Презентация - Смольников А.П. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.
МОДУЛЬ 1
22 2 11
,, ,, 0Fxx x xx
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
′′′ ′
=
2
2
=
dx
x
dt
′
1
1
=
dx
x
dt
′
0
11
=
x
x
0
22
=
x
x
122
== =0xxx
′′′′
(
)
00
21
,0,0, ,0 0F xx
=
dt
dt
2212021101
bbcxcxcx x x
′′ ′ ′ ′
⋅Δ + ⋅Δ + ⋅Δ = ⋅Δ + ⋅Δ
()
00
21
22
2
0
2
0
0
22
,0,0, ,0
FF
x
x
F
Fx x
x
x
xx
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
′
′
⎜⎟
+
⋅Δ +
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
∂∂
′
+⋅Δ+⋅Δ
′′′
∂
∂
∂
∂
,
2
2
0
F
x
c
⎛⎞
∂
⎜⎟
⎜⎟
′
′
∂
⎝⎠
=
1
0
F
x
c
⎛⎞
∂
⎜⎟
⎜⎟
′
∂
⎝⎠
=
0
F
x
c
⎛⎞
∂
⎜⎟
∂
⎝⎠
=
1
1
0
F
x
b
⎛⎞
∂
⎜⎟
⎜⎟
′
∂
⎝⎠
=−
1
0
0
F
x
b
⎛⎞
∂
⎜⎟
∂
⎝⎠
=−
22
1
0
0
1
0
0
11
0
0
F
Q
x
F
x
xx
′
+⋅Δ+=
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
+⋅Δ
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∂
′
∂
∂
∂
,
.
2
0
x
∂
⎝⎠
2
0
x
∂
⎝⎠
0
2
2
x
x
σ
Δ
=
0
1
1
x
x
ϕ
Δ
=
0
22
0000
101101
22
+=b+bcx σ cx σ cx σ xx
ϕ
ϕ
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
′
′′ ′
⋅
(
)
22
21 1
2
1)( KKpp pTT
σϕ
⋅ + ⋅+⋅= ⋅+ ⋅
22
21 13
11()()pTpTp KT
σϕ
⋅+
⋅
+⋅+⋅= ⋅ ⋅
– постоянная времени звена,[c],
i
T
1
K
– коэффициент усиления (безразмерный).
11
Линеаризация нелинейных дифференциальных уравнений.
12
МОДУЛЬ 1
Соответствия между изображениями и оригиналами
(
L
преобразование)
МОДУЛЬ 1
(
L
-
преобразование)
A
A
A
t
13
ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ СИСТЕМЫ
МОДУЛЬ 1
12
22 2
01 2 2
12
nn n
n
nn n
dx d x d x
dt dt dt
aa a a
x
−
−
−
−
⋅⋅ ⋅
⋅
+⋅ +⋅ ++⋅ =K
Передаточная функция звена
Динамическое звено – это
устройство любого вида и принципа
действия, описываемое
определенным дифференциальным
1
11
01 1
1
mm
m
mm
dt dt dt
dx d x
bbx
dt dt
b
−
⋅−
=⋅ +⋅ ++⋅K
определенным
дифференциальным
уравнением.
1
01
2
1
101
()
()
()
mm
m
nn
n
bp bp b
Xp
Wp
Xp a p ap a
−
−
⋅+⋅ ++
==
⋅+⋅ ++
K
K
Передаточную функцию звена получают из ДУ решенного относительно
требуемой координаты системы. Для чего правую часть уравнения делят на
характеристический полином D(p). Отношения полиномов в правой части при
возмущающих воздействиях и есть Передаточная функция звена.
Для типовой структурной схемы замкнутой САР различают 3 основные ПФ,
п
р
именяемые
д
ля иссле
д
ований:
р д д
W(p)=y(t)/x(t) Ч Wос(p)=Wрег(p) Wо(p) Wос(p) - ПФ разомкнутой системы;
F(p) = y(t)/g(t) - ПФ замкнутой системы;
Fx(p) = x(t)/g(t) - ПФ замкнутой системы по ошибке.
14
Временные характеристики динамических звеньев
Переходная функция h(t) представляет собой переходный процесс на выходе
звена
,
возникаю
щ
ий п
р
ипо
д
аче на его вхо
д
ст
у
пенчатого воз
д
ействия типа
,
щ
р
д
д
у
д
единичной ступенчатой функции.
