Постников Е.А. и др. Моделирование и анализ финансовых рынков

Подождите немного. Документ загружается.

121

3) Покупка put-опциона

Обозначение + Put или {–1, 0}

Используется при ожидаемом паде-

нии цен базисного актива.

Прибыль при S

< k – c;

нулевой доход S

= k – c;

максимальный риск равен цене оп-

циона с.

4) Продажа put-опциона

Обозначение –Put или {+1, +1}

Используется при ожидаемой малой

подвижности цен базисного актива.

Продавец надеется, что опцион бу-

дет невыгодным.

Прибыль при S

< k – c; не больше с;

нулевой доход при S

= k – c;

максимальный убыток равен k – c.

5) Покупка актива на сумму k

Обозначение +Актив или {+1, +1}

Используется при ожидаемом росте

цен базисного актива.

Прибыль при S

> k, неограниченна;

нулевой доход при S

= k;

максимальный риск равен k.

6) Продажа актива на сумму k

Обозначение –Актив или {–1, –1}

Используется при ожидаемом паде-

нии цен базисного актива.

Прибыль при S

< k;

нулевой доход при S

= k;

максимальный риск неограничен.

Часто используемые на практике опционные стратегии.

1) Арбитражные комбинации — стремятся извлечь выгоду из

временных нарушений паритета цен.

2) Спрэды — одновременная покупка и продажа опционов одного

вида (call или put) на один и тот же актив.

3) Комбинационные стратегии — одновременная покупка и про-

дажа опционов разных видов (call и put) на один и тот же актив.

Рассмотрим

их подробнее.

Арбитражные комбинации

ибыль

–c

ибыль

122

Рассмотрим следующую ситуацию: инвестор покупает актив и

справедливый put-опцион на этот же актив.

Если цена актива в момент исполнения будет меньше цены испол-

нения, то чистые потери инвестора будут равны премии, выплаченной

за опцион, которая фиксирована.

Если цена актива в момент исполнения будет больше цены испол-

нения, то put опцион не будет

предъявлен к исполнению. Инвестор

продаст активы на рынке, и доход = прибыль – премия за опцион.

Характер выплат по этой стратегии аналогичен call-опциону на тот

же актив. Если цены установлены справедливо, то выплаты в точности

одинаковы (принцип put-call эквивалентности).

Покупка основного актива {+1, +1}

Покупка put-опциона {–1, 0} .

Итог {0, +1} — покупка call-опциона.

Возникновение арбитражных ситуаций напрямую связано с поня-

тием соотношения put-call эквивалентности, описывающим взаимо-

связь между ценами опционов на активы и активами. Перепишем соот-

ношения равновесия цен (5.15) и (5.26) в другом виде.

Для опционов на актив

call

– с

put

= S

– ke

-rT

, (5.1)

где с

call

— цена опциона покупателя, с

put

— цена опциона продавца.

Для опционов на валюту

TrTr

putcall

keeScc

−−

−=−

, (5.2)

где r1– ставка по ценовой валюте, r2 — ставка по основной валюте,

— текущий курс обмена валюты, k — курс основной валюты (2), вы-

раженный в валюте (1), курс исполнения опциона.

Если в какой-то момент времени цены на call-опцион, put-опцион и

активы меняются так, что эти соотношения нарушаются, то возникает

возможность безрискового арбитража. Можно извлечь прибыль с по-

мощью одной из стратегий.

1) Конверсия

Продажа call-опциона

{0, –1}

Покупка put-опциона {–1, 0} с такой же ценой и датой ис-

полнения

Покупка основного актива {+1, +1}

Итог {0, 0}

Портфель имеет абсолютно горизонтальный график.

2) Реверс

Покупка call-опциона {0, +1}

123

Продажа put-опциона {+1, 0} с такой же ценой и датой ис-

полнения

Продажа основного актива {–1, –1}

Итог {0, 0}

Пример 5.1. Оценить равновесие на рынке, если текущий обмен-

ный курс S

= 29,56 р./$, цены опционов на $1 Ccall = 0,45 р., Cput =

1,35 р., цена исполнения k = 30 р./$, срок 3 месяца (T = 3/12), непре-

рывные ставки по долларам r1 = 4 %, по рублям r2 = 20 %.

Оценим put-call равновесие по формуле (5.2).

0,45 – 1,35 = 29,56 · e – 0,04 · (3/12) – 30 · e – 0,2 · (3/12),

–0,9 ≠ 0,73 — равновесия на рынке нет, можно извлечь прибыль

без риска.

