɭɪɨɜɧɹɦɢ h

ɢ h

ɦɨɠɧɨ

ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ





ɝɞɟ

N – ɨɛɳɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ.

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɦɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ

[0, h]

ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ,

ɧɚɯɨɞɹɳɢɯɫɹ ɜ ɫɥɨɟ ɨɬ 0 ɞɨ

h, ɪɚɜɧɨ

0 h

Ɋɢɫ. 3

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

208



 h

NN e1

],0[

ɂɡ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɨɛɳɟɝɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɦɨɥɟɤɭɥ

SnN

ɜɢɞ-

ɧɨ, ɱɬɨ

SkT

. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɨɛɳɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ N ɦɨɥɟɤɭɥ

ɝɚɡɚ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɨ, ɬɨ ɫ ɪɨɫɬɨɦ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ

T ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɱɚɫɬɢɰ n

ɧɚ ɧɭɥɟɜɨɣ ɜɵɫɨɬɟ

0 h (ɫ ɧɭɥɟɜɨɣ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ 0 U )

ɭɦɟɧɶɲɚɟɬɫɹ (ɪɢɫ. 2), ɚ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ

n ɱɚɫɬɢɰ ɧɚ ɛɨɥɶɲɢɯ ɜɵɫɨɬɚɯ –

ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ.

ɋɪɚɜɧɢɜɚɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɨɜ ɪɚɡɥɢɱɧɨɣ

ɦɚɫɫɵ

m, ɦɨɠɧɨ ɡɚɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɱɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɦɚɫɫɚ m ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ, ɬɟɦ

ɛɨɥɶɲɟ ɢɯ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ

ɧɚ ɧɭɥɟɜɨɣ ɜɵɫɨɬɟ. ɋ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ ɦɚɫɫɵ

ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɬɚɤɠɟ ɢ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɚɹ ɷɧɟɪɝɢɹ

mghU

ɱɚɫɬɢɰ. ɋɥɟɞɨɜɚ-

ɬɟɥɶɧɨ, ɧɚɛɥɸɞɚɟɬɫɹ ɛɨɥɟɟ ɪɟɡɤɨɟ ɭɛɵɜɚɧɢɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɚɫɬɢɰ ɫ ɜɵɫɨ-

ɬɨɣ.

Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɦɨɥɟɤɭɥ ɝɚɡɚ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ ɜ ɩɨɬɟɧɰɢ-

ɚɥɶɧɨɦ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɝɚɡɚ ɢ ɦɚɫɫɵ ɦɨɥɟ-

ɤɭɥ.

2. Ɋɚɛɨɱɢɟ ɮɨɪɦɭɥɵ

Ɍɪɭɞɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢ-

ɦɟɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɪɚɫ-

ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɡɚ-

ɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɦɨɥɟ-

ɤɭɥɵ ɝɚɡɨɜ ɧɟɜɢɞɢɦɵ ɜ

ɦɢɤɪɨɫɤɨɩ ɢ ɢɡɦɟɪɟɧɢɟ ɢɯ

ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɣ ɧɚ ɪɚɡɧɵɯ

ɜɵɫɨɬɚɯ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ. ȼ

1908–10 ɝɝ. ɀ. ɉɟɪɪɟɧ

ɩɪɟɞɥɨɠɢɥ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ,

ɩɨɡɜɨɥɢɜɲɢɣ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɢɡɭɱɢɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ, ɧɨ ɧɚ ɟɝɨ

ɨɫɧɨɜɟ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨɫɬɨɹɧɧɭɸ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ. ɂɡɜɟɫɬɧɵɟ ɤ ɷɬɨɦɭ ɜɪɟɦɟɧɢ

ɨɩɵɬɵ

ɫ ɛɪɨɭɧɨɜɫɤɢɦ ɞɜɢɠɟɧɢɟɦ ɩɨɤɚɡɚɥɢ, ɱɬɨ ɧɟɛɨɥɶɲɢɟ ɜɡɜɟɲɟɧɧɵɟ

ɜ ɠɢɞɤɨɫɬɢ ɱɚɫɬɢɰɵ ɦɨɠɧɨ ɬɪɚɤɬɨɜɚɬɶ, ɤɚɤ ɧɟɜɡɚɢɦɨɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɟ ɦɨ-

ɥɟɤɭɥɵ ɨɱɟɧɶ ɛɨɥɶɲɢɯ ɪɚɡɦɟɪɨɜ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɦɨɠɧɨ ɨɠɢɞɚɬɶ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɢɰɵ

ɬɢɩɚ ɛɪɨɭɧɨɜɫɤɢɯ, ɜɡɜɟɲɟɧɧɵɟ ɜ ɠɢɞɤɨɫɬɢ, ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟ-

Ɇɢɤɪɨɫɤɨɩ

ɗɦɭɥɶɫɢɹ

Ɋɢɫ. 4

ɆɨɞɌ-05 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ

209

ɫɬɢ ɛɭɞɭɬ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɹɬɶɫɹ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ ɬɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɦɨɥɟɤɭɥɵ ɝɚɡɚ, ɬ.ɟ. ɩɨ

ɡɚɤɨɧɭ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ.

