Постников Е.А. и др. Моделирование и анализ финансовых рынков

Подождите немного. Документ загружается.

5) За время действия операции состав индекса может измениться

(например, из-за расщепления акций, реструктуризации капитала, со-

кращения, роста или исчезновения компаний).

6) Некоторые биржи накладывают ограничения на короткие про-

дажи акций.

7) Дивиденды на акции заранее неизвестны. Их можно только оце-

нить, и поступают они в разное время.

Следовательно,

хеджирование фьючерсов на фондовый индекс

может быть только приблизительным, а не точным. Вместо единствен-

ной справедливой цены возникает интервал цен.

Индексный арбитраж

Когда рыночные цены не совпадают с теоретическими ценами, то

возникает возможность извлечения прибыли без риска. Возможность

арбитража заставляет цену фьючерса на фондовый индекс оставаться в

определенной зависимости от текущего уровня базисного индекса.

Рассмотрим данный вопрос на гипотетическом примере.

Пример 4.20. Пусть в июне стоимость индекса S&P 500 равна

$100 000. Сравним две инвестиционные стратегии:

Купить акции, входящие в индекс S&P 500, держать их до де-

кабря, продать в день поставки декабрьский фьючерс на индекс. В ре-

зультате надо вложить $100 000, а в будущем получить стоимость S&P

500 и дивиденды на акции (выплаченные до даты поставки).

2. Купить казначейский вексель с погашением в декабре, исполь-

зовать его в качестве маржи

по фьючерсу. Купить декабрьский фью-

черс на индекс и держать его до даты исполнения. В результате: инве-

стор вкладывает $100 000, а получает номинал казначейского векселя и

денежную сумму в виде разности рыночной стоимости индекса S&P

500 и стоимости по фьючерсу $110 000.

Затраты по этим двум стратегиям одинаковые, обе стратегии под-

вержены одинаковой неопределенности (неизвестное

значение индекса

S&P 500 на дату исполнения), а доход в декабре может быть различ-

ным. Такая ситуация называется индексный арбитраж.

Рассмотрим обе стратегии для разных фьючерсных цен.

1) Цена декабрьского фьючерса на индекс равна $110 000, т.е. вы-

ше текущей стоимости индекса. Дивиденды по акциям в декабре $3000,

доход по векселю в декабре $5000.

1A) Инвестор

занимает длинную позицию по первой стратегии и

короткую позицию по второй стратегии (Длинная позиция по страте-

гии означает: сделать то, о чем говорится в стратегии. Короткая пози-

ция: сделать противоположное тому, о чем говорится в стратегии.).

Таблица 4.11

Потоки наличности для варианта 1А

Операции Июнь Декабрь

Длинная позиция

по 1-й стратегии

–$100 000 (купил акции и

держит их у себя)

+ $3000 (дивиденды на акции)

+ $110 000 (поставка акций по

фьючерсу)

Короткая позиция

по 2-й стратегии

+ $100 000 (занял и про-

дал вексель, продал фью-

черс)

–$105 000 (возврат векселя с

доходом)

Итого 0 (но должен вексель) + $8000 (доход)

Инвестор получил от индексного арбитража чистый доход $8000.

Такой доход был гарантирован и не зависел от рыночного значения

индекса.

1Б) Инвестор занимает короткую позицию по первой стратегии и

длинную позицию по второй стратегии.

Таблица 4.12

Потоки наличности для варианта 1Б

Операции Июнь Декабрь

Короткая пози-

ция по 1-й стра-

тегии

+ $100 000 (занял и про-

дал акции)

–$3000 (возврат дивидендов на

акции)

–$110 000 (покупка по фьючерсу

и возврат акций)

Длинная пози-

ция по 2-й стра-

тегии

–$100 000 (купил вексель,

купил декабрьский фью-

черс)

+ $105 000 (продажа векселя с

доходом)

Итого 0 (должен акции) –$8000 (убыток)

2) Цена декабрьского фьючерса на индекс равна $90 000, т.е. ниже

текущей стоимости индекса.

2A) Инвестор занимает длинную позицию по первой стратегии и

короткую позицию по второй стратегии.

