Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением

Подождите немного. Документ загружается.

Сущность инженерного метода Сущность инженерного метода

(метода тонких сечений) (метода тонких сечений)

нахождения компонентов напряженнонахождения компонентов напряженно--

деформированного состояния деформированного состояния

осесимметричныхосесимметричныхзаготовок в установившихся заготовок в установившихся

процессах пластического деформирования. процессах пластического деформирования.

Примеры решения задач в декартовой системе Примеры решения задач в декартовой системе

координат.координат.

Непреодолимые трудности точного решения Непреодолимые трудности точного решения

системы уравнений теории пластичности системы уравнений теории пластичности

привели к появлению метода, основанного на привели к появлению метода, основанного на

совместном рассмотрении приближенного совместном рассмотрении приближенного

уравнения равновесия и условия уравнения равновесия и условия

пластичности, выраженного в главных пластичности, выраженного в главных

напряжениях. Этот метод, получивший напряжениях. Этот метод, получивший

название инженерного метода (название инженерного метода (методаметода

тонких сечений), позволяет найти тонких сечений), позволяет найти

компоненты напряженнокомпоненты напряженно--деформированного деформированного

состояния состояния осесимметричныхосесимметричныхзаготовок в заготовок в

установившихся процессах пластического установившихся процессах пластического

деформирования.деформирования.

Решение задачи этим методом производится Решение задачи этим методом производится

по следующей схеме:по следующей схеме:

1. Оговариваются принятые допущения.. Оговариваются принятые допущения.

2. Определяется система и выбираются . Определяется система и выбираются

направления осей координат.направления осей координат.

3. Двумя близкими поперечными сечениями . Двумя близкими поперечными сечениями

выделяется элемент деформированного тела, выделяется элемент деформированного тела,

на гранях которого проставляются на гранях которого проставляются

действующие на элемент напряжения. действующие на элемент напряжения.

Предполагается, что нормальные Предполагается, что нормальные

напряжения по указанным сечениям напряжения по указанным сечениям

распределены равномерно и зависят только распределены равномерно и зависят только

от осевой координаты.от осевой координаты.

4. Составляется условие равновесия . Составляется условие равновесия

выделенного элемента (сумма проекций всех выделенного элемента (сумма проекций всех

сил на соответствующую ось приравнивается сил на соответствующую ось приравнивается

к нулю), в результате получается к нулю), в результате получается

обыкновенное дифференциальное обыкновенное дифференциальное

уравнение, связывающее нормальные уравнение, связывающее нормальные

напряжения с касательными.напряжения с касательными.

5. Формулируется приближенное условие . Формулируется приближенное условие

пластичности.пластичности.

6. Решается полученная система уравнений . Решается полученная система уравнений

с учетом граничных условий.с учетом граничных условий.

Сущность метода разберем на примере Сущность метода разберем на примере

определения усилия осадки прямоугольного определения усилия осадки прямоугольного

параллелепипеда. При решении параллелепипеда. При решении

воспользуемся следующими допущениями:воспользуемся следующими допущениями:

-- перемещение частиц тела в направлении перемещение частиц тела в направлении

оси оси z отсутствует (длина тела отсутствует (длина тела L не не

изменяется), поэтому изменение напряжения изменяется), поэтому изменение напряжения

происходит только вдоль оси происходит только вдоль оси x;;

--на свободной поверхности напряжения на свободной поверхности напряжения

= 0;;

-- условия трения принимаются в форме условия трения принимаются в форме

закона закона ЗибеляЗибеля τ = ψ⋅τ

В деформируемом теле выделяем элемент В деформируемом теле выделяем элемент

толщиной толщиной dx, находящийся на расстоянии , находящийся на расстоянии x от от

оси оси y ((рис. 38.1). Действие отброшенных частей ). Действие отброшенных частей

заменяем на напряжения заменяем на напряжения σ

и и σ

+dσ

Рис. 38.1. Схема процесса осадки Схема процесса осадки

прямоугольного параллелепипедапрямоугольного параллелепипеда

СоставляемСоставляемусловиеусловиеравновесияравновесияэлемента,элемента,

приравнявприравнявпроекциипроекциивсехвсехсилсилнанаосьось x нулюнулю:: ∑F

=0..

После сокращения всех составляющих на длину После сокращения всех составляющих на длину L

имеем:имеем:

⋅h–(σ

+ dσ

) ⋅h –2 ⋅τ⋅dx= 0,

а после раскрытия скобок, необходимых а после раскрытия скобок, необходимых

преобразований и умножения на преобразований и умножения на ((--1)1) получим:получим:

dσ

⋅h+ 2 ⋅τ⋅dx= 0.

ОтсюдаОтсюда

⋅

−=σ

Приближенное условие пластичности можно Приближенное условие пластичности можно

записать в видезаписать в виде

SSxxyy

σ≈σ=σ−σ 151

Продифференцируем это выражение по Продифференцируем это выражение по

переменной переменной x::

−

СледовательноСледовательно

xxyy

−=σ=σ

После интегрированияПосле интегрирования

∫

−=

−=σ Cx

где где С -- постоянная интегрирования, постоянная интегрирования,

которая находится из граничных условий.которая находится из граничных условий.

Так как при Так как при xx = = bb / 2 / 2 σσ

xxxx

= 0= 0, то по условию , то по условию

пластичности пластичности σσ

yyyy

= 1,15= 1,15σσ

. .

+⋅

−=σ

151

⋅τ+σ= 151

( )

SSyy

2151151

−

+σ=

+σ+

−=σ

, (, (38.1))