Ревинская О.Г., Кравченко Н.С. Изучение моделей физических процессов и явлений на компьютере

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ɆɨɞɌ-04 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ

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32. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ

«ɝɚɡɚ».

33. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɤɚɤ ɜ ɩɭɧɤɬɚɯ 13–24.

34. ɍɦɟɧɶɲɢɬɟ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ «ɝɚɡɚ» ɜ 2 ɪɚɡɚ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɩɟɪ-

ɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɣ.

35. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (13-24 ɩɭɧɤɬɵ).

36. ɍɦɟɧɶɲɢɬɟ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ «ɝɚɡɚ» ɜ 3 ɪɚɡɚ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɩɟɪ-

ɜɨɧɚɱɚɥɶɧɨɣ.

37. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (13-24 ɩɭɧɤɬɵ).

38. ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɣɬɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɢ ɫɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.

ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 3. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ

ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ ɨɬ

ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ.

39. ȼɵɛɟɪɢɬɟ «ɝɚɡ» ɫ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɣ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɦɚɫɫɨɣ ɱɚɫɬɢ-

ɰɵ.

40. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ

«ɝɚɡɚ».

41. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɭɝɥɚ ɜɵɥɟɬɚ ɱɚɫɬɢɰ ɢɡ ɪɟɡɟɪ-

ɜɭɚɪɚ (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɹ).

42. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɤɚɤ ɜ ɩɭɧɤɬɚɯ 13–24.

43. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɟɳɟ ɞɥɹ ɞɜɭɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɭɝɥɚ ɜɵɥɟɬɚ

ɱɚɫɬɢɰ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ.

44. ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɣɬɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɢ ɫɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.

45. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ.

46. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɸɸ ɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɢ.

4.2. Ⱦɟɬɚɥɶɧɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɯɨɞɚ ɪɚɛɨɬɵ

ɉɪɢ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɪɚɛɨɬɵ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɚɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚ-

ɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɞɟɣɫɬɜɢɣ:

Ɉɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ (ɩɨɞɝɨɬɨɜɢɬɟɥɶɧɵɣ ɷɬɚɩ)

ȼ ɨɬɤɪɵɬɨɟ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɦɨɝɭɬ ɜɵɥɟɬɟɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɱɚɫɬɢɰɵ, ɨɤɚɡɚɜ-

ɲɢɟɫɹ ɜɛɥɢɡɢ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ. Ʉɪɨɦɟ ɬɨɝɨ, ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɷɬɢɯ ɱɚɫɬɢɰ ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɧɚɩɪɚɜɥɟ-

ɧɵ ɜ ɫɬɨɪɨɧɭ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ. ɑɚɫɬɢɰɵ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɞɜɢɠɭɬɫɹ ɯɚɨɬɢɱɧɨ, ɩɨɷɬɨɦɭ ɨɧɢ ɛɭ-

ɞɭɬ ɜɵɥɟɬɚɬɶ ɢɡ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɧɟɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ. ɑɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɱɚɫɬɢɰ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɜɛɥɢɡɢ ɨɬ-

ɜɟɪɫɬɢɹ ɜ

ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɬɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɜɵɥɟɬɢɬ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ.

ȿɫɥɢ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɨɬɤɪɵɬɶ ɧɚ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɟ ɜɪɟɦɹ, ɩɨɫɬɟɩɟɧɧɨ ɤɨɥɢ-

ɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɛɭɞɟɬ ɭɦɟɧɶɲɚɬɶɫɹ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɛɭɞɟɬ ɭɦɟɧɶɲɚɬɶɫɹ ɢ ɜɟɪɨ-

ɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɤɨɥɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɜ ɞɚɧɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ

ɱɚɫɬɢɰɚ. ɉɨɬɨɤ ɱɚɫɬɢɰ, ɜɵɥɟɬɟɜɲɢɯ ɢɡ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ, ɫɨ ɜɪɟɦɟɧɟɦ

ɛɭɞɟɬ ɭɦɟɧɶɲɚɬɶɫɹ.

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

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Ⱦɥɹ ɭɫɩɟɲɧɨɝɨ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ, ɧɚ ɤɚɤɨɟ

ɜɪɟɦɹ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɨɬɤɪɵɜɚɬɶ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ. ȿɫɥɢ ɜɪɟɦɹ ɛɭɞɟɬ ɜɵɛɪɚɧɨ

ɫɥɢɲɤɨɦ ɦɚɥɟɧɶɤɨɟ, ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɜɵɥɟɬɢɬ ɦɚɥɨ ɱɚɫɬɢɰ. Ɍɨɝɞɚ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɤɨ-

ɥɢɱɟɫɬɜɨɦ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɨɞɧɨɣ ɹɱɟɣɤɟ, ɩɨɹɜɥɟɧɢɟ ɨɞɧɨɣ ɱɚɫɬɢɰɵ ɛɭɞɟɬ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ

ɜɥɢɹɬɶ ɧɚ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɜ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ.

ȿɫɥɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɵɥɟɬɚɸɳɢɯ ɱɚɫɬɢɰ ɦɧɨɝɨ ɦɟɧɶɲɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɜɵɥɟɬɟɜɲɢɯ

ɱɚɫɬɢɰ, ɬɨ ɨɧɢ ɭɠɟ ɧɟ ɫɦɨɝɭɬ ɨɤɚɡɚɬɶ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨɝɨ ɜɥɢɹɧɢɹ ɧɚ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɪɚɫ-

ɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ.