Таблица 5.1

Конверсия

Показатель t = 0 t = 3 мес., S

= 32 t = 3 мес., S

= 28

Продажа call +0,45 –(32 – 30) = –2 обесценился

Покупка put –1,35 обесценился 30 – 28 = +2

Покупка ос-

новного актива

–29,56 р. (+$1) 1 · e

0,04·(3/12)

= $1,01 =

=32,32 р. (продали $

с процентами

на рынке)

1·e

0,04·(3/12)

$1,01 = 28,28 р.

Баланс средств

за период

–30,46 (деньги взяли

в долг)

+ 30,32 + 30,28

Доход –30,46 · e

0,2·(3/12)

= –32,02 (долг по кре-

диту через 3 мес.)

–32,02 + 30,32 = –1,7 –32,02 + 30,28

= –1,74

Убыток получается при любом изменении цен, конверсия невы-

годна. Рассмотрим другую стратегию.

Таблица 5.2

Реверс

Показатель t = 0 t = 3 мес., S

= 32 t = 3 мес., S

= 28

Покупка call –0,45 32 – 30 = +2 обесценился

Продажа put +1,35 Обесценился –(30 – 28) = –2

Продажа основ-

ного актива

+29,56 р. ($1) – 1 · e

0,04·(3/12)

=–$1,01 = –32,32 р.

–1 · e

0,04·(3/12)

= –

$1,01 = –28,28 р.

Баланс средств

за период

+30,46 (деньги поло-

жили под проценты)

–30,32 –30,28

Доход +30,46 · e

0,2·(3/12)

= +32,02

(получили с процентами

через 3 мес.)

32,02 – 30,32 =

= +1,7

32,02 – 30,28 =

= +1,74

При любом изменении цен будет прибыль, реверс выгоден.

Спрэды

124

Различают вертикальные, горизонтальные и диагональные спрэды.

Вертикальные спрэды имеют одинаковые даты исполнения, но

разные цены исполнения входящих в них опционов.

Горизонтальные (календарные) спрэды имеют разные даты испол-

нения, но одинаковые цены исполнения входящих в них опционов.

Диагональные спрэды имеют разные даты исполнения и разные

цены исполнения входящих в них опционов.

Рассмотрим

часто встречающиеся спрэды.

Графики прибыли вертикальных спрэдов строятся как сумма гра-

фиков базисных опционных стратегий. Результаты сложения показаны

в табл. 5.3.

Таблица 5.3

Вертикальные спрэды

График прибыли Обозначение и применение

Спрэд быка

–Call, k1,T, или –Put k1, T,

+Call, k2,T, +Put k2, T,

где k1 > k2,

или {0,+1,0}.

Максимальные прибыли и убытки ог-

раниченны.

Применяется, если на рынке нет ста-

бильности

Спрэд медведя

–Call, k1, T, или –Put k1,T,

+Call, k2, T, +Put k2,T,

где k1 < k2,

или {0,–1,0}.

Максимальные прибыли и убытки ог-

раниченны.

Применяется, если на рынке нет ста-

бильности

Бэкспрэд call

+Call, k1, T, c1,

+Call, k2, T, c2,

–Call, k3, T, c3,

где k1 = k2 > k3, c1 + c2 < 3,

или {0,–1, +1}.

Максимальная прибыль ограниченна.

Убытки неограниченны.

Применяется при сильном колебании

цен активов, но более вероятно их

увеличение

Продолжение табл. 5.3

Прибыль

k2 k1

Прибыль

125

График прибыли Обозначение и применение

Бэкспрэд put

+Put, k1, T, c1,

+Put, k2, T, c2

–Put, k3, T, c3

где k1 = k2 < k3, c1 + c2 < c3,

или {–1, +1,0}.

Максимальные прибыли и убытки

ограниченны.

Применяется при сильном колебании

цен активов, но более вероятно их

снижение

Рейтио спрэд call

–Call, k1, T, c1,

–Call, k2, T, c2,

+Call, k3, T, c3,

где k1 = k2 > k3, c1 + c2 < 3,

или {0, +1, –1}.

Максимальная прибыль ограниченна.

Убытки неограниченны.

Применяется при невысоком колеба-

нии цен активов, но более вероятно

их снижение

Рейтио спрэд put

–Put, k1, T, c1,

–Put, k2, T, c2,

+Put, k3, T, c3,

где k1 = k2 < k3, c1 + c2 < c3,

или {+1, –1,0}.

Максимальные прибыли и убытки

ограниченны.

Применяется при невысоком колеба-

нии цен активов, но более вероятно

их повышении.