Ⱦɥɹ ɢɡɭɱɟɧɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɀ. ɉɟɪɪɟɧ ɩɪɢɝɨɬɨɜɢɥ

ɷɦɭɥɶɫɢɸ, ɪɚɫɬɜɨɪɢɜ ɜ ɠɢɞɤɨɫɬɢ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɟ

ɱɚɫɬɢɰɵ ɝɭɦɦɢɝɭɬɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɝɨ ɞɢɚɦɟɬɪɚ. ɑɬɨɛɵ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ

ɬɹɠɟɫɬɢ ɱɚɫɬɢɰɵ ɧɟ ɨɫɟɞɚɥɢ ɧɚ ɞɧɨ ɤɸɜɟɬɵ, ɚ ɨɫɬɚɜɚɥɢɫɶ ɜɡɜɟɲɟɧɧɵɦɢ

ɜ ɠɢɞɤɨɫɬɢ, ɨɧɢ

ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɦɚɥɵ (ɞɢɚɦɟɬɪ ɦɟɧɟɟ

0,5 ɦɤɦ). ɉɨɷɬɨɦɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɱɚɫɬɢɰ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɥɨɫɶ ɩɨɞ

ɦɢɤɪɨɫɤɨɩɨɦ. Ʉɸɜɟɬɭ ɫ ɷɦɭɥɶɫɢɟɣ (ɜɡɜɟɲɟɧɧɵɦɢ ɜ ɠɢɞɤɨɫɬɢ ɱɚɫɬɢɰɚ-

ɦɢ) ɢ ɦɢɤɪɨɫɤɨɩ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɩɨɥɨɠɢɬɶ ɞɜɭɦɹ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ (ɪɢɫ. 4): ɤɸɜɟɬɚ

ɫ ɷɦɭɥɶɫɢɟɣ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨ, ɚ ɦɢɤɪɨɫɤɨɩ – ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨ;

ɢɥɢ ɧɚɨɛɨɪɨɬ, ɤɸɜɟɬɚ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨ, ɚ ɦɢɤɪɨɫɤɨɩ – ɜɟɪ-

ɬɢɤɚɥɶɧɨ. ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ

, ɱɬɨɛɵ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɟ

ɧɚ ɪɚɡɧɵɯ ɜɵɫɨɬɚɯ, ɩɟɪɟɦɟɳɚɸɬ ɨɤɭɥɹɪ ɦɢɤɪɨɫɤɨɩɚ, ɚ ɜɨ ɜɬɨɪɨɦ – ɢɡ-

ɦɟɧɹɸɬ ɮɨɤɭɫɢɪɨɜɤɭ. ɉɟɪɪɟɧ ɜ ɫɜɨɢɯ ɨɩɵɬɚɯ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɥ ɨɛɚ ɫɩɨɫɨɛɚ.

ȼ ɞɚɧɧɨɣ ɪɚɛɨɬɟ ɤɸɜɟɬɚ ɫ ɠɢɞɤɨɫɬɶɸ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɚ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨ, ɚ ɦɢɤ-

ɪɨɫɤɨɩ – ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨ.

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɞɥɹ ɱɚɫɬɢɰ, ɜɡɜɟɲɟɧɧɵɯ ɜ

ɠɢɞɤɨɫɬɢ. ɋɢɥɚ Ⱥɪɯɢɦɟɞɚ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɚɹ ɧɚ ɱɚɫɬɢɰɭ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ

U ɜ

ɠɢɞɤɨɫɬɢ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ

, ɭɦɟɧɶɲɚɟɬ ɫɢɥɭ ɬɹɠɟɫɬɢ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ

ɜɟɫɭ ɜɵɬɟɫɧɟɧɧɨɣ ɟɸ ɠɢɞɤɨɫɬɢ

g (m

= V

– ɦɚɫɫɚ ɠɢɞɤɨɫɬɢ, ɡɚ-

ɤɥɸɱɟɧɧɚɹ ɜ ɨɛɴɟɦɟ ɱɚɫɬɢɰɵ

). Ɍ.ɟ. ɫɢɥɚ Ⱥɪɯɢɦɟɞɚ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɤ

ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɸ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɨɣ ɷɧɟɪɝɢɢ

ɱɚɫɬɢɰɵ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ

ghVhgmmgU

ɀɀ

)()(

UU  .

