Презентация - Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
F(x
1
)
x
1
y
1
y
1
F
(x
)
x
1
y
1
F
1
(x
1
)
F(x
1
)
F
1
(x
1
)
F
1
(x
1
)
x
1
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА
ПРИБЛИЖЕННЫЕ
МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ
НА
ОСНОВЕ
МЕТОДА
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ
27.1. Метод гармонической линеаризации нелинейностей
211
(, )xFxpx=
2011
( ) ( sin ) sin cosxt Fa a a b высшие гармоники
ψ
ψψ
=
⋅=+⋅+⋅+
11
sin , cos .
x
px
aa
ψψ
ω
==
()
qa
ω
′
21 1
(
,
)
(, ) ..
qa
xqa x pxвг
ω
ω
ω
=+ +
2
1
0
1
( , ) ( sin , cos ) sin ,
a
qa Fa a d
aa
π
ωψ
ω
ψψψ
π
== ⋅
∫
2
1
0
1
( , ) ( sin , cos ) cos ,
b
qa Fa a d
aa
π
ωψ
ω
ψψψ
π
′
== ⋅
∫
21
()xFx=
b
x
c
-b
x
2
111
x
1
1
sin ,xa t
ψ
ψω
=⋅ =
211
(, )
() ( , )
qa
x
tqa x px
ω
ω
ω
′
=+
ω
2
0
1
(, ) ( sin )sin ,qa Fa d
a
π
ωψψψ
π
=⋅
∫
2
1
() (i)
Fd
π
′
∫
0
(
,
)(
s
i
n
)
cos ,qa
F
a
d
a
ωψψψ
π
′
=
⋅
∫
x
1
x
2
q' a ω,
()
1
π a⋅
0
2 π⋅
ψF a sin ψ
()
⋅
()
cos ψ
()
⋅
⌠
⎮
⌡
d⋅
1
π a
2
⋅
0
0
xFx()
⌠
⎮
⌡
d⋅ 0
x2
=
q(a) x1
x2
q(a)
x1
Коэффициенты гармонической линеаризации релейных звеньев
x
2
C
b
mb
x1 =a sin ωt
x
1
bmb
-
b
-
mb
-1 ≤ m ≤ 1
B
b
mb
a
x
2
2π
Ψ
Ψ
Входная величина-x
1
A
C
D
-b
-mb
-C
2π
π
Ψ
1
Ψ
2
Ψ
3
Ψ
4
ψ=ωt
C
112
C
ψ 1= arcsin (b/a) ψ2 = π – arcsin(mb/a) ψ3 = π + ψ1 ψ4 = π + ψ2
∫∫∫∫∫∫∫
=++==
12
12
2
1
0
2
000
;2
ψψ
ψ
π
ψ
ψ
ψ
πππ
2
1
2
() sin( )
a
qa C d
ψ
π
ψ
ψψ
=⋅
∫
)
cos
(cos
2
)
(
2
1
ψ
ψ
−
⋅
⋅
=
C
a
q
)
cos
(cos
)
(
2
1
ψ
ψ
π
a
a
q
ψψ
2
sin1cos −=
ψ'
2
arcsin
mb
⋅
a
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
90
0
<
2
2
1
`
i
1
)
`
(
⎟
⎞
⎜
⎛
mb
2
2
22
1
`
s
i
n
1
)
`
cos
(
cos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=−
−
=
−
a
mb
ψ
ψ
π
ψ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅=
22
11
2
)(
a
mb
a
b
a
C
aq
π
⎥
⎦
⎢
⎣
2
2
)sin(sin
2
cos
2
)`(
21
2
1
b
C
mb
b
C
a
C
dC
a
аq
⋅
⋅−
⎟
⎞
⎜
⎛
−
=−⋅−=⋅⋅=
∫
ψψ
π
ψψ
π
ψ
ψ
)1(
2
2
2
m
a
b
C
a
mb
a
b
a
C
−
⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⋅
=
π
π
-
b
С
x
2
2
2
1
4
)(
a
b
a
C
aq −⋅=
π
g(a)
-
b
b
x
1
a
a
π
q' a() 0
a
b
С
x
2
qa()
4c⋅
π
a
1
b
2
2
−⋅
q(
a
)
113
-b
b
С
x
1
π
a
⋅
a
2
q' a()
4− c
⋅
b
⋅
π a
2
⋅
q( )
q`(a)
b
С
x
x
2
4С
π
qa()
4c
⋅
π a⋅
q(a)
c
x
1
x
1
=a
q' a() 0
a
С
x
тоa
x
если
x
С 4
,
;
4
x
2
1
1
2
=
=
⋅
=
π
π
a
,
;
2
1
1
2
Метод гармонического баланса
21
()xFx
=
Х
вх
=
X
2
X
1
X
вх
0
2
1
X
Н.З
.
Л.Ч.
1
sin
п
xa t
ω
=
⋅
() ( i ) i
Fb
211
() (
s
i
n
)
s
i
ncos
ппп
xt
F
ata t
b
t высшие гармоники
ω
ωω
=
⋅=⋅+⋅+
1
-
2-для нулевого полюса
А
ω
1
для
21 1
( ) sin cos sin( )
ппm пн
xt a t b t b t
ω
ωωϕ
=⋅ +⋅ = +
() () () () ()
Н
j
нн
Wa qa jqa Aa e a
ϕ
′
=+ = ⋅
Условие гармонического баланса
2
()
X
Wa
≈
=
1
()
X
Wj
ω
≈
=
114
1
()
Н
Wa
X
≈
=
2
()
Л
Wj
X
ω
≈
=
−
1),()()(
−
=
=
ω
ω
jaWjWaW
Р
Л
H
Графоаналитический метод определения параметров
автоколебательного режима и его устойчивости
),(
)(
1
)( aM
aW
jW
Н
Н
Л
−=−=
ω
)()(
1
)(
aqjaq
aM
Н
′
+
−=−
)()()(
ω
ω
ω
j
VU
j
W
Л
+
= )()()( a
j
VaUa
M
H
+
=
−
Im
R
e
ω
a
a
1
)(
=
A
л
ω
ω
W
л
(jω)
п
ω
п
–M
н
(a)
1
)(
)(
)]()([
−=
+ aj
м
л
нл
e
аA
A
ϕωϕ
ω
1
)(а
A
м
φл(ω) + φн(а) = – (2m+1) π ; где m= 0, ±1, ±2,…
Im
Re
D
0
Im
R
e
D
0
Re
0
D
1
W
л
(jω)
–M
н
(a)
a
Re
D
1
W
л
(jω)
1`→←
2
1``
1
–M
н
(a)
115
МЕТОД ЛЯПУНОВА
Понятие о знакоопределенных, знакопостоянных и знакопеременных функциях
12
( , ,...., )
n
VVxx x
=
12
( , ,...., )
n
VVxx x
22
12
Vx x
=
+
22
12 3
()Vxx cx=+ +
Функция Ляпунова и её производная по времени
12
Vx x
=
+
Функция
Ляпунова
и
её
производная
по
времени
)
,..,
,
(
),..,,(
2
1
2
2
211
1
n
n
x
x
x
F
dx
xxxF
dt
dx
=
=
),..,,(
)
,..,
,
(
21
2
1
2
nn
n
n
xxxF
dt
dx
x
x
x
F
d
t
=
K
dt
)
(
x
x
x
W
dV
n
n
F
x
V
F
x
V
F
x
V
dt
dV
⋅
∂
∂
++⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= ...
2
2
1
1
)
,...,,
(
21 n
x
x
x
W
dt
=
Формулировка теоремы Ляпунова в векторно-матричной форме
12
(, ,....) ,
nn
nijij
Vx x x pxx=
∑∑
12
11
nijij
i
j
==
∑∑
12
( , ,..., )
T
n
Vx x x xPx=
x
Ax=
&
TTT
xxA
=
&
116
xxA
() ( )
TT TTT TT
V x x Px x Px x A Px x PAx x A P PA x=+= + = +
&
&&
() ( )
TT TTT TT
V x x Px x Px x A Px x PAx x A P PA x=+= + = +
&
&&
УСЛОВИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
x2=F(x1)
1
1
()
0
н
Fx
k
x
≤
<
x
2
аrctg k
н
F(x
1
)
x
1
Частотный критерий абсолютной устойчивости В М Попова
Частотный
критерий
абсолютной
устойчивости
В
.
М
.
Попова
F
(
x
1
)
x
2
x
1
(
1
)
Линейная
часть
1
2
()
()
()
() ()
Xp
R
p
Wp
Xp Qp
==−
12
() () () ()QpX p RpX p
=
−
117
Q(p)=a
0
p
n
+ a
1
p
n-1
+…+ a
n
R(p)=b
0
p
m
+ b
1
p
m-1
+…+ b
m
()
()
()
R
p
Wp
Qp
=
1
1
Re(1 ) ( ) 0
н
jhWj
k
ωω
+
+>
W*(jω)=U*(ω)+jV*(ω)
U
*
(
ω
)
=
R
e W
*
(
j
ω
)
=
R
eW
(
j
ω
)
(
)
(
j
)
(
j
)
V
*
(ω) = ω ImW(jω)
Im
Im
Re
W
*
(j )
ω=∞
ω=0
Re
ω=∞
ω=0
W(jω)
ω
ω=1
W
*
(j
ω
)
W(jω)
ω→0
W
*
(jω)
V
*
V
*
U
*
n-
m>1
ω=∞
U
*
n-
m=1
ω=∞
U
*
*
W
*
(jω)
W
*
(jω)
11
Re(1 ) ( ) Re ( ) Im ( )jhWj Wj h Wj
kk
ωω ωω ω
++=− +
118
нн
kk
** **
111
() () 0 ( )
нн
UhV VU
khk
ωω
−+≥ =+