Покупка спрэда бабочка

+Call, k1, T, или +Put, k1, T,

–Call, k2, T, –Put, k2, T,

+Call, k3, T, +Put, k3, T,

где k2 = (k1 + k3)/2, k1 < k2 < k3,

или {0, +1, –1, 0}.

Максимальная прибыль ограниченна.

Убытки ограниченны.

Применяется при минимальном ко-

лебании цен активов

Окончание табл. 5.3

Прибыль

126

График прибыли Обозначение и применение

Продажа спрэда бабочка

–Call, k1, T, или –Put, k1, T,

+Call, k2, T, +Put, k2, T,

–Call, k3, T, –Put, k3, T,

где k2 = (k1 + k3)/2, k1 < k2 < k3,

или {0, –1, +1, 0}.

Максимальные прибыль и убытки

ограниченны.

Применяется при сильном колебании

цен активов

Покупка спрэда кондор

+Call, k1, T, или +Put, k1, T,

–Call, k2, T, –Put, k2, T,

–Call, k3, T, –Put, k3, T,

+Call, k4, T, +Put, k4, T,

где k2 – k1 = k4 – k3, k1 < k2 < k3 < k4,

или {0, +1, 0, –1, 0}.

Максимальные прибыль и убытки

ограниченны.

Применяется при минимальном ко-

лебании цен активов

Продажа спрэда кондор

–Call, k1, T, или –Put, k1, T,

+Call, k2, T, +Put, k2, T,

+Call, k3, T, +Put, k3, T,

–Call, k4, T, –Put, k4, T,

где k2 – k1 = k4 – k3, k1 < k2 < k3 < k4,

или {0, –1, 0, +1, 0}.

Максимальные прибыль и убытки

ограниченны.

Применяется при сильном колебании

цен активов

На горизонтальных спрэдах нельзя много выиграть или проиграть,

т. к. в них входят опционы одного типа. Они слабо зависят от рыноч-

ной цены актива и хорошо используют монотонность во времени.

Горизонтальные спрэды относятся к группе стохастических опци-

онных стратегий. Для построения графиков прибыли необходимы ве-

роятностные расчеты и рассуждения об

изменении стоимости опциона

во времени до исполнения. Способы построения графиков вертикаль-

ных спрэдов здесь неприменимы.

Таблица 5.5

Горизонтальные спрэды

k2 k3

Прибыль

k2 k3

Прибыль

k1 k4

Прибыль

127

Теоретический график прибыли Обозначение и применение

Краткосрочный спрэд

–Call, k, T1, или –Put, k, T1,

+Call, k, T2, +Put, k, T2,

где T1 < T2.

Максимальная прибыль ограниченна.

Применяется, когда рынок статичен

и рыночная цена актива близка к це-

не исполнения опциона

Долгосрочный спрэд

–Call, k, T1, или –Put, k, T1,

+Call, k, T2, +Put, k, T2,

где T1 > T2.

Максимальный убыток ограничен.

Применяется редко, когда временная

стоимость, по каким-то временным

причинам, слабо возрастает с увели-

чением срока исполнения опциона

Стратегия краткосрочного календарного спрэда исходит из того,

что разница между ценами на опционы (премиями) с течением времени

увеличится, так как в краткосрочных опционах временная составляю-

щая их стоимости уменьшается быстрее, чем в долгосрочных опцио-

нах. Если такой закономерности нет, что бывает редко, то применяются

долгосрочные календарные спрэды.

Диагональные спрэды напоминают

вертикальные и горизонталь-

ные спрэды. Не существует их точных теоретических моделей, и они

достаточно проблематичны.

Комбинационные стратегии

Комбинационные стратегии еще называются волатильными ком-

бинациями, т.к. они реагируют на значительное изменение рыночной

цены актива.

Теоретически комбинаций call- и put-опционов может быть много.

Рассмотрим двух- и трехкомбинационные стратегии.

Графики прибыли строятся, как для вертикальных спрэдов, т.е.

суммой графиков базисных опционных стратегий. Результаты сложе-

ния показаны в табл. 5.6

Таблица 5.6

Комбинационные стратегии

ибыль

128

График прибыли Обозначение и применение

Покупка стрэддла

+Put, k, T,

+Call, k, T,

или {–1, +1}.

Прибыль неограниченна.

Убытки ограниченны.

Применяется при ожидаемом силь-

ном изменении цен активов

Продажа стрэддла

–Put, k, T,

–Call, k, T,

или {+1, –1}.

Прибыль ограниченна.

Убытки неограниченны.