Таблица 4.13

Потоки наличности для варианта 2А

Операции Июнь Декабрь

Длинная позиция

по 1-й стратегии

–$100 000 (купил акции

и держит их у себя)

+ $3 000 (дивиденды на акции)

+ $90 000 (поставка акций по

фьючерсу)

Короткая позиция

по 2-й стратегии

+ $100 000 (занял и

продал вексель, продал

фьючерс)

–$105 000 (возврат векселя с до-

ходом)

Итого 0 (должен вексель) –$12 000 (убыток)

2Б) Инвестор занимает короткую позицию по первой стратегии и

длинную позицию по второй стратегии.

Таблица 4.14

Потоки наличности для варианта 2Б

Операции Июнь Декабрь

Короткая позиция

по 1-й стратегии

+ $100 000 (занял и

продал акции)

–$3 000 (возврат дивидендов на ак-

ции)

–$90 000 (покупка по фьючерсу и

возврат акций)

Длинная позиция

по 2-й стратегии

–$100 000 (купил

вексель, купил де-

кабрьский фьючерс)

+ $105 000 (продажа векселя с

процентами)

Итого 0 (должен акции) + $12 000 (доход)

Понятно, что многие участники рынка будут стремиться извлечь

прибыль из сложившейся арбитражной ситуации, и цены придут в рав-

новесное состояние. Нельзя будет извлечь прибыль без риска.

Денежные выплаты на дату исполнения фьючерса на индекс равны:

− по 1-й стратегии

dPP ⋅⋅+

;

− по 2-й стратегии

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅++−

rPPP

Приравняем выплаты по двум стратегиям и получим уравнение эк-

вивалентности, которое выполняется на равновесном рынке. Если оно

не выполняется, то возникает индексный арбитраж.

()

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅++−=⋅⋅+

rPPP

dPP

(4.12)

где P — рыночная стоимость индекса на дату поставки;

— текущая спотовая цена индекса;

d — ставка дивидендов на акции;

t — срок контракта, в днях; y — продолжительность года в днях;

— цена фьючерсного контракта на индекс;

r — ставка доходности по векселю.

Уравнение (4.12) можно переписать следующим образом:

,)(

drPPP

⋅−⋅=− (4.13)

где

drP −=⋅−⋅ )(

— это доставка,

rPI ⋅⋅=

— выгода от владения векселем,

dPB ⋅⋅=

— выгода от владения акциями.

На практике дело усложняется тем, что открытие позиций по фью-

черсам, акциям и казначейским векселям связано с транзакционными

издержками. Дело усложняется тем, что ставка дивиденда и ставка по

казначейским векселям точно не определены. Поэтому индексный ар-

битраж возникает, если в соотношениях (4.12), (4.13) левая и правая

части сильно

отличаются.

4.12. Российский рынок фьючерсов

В силу особенностей российского фондового рынка в части нераз-

витости производных, рынок фьючерсов представлен относительно не-

большим количеством инструментов. Основные площадки, где органи-

зованы торги фьючерсными контрактами, — это ММВБ и РТС.

Сравним объемы торгов на российском валютном, фондовом рын-

ке и рынке производных, представленных биржами ММВБ и РТС.

Таблица 4.15

Объемы торгов на ММВБ от 5.09.05

Секция Объем торгов, млн $

Фондовый рынок 1 107

Гос. облигации 99

Валютный рынок 1 900

Срочный рынок 10

ИТОГО 3 116

Как можно видеть, на ММВБ лидирует валютный рынок, объемы

торгов срочного рынка занимают незначительную часть.

Таблица 4.16

Объемы торгов на РТС от 5.09.05

Секция Объем торгов, млн $

Классический рынок 65

Биржевой рынок 272

FORTS 239

ИТОГО 576

РТС позволяет говорить о сравнимости объемов торгов фондового

(классический и биржевой) и рынка производных (FORTS). Но, срав-

нивая общий объем торгов на ММВБ и РТС, порядка $3,6 млрд, и объ-

ем торгов на срочных рынках, порядка $250 млн, можно подтвердить

наш тезис о неразвитости рынка производных в целом.

На ММВБ в срочной секции ведутся торги фьючерсами на постав-

ку иностранной валюты. На РТС секция FORTS предоставляет воз-

можность торговли производными на голубые фишки российского

фондового рынка.

Рассмотрим список наиболее ликвидных фьючерсов, торговав-

шихся на FORTS в сентябре 2005 года.

Таблица 4.17

Фьючерсы, торговавшиеся на FORTS

Код

REUTERS

Код

контракта

Расшифровка кода

Дата

исполне-

ния

Объем

торгов,

млн р.

