Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением

Подождите немного. Документ загружается.

Для дальнейшего вывода воспользуемся Для дальнейшего вывода воспользуемся

уравнениями поступательного движения:уравнениями поступательного движения:

где где -- сумма проекций всех сил, сумма проекций всех сил,

действующих на параллелепипед действующих на параллелепипед

(включая силу тяжести), на соответствующую (включая силу тяжести), на соответствующую

ось координат;ось координат;

-- его масса; его масса;

-- составляющие вектора ускорения.составляющие вектора ускорения.

,,((2.26а))

∑

,,((2.26б))

∑

,,((2.26в))

∑

∆

⋅

∆

⋅

∆

⋅

∆

⋅

Рассмотрим уравнение (Рассмотрим уравнение (2.26а), при ), при

составлении которого получим следующее составлении которого получим следующее

выражение:выражение:

mmgyxyx

zxzxzyzy

ω=+∆∆σ−∆∆σ+

+∆∆σ−∆∆σ+∆∆σ−∆∆σ

2222

22222222

Используя формулы (Используя формулы (2.25), после сокращения ), после сокращения

на на 2∆x2∆y2∆z, выражение (, выражение (2.27) записывают ) записывают

в виде:в виде:

,,((2.27))

zyx

ρω=ρ+

∂

σ∂

∂

σ∂

,,((2.28а))

Аналогично можно получить остальные уравнения:Аналогично можно получить остальные уравнения:

,,((2.28в))

yzyyyx

zyx

ρω=ρ+

∂

zyx

ρω=ρ+

∂

σ∂

∂

σ∂

,,((2.28б))

Уравнения (Уравнения (2.28) называют ) называют

дифференциальными уравнениями движения, дифференциальными уравнениями движения,

более кратко их записывают в виде:более кратко их записывают в виде:

iijij

ρω

Уравнения (Уравнения (2.28) не образуют пока замкнутой ) не образуют пока замкнутой

системы, пригодной для решения, так как три системы, пригодной для решения, так как три

уравнения связывают десять неизвестных уравнения связывают десять неизвестных

функций: шесть для функций: шесть для σ

, три , три ω

, а также , а также

плотность плотность ρ..

Большинству процессов обработки металлов Большинству процессов обработки металлов

давлением свойственно то, что удельные давлением свойственно то, что удельные

массовые силы и ускорения достаточно малы массовые силы и ускорения достаточно малы

и ими можно пренебречь. Тогда уравнения и ими можно пренебречь. Тогда уравнения

((2.28) превращаются в дифференциальные ) превращаются в дифференциальные

уравнения равновесия:уравнения равновесия:

∂

σ∂

∂

σ∂

zyx

∂

zyx

yzyyyx

∂

σ∂

∂

σ∂

zyx

или кратко:или кратко:

ij,j

= 0

,,((2.29))

Деформированное состояние в точке тела.Деформированное состояние в точке тела.

Перемещение частиц тела. Перемещение частиц тела.

Тензор абсолютной производной векторного Тензор абсолютной производной векторного

поля скорости перемещения.поля скорости перемещения.

Разложение его на тензор скорости Разложение его на тензор скорости

деформации и тензор вращения.деформации и тензор вращения.

Известно, что движение твердого Известно, что движение твердого

недеформируемого тела можно представить недеформируемого тела можно представить

суммой поступательного и вращательного суммой поступательного и вращательного

движений. Если же тело деформируется, движений. Если же тело деформируется,

то движение будет сложным.то движение будет сложным.

При фиксированном моменте деформации При фиксированном моменте деформации t

перемещение частиц тела определяется полем перемещение частиц тела определяется полем

вектора скорости перемещения вектора скорости перемещения

материальных частиц.материальных частиц.

Рассмотрим точку Рассмотрим точку М деформируемого тела, деформируемого тела,

положение которой можно задать положение которой можно задать

координатами координатами x, y, z ((рис. 3.1).).

Рис. 3.1.

Бесконечно малая окрестность окружает точку Бесконечно малая окрестность окружает точку

М. Положение произвольной точки . Положение произвольной точки М

в этой в этой

окрестности можно задать дополнительным окрестности можно задать дополнительным

вектором с координатами вектором с координатами dx, dy, dz. .

Пусть в точке Пусть в точке М скорость перемещения частиц скорость перемещения частиц

υ = (υ

, υ

). Скорости в точке . Скорости в точке М

будут будут

отличаться от скоростей в точке отличаться от скоростей в точке М на на

величину , которая и определяет величину , которая и определяет

деформированное состояние в окрестности деформированное состояние в окрестности

точки точки М::

)(d

,, υ−υυ−υυ−υ=υ