X1(p)
X2
(p)
X1(p)
(p)
x
1
=1(t
)
x
1
0
при
t≤0
(t) h
x
2
Рис.
3.2
1
)
1(t)=
0
при
t≤0
1 при t>0
x
2
(t)
=
h
(t)
t
0
t
0
МОДУЛЬ 1
15
МОДУЛЬ
1
Временные характеристики динамических
МОДУЛЬ 1
звеньев
X1(p)
X2(p)
X1(p)
X2(p)
X
2
w(t) –функция веса
δ(t)
() 1()
tt
δ
′
=
t
0
t
0
() 1()
tt
δ
=
.
Функция веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную
функцию, поданную на его вход.
Единичная импульсная функция, или дельта-функция, это производная от
единичной ступенчатой функции
16
Частотные характеристики звеньев
Для оценки установившихся режимов более удобно рассматривать
поведение систем при воздействиях, являющихся периодическими
функциями времени: .
x
x
11
cosxX t
ω
=
, где X – амплитуда, ω - угловая
частота.
22
cos( )xX t
ω
ϕ
=+
x
2
x
1
Рис. 3.5
jt
()
jt
в символической форме:
11
jt
xXe
ω
=
22
()
jt
xXe
ω
ϕ
+
=
1
()
jt jt
X
xeexx
ωω
−
′
′′
=+=+
на основании формулы Эйлера
cos
jt
te
ω
ω
112
()
2
xeexx
=+=+
на
основании
формулы
Эйлера
cos
jt
te
ω
ω
=
)
(
1
)(
1
)(
0
2
ωω
ϕ
j
W
m
b
m
jb
m
jb
j
X
++
−
+ K
()
( ) () ( ) ()
j
Wj A Wj A
φω
)
(
1
)(
1
)(
0
1
0
1
2
ω
ωω
ϕ
j
W
n
a
n
ja
n
ja
m
j
e
X
=
++
−
+
=
K
()
( ) () ( ) ()
j
Wj A
e
Wj A
e
φω
ω
ωωω
=
⋅=⋅
2
2
)()(
2
)(
2
)(
ω
ω
ω
ω
A
V
U
j
W
=
+
=
)
(
)(
)(
ω
ω
ωϕ
U
V
arctg=
фаза частотной передаточной функции.
модуль частотной передаточной функции,
17
)
(
ω
U
МОДУЛЬ 1
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
V
–
ω
2
геометрическое место концов
векторов (годограф),
соответствующих частотной
й
ф
2
–ω
1
ω→–∞
U
U(ω
1)
передаточно
й
ф
ункции
)()()(
ω
ω
ω
jVU
j
W
+
=
1
()
Wj
ω
=
ω
2
ω
1
ω
=0
ω→∞
ϕ
(
ω
1)
A(ω
1)
V(ω
1)
при изменении
ω
от 0
д
о
∞
.
()
1
Wj
Tj
ω
ω
+
годограф
ϕ
A
ϕ
0
A
ω
–90°
а)
б)
зависимости модуля и фазы от частоты
18
МОДУЛЬ 1
Понятие об устойчивых минимально-фазовых
звеньях
Звено называется
устойчивым
если при
x
1
1
x
2
Устойчиво
устойчивым
,
если
при
ступенчатом
воздействии на входе
з
в
е
н
а,
е
г
о
вых
од
н
а
я
t t
е
Рис. 3.11
Рис. 3.10
зеа, ео од а
величина
устанавливается на
некото
р
ом
x
1
1
x
2
Неустойчивое
р
определенном значении.
Рис. 3.13
t t
Рис. 3.12
19
МОДУЛЬ 1
Т
ИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
классификация звеньев осуществляется по типу дифференциального
уравнения или по виду передаточной функции.
Безынерционное или пропорциональное звено
x
2 = Kx1
x
1
x
2
h(t)
W(p)=K.
K
t
K
th =
×
=
)(1)(
1
t
K
t
L(ω)=20lgK
V(ω)
K
U(
)
20lgK
L(ω)
W(jω)=K.
0
°
U(
ω
)
АФХ
ω
ω
ϕ(ω)
. ЛАЧХ
0
ϕ(ω)=0°
. ЛФЧХ
l
1
l
2
x
2
x
1
11
1
2
2
Kxx
l
l
x =⋅=
20