ȼ ɪɚɡɧɵɯ ɹɱɟɣɤɚɯ ɛɭɞɟɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɪɚɡɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ. ȿɫɥɢ ɦɚɤɫɢ-

ɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɹɱɟɟɤ ɨɤɨɥɨ 50, ɬɨ ɜ ɫɨɫɟɞɧɢɯ ɹɱɟɣɤɚɯ ɱɚɫɬɢɰ

ɛɭɞɟɬ ɦɟɧɶɲɟ (20, 30 ɢ ɬ.ɞ.) ɉɨɹɜɥɟɧɢɟ 1-2 ɱɚɫɬɢɰ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ 30–50 ɭɠɟ ɧɚɯɨ-

ɞɹɳɢɦɢɫɹ ɜ ɹɱɟɣɤɟ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ ɧɟɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɵɦ. ȿɫɥɢ ɧɚɣɬɢ ɜɪɟɦɹ, ɡɚ ɤɨɬɨɪɨɟ

ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɹɱɟɟɤ ɫɬɚɧɟɬ ɪɚɜɧɵɦ 50–55, ɬɨ ɩɨɹɜɥɟ-

ɧɢɟ ɧɨɜɵɯ ɱɚɫɬɢɰ ɫɬɚɧɟɬ ɧɟɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɵɦ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɷɬɨɣ ɹɱɟɣɤɢ, ɧɨ ɢ ɞɥɹ

ɛɨɥɶɲɢɧɫɬɜɚ ɫɨɫɟɞɧɢɯ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɧɚɣɬɢ ɬɚɤɨɣ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɜ ɬɟɱɟ-

ɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɹɱɟɟɤ ɫɬɚɧɟɬ ɪɚɜɧɵɦ 50–

55.

1. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɱɚɫɬɢɰɵ» ɦɨɠɧɨ ɢɡɦɟɧɹɬɶ ɦɚɫɫɭ

ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ 10 ɞɨ 40 ɝ. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ.

2. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɱɟɬɱɢɤɚ «ɗɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ» ɦɨɠɧɨ ɢɡɦɟɧɹɬɶ

ɫɪɟɞɧɸɸ ɤɢɧɟɬɢɱɟɫɤɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɱɚɫɬɢɰ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨ ɚɧɚɥɨɝɢɢ ɫ ɬɟɩɥɨɜɨɣ ɷɧɟɪɝɢɟɣ

ɯɚɨɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɦɨɥɟɤɭɥ ɜɵɪɚɠɟɧɚ ɜ Ʉɟɥɶɜɢɧɚɯ, ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ

ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɝɚɡɚ. ȼ ɪɚɛɨɬɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɭɸ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɦɨɠɧɨ ɢɡɦɟ-

ɧɹɬɶ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ (250–1200) 10

Ʉ. ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ.

3. Ɋɟɡɟɪɜɭɚɪ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ «ɝɚɡ» ɢɦɟɟɬ ɮɨɪɦɭ ɫɮɟɪɵ. ȼ ɧɟɦ ɢɦɟɟɬɫɹ

ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɧɨ ɩɟɪɟɦɟɳɚɬɶ ɩɨ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɜɞɨɥɶ ɨɞɧɨɝɨ ɢɡ

ɟɝɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɵɯ ɫɟɱɟɧɢɣ. ɉɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɡɚɞɚɟɬɫɹ ɜ ɩɨɥɹɪɧɵɯ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚɯ

(ɪɚɞɢɭɫɨɦ ɫɮɟɪɵ ɢ ɭɝɥɨɦ). ɍɝɨɥ, ɩɨɞ ɤɨɬɨɪɵɦ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɨ ɧɚ ɫɮɟɪɟ, ɫɨ-

ɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɭɝɥɭ, ɩɨɞ ɤɨɬɨɪɵɦ ɱɚɫɬɢɰɵ ɛɭɞɭɬ ɜɵɥɟɬɚɬɶ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ

ɫɱɟɬɱɢɤɚ «ɍɝɨɥ» ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɦɨɠɧɨ ɦɟɧɹɬɶ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ 0 ɞɨ 180q ɨɬɧɨ-

ɫɢɬɟɥɶɧɨ ɥɢɧɢɢ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚ. Ɋɚɫɩɨɥɨɠɢɬɟ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɩɨɞ ɭɝɥɨɦ 45q. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜ ɦɨ-

ɦɟɧɬ ɜɵɥɟɬɚ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɱɚɫɬɢɰ ɬɚɤɠɟ ɛɭɞɭɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɵ ɩɨɞ ɭɝɥɨɦ 45q,

ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɱɚɫɬɢɰɵ ɛɭɞɭɬ

ɢɦɟɬɶ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɭɸ ɞɚɥɶɧɨɫɬɶ ɩɨɥɟɬɚ ɜ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ

ɬɹɠɟɫɬɢ.

4. ȼɵɥɟɬɟɜ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ, ɱɚɫɬɢɰɵ ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ ɩɚɞɚɸɬ ɧɚ

ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɪɚɫɫɬɨɹɧɢɢ ɨɬ ɧɟɝɨ. Ƚɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɚɹ ɩɨ-

ɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɜɩɪɚɜɨ ɢ ɜɥɟɜɨ ɨɬ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɡɚɩɨɥɧɟɧɚ ɹɱɟɣɤɚɦɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɞɥɢɧɵ. Ʉɨ-

ɥɢɱɟɫɬɜɨ ɹɱɟɟɤ, ɜɢɞɢɦɵɯ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ, ɦɨɠɧɨ ɦɟɧɹɬɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɪɚɫ-

ɤɪɵɜɚɸɳɟɝɨɫɹ

ɫɩɢɫɤɚ «Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɹɱɟɟɤ». Ɂɚɞɚɣɬɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɹɱɟɟɤ ɪɚɜɧɵɦ 14.

5. ȼɪɟɦɹ, ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɨɬɤɪɵɜɚɟɬɫɹ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ, ɤɨɧɬɪɨɥɢ-

ɪɭɟɬɫɹ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢɦ ɫɟɤɭɧɞɨɦɟɪɨɦ. Ⱦɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ (ɜɪɟɦɹ, ɧɚ ɤɨɬɨ-

ɪɨɟ ɨɬɤɪɵɜɚɸɬ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ) ɦɨɠɧɨ ɢɡɦɟɧɹɬɶ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ 10 ɞɨ 300 ɫ. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ

ɫɱɟɬɱɢɤɚ «Ⱦɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ» ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡ-

ɦɨɠɧɭɸ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ.

