Постников Е.А. и др. Моделирование и анализ финансовых рынков

Подождите немного. Документ загружается.

111

3. Рассчитаем характеристику δ по формуле (5.27):

.8384,0$9240,67624,7

−

=δ

Вывод. С ростом цены акции растет цена опциона покупателя, по-

этому характеристика δ положительна. С ростом цены акции на 100

пунктов, цена опциона вырастет на 83,84 пункта. Опцион выгодный.

4. Рассмотрим, как меняется характеристика δ при изменении цены

акции для долгосрочного опциона (T = 2) и для краткосрочного опцио-

на (Т = 30/360, т. е. до погашения

опциона осталось 30 дней). Осталь-

ные данные остаются неизменными. В табл. 5.2 δ рассчитана так же,

как в пунктах 1, 2, 3 данного примера.

Таблица 5.2

Изменение характеристики δ, $

Цена акции 10 20 25 30 40 50

Цена опциона

(T = 2)

0,0012

0,9659

3,2833

6,9240

16,1213

26,0134

(T = 2)

0,0028

0,3388

0,6387

0,8384

0,9767

0,9972

Цена опциона

(T = 30/360)

0,0000

0,2392

4,0894

14,0865

24,0865

(T = 30/360)

0,0000

0,4028

0,9976

1,0000

Покажем зависимости на графиках.

0 102030405060

Цена акции, $

Цена опциона, $

2 года

30 дней

Рис. 5.15. Зависимость цены опциона от цены акции

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

0 102030405060

Цена акции, $

Дельта, $

2 года

30 дней

Рис. 5.16. Зависимость характеристики δ от цены акции

112

Вывод. Из рис. 5.16 видно, что характеристика Дельты меняется

плавно для долгосрочного опциона. По мере приближения дня испол-

нения она меняется более резко. Это отражает постепенное прояснение

вопроса: будет опцион исполнен или нет. За много месяцев до испол-

нения ответ совершенно неясен. По мере приближения дня исполнения

остается все меньше возможностей для

существенного изменения цены

акции. Становится все более ясно, будет опцион при исполнении вы-

годным или невыгодным.

Тетта

Тетта (θ) — это изменение цены опциона при уменьшении на еди-

ницу (один день) срока до погашения:

),()

360

( TcTc −−=θ (5.28)

где с — цена опциона, вычисленная с помощью модели Блэка — Шо-

улса. Характеризует поведение опциона во времени и показывает ко-

личественно, как уменьшается временная стоимость за один день. Вы-

годные и невыгодные опционы имеют в начальный момент времени

небольшую временную стоимость, которая уменьшается медленно,

почти линейно. У справедливого опциона временная стоимость

боль-

шая, сохраняется почти постоянной больше половины времени, а при

приближении срока погашения быстро убывает. Таким образом, убы-

вание во времени характерно для справедливых опционов вблизи дня

погашения. Для других опционов и/или периодов времени оно замет-

ной роли не играет.

Пример 5.13. Показать изменение временной стоимости для при-

мера 5.12 с помощью характеристики θ.

1. Для заданных условий стоимость опциона рассчитана в при-

мере 5.12.

()

.9240,6$)2(

cТc

2. Рассчитаем стоимость опциона по формуле (5.9) при уменьше-

нии срока до погашения на один день.

()

() ()

.9205,6$6476,0269303,030

360

22,0

360

2,0

04,0

360

22,0

360

2,0

04,0

30)

360

2(1

360

204,0

360

204,0

=⋅−⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅=−=−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅−

ФeФ

Фe

ФcTc

113

3. Рассчитаем характеристику θ по формуле (5.28).

$0035,09240,69205,6

−

=θ .

Вывод. При уменьшении срока цена опциона покупателя уменьша-

ется, поэтому характеристика θ отрицательная. В задаче, при уменьше-

нии срока до погашения на один день цена опциона уменьшается на

0,35 пунктов.

