Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
Сущность метода линий скольжения Сущность метода линий скольжения
применительно к плоской деформации применительно к плоской деформации
несжимаемого идеально пластичного несжимаемого идеально пластичного
материала. материала.
Дифференциальные уравнения линий Дифференциальные уравнения линий
скольжения. скольжения.
Свойства линий скольжения.Свойства линий скольжения.
Метод разработан для плоской деформации Метод разработан для плоской деформации
несжимаемого идеально пластичного материала.несжимаемого идеально пластичного материала.
Будем полагать, что деформации протекают в Будем полагать, что деформации протекают в
плоскости x0y: плоскости x0y: σ
xxxx
, , σ
yyyy
, , σ
xyxy
определяют напряженное определяют напряженное
состояние, состояние,
а а ϑ
xx
, , ϑ
yy
-- деформированное.деформированное.
Тензор напряжений для плоской деформации Тензор напряжений для плоской деформации
содержит четыре существенных компоненты содержит четыре существенных компоненты
(при (при σ
xyxy
= = σ
yxyx
):):
σ
σσ
σ
σ
=
σ
zz
yyyx
xyxx
T
00
0
0
Для несжимаемого материала справедливо Для несжимаемого материала справедливо
выражениевыражение
Главные напряжения для плоской деформации Главные напряжения для плоской деформации
могут быть найдены из уравнениямогут быть найдены из уравнения
где где I
1
, , I
2
, , I
3
-- соответственно, первый, второй соответственно, первый, второй
и третий инварианты тензора напряжений.и третий инварианты тензора напряжений.
2
22
yyxx
zz
σ
+
σ
=σ=σ=σ
λ
3
- I
1
λ
2
+I
2
λ - I
3
= 0
Его корни Его корни λ
1
, , λ
2
, , λ
3
и есть главные напряжения. и есть главные напряжения.
Учитывая, что одно из главных напряжений Учитывая, что одно из главных напряжений
известно известно
((σ
22
= σ
zz
), можно найти остальные составляющие: ), можно найти остальные составляющие:
;;
..
(
)
2
2
11
42
xy
yyxxyyxx
σ+
σ−σ
+
σ+σ
=σ
(
)
2
2
33
42
xy
yyxxyyxx
σ+
σ−σ
−
σ+σ
=σ
Воспользовавшись условием текучестиВоспользовавшись условием текучести
,,
(
)
Sxy
yyxx
τ=σ+
σ−σ
2
2
4
а также соотношениема также соотношением
2
yyxx
σ
+
σ
=σ
можно записать формулы для можно записать формулы для σ
11
и и σ
33
компактней:компактней:
σ
11
= σ + τ
S
;
σ
22
= σ;
σ
33
= σ - τ
S
.
На основе анализа напряженного состоянияНа основе анализа напряженного состояния
установлено, что , установлено, что , чточто
при учете формул для при учете формул для σ
11
и и σ
33
дает дает τ
max
= τ
S
..
Кроме того, известно, что нормальные напряжения, Кроме того, известно, что нормальные напряжения,
действующие на площадках максимальных действующие на площадках максимальных
касательных напряжений, определяют по формуле касательных напряжений, определяют по формуле
, т.е. , т.е. σ
n
= σ..
Площадки с максимальными касательными Площадки с максимальными касательными
напряжениями наклонены под углом напряжениями наклонены под углом 45°
к площадкам главных напряжений к площадкам главных напряжений σ
11
и и σ
33
и параллельны и параллельны σ
22
..
2
3311
max
σ
−
σ
=τ
2
3311
σ
+
σ
=σ
n
Выделим в теле элемент объема так, чтобы на его гранях Выделим в теле элемент объема так, чтобы на его гранях
действовали нормальные напряжения действовали нормальные напряжения σ ((рис. 42.1).).
Напряженное состояние в любой точке можно Напряженное состояние в любой точке можно
охарактеризовать напряжениями охарактеризовать напряжениями σ и и τ
S
, а также углом , а также углом
между осью между осью x и и τ
max
= τ
S
. Если теперь в плоскости . Если теперь в плоскости
деформации провести линию, которая в каждой своей деформации провести линию, которая в каждой своей
точке касается площадки с максимальным касательным точке касается площадки с максимальным касательным
напряжением, то вдоль нее везде будут действовать напряжением, то вдоль нее везде будут действовать
максимальные касательные напряжения максимальные касательные напряжения τ
S
. Такая линия . Такая линия
называется линией скольжения. Поскольку в каждой называется линией скольжения. Поскольку в каждой
точке имеются две взаимно перпендикулярных точке имеются две взаимно перпендикулярных
площадки максимальных касательных напряжений, то площадки максимальных касательных напряжений, то
через каждую точку можно провести две линии через каждую точку можно провести две линии
скольжения, причем касательные к ним будут взаимно скольжения, причем касательные к ним будут взаимно
перпендикулярны.перпендикулярны.
Рис. 42.1. К задаче на определение К задаче на определение
напряженного состояния в точке методом напряженного состояния в точке методом
линий скольжениялиний скольжения
В плоскости деформации может быть построено В плоскости деформации может быть построено
сколь угодно большое количество линий сколь угодно большое количество линий
скольжения, распадающихся на два взаимно скольжения, распадающихся на два взаимно
ортогональных семейства. Одно из этих семейств ортогональных семейства. Одно из этих семейств
называют семейством линий называют семейством линий α, другое , другое --
семейством линий семейством линий β. Направления линий . Направления линий α и и β
выбирают так, чтобы они образовывали правую выбирают так, чтобы они образовывали правую
систему координат. систему координат.
Для того чтобы охарактеризовать линии Для того чтобы охарактеризовать линии
семейства семейства α, введем угол , введем угол ϕ, который образует , который образует
касательная к линии скольжения касательная к линии скольжения α с осью с осью x. .
Ясно, что Ясно, что ϕ -- есть функция координат есть функция координат x и и y, ,
ϕ=ϕ(x, y)..
Если Если y = y((x) ) --линия линия α, то, то
(вдоль линии (вдоль линии α); (); (42.1б))
аналогично аналогично
(вдоль (вдоль β). (). (42.1в))
Уравнения (Уравнения (42.1б) и () и (42.1в) называют ) называют
дифференциальными уравнениями линий дифференциальными уравнениями линий
скольжения семейства скольжения семейства α и и β соответственно. соответственно.
Принимают, что угол Принимают, что угол ϕ>0, если поворот от оси , если поворот от оси
x к линии к линии α осуществляется против часовой осуществляется против часовой
стрелки.стрелки.
ϕ= tg
d
d
x
y
ϕ−= ctg
d
d
x
y