ɆɨɞɌ-04 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ

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6. ɇɚɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ «ɇɚɱɚɬɶ» ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ». Ɉɬɜɟɪɫɬɢɟ ɜ ɪɟ-

ɡɟɪɜɭɚɪɟ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɨɬɤɪɨɟɬɫɹ. ɂɡ ɧɟɝɨ ɧɚɱɧɭɬ ɜɵɥɟɬɚɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ. ɉɨ ɢɫɬɟɱɟɧɢɢ

ɭɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɨɝɨ ɜɪɟɦɟɧɢ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɡɚɤɪɨɟɬɫɹ. ɉɪɢ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨɫɬɢ

ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɞɨɫɪɨɱɧɨ ɨɫɬɚɧɨɜɥɟɧ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɤɢ «ɉɪɟɪɜɚɬɶ» ɧɚ

ɩɚɧɟɥɢ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ».

Ⱦɨɠɞɢɬɟɫɶ, ɩɨɤɚ ɜɫɟ ɜɵɥɟɬɟɜɲɢɟ ɱɚɫɬɢɰɵ ɭɩɚɞɭɬ ɧɚ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɭɸ ɩɨ-

ɜɟɪɯɧɨɫɬɶ.

7. Ⱦɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɚɯ ɜ ɧɢɠɧɟɣ ɱɚɫɬɢ ɨɛɥɚɫɬɢ

ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ⱦɚɬɱɢɤ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɚɫɬɢɰ ɜ

ɹɱɟɣɤɚɯ», ɩɨɤɚɡɚɧɢɹ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɨɬɨɛɪɚɠɚɸɬɫɹ ɧɚ ɨɞɧɨɢɦɟɧɧɨɣ ɩɚɧɟɥɢ, ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧ-

ɧɨɣ ɧɢɠɟ ɨɛɥɚɫɬɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ. ɉɪɢ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ

ɹɱɟɣɤɭ ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ ɨɬɨɛɪɚɠɚɟɬɫɹ ɟɟ ɧɨɦɟɪ ɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ, ɧɚɯɨɞɹɳɟɟɫɹ ɜ ɷɬɨɣ

ɹɱɟɣɤɟ.

ɉɟɪɟɦɟɳɚɣɬɟ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ ɩɨ ɹɱɟɣɤɚɦ. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ, ɜ ɤɚɤɨɣ ɹɱɟɣɤɟ ɧɚ-

ɯɨɞɢɬɫɹ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ. Ɂɚɩɢɲɢɬɟ ɷɬɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ.

8. ɇɟ ɢɡɦɟɧɹɹ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ, ɜɧɨɜɶ ɧɚɠɦɢɬɟ ɤɧɨɩɤɭ «ɇɚɱɚɬɶ»

ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ».

ȼɵɥɟɬɟɜɲɢɟ ɱɚɫɬɢɰɵ ɨɫɬɚɧɭɬɫɹ ɜ ɹɱɟɣɤɚɯ, ɚ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɧɚɱɧɭɬ ɜɵɥɟɬɚɬɶ

ɧɨɜɵɟ ɱɚɫɬɢɰɵ.

Ɉɛɳɚɹ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɭɜɟɥɢɱɢɬɫɹ ɡɚ ɫɱɟɬ

ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ

ɨɬɤɪɵɜɚɥɢ ɞɜɚ ɪɚɡɚ. Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɚɯ ɛɭɞɟɬ ɧɚɤɚɩɥɢɜɚɬɶɫɹ. ȼɧɨɜɶ ɨɩɪɟ-

ɞɟɥɢɬɟ ɢ ɡɚɩɢɲɢɬɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɜɪɟɦɹ, ɜ

ɬɟɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɛɵɥɨ ɨɬɤɪɵɬɨ.

ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ 10–12 ɪɚɡ, ɤɚɠɞɵɣ ɪɚɡ ɡɚɩɢɫɵɜɚɹ ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɜɪɟɦɹ ɢ ɦɚɤɫɢ-

ɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ.

Ɉɛɪɚɬɢɬɟ ɜɧɢɦɚɧɢɟ, ɱɬɨ ɜ ɪɚɡɧɵɯ ɨɩɵɬɚɯ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ

ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ

ɦɨɠɟɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ ɜ ɪɚɡɧɵɯ ɹɱɟɣɤɚɯ.

9. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ, ɧɚ ɤɚɤɨɟ ɜɪɟɦɹ ɧɚɞɨ ɨɬɤɪɵɬɶ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪ, ɱɬɨɛɵ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ

ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɹɱɟɟɤ ɫɬɚɥɨ ɪɚɜɧɵɦ 50–55.

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɤɢ «ɇɚɱɚɥɶɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ» ɜɟɪɧɢɬɟ ɜɫɟ ɱɚɫɬɢɰɵ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭ-

ɚɪ. ɇɚ ɩɚɧɟɥɢ «ɗɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɧɚɣɞɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɷɤɫɩɟ-

ɪɢɦɟɧɬɚ. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɞɚɬɱɢɤɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɚɯ

ɩɪɨɜɟɪɶɬɟ, ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɥɢ ɧɚɣɞɟɧɧɨɟ ɜɪɟɦɹ ɩɨɥɭɱɢɬɶ ɧɭɠɧɨɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬ-

ɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɨɞɧɨɣ ɹɱɟɣɤɟ.

ȿɫɥɢ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɨɤɚɡɚɥɨɫɶ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨ ɦɟɧɶɲɟ ɱɟɦ

50-55, ɭɜɟɥɢɱɶɬɟ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɧɚ 10 ɫ.

ɂɫɩɨɥɶɡɭɣɬɟ ɧɚɣɞɟɧɧɭɸ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɜɨ ɜɫɟɯ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɢɯ

ɨɩɵɬɚɯ. ɉɨɦɧɢɬɟ, ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɧɨɫɢɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɯɚɪɚɤ-

ɬɟɪ, ɜ

ɤɚɠɞɨɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ ɩɪɢ ɨɞɧɨɣ ɢ ɬɨɣ ɠɟ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɦɨɠɟɬ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶɫɹ

ɪɚɡɧɨɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɟ.

ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 1. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ ɨɬ ɦɚɫɫɵ ɱɚɫ-

ɬɢɰ.

10. Ɉɫɬɚɜɶɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɬɚɤɢɦ ɠɟ, ɤɚɤ ɜ ɩɭɧɤɬɟ 2, ɢ

ɧɟ ɦɟɧɹɣɬɟ ɟɝɨ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɜɫɟɝɨ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ.