4. Рассмотрим, как меняется характеристика θ при изменении сро-

ка до погашения для выгодного (текущая цена акций S

= $40) и спра-

ведливого опциона (текущая цена акций S

= $26). Остальные данные

остаются неизменными. В табл. 5.3 θ рассчитывается так же, как в

пунктах 1, 2, 3 данного примера. Временная стоимость опциона поку-

пателя равна

−− )(

kSc

call

Таблица 5.3

Изменение характеристики θ при изменении срока до погашения, $

Срок

до погашения

2 года

1,5 го-

да

1 год

8 меся-

цев

4 меся-

ца

1 месяц 2 дня

Цена выгодного

опциона 16,1213 15,5782 15,0391 14,6881 14,3444 14,0865 14,0058

Временная стои-

мость выгодного

опциона

2,1213 1,5782 1,0391 0,6881 0,3444 0,0865 0,0058

θ для выгодного

опциона –0,0030 –0,0030 –0,0030 –0,0029 –0,0029 –0,0029 –0,0029

Цена справедли-

вого опциона,

равная времен-

ной стоимости

3,9220 3,2907 2,5805 2,0339 1,3692 0,6420 0,1575

θ для справедли-

вого опциона –0,0033 –0,0037 –0,0043 –0,0049 –0,0064 –0,0115 –0,0467

Покажем зависимости на графиках.

00,511,52

Срок до погашения, года

Временная стоимость, $

Выгодный опцион

Справедливый

опцион

Рис. 5.17. Зависимость временной стоимости опциона от срока

114

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

00,511,52

Срок до погашения, года

Тетта, $

Выгодный опцион

Справедливый опцион

Рис. 5.18. Зависимость характеристики θ от срока

Вывод. Из рис. 5.17 видно, что выгодный опцион имеет меньшую

временную стоимость, чем справедливый опцион. Рис. 5.18 показы-

вает, что у выгодного опциона характеристика θ практически не

меняется, значит, убывание стоимости со временем постоянно.

Стоимость справедливого опциона на протяжении двух третей срока

уменьшается медленно (θ = –

0,0033; – 0,0037; – 0,0043), а при

приближении дня исполнения — все сильнее (θ = –

0,0115; – 0,0467).

Это подтверждает, что справедливый опцион примерно 70 % срока об-

ращения сохраняет больше половины временной стоимости, а потом

она быстро исчезает.

Рассмотрим, как меняется характеристика θ при изменении це-

ны акции.

Таблица 5.4

Изменение характеристики θ, при изменении цены акции, $

Цена акции 10 20 25 30 40 50

Цена опциона (T = 2) 0,0012 0,9659 3,2833 6,9240 16,1213 26,0134

θ (T = 2)

0,0000 –0,0020 –0,0032 –0,0035 –0,0030 –0,0027

Цена опциона

(T = 30/360) 0,0000 0,0000 0,2392 4,0894 14,0865 24,0865

θ (T = 30/360)

0,0000 0,0000 –0,0088 –0,0033 –0,0029 –0,0029

На рисунке изменение θ более понятно.

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0 102030405060

Цена акции, $

Тетта, $

2 года

30 дней

Рис. 5.19. Зависимость характеристики θ от цены акции

115

Вывод. Рис. 5.19 еще раз подтверждает, что характеристика Тетты

более выражена для справедливых опционов (S

= k = $26) незадолго до

исполнения (30 дней). Также видна ассиметрия между выгодными и

невыгодными опционами, связанная с затратами на поддержание

позиции.

Вега

Вега (K) — это изменение премии за опцион при изменении на

единицу (1 %) волатильности:

).()01,0(

−

(5.29)

Характеризует чувствительность опционной премии к волатильно-

сти. Высокая волатильность означает более высокую неопределен-

ность. Поэтому опцион стоит тем дороже, чем больше волатильность.

В основном характеристика имеет смысл для долгосрочных опционов.

Пример 5.14. Рассчитать характеристику K для примера 5.12.

1. Для заданных условий стоимость опциона рассчитана в при-

мере 5.12.

()

.9240,6$)2,0(

σ cc

2. Рассчитаем стоимость опциона по формуле (5.9) при увеличении

волатильности на 1 %.

()

() ()

.0354,7$6027,0268997,030

221,0

21,0

04,0

221,0

21,0

04,0

30)21,0(01,0

204,0

=⋅−⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅==+σ

⋅−

ФeФ

Фe

Фcc

3. Рассчитаем характеристику K по формуле (5.29).

