Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением

Подождите немного. Документ загружается.

На На рис. 2.4 показаны только касательные показаны только касательные

напряжения, так как только они образуют пары напряжения, так как только они образуют пары

сил, стремящихся повернуть параллелепипед сил, стремящихся повернуть параллелепипед

вокруг осей, проходящих через его центр. вокруг осей, проходящих через его центр.

Составим одно из уравнений динамики Составим одно из уравнений динамики

вращательного движения вокруг оси вращательного движения вокруг оси z::

zzz

wIM

∑

гдегде M

-- моментмоментсилсил;;

-- моментмоментинерцииинерции;;

-- угловое ускорение.угловое ускорение.

Известно, чтоИзвестно, что

Следовательно, уравнение (Следовательно, уравнение (2.6) примет вид:) примет вид:

)(

yxzyxI

∆+∆∆∆∆ρ=

Момент сил, действующих Момент сил, действующих

на выделенный элемент,на выделенный элемент,

yzxxzyM

yxxyz

∆

−

∆

)()(

zyxxy

wyx )(

∆+∆ρ=σ−σ

,(,(2.7))

Поскольку параллелепипед имеет бесконечно Поскольку параллелепипед имеет бесконечно

малые размеры малые размеры ∆x, ∆y, ∆z, можно правую часть можно правую часть

выражения (выражения (2.7) приравнять к нулю, тогда получим: ) приравнять к нулю, тогда получим:

= σ

Если рассмотреть таким же образом вращение Если рассмотреть таким же образом вращение

относительно осей относительно осей xx и и yy, то получим:, то получим:

= σ

; σ

= σ

Таким образом, последние три равенства Таким образом, последние три равенства

показывают, что компоненты тензора напряжений показывают, что компоненты тензора напряжений

((2.5) симметричны относительно главной ) симметричны относительно главной

диагонали, т.е. диагонали, т.е. σ

= σ

. Следовательно, тензор . Следовательно, тензор

напряжений напряжений TT

σσ

характеризуется шестью характеризуется шестью

независимыми величинами: независимыми величинами: σ

, σ

Приведение тензора напряжений к Приведение тензора напряжений к

диагональному виду.диагональному виду.

Инварианты тензора напряжений.Инварианты тензора напряжений.

Характеристическое уравнение.Характеристическое уравнение.

Возможные схемы напряженного состояния.Возможные схемы напряженного состояния.

Разложение тензора напряжений на шаровой Разложение тензора напряжений на шаровой

и и девиатордевиаторнапряжений, напряжений,

их физический смысл.их физический смысл.

Интенсивность касательных напряженийИнтенсивность касательных напряжений

В трехмерном пространстве можно подобрать В трехмерном пространстве можно подобрать

три взаимно перпендикулярных направления, три взаимно перпендикулярных направления,

при которых на гранях выделенного при которых на гранях выделенного

элементарного параллелепипеда будут элементарного параллелепипеда будут

действовать только нормальные напряжения.действовать только нормальные напряжения.

Площадки, на которых действуют только Площадки, на которых действуют только

нормальные напряжения, нормальные напряжения,

называют главными площадками; называют главными площадками;

напряжения, обозначаемые напряжения, обозначаемые σ

, σ

главными напряжениями.главными напряжениями.

Индексы при главных нормальных Индексы при главных нормальных

напряжениях назначают по правилу:напряжениях назначают по правилу:

≥σ

т.е. индекс «т.е. индекс «1» присваивают большему в » присваивают большему в

алгебраическом смысле из собственных алгебраическом смысле из собственных

значений, а «значений, а «3» » –– меньшему.меньшему.

Их можно найти из решения Их можно найти из решения

характеристического уравнения, характеристического уравнения,

общий вид которого:общий вид которого:

=−λ+λ−λ III

где где I

, I

-- соответственно линейный (первый), соответственно линейный (первый),

квадратичный (второй) и кубический (третий) квадратичный (второй) и кубический (третий)

инварианты тензора напряжений, определяемые инварианты тензора напряжений, определяемые

по формулам:по формулам:

= σ

+ σ

;;

;

222

xzzzxxyzzzyyxyyyxx

zzxz

xzxx

zzyz

yzyy

yyxy

xyxx

σ−σσ+σ−σσ+σ−σσ=

σσ

xyzzyzxxxzyyxzyzxyzzyyxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

222

2 σσ−σσ−σσ−σσσ+σσσ=

σσσ

,(2.9)

Инварианты (Инварианты (2.9) дают полную характеристику ) дают полную характеристику

напряженного состояния материальной частицы.напряженного состояния материальной частицы.

Корни характеристического уравнения Корни характеристического уравнения λ

, λ

и и

являются главными нормальными напряжениями являются главными нормальными напряжениями

, σ

, а тензор напряжений записанный в , а тензор напряжений записанный в

системе координат, совпадающей с системе координат, совпадающей с

направлениями главных нормальных напряжений, направлениями главных нормальных напряжений,

будет иметь вид:будет иметь вид:













σ00

0σ0

00σ

,(2.10)

Величину, составленную из линейного инварианта, Величину, составленную из линейного инварианта,

определяемую по формулеопределяемую по формуле

(

)

( )

zzyyxx 332211

σ+σ+σ=σ+σ+σ=σ

((2.11))

называют средним нормальным напряжением в называют средним нормальным напряжением в

точке.точке.

Тензор напряжений можно представить в виде Тензор напряжений можно представить в виде

суммы двух тензоров:суммы двух тензоров:

= T

σш

+ D

,,((2.12))