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɛɥɚɝɨɞɚɪɹ ɫɢɥɟ Ⱥɪɯɢɦɟɞɚ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɛɪɨɭɧɨɜ-

ɫɤɢɯ ɱɚɫɬɢɰ ɧɟ ɬɚɤ ɛɵɫɬɪɨ ɛɭɞɟɬ ɭɛɵɜɚɬɶ ɫ ɜɵɫɨɬɨɣ, ɤɚɤ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ

ɜɨɡɞɭɯɟ.

ȿɫɥɢ ɛɪɨɭɧɨɜɫɤɢɟ ɱɚɫɬɢɰɵ ɢɦɟɸɬ ɫɮɟɪɢɱɟɫɤɭɸ ɮɨɪɦɭ, ɬɨ ɨɛɴɟɦ

rV S (ɝɞɟ r – ɪɚɞɢɭɫ ɱɚɫɬɢɰɵ). Ɍɨɝɞɚ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ

ɜɡɜɟɲɟɧɧɨɣ ɱɚɫɬɢɰɵ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ

ghrU

)(

UUS

ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ ɞɥɹ ɷɧɟɪɝɢɢ ɜ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ

Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ, ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɜ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɡɚ-

ɜɢɫɢɬ ɨɬ ɜɵɫɨɬɵ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:

)(4

UUS



Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

210

Ⱦɥɹ ɭɩɪɨɳɟɧɢɹ ɡɚɩɢɫɟɣ ɩɪɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɢɯ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹɯ ɜɜɟɞɟɦ

ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɟ

)(4

)(

UUS

Ɍɨɝɞɚ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɩɪɢɦɟɬ ɜɢɞ:

)(



Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɚɹ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɹ (ɞɨɥɹ)

ɱɚɫɬɢɰ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ h:

)(

ɉɪɨɥɨɝɚɪɢɮɦɢɪɭɟɦ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɟ:

)(

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɱɚɫɬɢɰ ɩɨ ɜɵɫɨɬɟ ɩɨɞɱɢɧɹɟɬ-

ɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ, ɬɨ ɥɨɝɚɪɢɮɦ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚ-

ɰɢɢ ɞɨɥɠɟɧ ɥɢɧɟɣɧɨ ɡɚɜɢɫɟɬɶ ɨɬ ɜɵɫɨɬɵ. Ɍɚɤɚɹ ɧɟɫɥɨɠɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ

ɩɪɟɞɨɫɬɚɜɥɹɟɬ ɦɟɬɨɞ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ k.

ɉɨɫɬɨɹɧɧɭɸ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ, ɡɧɚɹ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚɰɢɸ

ɱɚɫɬɢɰ ɧɚ ɞɜɭɯ ɭɪɨɜɧɹɯ n ɢ n

, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɵɯ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ h ɨɞɢɧ ɨɬɧɨɫɢ-

ɬɟɥɶɧɨ ɞɪɭɝɨɝɨ, ɩɪɢ ɡɚɞɚɧɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɟ T

hTC

)(

Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɦɨɠɧɨ ɢɫ-

ɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɝɪɚɮɢɤ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɥɨɝɚɪɢɮɦɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɣ ɤɨɧɰɟɧɬɪɚ-

ɰɢɢ ɨɬ ɜɵɫɨɬɵ. Ʉɚɤ ɛɵɥɨ ɩɨɤɚɡɚɧɨ ɜɵɲɟ, ɷɬɚ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɧɨɫɢɬ ɥɢɧɟɣ-

ɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ ɧɚɤɥɨɧɚ

Dtg ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧ-

ɬɚɥɶɧɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɟɧ

)(

. Ɍɨɝɞɚ

)(

ȼɵɩɨɥɧɹɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɟ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ, ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɨɦɧɢɬɶ,

ɱɬɨ ɛɪɨɭɧɨɜɫɤɢɟ ɱɚɫɬɢɰɵ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɜ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ, ɧɨ

ɢ ɞɜɢɠɭɬɫɹ ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɢ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɧɚ ɞɚɧɧɨɣ ɜɵɫɨɬɟ

ɦɨɠɟɬ ɤɨɥɟɛɚɬɶɫɹ. Ⱥ ɡɚɤɨɧ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɫɹ ɤ ɫɬɚɬɢ-

ɫɬɢɱɟɫɤɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɹɦ ɢ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜ ɩɪɢ ɭɫɪɟɞɧɟɧɢɢ ɛɨɥɶɲɨɝɨ

ɱɢɫɥɚ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ.