Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением
Подождите немного. Документ загружается.
Таким образом, задача отыскания Таким образом, задача отыскания
напряженного состояния сводится напряженного состояния сводится
к отысканию неизвестных к отысканию неизвестных σ и и ϕ. Подставляя . Подставляя
((42.1г) в уравнения () в уравнения (37.1а) и () и (37.1б), получим), получим
Для упрощения решения выберем новые оси Для упрощения решения выберем новые оси
координат координат S
α
и и S
β
. (Ось . (Ось S
α
, выбираемая вместо , выбираемая вместо
оси оси xx, направлена по касательной к линии , направлена по касательной к линии α, ,
а а S
β
-- по касательной к линии по касательной к линии β).).
02sin2cos2 =
∂
∂ϕ
⋅ϕ+
∂
∂ϕ
⋅ϕτ−
∂
∂σ
yxx
S
02sin2cos2 =
∂
∂ϕ
⋅ϕ−
∂
∂ϕ
⋅ϕτ+
∂
∂σ
xyy
S
В новой системе координат угол В новой системе координат угол ϕ = 0, поэтому , поэтому
уравнения примут вид уравнения примут вид
Так как Так как τ
S
= const, то, то
02 =
∂
∂ϕ
τ−
∂
∂σ
αα
SS
S
02 =
∂
∂ϕ
τ+
∂
∂σ
ββ
SS
S
( )
02 =ϕτ−σ
∂
∂
α
S
S
( )
02 =ϕτ−σ
∂
∂
α
S
S
Отсюда следует:Отсюда следует:
σ -2τ
S
⋅ϕ = const ((вдоль линии вдоль линии α),),
σ + 2τ
S
⋅ϕ = const ((вдоль линии вдоль линии β).).
Последние уравнения являются общим Последние уравнения являются общим
решением дифференциальных уравнений решением дифференциальных уравнений
равновесия, найденным с точностью до равновесия, найденным с точностью до
постоянных интегрирования. Их называют постоянных интегрирования. Их называют
уравнениями Генки. Если в плоскости уравнениями Генки. Если в плоскости
деформации известны какаядеформации известны какая--либо линия либо линия
скольжения (например, скольжения (например, α) и напряжение ) и напряжение σ вв
некоторой точке некоторой точке М этой линии, то тем самым этой линии, то тем самым
определено напряжение определено напряжение σ в любой другой в любой другой
точке точке М
1
этой линии. Действительно, этой линии. Действительно,
в силу уравнений Генки,в силу уравнений Генки,
1
M
1
MMM
22
ϕ
τ
−
σ
=
ϕ
τ
−
σ
SS
В заключении отметим наиболее важные В заключении отметим наиболее важные
свойства линий скольжения.свойства линий скольжения.
1. Напряжение . Напряжение σσ изменяется пропорционально изменяется пропорционально
изменению угла изменению угла ϕϕ вдоль линии скольжения.вдоль линии скольжения.
2. Если известна сетка линий скольжения и . Если известна сетка линий скольжения и
известно в какойизвестно в какой--либо точке напряжение либо точке напряжение σ, ,
то оно может быть вычислено всюду в поле то оно может быть вычислено всюду в поле
линий скольжения.линий скольжения.
3. При переходе от линии скольжения одного . При переходе от линии скольжения одного
семейства к другой линии того же семейства семейства к другой линии того же семейства
вдоль любой линии другого семейства вдоль любой линии другого семейства σ и и ϕ
меняются на одну и ту же величину.меняются на одну и ту же величину.
4. Если между двумя линиями одного семейства . Если между двумя линиями одного семейства
заключен прямой отрезок второго семейства, то все заключен прямой отрезок второго семейства, то все
отрезки второго семейства, заключенные между отрезки второго семейства, заключенные между
данной парой линий первого семейства, также данной парой линий первого семейства, также
будут прямыми (такое поле называют простым).будут прямыми (такое поле называют простым).
55. Вдоль прямой линии скольжения напряженное . Вдоль прямой линии скольжения напряженное
состояние не меняется.состояние не меняется.
6. Если некоторая область состоит из прямых . Если некоторая область состоит из прямых
отрезков линий скольжения, то в ней напряженное отрезков линий скольжения, то в ней напряженное
состояние однородно (подобное поле линий состояние однородно (подобное поле линий
скольжения называют однородным).скольжения называют однородным).
7. К однородному полю линий скольжения . К однородному полю линий скольжения
примыкает простое поле.примыкает простое поле.