ESZ5 EERU-12.05 Контракт на акции РАО

«ЕЭС России» с поставкой с

котировками в рублях и ис-

полнением 15 декабря 2005 г.

15.12.05 1 057

GZZ5 GAZP-12.05 Контракт на акции ОАО

«Газпром» с поставкой с ко-

тировками в рублях и испол-

нением 15 декабря 2005 г.

—״— 1 111

LKZ5 LKOH-12.05 Контракт на акции НК

«ЛУКойл» с поставкой с ко-

тировками в рублях и испол-

нением 15 декабря 2005 г.

—״— 895

M3Z5 MB3-12.05 Контракт на 3-летние обли-

гации Городского облигаци-

онного (внутреннего) займа

Москвы с котировками в

рублях и исполнением 19 де-

кабря 2005 г.

19.12.05 33

RTZ5 RTKM-12.05 Контракт на акции ОАО

«Ростелеком» с поставкой с

котировками в рублях и ис-

полнением 15 декабря 2005г.

15.12.05 22

RIZ5 RTS-12.05 Контракт на индекс РТС с

котировками в пунктах ин-

декса и исполнением 15 де-

кабря 2005 г.

—״— 660

SNZ5 SNGR-12.05 Контракт на акции ОАО

«Сургутнефтегаз» с постав-

кой с поставкой с котиров-

ками в рублях и исполнением

15 декабря 2005 г.

—״— 5 466

Как правило, на бирже одновременно торгуется несколько фью-

черсов на один и тот же базовый актив, но с разными сроками погаше-

ния. Так, например, осенью 2005 года на FORTS шли торги тремя кон-

трактами, в качестве базового актива по которым выступала простая

акция РАО «ЕЭС России».

Таблица 4.18

Фьючерсы на акцию РАО «ЕЭС России»

Код

REUTERS

Код

контракта

Расшифровка кода

Дата

исполнения

ESZ5 EERU-12.05 Контракт на акции РАО «ЕЭС России»

с поставкой с котировками в рублях и

исполнением 15 декабря 2005 г.

15.12.05

ESH6 EERU-3.06 Контракт на акции РАО «ЕЭС Рос-

сии»с поставкой с котировками в руб-

лях и исполнением 15 марта 2006 г.

15.03.06

ESM6 EERU-6.06 Контракт на акции РАО «ЕЭС Рос-

сии»с поставкой с котировками в руб-

лях и исполнением 15 июня 2006 г.

15.06.05

Заметим, что тиккер (код контракта) содержит информацию как о

базовом активе, так и о месяце и годе погашения. Например, EERU —

акция РАО «ЕЭС России», 12.05 — декабрь 2005 года.

Рис. 4.12. Кодировка фьючерса РТС

Код RETURES является международным и используется в ино-

странных торговых системах, которые поддерживаются информацион-

ным агентством Reuters.

Рис. 4.13. Международная кодировка фьючерса RETUERS

В кодировке Reuters месяц представляется не числом, а буквой

английского алфавита.

Фьючерсные контракты позволяют заменить риск на определен-

ность. В следующей главе рассмотрим другой производный инстру-

мент, который позволяет защититься от неблагоприятных изменений

рынка и сохранить возможность получения прибыли при благоприят-

ных обстоятельствах.

XXM.YY

конт

акт месяц год

XXXX-MM.YY

конт

акт месяц год

Вопросы и задачи

1. Брокер занял «короткую» позицию по десяти июньским фью-

черсным контрактам на 5000 бушелей кукурузы каждый по $2 за бу-

шель. Брокер вносит на депозит $5000 в качестве маржи. Какая сумма

будет числиться на маржевом счете брокера, если цена кукурузы под-

нимется до $2,20 за бушель? Что произойдет, если цена бушеля куку-

рузы упадет до

$1,80?

2. Брокер только что купил четыре сентябрьских фьючерсных кон-

тракта по 5000 бушелей кукурузы, каждый по $1,75 за бушель. Перво-

начальная маржа составляет 3 %. Поддерживающая маржа равна 80 %

от первоначальной маржи. А) Какую сумму первоначальной маржи

должен внести брокер? Б) Какая сумма будет числиться на счете бро-

кера, если сентябрьская цена кукурузы поднимется до $1,85?

