Презентация - Загиров Н.Н., Иванов Е.В. Механика сплошных сред. Теория обработки металлов давлением

Подождите немного. Документ загружается.

КоэффициентыКоэффициенты γ

i’i

в формулах (в формулах (1.81.8) образуют ) образуют

квадратную матрицу, называемую матрицей квадратную матрицу, называемую матрицей

перехода от старого базиса к новому:перехода от старого базиса к новому:













γγγ

=γ

x'zx'zx'z

z'yy'yx'y

z'xy'xx'x

i'i

, , 1.1.99

Выясним теперь, как образуются проекции Выясним теперь, как образуются проекции

(координаты) (координаты) a

некоторого вектора некоторого вектора в в

трехмерном пространстве при переходе от трехмерном пространстве при переходе от

базиса базиса к базису к базису . Запишем разложение . Запишем разложение

вектора вектора в каждом из этих двух базисов:в каждом из этих двух базисов:

;;

eaa

'i'i

eaa

Приравнивая правые части этих равенств и Приравнивая правые части этих равенств и

учитывая, что (формулы перехода от учитывая, что (формулы перехода от

нового базиса к старому), а нового базиса к старому), а γ

i’i

= γ

ii’’

(при перемене местами индексов (при перемене местами индексов

коэффициенты коэффициенты γ не меняют своего значения). не меняют своего значения).

Получим формулу пересчета новых Получим формулу пересчета новых

составляющих (проекций) вектора по старым составляющих (проекций) вектора по старым

при изменении системы координат:при изменении системы координат:

'i'iii

ii'i'i

, , 1.101.10

Тензором называют физическую или Тензором называют физическую или

геометрическую величины, определяемые геометрическую величины, определяемые

набором чисел набором чисел a

ij…k

(компонентов или (компонентов или

составляющих), которые при изменении составляющих), которые при изменении

системы координат преобразуются согласно системы координат преобразуются согласно

формуле:формуле:

, , 1.111.11

k...ijk'kj'ji'i'k'...j'i

a...a

Скалярная величина называется тензором Скалярная величина называется тензором

нулевой валентности; вектор нулевой валентности; вектор ––это тензор это тензор

первой валентности или ранга; совокупность первой валентности или ранга; совокупность

величин величин a

–– тензор второй валентности.тензор второй валентности.

Рассмотрим алгебраические действия над Рассмотрим алгебраические действия над

тензорами, ограничившись тензорами ранга тензорами, ограничившись тензорами ранга

(валентности) не больше двух.(валентности) не больше двух.

Суммой двух тензоров (обязательно одного ранга) Суммой двух тензоров (обязательно одного ранга)

называют третий тензор, составляющие которого называют третий тензор, составляющие которого

подсчитывают по формуле:подсчитывают по формуле:

= a

+ b

Произведением тензора с составляющими Произведением тензора с составляющими a

на на

действительное число действительное число αα называют тензор, называют тензор,

составляющие которого подсчитывают по составляющие которого подсчитывают по

формуле:формуле:

= α⋅a

ij..

Операцию свертывания (свертку) тензора с Операцию свертывания (свертку) тензора с

компонентами компонентами a

ijk

(ранга не менее двух) (ранга не менее двух)

производят приравниванием друг к другу двух производят приравниванием друг к другу двух

индексов (например, индексов (например, i и и j) и суммированием по ) и суммированием по

повторяющемуся индексу, в результате повторяющемуся индексу, в результате

получается новый тензор, рангом на две получается новый тензор, рангом на две

единицы меньше.единицы меньше.

Пусть задан тензор с компонентами Пусть задан тензор с компонентами a

ijk

, в , в

результате его свертывания по первым двум результате его свертывания по первым двум

индексам получим:индексам получим:

ijk

= a

xxk

+ a

yyk

+ a

zzk

Тензор называется симметричным, если Тензор называется симметричным, если

матрица (матрица (a

) удовлетворяет условию:) удовлетворяет условию:

= a

, т. е, т. е. а

= a

; a

= a

; a

= a

Тензор Тензор aa

ijij

называется называется кососимметричнымкососимметричным, если , если

для него выполнены условия:для него выполнены условия:

= -a

КососимметричнуюКососимметричную (антисимметричную) матрицу (антисимметричную) матрицу

((a

) подробно можно записать в виде:) подробно можно записать в виде:

( )













−−

−=

yzxz

yzyx

xzxy

CCимметрированиеимметрированиетензора тензора –– это построение по это построение по

тензору с компонентами тензору с компонентами a

симметричного симметричного

тензора, компоненты которого определяют по тензора, компоненты которого определяют по

формуле:формуле:

()

(

)

jiijij

aaa +=

При симметрировании тензора элементы При симметрировании тензора элементы

матрицы его компонент на главной диагонали матрицы его компонент на главной диагонали

не изменяются, а остальные элементы, не изменяются, а остальные элементы,

расположенные симметрично главной расположенные симметрично главной

диагонали, попарно усредняются.диагонали, попарно усредняются.

, , 1.121.12

Альтернирование тензора Альтернирование тензора –– это построение по это построение по

тензору с компонентами тензору с компонентами a

кососимметричногокососимметричного

тензора, компоненты которого определяют по тензора, компоненты которого определяют по

формуле:формуле:

Легко убедиться, складывая уравнения (Легко убедиться, складывая уравнения (1.121.12) )

и (и (1.131.13), что ), что

= а

(ij)

+ а

[ij]

[]

(

)

jiijij

aaa −=

, , 1.131.13

Следовательно, любой тензор второго ранга Следовательно, любой тензор второго ранга

можно представить в виде суммы симметричного можно представить в виде суммы симметричного

и и кососимметричногокососимметричноготензоров.тензоров.