Применяется при минимальном ко-

лебании цен активов

Покупка стрэнгла

+Put, k1, T,

+Call, k2, T,

где k1 < k2,

или {–1, 0, +1}.

Прибыль неограниченна.

Убытки ограниченны.

Применяется при ожидаемом силь-

ном изменении цен активов

Продажа стрэнгла

–Put, k1, T,

–Call, k2, T,

где k1 < k2,

или { + 1,0,–1}.

Прибыль ограниченна.

Убытки неограниченны.

Применяется при минимальном ко-

лебании цен активов

Покупка стрипа

+Put, k, T,

+Call, k, T,

или {–1, + 1}.

Прибыль неограниченна.

Убытки ограниченны.

Применяется при ожидаемом силь-

ном изменении цен активов, но бо-

лее вероятно их снижение

Окончание табл. 5.6

График прибыли Обозначение и применение

ибыль

129

Продажа стрипа

–Put, k, T,

–Call, k, T,

или { +1, –1}.

Прибыль ограниченна.

Убытки неограниченны.

Применяется при невысоком коле-

бании цен активов, но более веро-

ятно их повышение

Покупка стрэпа

+Put, k, T,

+Сall, k, T,

+Call, k, T,

или {–1, +1}.

Прибыль неограниченна.

Убытки ограниченны.

Применяется при ожидаемом силь-

ном изменении цен активов, но бо-

лее вероятно их повышение

Продажа стрэпа

–Put, k, T,

–Сall, k, T,

–Call, k, T,

или { +1, –1}.

Прибыль ограниченна.

Убытки неограниченны.

Применяется при невысоком коле-

бании цен активов, но более веро-

ятно их снижение

5.7. Экзотические опционы

Экзотические опционы — это достаточно новая вещь не только

для России. Для них нет устоявшейся терминологии и классификации,

в связи с непрерывным возникновением новых и исчезновением ста-

рых, уже невостребованных опционов. Все же приведем несколько

примеров. В отличие от рассмотренных ранее стандартных опционов,

экзотические опционы требуют учета добавочных характеристик. По-

этому разобьем

их на три группы.

Опционы с памятью, зависящие от ценовой истории (Path-

dependent or History dependent derivatives).

Опционы, зависящие от выбора покупателя (Choice-dependent

derivatives).

Опционы, зависящие от корреляции активов (Correlation-

dependent derivatives).

ибыль

130

Рассмотрим каждую группу подробнее.

Опционы с памятью

В этой группе экзотических опционов хотя бы одно из условий кон-

тракта учитывает исторические значения различных параметров или на-

кладывает на них ограничения. Поэтому важным вопросом является мо-

ниторинг спотовых цен. Чтобы избежать неточностей, каждый банк-

дилер указывает условия наступления ценового события, источник, день

и час, откуда и когда берется рыночная цена. Причем значения могут

браться с любым интервалом: каждый день, еженедельно, ежемесячно.

Приведем примеры таких опционов.

1. Средние опционы (Average Options). Платежи зависят от средних

спотовых цен, зарегистрированных за определенный период времени.

Отрезок времени, на котором происходит усреднение, может совпадать

со всем периодом действия опциона или быть его частью. Среднее мо-

жет быть рассчитано как среднее арифметическое

или среднее геомет-

рическое. Выплаты основываются на средней характеристике, следова-

тельно, они менее волатильны, имеют меньший риск, чем обычные оп-

ционы. Поэтому средние опционы являют не дорогими.

Опцион средней цены базисного актива (Average Rate (Price) Op-

tions, ARO) или азиатский опцион (Asian Options). При расчете итого-

вой выплаты, вместо цены базового актива на дату исполнения S

бе-

рется среднее значение этой цены

S за определенный период времени

до погашения опциона. Формально прибыль покупателя рассчитывает-

ся по формулам:

()

(

)

−=−=

tputtcall

SkfkSf

Азиатский опцион является одним из популярных экзотических

опционов.

Опцион среднего страйка (Average Strike Options, ASO). Цена ис-

полнения k заменяется средним значением цен базового актива

S , ко-

торые наблюдались за определенный период времени до погашения

опциона. Тогда выплаты рассчитываются по формулам:

()

(

)

−=−=

TtputtTcall

SSfSSf

2. Барьерные опционы (Barrier Options). С самого начала устанав-

ливается два уровня цен: цена исполнения и барьер. Что происходит,

когда цена исполнения доходит да уровня барьера, зависит от вида

барьерного опциона.

Опцион входа (Knock-in) — начинает действовать после того, как

уровень барьера достигнут.