Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
Рассмотрим теперь в некоторой точке тела Рассмотрим теперь в некоторой точке тела
площадку, одинаково наклоненную к площадку, одинаково наклоненную к
направлениям направлениям 1, 2, 3 главных нормальных главных нормальных
напряжений (напряжений (рис. 2.6).).
Рис. 2.6..
Такие площадки можно провести в каждом Такие площадки можно провести в каждом
октанте на одинаковом расстоянием от точки октанте на одинаковом расстоянием от точки
М, они образуют правильный , они образуют правильный
восьмигранник восьмигранник –– октаэдр. Грань октаэдра октаэдр. Грань октаэдра
называют называют октаэдрическойоктаэдрическойплощадкой. площадкой.
Направляющие косинусы единичной нормали Направляющие косинусы единичной нормали
к указанной на рисунке к указанной на рисунке октаэдрическойоктаэдрической
площадке связаны условием:площадке связаны условием:
1
2
3
2
2
2
1
=++ nnn
где где i= 1, 2, 3..
Проекции вектора напряжения , Проекции вектора напряжения ,
действующего на этой площадке (действующего на этой площадке (рис. 2.5), ),
имеет видимеет вид
f
1
= σ
11
n
1
; f
2
= σ
22
n
2
; f
3
= σ
33
n
3
..
Для того, чтобы найти нормальные Для того, чтобы найти нормальные
напряжения на напряжения на октаэдрическойоктаэдрическойплощадке, площадке,
достаточно спроецировать достаточно спроецировать f
1
, f
2
, f
3
на нормаль на нормаль
и результаты сложить:и результаты сложить:
(2.18)
).(nnn
nfnfnfnf
iin
332211
2
333
2
222
2
111
332211
3
1
σ+σ+σ=σ+σ+σ
=
+
+
=
=
σ
f
Следовательно, нормальное напряжение на Следовательно, нормальное напряжение на
октаэдрическойоктаэдрическойплощадке равно среднему площадке равно среднему
нормальному напряжению.нормальному напряжению.
Полное касательное напряжение на той же Полное касательное напряжение на той же
площадке:площадке:
,(2.19)
Tf
nn
3
2
22
=σ−=τ
Итак, если мысленно выделить из Итак, если мысленно выделить из
деформируемого тела материальную частицу деформируемого тела материальную частицу
в виде правильного восьмигранника, то по в виде правильного восьмигранника, то по
его граням будут действовать нормальные и его граням будут действовать нормальные и
касательные напряжения, определяемые в касательные напряжения, определяемые в
соответствии с формулами (соответствии с формулами (2.18) и () и (2.19).).
Наглядное представление об области Наглядное представление об области
возможных значений нормальных и возможных значений нормальных и
касательных напряжений (касательных напряжений (σ
n
и и τ
n
) на ) на
различных площадках, проходящих через различных площадках, проходящих через
некоторую точку деформируемого тела, дает некоторую точку деформируемого тела, дает
диаграмма Мора.диаграмма Мора.
Исходным моментом для ее построения являются Исходным моментом для ее построения являются
сведенные в систему рассмотренные выше три сведенные в систему рассмотренные выше три
уравнения:уравнения:
Используя известные математические приемы Используя известные математические приемы
(в частности, формулы (в частности, формулы КрамераКрамера), после ряда расчетов ), после ряда расчетов
получим:получим:
,,((2.20))
,,((2.21))
=++
τ+σ=σ+σ+σ
σ=σ+σ+σ
1
2
3
2
2
2
1
222
3
2
33
2
2
2
22
2
1
2
11
2
333
2
222
2
111
nnn
nnn
nnn
nn
n
))((
))((
n
nnn
33112211
2
3322
2
1
σ−σσ−σ
τ+σ−σσ−σ
=
))((
))((
n
nnn
11223322
2
1133
2
2
σ−σσ−σ
τ+σ−σσ−σ
=
))((
))((
n
nnn
22331133
2
2211
2
3
σ−σσ−σ
τ+σ−σσ−σ
=
Так как Так как σ
11
≥σ
22
≥σ
33
, то, анализируя , то, анализируя
((2.21), можно сделать вывод:), можно сделать вывод:
0))((
2
1122
≥τ+σ−σσ−σ
nnn
0))((
2
1133
≤τ+σ−σσ−σ
nnn
0))((
2
2211
≥τ+σ−σσ−σ
nnn
Преобразуем эти неравенства и получим:
,,((2.22))
2
3322
2
2
3322
22
σ−σ
≥τ+
σ+σ
−σ
nn
2
3311
2
2
3311
22
σ−σ
≤τ+
σ−σ
−σ
nn
2
2211
2
2
2211
22
σ−σ
≥τ+
σ+σ
−σ
nn
Неравенства (Неравенства (2.22) ограничивают область ) ограничивают область
значений значений σ
n
и и τ
n
, действующих на , действующих на
всевозможных площадках, проходящих через всевозможных площадках, проходящих через
некоторую точку тела.некоторую точку тела.
Если знаки неравенства заменить равенством Если знаки неравенства заменить равенством
и сопоставить полученные выражения и сопоставить полученные выражения
с уравнением окружности,с уравнением окружности,
(x -a)
2
+ (y -b)
2
= R
2
,,
то нетрудно убедиться, что уравнения (то нетрудно убедиться, что уравнения (2.22) )
являются уравнениями окружности.являются уравнениями окружности.
Построим область возможных значений Построим область возможных значений σ
n
и и τ
n
..
Возможные значения нормальных Возможные значения нормальных σ
n
и касательных и касательных τ
n
напряжений лежат внутри области, ограниченной тремя напряжений лежат внутри области, ограниченной тремя
окружностями (на окружностями (на рис. 2.7 заштрихованная часть), заштрихованная часть),
которые называют кругами Мора.которые называют кругами Мора.
Рис. 2.7.