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

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11. Ɉɫɬɚɜɶɬɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɬɚɤɢɦ ɠɟ, ɤɚɤ ɜ ɩɭɧɤɬɟ 3, ɢ

ɧɟ ɦɟɧɹɣɬɟ ɟɝɨ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɜɫɟɝɨ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ.

12. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɱɚɫɬɢɰɵ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶ-

ɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ.

13. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ.

14. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɪɚɫɤɪɵɜɚɸɳɟɝɨɫɹ ɫɩɢɫɤɚ «Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɹɱɟɟɤ» ɦɨɠɧɨ ɢɡɦɟ-

ɧɹɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɹɱɟɟɤ ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ɜɧɟ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɜ ɲɢɪɨɤɢɯ ɩɪɟɞɟɥɚɯ. ɉɨɞɛɟɪɢɬɟ

ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɹɱɟɟɤ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɨɫɧɨɜɧɚɹ ɦɚɫɫɚ ɜɵɥɟɬɟɜɲɢɯ ɱɚɫɬɢɰ ɪɚɫɩɨɥɚɝɚɥɚɫɶ ɜ 12–

14 (ɞɜɟɧɚɞɰɚɬɢ–ɱɟɬɵɪɧɚɞɰɚɬɢ) ɹɱɟɣɤɚɯ. ɉɪɢ ɜɵɛɨɪɟ ɧɨɜɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɪɚɫɤɪɵɜɚɸɳɟ-

ɝɨɫɹ ɫɩɢɫɤɚ «Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ» ɞɥɢɧɚ ɹɱɟɣɤɢ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ ɭɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚ ɩɚ-

ɧɟɥɢ «Ⱦɚɬɱɢɤ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɟ». Ɋɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɧɚɱɢɧɚɬɶ ɨɬɫɱɟɬ ɫ

ɹɱɟɣɤɢ, ɧɚɞ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ. ɉɪɢ ɜɵɛɨɪɟ

ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɹɱɟɟɤ ɬɚɤɠɟ

ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɛɪɚɬɢɬɶ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɧɚ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɹɱɟɟɤ.

Ɉɧɨ ɞɨɥɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɥɹɬɶ 50-55 ɱɚɫɬɢɰ.

15. ɉɟɪɟɦɟɳɚɹ ɛɟɝɭɧɨɤ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ⱦɚɬɱɢɤ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɟ»

ɩɨ ɹɱɟɣɤɚɦ, ɡɚɩɢɲɢɬɟ ɧɨɦɟɪ ɹɱɟɣɤɢ ɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɧɟɣ, ɧɚɱɢɧɚɹ ɫ ɹɱɟɣɤɢ,

ɧɚɞ ɤɨɬɨɪɨɣ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ.

16. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɨɩɵɬ ɩɪɢ ɬɟɯ ɠɟ

ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɟɳɟ 3 ɪɚɡɚ.

ɑɚɫɬɢɰɵ ɜɵɥɟɬɚɸɬ ɢɡ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɞɥɹ ɭɥɭɱɲɟ-

ɧɢɹ ɫɪɟɞɧɟɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɨɜ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɨɩɵɬ ɫɥɟɞɭɟɬ ɩɨɜɬɨɪɢɬɶ ɧɟ-

ɫɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡ. ɇɟ ɦɟɧɹɣɬɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɹɱɟɟɤ ɢ ɞɥɢɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɩɪɢ ɩɨ-

ɜɬɨɪɧɨɦ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɢ ɨɩɵɬɚ.

Ɂɚɩɢɲɢɬɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɚɯ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɨɩɵɬɟ.

17. ɉɨ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ ɨɩɵɬɨɜ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫ-

ɬɢɰ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɹɱɟɣɤɟ ɢ ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜɨ ɜɫɟɯ ɹɱɟɣɤɚɯ.

18. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɝɪɚɧɢɰ ɤɚɠɞɨɣ ɹɱɟɣɤɢ.

Ⱦɥɢɧɚ ɹɱɟɟɤ 'x ɭɤɚɡɚɧɚ ɧɚ ɩɚɧɟɥɢ «Ⱦɚɬɱɢɤ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɟ»,

ɧɨɦɟɪ ɹɱɟɣɤɢ (i) – ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚ ɩɨɞ ɹɱɟɣɤɚɦɢ. Ƚɪɚɧɢɰɵ ɹɱɟɣɤɢ ɫ ɧɨɦɟ-

ɪɨɦ i ɢɦɟɸɬ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ x

i–1

ɢ x

. əɱɟɣɤɢ ɨɬɤɥɚɞɵɜɚɸɬɫɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɪɟ-

ɡɟɪɜɭɚɪɚ, ɚ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ, ɢɡ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɜɵɥɟɬɚɸɬ ɱɚɫɬɢɰɵ, ɫɦɟɳɟɧɨ ɩɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɢ ɨɬ-

ɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɰɟɧɬɪɚ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɭ x

= Rcos D (R – ɪɚɞɢɭɫ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ, D –

ɭɝɨɥ, ɩɨɞ ɤɨɬɨɪɵɦ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ). Ɍɨɝɞɚ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɝɪɚɧɢɰ ɹɱɟɣɤɢ ɨɬɧɨ-

ɫɢɬɟɥɶɧɨ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɩɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɢ ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɵɱɢɫɥɹɬɶ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

= i'x – x

= i'x – Rcos D.

ɉɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɢ ɨɬɜɟɪɫɬɢɟ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɨ ɧɚ ɜɵɫɨɬɟ h = R + Rsin D.

Ⱦɥɹ ɜɫɟɯ ɹɱɟɟɤ, ɞɥɹ ɤɨɬɨɪɵɯ ɛɵɥɨ ɡɚɩɢɫɚɧɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ, ɜɵɱɢɫɥɢɬɟ

ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɝɪɚɧɢɰ x

19. Ɋɚɫɫɱɢɬɚɣɬɟ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɣ ɹɱɟɣɤɢ ɞɢɚɩɚɡɨɧ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ ɱɚɫɬɢɰ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨ-

ɝɭɬ ɩɨɩɚɫɬɶ ɜ ɷɬɭ ɹɱɟɣɤɭ.