1114,0$9240,60354,7

−

Вывод. При увеличении волатильности на 1 % цена опциона поку-

пателя увеличивается, поэтому характеристика K положительная. В

примере увеличение волатильности с 20 % до 21 % вызвало повышение

опционной премии на 11,14 пунктов.

4. Рассмотрим, как меняется характеристика K при изменении во-

латильности для долгосрочного опциона (T = 2) и для краткосрочного

опциона (Т = 30/360). Остальные данные остаются неизменными. В

табл

. 5.5 K рассчитана так же, как в пунктах 1, 2, 3 данного примера.

116

Таблица 5.5

Изменение характеристики K

Волатильность,

1 5 10 15 20 30 40

Цена опциона

(T = 2), $ 5,9990 5,9994 6,0918 6,4268 6,9240 8,1363 9,4598

K (T = 2), $ 0,0000 0,0026 0,0488 0,0896 0,1114 0,1294 0,1347

Цена опциона

(T = 30/360), $ 4,0865 4,0865 4,0865 4,0866 4,0894 4,1316 4,2431

K (T = 30/360), $ 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0015 0,0080 0,0146

Покажем зависимости на графиках.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Волатильность, %

Цена опциона, $

2 года

30 дней

Рис. 5.20. Зависимость цены опциона от волатильности

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Волатильность, %

Вега, $

2 года

30 дней

Рис. 5.21. Зависимость характеристики K от волатильности

Вывод. Из рис. 5.20, 5.21 видно сильное влияние волатильности на

стоимость долгосрочных опционов. Чем больше волатильность, тем

дороже цена опциона. Поэтому понятно использование характеристики

K для долгосрочных опционов.

5. Рассмотрим, как меняется характеристика K при изменении це-

ны акции.

117

Таблица 5.6

Изменение характеристики K при изменении цены акции, $

Цена акции 10 20 25 30 40 50

Цена опциона

(T = 2) 0,0012 0,9659 3,2833 6,9240 16,1213 26,0134

K (T = 2) 0,0009 0,1004 0,1354 0,1114 0,0366 0,0079

Цена опциона

(T = 30/360)

0,0000 0,0000 0,2392 4,0894 14,0865 24,0865

K (T = 30/360) 0,0000 0,0000 0,0244 0,0015 0,0000 0,0000

На рисунке показано изменение Вега.

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

0 102030405060

Цена акции, $

Вега, $

2 года

30 дней

Рис. 5.22. Зависимость характеристики Вега от цены акции

Вывод. С одной стороны, максимальные значения характеристика

Вега принимает для справедливых опционов (S

= k). С другой

стороны, для долгосрочных опционов (Т = 2 года) Вега принимает

большие значения в более широкой области изменения цены акции,

чем для краткосрочных опционов (T = 30/360), так как

чувствительность к волатильности свойственна в первую очередь

долгосрочным опционам.

Ро

Ро (ρ) — это изменение премии за опцион при изменении на 1 %

процентной ставки:

).()01,0(

−

=ρ (5.30)

Показывает количественно, как изменяется опционная премия при

изменении процентных ставок. Поскольку процентные ставки относи-

тельно стабильны, эта характеристика используется редко, в основном

для долгосрочных опционов.

Пример 5.15. Рассчитать характеристику ρ для примера 5.12.

1. Для заданных условий стоимость опциона рассчитана в примере 5.12.

118

()

.9240,6$)04,0(

= crc

2. Рассчитаем стоимость опциона по формуле (5.9) при увеличении

процентной ставки на 1 %.

()

() ()

.2817,7$7181,0260009,130

22,0

2,0

05,0

22,0

2,0

05,0

30)05,0(01,0

205,0

=⋅−⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅==+

⋅−

ФeФ

Фe

Фcrc

3. Рассчитаем характеристику К по формуле (5.29).

3576,0$9240,62817,7

−

Вывод. Рост процентной ставки на 1 % вызывает увеличение цены

опциона покупателя, поэтому характеристика ρ положительная. Уве-

личение процентной ставки с 4 % до 5 % вызвало рост опционной пре-

мии на 35,76 пунктов.

