Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
Продифференцируем выражение (Продифференцируем выражение (3.12) по ) по
времени.времени.
,,((3.13))
Производная , входящая в выражение (Производная , входящая в выражение (3.13), ),
представляет скорость абсолютного представляет скорость абсолютного
изменения объема, рассчитываемую изменения объема, рассчитываемую
по формуле:по формуле:
0
d
d
d
d
d
d
=ρ+=
t
V
V
t
S
t
m
V
t
V
ρ=
d
d
,,((3.14))
После подстановки (После подстановки (3.14) в () в (3.13) и ) и
сокращения на сокращения на , получим выражение:, получим выражение:
v
0
d
d
=ρξ+
ρ
t
,,((3.15))
называемое дифференциальным уравнением называемое дифференциальным уравнением
неразрывности.неразрывности.
Если учесть, что Если учесть, что ξ = ξ
ii
= υ
i,i
, , тогда имеемтогда имеем
0
d
d
=ρυ+
ρ
i,i
t
В частном случае деформации материала, В частном случае деформации материала,
плотность которого не изменяется (плотность которого не изменяется (ρ = const), ),
уравнение неразрывности превращается в уравнение неразрывности превращается в
условие:условие:
которое называют условием не сжимаемости или которое называют условием не сжимаемости или
постоянства объема.постоянства объема.
Другая форма записи данного условия Другая форма записи данного условия ξ = 0..
0=ξ+ξ+ξ=
∂
υ∂
+
∂
υ
∂
+
∂
υ∂
=υ
zzyyxx
z
y
x
i,i
zyx
,,((3.16))
По известному полю скоростей можно По известному полю скоростей можно
установить траектории движения частиц и установить траектории движения частиц и
конечные перемещения конечные перемещения U
x
, U
y
, U
z
..
Пусть какаяПусть какая--нибудь материальная частица нибудь материальная частица
при при t= 0 имела координаты имела координаты x
0
, y
0
, z
0
, а при , а при
t> 0 –x, y, z. Скорости движения . Скорости движения
материальной частицы: материальной частицы:
;; ;; ..
t
x
x
d
d
=υ
t
y
y
d
d
=υ
t
z
z
d
d
=υ
При начальных условиях При начальных условиях t= 0: x= x
0
, y= y
0
,
z= z
0
.
Следовательно, имеем три обыкновенных Следовательно, имеем три обыкновенных
дифференциальных уравнения:дифференциальных уравнения:
)t,z,y,x(
t
x
x
υ=
d
d
)t,z,y,x(
t
y
y
υ=
d
d
)t,z,y,x(
t
z
z
υ=
d
d
,,((3.17))
Поскольку скорости Поскольку скорости υ
i
известны, известны,
т.е. известны правые части уравнения (т.е. известны правые части уравнения (3.17), ),
то интегрируя их, можно получить:то интегрируя их, можно получить:
U
x
= x –x
0
= f
1
(x
0
, y
0
, z
0
, t);
U
y
= y–y
0
= f
2
(x
0
, y
0
, z
0
, t);
U
z
= z–z
0
= f
3
(x
0
, y
0
, z
0
, t).
,,((3.18))
Формулы (Формулы (3.18) называют параметрическими ) называют параметрическими
уравнениями траектории перемещения уравнениями траектории перемещения
материальной частицы при деформировании, материальной частицы при деформировании,
позволяющими отыскать форму и размеры позволяющими отыскать форму и размеры
тела в конечный момент времени тела в конечный момент времени t. .
Дифференцируя сложную функцию, получим:Дифференцируя сложную функцию, получим:
,,((3.19))
t
z
zt
y
yt
x
xtt
iiiii
i
d
d
d
d
d
d
d
d
⋅
∂
υ
∂
+⋅
∂
υ
∂
+⋅
∂
υ
∂
+
∂
υ
∂
=
υ
=ω
Рассмотрим некоторый момент времени Рассмотрим некоторый момент времени t. .
Введем малый, но конечный промежуток Введем малый, но конечный промежуток
времени времени dt, за который частица материала , за который частица материала
получила приращения перемещений:получила приращения перемещений:
tU
xx
dd
υ
=
tU
yy
dd
υ
=
tU
zz
dd
υ
=
Если в этот момент времени Если в этот момент времени t известны известны
компоненты тензора скорости деформации компоненты тензора скорости деформации ξ
ii
, ,
то можно рассчитать приращения то можно рассчитать приращения
деформации, которые приобрела частица за деформации, которые приобрела частица за
время время dt::
t
ijij
dd
ξ
=
ε
,,((3.20))
Таким образом, деформированное состояние в Таким образом, деформированное состояние в
окрестности точки характеризуется окрестности точки характеризуется
симметричным тензором приращения симметричным тензором приращения
деформации:деформации:
для которогодля которого
,,((3.21))
εεε
εεε
εεε
=
ε
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
T
ddd
ddd
ddd
d
)d(d
2
1
dd
ijjijiij
,U,U +=ε=ε
В развернутой форме:В развернутой форме:
xxx
U
x
dd
∂
∂
=ε
yyy
U
y
dd
∂
∂
=ε
zzz
U
z
dd
∂
∂
=ε
∂
∂
+
∂
∂
=ε
yxxy
U
x
U
y
dd
2
1
d
∂
∂
+
∂
∂
=ε
zyyz
U
y
U
z
dd
2
1
d
∂
∂
+
∂
∂
=ε
zxxz
U
x
U
z
dd
2
1
d