ȼ ɹɱɟɣɤɭ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ i ɦɨɝɭɬ ɩɨɩɚɫɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɱɚɫɬɢɰɵ, ɞɚɥɶɧɨɫɬɶ ɩɨɥɟɬɚ ɤɨɬɨ-

ɪɵɯ ɥɟɠɢɬ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ x

i–1

ɞɨ x

. ɉɪɢ ɞɜɢɠɟɧɢɢ ɬɟɥɚ ɩɨɞ ɭɝɥɨɦ ɤ ɝɨɪɢɡɨɧɬɭ ɞɚɥɶ-

ɧɨɫɬɶ ɟɝɨ ɩɨɥɟɬɚ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɭɝɥɨɦ D, ɜɵɫɨɬɨɣ h ɢ ɫɤɨɪɨɫɬɶɸ v

ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨ-

ɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɑɚɫɬɢɰɵ ɜɵɥɟɬɚɸɬ ɢɡ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɩɨɞ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɦ ɭɝɥɨɦ D ɢ ɫ ɨɞɢɧɚ-

ɤɨɜɨɣ ɜɵɫɨɬɵ h. ȼ ɷɬɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɞɚɥɶɧɨɫɬɶ ɩɨɥɟɬɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɤɚɤɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ

ɆɨɞɌ-04 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ

195

ɢɦɟɥɢ ɱɚɫɬɢɰɵ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ (ɩɪɢ ɜɵɥɟɬɟ ɢɡ ɧɟɝɨ). Ɍɨ ɟɫɬɶ, ɞɚɥɶɧɨɫɬɶ ɩɨɥɟɬɚ x

ɦɨɝɭɬ

ɢɦɟɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɱɚɫɬɢɰɵ, ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɜɵɥɟɬɚ v

ɤɨɬɨɪɵɯ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɪɚɜɧɚ

DD



2sin)2cos1(

(g – ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ ɫɜɨɛɨɞɧɨɝɨ ɩɚɞɟɧɢɹ).

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɱɚɫɬɢɰɵ, ɩɨɩɚɜɲɢɟ ɜ ɹɱɟɣɤɭ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ i, ɢɦɟɸɬ ɞɚɥɶɧɨɫɬɶ

ɩɨɥɟɬɚ ɜ ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ x

i–1

ɞɨ x

, ɚ ɧɚɯɨɞɹɫɶ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ, ɨɧɢ ɨɛɥɚɞɚɥɢ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦɢ ɜ

ɩɪɟɞɟɥɚɯ ɨɬ v

i–1

ɞɨ v

Ⱦɥɹ ɜɫɟɯ ɹɱɟɟɤ, ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɛɵɥɨ ɡɚɩɢɫɚɧɨ, ɜɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɨ-

ɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɫɤɨɪɨɫɬɢ v

20. ɉɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɭ: ɩɨ ɝɨɪɢɡɨɧɬɚɥɶɧɨɣ ɨɫɢ ɨɬɥɨɠɢɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɤɨ-

ɪɨɫɬɢ, ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɝɪɚɧɢɰɚɦ ɹɱɟɟɤ; ɩɨ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ – ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ

ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɟ 'N

ɫɪ

. ɉɨɦɧɢɬɟ, ɱɬɨ ɜ ɹɱɟɣɤɟ ɫ ɧɨɦɟɪɨɦ i ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɱɚɫɬɢɰɵ, ɫɤɨɪɨ-

ɫɬɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɥɟɠɚɬ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ v

i–1

ɞɨ v

21. Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ dN, ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦɢ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ v ɞɨ

v + dv, ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(v)

dN = NF(v) dv (N – ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ).

ɇɚ ɨɫɧɨɜɟ ɷɬɨɝɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɨ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ:

)(



'

ɫɪ

i+1

– ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɹɱɟɣɤɟ; N – ɫɭɦɦɚɪɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ; 'v

i+1

= v

i+1

– v

– ɞɢɚɩɚɡɨɧ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ. Ɉɛɪɚɬɢɬɟ ɜɧɢɦɚɧɢɟ, ɱɬɨ ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ F(v

) ɫɨɩɨɫɬɚɜɥɹɟɬɫɹ ɧɚɱɚɥɭ ɫɤɨɪɨɫɬɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ [v

; v

i+1

], ɩɨɷɬɨɦɭ

ɞɥɹ ɟɟ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɫɪɟɞɧɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɷɬɨɣ ɹɱɟɣɤɟ

i+1

ɉɨɜɟɪɯ ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɨɣ ɪɚɧɟɟ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɵ ɩɨɫɬɪɨɣɬɟ ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟ-

ɞɟɥɟɧɢɹ F(v), ɨɬɤɥɚɞɵɜɚɹ ɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɞɨɥɶ ɜɬɨɪɨɣ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɨɣ ɨɫɢ.

22. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɱɚɫɬɢɰ.

ɇɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɱɚɫɬɢɰ ɛɭɞɟɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɨɜɚɬɶ ɦɚɤɫɢɦɭ-

ɦɭ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɵ ɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ɉɨ ɝɪɚɮɢɤɭ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɟ ɢɧɬɟɪɜɚɥ ɫɤɨɪɨ-

ɫɬɟɣ [v

n–1

; v

], ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ.

23. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ.

ɇɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɦɚɤɫɢɦɭɦɭ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟ-

ɧɢɹ ɢ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɦɚɫɫɵ ɱɚɫɬɢɰ m ɢ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ «ɝɚɡɚ» T.

v (k – ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ Ȼɨɥɶɰɦɚɧɚ).

24. ɋɪɚɜɧɢɬɟ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ

ɫɤɨɪɨɫɬɢ.

Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɟ, ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɥɢ ɦɚɤɫɢɦɭɦ ɝɢɫɬɨɝɪɚɦɦɵ ɫ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ ɫɤɨɪɨ-

ɫɬɶɸ (ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɥɢ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ v

ɢɧɬɟɪɜɚɥɭ [v

n–1

, v

]).

25. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɤɧɨɩɤɢ

«ɇɚɱɚɥɶɧɨɟ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ» ɜɟɪɧɢɬɟ ɜɫɟ ɱɚɫɬɢɰɵ ɜ ɪɟ-

ɡɟɪɜɭɚɪ.

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

196

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɱɚɫɬɢɰɵ» ɡɚɞɚɣɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ, ɜ

2 ɪɚɡɚ ɩɪɟɜɵɲɚɸɳɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɜɵɛɪɚɧɧɨɟ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ (ɩɭɧɤɬ 12).

26. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (13–24 ɩɭɧɤɬɵ).

27. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ

«Ɇɚɫɫɚ ɱɚɫɬɢɰɵ» ɡɚɞɚɣɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫ-

ɫɵ, ɜ 2 ɪɚɡɚ ɩɪɟɜɵɲɚɸɳɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɜɵɛɪɚɧɧɨɟ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɟ (ɩɭɧɤɬ

25).

28. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (13–24 ɩɭɧɤɬɵ).

29. ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɣɬɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɢ ɫɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.

Ʉɚɤ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɫ ɭɜɟɥɢɱɟɧɢɟɦ

ɢɯ ɦɚɫɫɵ?

Ʉɚɤ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɞɢɚɩɚɡɨɧ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ, ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɦɨɝɭɬ ɨɛɥɚɞɚɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ ɪɚɡ-

ɥɢɱɧɨɣ ɦɚɫɫɵ ɩɪɢ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɟ?

ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 2. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ ɨɬ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭ-

ɪɵ «ɝɚɡɚ».

30. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɱɚɫɬɢɰɵ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶ-

ɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ ɢ ɧɟ ɦɟɧɹɣɬɟ ɟɟ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɜɫɟɝɨ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ.

31. Ɉɫɬɚɜɶɬɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨɬɜɟɪɫɬɢɹ ɜ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɟ ɬɚɤɢɦ ɠɟ, ɤɚɤ ɜ ɩɭɧɤɬɟ 3, ɢ

ɧɟ ɦɟɧɹɣɬɟ ɟɝɨ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɜɫɟɝɨ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ.

32. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɱɟɬɱɢɤɚ

«ɗɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢ-

ɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ.

33. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɤɚɤ ɜ ɩɭɧɤɬɚɯ 13–24.

34. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɱɟɬɱɢɤɚ

«ɗɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɷɮɮɟɤ-

ɬɢɜɧɭɸ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ «ɝɚɡɚ», ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜ 2 ɪɚɡɚ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɜ ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ

ɨɩɵɬɟ (ɜ ɩɭɧɤɬɟ 32).

35. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (13–24 ɩɭɧɤɬɵ).

36. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɱɟɬɱɢɤɚ

«ɗɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɷɮɮɟɤ-

ɬɢɜɧɭɸ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ «ɝɚɡɚ», ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɤɨɬɨɪɨɣ ɜ 3 ɪɚɡɚ ɦɟɧɶɲɟ, ɱɟɦ ɜ ɩɭɧɤɬɟ 32.

37. ɉɨɜɬɨɪɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ (13–24 ɩɭɧɤɬɵ).

38. ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɣɬɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɢ ɫɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.

Ʉɚɤ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɫ ɭɦɟɧɶɲɟɧɢɟ

ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ «ɝɚɡɚ»?

Ʉɚɤ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɞɢɚɩɚɡɨɧ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ, ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɦɨɝɭɬ ɨɛɥɚɞɚɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ ɨɞɢ-

ɧɚɤɨɜɨɣ ɦɚɫɫɵ ɩɪɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚɯ?

ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 3. Ɂɚɜɢɫɢɦɨɫɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ ɨɬ ɧɚɩɪɚɜɥɟ-

ɧɢɹ.

ȼɚɪɢɚɧɬɵ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ

ȼɚɪɢɚɧɬ ɍɝɥɵ ȼɚɪɢɚɧɬ ɍɝɥɵ

1 0; 80; 150 6 20; 120; 165

2 4; 75; 153 7 24; 115; 168

3 8; 70; 156 8 28; 110; 171

4 12; 65; 159 9 32; 105; 174

5 16; 60; 162 10 36; 100; 177

ɆɨɞɌ-04 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ

197

39. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɛɟɝɭɧɤɚ ɩɪɨɤɪɭɬɤɢ «Ɇɚɫɫɚ ɱɚɫɬɢɰɵ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɢɧɢɦɚɥɶ-

ɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɦɚɫɫɵ ɢ ɧɟ ɦɟɧɹɣɬɟ ɟɟ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɜɫɟɝɨ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ.

40. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɱɟɬɱɢɤɚ

«ɗɮɮɟɤɬɢɜɧɚɹ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ» ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɦɚɤɫɢ-

ɦɚɥɶɧɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɷɮɮɟɤɬɢɜɧɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɢ ɧɟ ɦɟɧɹɣɬɟ ɟɟ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ

ɜɫɟɝɨ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɹ.

41. ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɫɱɟɬɱɢɤɚ

«ɍɝɨɥ» ɦɨɠɧɨ ɢɡɦɟɧɹɬɶ ɭɝɥɨɜɨɟ ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɨɬ-

ɜɟɪɫɬɢɹ ɧɚ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ ɨɬ 0 ɞɨ 180q (ɞɥɹ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɨɝɨ

ɫɟɱɟɧɢɹ ɫɮɟɪɵ). ɍɫɬɚɧɨɜɢɬɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɨɬɥɢɱɧɨɟ ɨɬ 45q (ɩɨ ɭɤɚɡɚɧɢɸ ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟ-

ɥɹ).

42. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɤɚɤ ɜ ɩɭɧɤɬɚɯ 13–24.

43. ȼɵɩɨɥɧɢɬɟ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬ ɟɳɟ ɞɥɹ ɞɜɭɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɭɝɥɚ ɜɵɥɟɬɚ ɱɚɫɬɢɰ ɢɡ ɪɟ-

ɡɟɪɜɭɚɪɚ.