4. Рассмотрим, как меняется характеристика ρ при изменении про-

центной ставки для долгосрочного опциона (T = 2) и для краткосрочно-

го опциона (Т = 30/360). Остальные данные остаются

неизменными. В

табл.5.7 ρ рассчитана так же, как в пунктах 1, 2, 3 данного примера.

Таблица 5.7

Изменение характеристики Ро

Процентная

ставка, %

1 4 7 10 15 20

Цена опциона

(T = 2), $

5,8775 6,9240 8,0054 9,1008 10,9084 12,6390

ρ (T = 2), $ 0,3436 0,3576 0,3645 0,3649 0,3539 0,3331

Цена опциона

(T = 30/360), $ 4,0250 4,0894 4,1537 4,2179 4,3247 4,4311

ρ (T = 30/360), $ 0,0215 0,0215 0,0214 0,0214 0,0213 0,0212

Покажем зависимости на графиках.

0 5 10 15 20

Процентная ставка, %

Цена опциона, $

2 года

30 дней

Рис. 5.23. Зависимость цены опциона от процентной ставки

119

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 5 10 15 20

Процентная ставка, %

Ро, $

2 года

30 дней

Рис. 5.24. Зависимость характеристики ρ от процентной ставки

Вывод. Из рисунков 5.23 и 5.24 видно, что изменение процентных

ставок больше влияет на цену долгосрочных опционов (Т = 2), чем

краткосрочных (Т = 30/360). При больших значениях изменение про-

центной ставки на 1 % вызывает меньший эффект (r = 20 %, то ρ =

0,3331), чем при малых значениях ставки (r = 7 %, ρ = 0,3645).

5. Рассмотрим, как меняется характеристика ρ при изменении цены

акции

Таблица 5.8

Изменение характеристики ρ при изменении цены акции, $

Цена акции 10 20 25 30 40 50

Цена опциона

(T = 2)

0,0012 0,9659 3,2833 6,9240 16,1213 26,0134

ρ (T = 2) 0,0003 0,1076 0,2448 0,3576 0,4540 0,4722

Цена опциона

(T = 30/360) 0,0000 0,0000 0,2392 4,0894 14,0865 24,0865

ρ (T = 30/360) 0,0000 0,0000 0,0056 0,0215 0,0216 0,0216

Покажем результаты расчетов на графике.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 102030405060

Цена акции, $

Ро, $

2 года

30 дней

Рис. 5.25. Зависимость характеристики ρ от цены акции

Вывод. На рис. 5.25 еще раз показано, что характеристика ρ имеет

смысл для долгосрочных опционов. С ростом цены акции растет

значение ρ.

120

5.6. Опционные стратегии

Базисные опционные стратегии

Опционы позволяют спекулировать:

на цене опциона, например, купить опцион по одной цене, а

продать (закрыть позицию) по более высокой цене;

цене актива, например, по call-опциону купить дешевый актив и

продать его на рынке дороже.

Действуя на рынке, торговец может открывать одну или несколько

взаимосвязанных позиций по опционам с целью хеджирования или по-

лучения прибыли. Такие опционные стратегии основываются:

−

на соотношении рыночных цен опционов, которые относитель-

но устойчивы;

−

прогнозе будущей динамики рыночной цены актива или цены

опциона на этот актив.

Будем использовать следующие обозначения.

Цена исполнения опциона равна k, цена опциона с, рыночная цена

базисного актива S

{+1} — возрастающая часть графика,

{–1} — убывающая часть графика,

{0} — горизонтальная часть графика.

Базисные опционные стратегии

1) Покупка call-опциона

Обозначение +Call или {0, +1}

Используется при ожидаемом рос-

те цен базисного актива.

Прибыль при S

> k + c, неограни-

ченна;

нулевой доход при S

= k + c;

максимальный риск равен цене

опциона с.

2) Продажа сall-опциона

Обозначение –Call или {0, –1}

Используется при ожидаемом паде-

нии цен базисного актива. Продавец

надеется, что опцион будет невыгод-

ным.

Прибыль при S

< k + c не больше с;

нулевой доход при S

= k + c;

максимальный убыток неограничен.

Прибыль

–c

Прибыль