В) Какая

сумма будет числиться на счете брокера, если сентябрьская цена куку-

рузы упадет до $1,70? Получит ли он маржевое уведомление?

3. Фирма продала (короткая позиция) пять декабрьских фьючерс-

ных контрактов на 1000 кг сала каждый, по 40 р./кг. Первоначальная

маржа составляет 10 %. Цены менялись по дням следующим образом:

42; 44; 39; 37. Позиция закрыта по цене 38

р./кг. Рассчитать денежные

потоки фирмы и сумму на маржинальном счете, если все выплаты про-

изводятся на следующий день. Сделать вывод.

4. Согласно примеру в разделе 4.2 июльская фьючерсная цена на

пшеницу $4 за бушель, в контракте 5000 бушелей. Брокер занимает

«длинную» позицию по фьючерсному контракту и «короткую» пози-

цию по активу (т.

е. купил фьючерс, продал актив). Докажите, что бро-

кер получит 1) выигрыш, если а) базис > 0 и сужается, б) базис < 0 и

расширяется; 2) проигрыш, если а) базис > 0 и расширяется, б) базис <

0 и сужается.

5. Брокер занял «короткую» позицию по фьючерсу на индекс, ко-

торый равен 350 и «длинную» по портфелю акций. Будет ли он

ожи-

дать сужения базиса, если спот-цена индекса 330? Поясните на при-

мере.

6. Какие рыночные силы могут привести к ситуации «нормального

бэквардейшн» или «нормального контанго» на рынке конкретного

сельскохозяйственного или сырьевого товара?

7. Имеется фьючерсный контракт на поставку 2000 фунтов ман-

го — $2 за фунт. Хранение манго в течение трех месяцев обходится в

$0,10 за фунт. Чему должна равняться цена фьючерсного контракта?

8. Берд Линн владеет известной картиной Ренуара, текущая ры-

ночная цена которой составляет $5 000 000. В начале каждого года

Берд платит страховку за картину в сумме $200 000. Берд может отдать

картину местной художественной галерее в аренду за $300 000, кото-

рые выплачиваются в конце года. Берд думает продать картину по

фьючерсному контракту с поставкой через год

. Какова действительная

цена фьючерсного контракта, если безрисковая ставка составляет 5 %?

9. Рассчитать цену процентного фьючерса, если 3-месячная про-

центная ставка 8 % годовых, а 6-месячная ставка — 10 % годовых. Да-

та сделки 20.01.04.

10. Текущий обменный курс между евро и американским долларом

составляет $1,40 за евро. Какой должна быть шестимесячная фьючерсная

цена американского доллара в евро, если

шестимесячная безрисковая

ставка равна 3 % в США и 3,5 % в Европе? Почему обменный фьючерс-

ный курс больше или меньше текущего спотового обменного курса?

11. Годичная фьючерсная цена денежной единицы страны Уто-

пии — дармы — равна $2,03 за дарму. Процент, которым жертвуют,

продавая дармы на фьючерсном рынке вместо спотового, составляет

$0.0591. Выгода от владения дармами вместо

их продажи равна

$0,0788. Какой должна быть безрисковая ставка в этой стране согласно

паритету процентных ставок, если годичная безрисковая ставка состав-

ляет 3 %?

12. Какой должна быть цена трехмесячного фьючерсного контрак-

та на 90-дневный казначейский вексель, если спотовая цена шестиме-

сячного казначейского векселя равна сейчас $98, а трехмесячная без-

рисковая ставка составляет 1 %?

13.

Слиппер Сулливан купил пять декабрьских фьючерсных кон-

трактов на S&P 500 по 310. Каков будет выигрыш Слипера в долларах,

если индекс S&P 500 поднимется до 318?

14. Проверить возможность арбитража и построить комбинацию,

позволяющую извлечь прибыль без риска из следующей рыночной си-

туации. В январе цена индекса равна $100 000, дивиденды на акции со-

ставляют примерно 20 % годовых, доход по

векселю с погашением в

июне 10 % годовых. Цена июньского фьючерса на индекс $110 000.

15. Предположим, что текущее значение S&P 500 равно 200 (в

«терминах индекса»). Ожидается, что ставка дивиденда акций в индек-

се за следующие шесть месяцев составит 4 %. Новый выпуск шестиме-

сячных казначейских векселей продается сейчас с доходностью 6 %.

Какова теоретическая цена шестимесячного фьючерсного контракта на

S&P 500?

5. ОПЦИОН

5.1. Понятие опциона

Опцион — контракт, который дает обладателю право продать (ку-

пить) определенное количество базового актива по определенной цене

исполнения, в любой момент в течение определённого срока.

Лицо, купившее опцион и таким образом получившее право при-

нимать решение, называется покупателем (держателем) опциона, кото-

рый должен платить за это право. Лицо, продавшее опцион и отвечаю

щее на решение покупателя, называется продавцом (подписчиком) оп-

циона.

Сумма, которую платит покупатель продавцу, называется премией

или ценой опциона (С).

Различают опционы покупателя и продавца. Это разные и незави-

симые типы ценных бумаг, и купля/продажа одного из них не влечёт

каких-либо действий с другим.

Опцион покупателя (опцион call («

колл»)) — это соглашение, по

которому продавец обязан продать, а покупатель имеет право купить

актив в некоторый момент времени (t = Т) в будущем по определенной

цене исполнения (k), согласованной при заключении контракта (t = 0).

Прибыль покупателя call-опциона в момент исполнения (T) опре-

деляется по формуле

⎩

⎨

⎧

−

=−=

,,0

)(

kSkS

kSf

Tcall

(5.1)

где S

— рыночная цена актива, k — еще называется страйк.

Рис. 5.1. График реальной прибыли владельца call опциона

Пример 5.1. Инвестор B купил call-опцион у инвестора W, позво-

ляющий В купить у W 100 акций компании XXX по $50 за акцию в лю-

бой момент в течение последующих шести месяцев (T = 6 мес). Значит,

цена исполнения контракта (цена покупки акций в будущем) равна k =

100 · 50 = $5000. В настоящее время акции компании XXX продаются

на бирже по

$45 за штуку. B полагает, что курс обыкновенных акций

XXX существенно вырастет за последующие 6 месяцев. W считает, что

курс акций не поднимется за этот период времени выше $50. Однако,

–c

Прибыль

подписывая контракт, W идет на риск и требует за это компенсацию $3

за акцию — премия за опцион. Таким образом, B платит $300 инвесто-

ру W, чтобы он подписал опционный контракт.

Если курс акции XXX в дальнейшем составит $60, то покупка ак-

ций обойдется инвестору W в S

= $6000. Затем W передаст 100 акций

B и получит за них $5000. Таким образом, инвестор W потеряет 1000 –

300 = $700. Инвестор В, продав эти же акции на рынке за $60, получит

доход 1000 – 300 = $700.

Если курс акции XXX в дальнейшем составит $46, тогда инвестору

В будет невыгодно покупать дороже (за $50) и он не предъявит опцион

к исполнению. В результате потери инвестора

В составят $300 — пре-

мия за опцион.

Опцион продавца (опцион put («пут»)) — это соглашение, по кото-

рому продавец обязан купить, а покупатель имеет право продать ак-

тив в некоторый момент времени (t = Т) в будущем по определенной

цене исполнения (k), согласованной при заключении контракта (t = 0).

Прибыль покупателя опциона put в момент исполнения (T)

определяется

по формуле

⎩

⎨

⎧

−

=−=

.,0

)(

kSSk

Skf

Tput

(5.2)

Рис. 5.2. График реальной прибыли владельца put опциона

Пример 5.2. Инвестор B купил put опцион у инвестора W, позво-

ляющий В продать W 100 акций компании YYY по $30 за акцию в лю-

бой момент в течение последующих 6 месяцев (T = 6 мес). Цена испол-

нения контракта (цена продажи акций в будущем) равна k = 100 · 30 =

$3000. В настоящее время акции YYY продаются на бирже по $35 за

штуку (S

= $3500). Инвестор B полагает, что курс обыкновенной ак-

ции YYY существенно упадет в течение следующих 6 месяцев. Инве-

стор W считает, что курс акции не упадет ниже $30 за этот период.

Подписывая контракт, W идет на риск и требует за это компенсацию $2

за акцию — это премия за опцион. B платит W $200 за опцион.

Если

курс акции YYY в дальнейшем составит $40, тогда инвестору

В будет невыгодно продавать дешевле (по $30), чем на рынке. Опцион

обесценивается, и потери инвестора В равны премии за опцион в $200.

-c

Прибыль