44. ɉɪɨɚɧɚɥɢɡɢɪɭɣɬɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɵ ɢ ɫɞɟɥɚɣɬɟ ɜɵɜɨɞ.

Ʉɚɤ

ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɞɜɢɠɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ

ɨɬ ɭɝɥɚ ɢɯ ɜɵɥɟɬɚ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ?

Ʉɚɤ ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɞɢɚɩɚɡɨɧ ɫɤɨɪɨɫɬɟɣ, ɤɨɬɨɪɵɦɢ ɦɨɝɭɬ ɨɛɥɚɞɚɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ, ɜ ɡɚ-

ɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɭɝɥɚ ɢɯ ɜɵɥɟɬɚ ɢɡ ɪɟɡɟɪɜɭɚɪɚ?

45. ȼɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ.

Ⱦɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɬɪɟɯ ɩɪɨɜɟɞɟɧɧɵɯ ɜ ɷɬɨɦ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɨɜ ɜɵɱɢɫ-

ɥɢɬɟ ɫɟɪɟɞɢɧɭ ɫɤɨɪɨɫɬɧɨɝɨ ɞɢɚɩɚɡɨɧɚ, ɤɨɬɨɪɨɦɭ

ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɤɨɥɢ-

ɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ:

)(

1 nn

ɷɤɫ

vvv 



– ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ ɫɤɨɪɨ-

ɫɬɢ.

Ⱦɥɹ ɬɪɟɯ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɜ ɷɬɨɦ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɧɚɢ-

ɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ.

46. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɣ ɫɤɨɪɨɫɬɢ, ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜ

ɩɪɟɞɵɞɭɳɟɦ ɩɭɧɤɬɟ, ɜɵɱɢɫɥɢɬɟ ɫɪɟɞɧɸɸ ɢ ɫɪɟɞɧɟɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɭɸ ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɞɥɹ ɞɚɧ-

ɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɱɚɫɬɢɰ «ɝɚɡɚ» ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ.

Ɍɚɛɥɢɰɚ

ʋ ɹɱɟɣɤɢ

Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ

ɋɪɟɞɧɟɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬ-

ɜɨ ɱɚɫɬɢɰ 'N

ɫɪ

Ʉɨɨɪɞɢɧɚɬɵ

ɝɪɚɧɢɰ

ɹɱɟɣɤɢ x

ɋɤɨɪɨɫɬɢ

ɱɚɫɬɢɰ v

Ɏɭɧɤɰɢɹ

ɪɚɫɩɪɟɞɟ-

ɥɟɧɢɹ

F(v

)

ɋɭɦɦɚɪɧɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ:

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

198

5. Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɵɟ ɜɨɩɪɨɫɵ

1. ɉɪɢ ɤɚɤɢɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɦɨɠɧɨ ɧɚɛɥɸɞɚɬɶ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥ-

ɥɚ ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ?

2. Ɂɚɩɢɲɢɬɟ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ ɩɨ ɫɤɨɪɨɫɬɹɦ.

3. Ɂɚɩɢɲɢɬɟ ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɦ

ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɫɤɨɪɨɫɬɢ (ɩɨ ɦɨɞɭɥɸ ɫɤɨɪɨɫɬɢ).

4. Ʉɚɤ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɱɚɫ-

ɬɢɰɵ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ

v ɞɨ vv d ?

5. Ʉɚɤ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɱɚɫɬɢɰ, ɨɛɥɚɞɚɸɳɢɯ ɚɛɫɨɥɸɬɧɵɦɢ

ɫɤɨɪɨɫɬɹɦɢ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ ɨɬ v

ɞɨ v

6. Ʉɚɤ ɫɜɹɡɚɧɚ ɧɚɱɚɥɶɧɚɹ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɢ ɞɚɥɶɧɨɫɬɶ ɩɨɥɟɬɚ ɩɪɢ ɞɜɢɠɟ-

ɧɢɢ ɬɟɥɚ ɩɨɞ ɭɝɥɨɦ ɤ ɝɨɪɢɡɨɧɬɭ ɜ ɩɨɥɟ ɫɢɥɵ ɬɹɠɟɫɬɢ?

7. Ʉɚɤ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɟɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɧɚ

ɞɨɥɹ ɱɚɫɬɢɰ, ɫɤɨɪɨɫɬɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɥɟɠɚɬ ɜ ɢɡɜɟɫɬɧɨɦ ɞɢɚɩɚɡɨɧɟ?

8. Ɉɩɢɲɢɬɟ ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɩɨɥɧɟɧɢɹ ɪɚɛɨɬɵ.

6. ɉɪɢɥɨɠɟɧɢɟ

6.1. Ɏɭɧɤɰɢɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ

6.1.1. ɋɤɚɥɹɪɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

ɋɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ – ɷɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɨɞɧɨ ɢɡ

ɫɜɨɢɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ. ȿɫɥɢ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɡɧɚɱɟ-

ɧɢɣ, ɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢ-

ɧɨɣ. ȿɫɥɢ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɦɧɨ-

ɠɟɫɬɜɨ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ, ɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ

ɧɟ-

ɩɪɟɪɵɜɧɨɣ.

ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɟɞɟɧɨ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ N ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ ɡɚ ɡɧɚɱɟ-

ɧɢɹɦɢ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ. ȼ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɢɡ ɧɢɯ (N

) ɞɚɧ-

ɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɪɢɧɢɦɚɥɚ ɨɞɧɨ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x.

ɉɨɞ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɸ P ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɞɢɫɤɪɟɬɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɪɢ-

ɧɢɦɚɟɬ ɨɞɧɨ ɢɡ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ x, ɩɨɧɢɦɚɸɬ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɭɸ ɱɚɫ-

ɬɨɬɭ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ ɞɚɧɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɪɢ ɛɨɥɶɲɨɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ

lim

ɆɨɞɌ-04 Ɋɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ Ɇɚɤɫɜɟɥɥɚ

199

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ – ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɚɹ ɫɤɚɥɹɪɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɦɨɠɟɬ

ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɨɬ 0 ɞɨ 1.

