Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением

Подождите немного. Документ загружается.

Напряжение на наклонной площадке. Напряжение на наклонной площадке.

Направляющие косинусы. Направляющие косинусы.

Определение тензора напряжений. Определение тензора напряжений.

Симметричность тензора напряжений.Симметричность тензора напряжений.

Закон парности касательных напряжений.Закон парности касательных напряжений.

Напряжение на наклонной площадке (рис. 2.2),

положение которой относительно осей координат

определяется направляющими косинусами

, ,, ,

(рис. 2.2)

)cos(

e,nn

)cos(

e,nn

)cos(

e,nn

Вектором напряжения, действующего в точке Вектором напряжения, действующего в точке

М некоторого сечения, проведенного через некоторого сечения, проведенного через

деформируемое тело, называют величину деформируемое тело, называют величину

∆

→∆ 0

lim

где где -- вектор силы, действующей от вектор силы, действующей от

отброшенной части тела на элемент отброшенной части тела на элемент

поверхности сечения , внешняя единичная поверхности сечения , внешняя единичная

нормаль и к которому .нормаль и к которому .

∆

, , 22..11

Выделим в окрестности точки Выделим в окрестности точки М

деформируемого тела бесконечно малый деформируемого тела бесконечно малый

тетраэдртетраэдр

На каждой грани выделенного из тела На каждой грани выделенного из тела

тетраэдра действуют свои векторы тетраэдра действуют свои векторы

напряжения , , , . напряжения , , , .

Подстрочный индекс у , , показывает Подстрочный индекс у , , показывает

ориентацию имеет нормаль к площадке, на ориентацию имеет нормаль к площадке, на

которой действует напряжение. Каждый из которой действует напряжение. Каждый из

векторов напряжения , можно задать его векторов напряжения , можно задать его

проекциями на координатные осипроекциями на координатные оси

характеризуются составляющими характеризуются составляющими

В краткой записи:В краткой записи:

;nnnf

zxzyxyxxxx

;nnnf

zyzyyyxyxy

.nnnf

zzzyzyxzxz

jiji

,(,(2.3))

,(,(2.4))

коэффициентыкоэффициенты σ

, входящие в выражения входящие в выражения

(2.3), определяют тензор второго ранга, определяют тензор второго ранга,

называемый тензором напряжений:называемый тензором напряжений:













zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

σσσ

,(,(2.5))

Из уравнений (Из уравнений (2.3) вытекает важное ) вытекает важное

заключение: если задан тензор напряжений заключение: если задан тензор напряжений

(т.е. компоненты напряжений по трем взаимно (т.е. компоненты напряжений по трем взаимно

перпендикулярным площадкам, проходящим перпендикулярным площадкам, проходящим

через данную точку деформируемого тела), через данную точку деформируемого тела),

то можно подсчитать напряжения на любой то можно подсчитать напряжения на любой

площадке, наклонной к координатным площадке, наклонной к координатным

плоскостям и заданной направляющими плоскостям и заданной направляющими

косинусами косинусами n

Покажем, что тензор, представленный матрицей Покажем, что тензор, представленный матрицей

компонент (компонент (2.5), симметричный, т. е. ), симметричный, т. е. σ

= σ

. В . В

произвольной точке тела, в которой был произвольной точке тела, в которой был

рассмотрен тензор, выделим элементарный рассмотрен тензор, выделим элементарный

параллелепипед (параллелепипед (рис. 2.4).).

Рис. 2.4..