ȿɫɥɢ ɞɚɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɟ ɧɚɛɥɸɞɚɟɬɫɹ ɧɢɤɨ-

ɝɞɚ ɩɪɢ ɥɸɛɨɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ, ɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɡɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɬɶ

ɬɚɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ (N

= 0, P = 0) – ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɢɤɨɝɞɚ ɧɟ ɩɪɢɧɢ-

ɦɚɟɬ ɞɚɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ. ȿɫɥɢ ɞɚɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚ-

ɛɥɸɞɚɟɬɫɹ ɜɫɟɝɞɚ ɩɪɢ ɥɸɛɨɦ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɣ, ɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ

ɡɚɮɢɤɫɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɚ ɟɞɢɧɢɰɟ (N

= N, P = 1) – ɜɟɥɢɱɢɧɚ

ɜɫɟɝɞɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɞɚɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟ-

ɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɨɞɧɨ ɢɡ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ, ɪɚɜɧɚ

ɫɭɦɦɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɧɚɛɥɸɞɟɧɢɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɷɬɢɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ

P lim

. ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ

ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɤɚɤɨɟ-ɥɢɛɨ (ɥɸɛɨɟ ɢɡ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ) ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɪɚɜɧɚ ɫɭɦ-

ɦɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɩɨ ɜɫɟɦ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ. ɇɨ

, ɫɥɟɞɨ-

ɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɢɫɤɨɦɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɪɚɜɧɚ ɟɞɢɧɢɰɟ (P = 1).

Ɍɚɤ ɤɚɤ ɞɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɨɡ-

ɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ, ɝɨɜɨɪɢɬɶ ɨ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣ-

ɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɧɟɤɨɬɨɪɨɟ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɧɟ ɢɦɟɟɬ

ɫɦɵɫɥɚ. Ⱦɥɹ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɢɡɭɱɚɸɬ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ

ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɧɚɛɥɸɞɚɟɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥɭ ɨɬ x ɞɨ x + dx.

ɗɬɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɟɦ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ ɛɨɥɶɲɟ ɞɥɢɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ dx. Ʉɪɨɦɟ ɬɨ-

ɝɨ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɛɭɞɟɬ ɪɚɡɧɨɣ ɜ ɡɚɜɢɫɢɦɨɫɬɢ ɨɬ ɬɨɝɨ, ɝɞɟ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɜɨɡ-

ɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɜɵɛɪɚɧ ɷɬɨɬ ɢɧɬɟɪɜɚɥ. Ʉɚɤ ɩɪɚɜɢɥɨ, ɞɚɧɧɚɹ ɡɚɜɢɫɢ-

ɦɨɫɬɶ ɜɵɪɚɠɚɟɬɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ I(x). Ɍɨɝɞɚ ɜɟɪɨ-

ɹɬɧɨɫɬɶ dP ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚ

ɱɟɧɢɟ ɢɡ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚ ɨɬ x ɞɨ x + dx, ɪɚɜɧɚ

dP )(I

Ɏɭɧɤɰɢɸ I ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɜ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ

ɢɥɢ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X. Ɍɨɝɞɚ ɝɨɜɨɪɹɬ,

ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɨɞɱɢɧɹɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ

ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ I(x).

ɉɨɞ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɦɨɠɧɨ ɩɨɧɢɦɚɬɶ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟ ɜɟ-

ɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɧɚ ɟɞɢɧɢɱɧɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ

x I )(

Ɏɢɡɢɤɚ ɠɢɞɤɨɫɬɟɣ ɢ ɝɚɡɨɜ

200

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɡɧɚɱɟ-

ɧɢɟ ɜ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [x

, x

], ɩɪɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɨɩɪɟɞɟ-

ɥɹɟɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɟɦ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ I(x) ɧɚ ɡɚɞɚɧɧɨɦ ɢɧ-

ɬɟɪɜɚɥɟ

)(

dxxP

Ʉɚɤ ɢ ɞɥɹ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ

ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɤɚɤɨɟ-ɧɢɛɭɞɶ (ɥɸɛɨɟ ɢɡ

ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ) ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɪɚɜɧɚ ɟɞɢɧɢɰɟ. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɢɧɬɟɝɪɚɥ ɨɬ

ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɜɫɟɦ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ ɞɨɥɠɟɧ ɛɵɬɶ

ɪɚɜɟɧ ɟɞɢɧɢɰɟ. ɗɬɨ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɧɨɪɦɢɪɨɜɤɢ ɞɥɹ

ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ. ȿɫɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɚ

ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (–f, f), ɬɨ ɭɫɥɨɜɢɟ ɧɨɪɦɢɪɨɜɤɢ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɢ

ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɬɚɤɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɫɥɟɞɭɟɬ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ

1)( I

f

dxx

ɑɬɨɛɵ ɪɚɫɫɱɢɬɚɬɶ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ

ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɪɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ, ɧɟɨɛɯɨ-

ɞɢɦɨ ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɬɶ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɷɬɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɧɚ ɟɟ

ɮɭɧɤɰɢɸ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɩɨ ɜɫɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ. Ɍɚɤ, ɟɫ-

ɥɢ ɫɥɭɱɚɣɧɚɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ X ɩɨɞɱɢɧɹɟɬɫɹ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ ɫ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɜɟ-

ɪɨɹɬɧɨɫɬɢ I(x) ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ (–f, f), ɬɨ ɫɪɟɞɧɟɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ < x > ɬɚɤɨɣ

ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ

f

I!  dxxxx )(.

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɫɪɟɞɧɟɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɥɸɛɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ y(x), ɡɚɜɢɫɹɳɟɣ ɨɬ

ɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɣ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ X, ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɭɬɟɦ ɟɟ ɫɨ-

ɜɦɟɫɬɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ I(x) ɞɚɧɧɨɣ ɫɥɭ-

ɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ.

f

I!  dxxxyy )()( .

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ

v – ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɥɭɱɚɣɧɨɣ ɜɟɥɢɱɢ-

ɧɨɣ, ɩɨɞɱɢɧɹɸɳɟɣɫɹ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ [0, f) ɧɟɤɨɬɨɪɨɦɭ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ

v), ɬɨ ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɫɪɟɞɧɸɸ ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɱɚɫɬɢɰɵ