Постников Е.А. и др. Моделирование и анализ финансовых рынков
Подождите немного. Документ загружается.
91
Если курс акции YYY упадет до $25, инвестор В покупает 100 ак-
ций на рынке по $25, продает их инвестору W по $30 и получает при-
быль в размере 3000 – 2500 – 200 = $300.
Ценность опциона очевидна. Требуется вложить гораздо меньше
денег, чем при торговле с акциями, и получить достаточно высокую
прибыль. Большая часть опционов продается частными владельцами
или крупными организациями — инвесторами, имеющими солидный
капитал. Они рискуют своим капиталом по нескольким причинам:
− их риск вознаграждается теми доходами, которые они получают
за продажу опционов;
− когда они продают опцион, они могут немедленно воспользо-
ваться полученными деньгами, поскольку они в большинстве случаев
являются владельцами тех акций, на которые был продан опцион;
− они получают все дивиденды по этим акциям в течение того
времени, которое указано в контракте;
− опционные контракты представляют собой страховку или хед-
жирование против возможного резкого изменения цен на имеющиеся у
них акции.
Рассмотрим еще несколько определений, связанных с опционами.
Стиль опциона определяется моментом его исполнения:
− американский опцион может быть исполнен в любое время до
окончания его срока годности:
− европейский опцион может быть исполнен только в определен-
ный день в будущем.
Опцион с физической поставкой даёт своему владельцу право ре-
ально получить актив (если это call) или реально поставить имеющийся
у него актив (для put) в момент исполнения опциона. В связи с этим
различают:
− покрытый call-опцион — продавец опциона владеет требуемым
для поставки количеством активов,
− непокрытый call-опцион — продавец опциона
не владеет требуе-
мым для поставки количеством активов, что увеличивает риск опциона.
Опцион с денежным зачетом даёт своему владельцу право на по-
лучение денежного платежа. Платежи равны
− для call-опциона —
[
]
множительопционныйkS
T
⋅
−
)( , если
kS
T
> ,
− для put-опциона —
[]
множительопционныйSk
T
⋅
−
),( , если
kS
T
< .
Опционный множитель — это число активов, покрываемых оп-
ционом.
92
Из рассмотренных определений становится ясно, что перед про-
давцом опциона стоят две задачи.
1. Определить справедливую цену контракта, такую, по которой
контракт будут покупать, и которая обеспечит выполнение обяза-
тельств перед владельцами опциона в будущем.
2. Построить стратегию поведения, которая позволит выполнить
обязательства перед покупателем опциона в будущем. Стратегия за-
ключается
в распределении средств между рисковым активом и без-
рисковым и в перераспределении средств между активами в течение
срока действия контракта.
Для опционов европейского типа существуют математические мо-
дели, позволяющие решить эти задачи.
5.2. Биноминальная модель
Биноминальная модель оценки стоимости опциона была предло-
жена в 1979 году Дж. Коксом, С. Россом и М. Рубинштейном.
Предполагается, что выполняются пять аксиом идеального равно-
весного рынка, описанных в пункте 3.1, посвященном форвардному
контракту.
На рынке фигурируют два актива:
1. Боны, или долговые расписки, — ценные бумаги, выпускаемые
государством или корпорациями (банковский счет,
облигация). Бон яв-
ляется безрисковым активом, его будущая цена известна заранее и оп-
ределяется по формуле
B
t
= B
0
· e
rt
, (5.3)
где B
0
— начальная стоимость,
r > 0 — годовая банковская ставка непрерывного процента.
2. Акции — рисковые ценные бумаги, цена которых подвержена
случайным колебаниям. Компания выпускает акции с целью аккуму-
лирования капитала, предоставляя владельцам право на участие в
управлении. Цена акции S
t
меняется дискретно на бинарном дереве и
заранее неизвестна. f — прибыль владельца опциона.
S
7
f
7
S
3
q S
6
f
6
S
1
1– q S
5
f
5
S
2
S
4
f
4
t = 0 t = 1 t = 2 = T
Рис. 5.3. Стоимость рисковых акций
93
В дереве на рис. 5.3 можно выделить три узла, которые условно
можно обозначить следующим образом:
down
now
up q
1 – q
Рис. 5.4. Узел дерева
Здесь now — это настоящий момент времени, up — цена акции
поднялась в следующий момент времени, down — цена акции упала в
следующий момент времени. С вероятностью q цена может увеличить-
ся, а с вероятностью (1 – q) — упасть.
При этом для каждого узла дерева должно выполняться соотноше-
ние S
down
< S
now
· e
rT
< S
up
, иначе возникает арбитражная ситуация.
Для решения задач продавца опциона выполняются следующие
шаги.
Шаг 1. Определяется прибыль владельца опциона (выплаты по оп-
циону) в момент времени Т по формулам (5.1) или (5.2).
Шаг 2. Определяется вероятность изменения цены акций в каждом
узле дерева.
,
)(
downup
downnow
tr
now
SS
SSeB
q
−
−⋅
=
Δ
(5.4)
где 0 < q < 1, иначе возникают арбитражные ситуации.
Шаг 3. Определяются выплаты по опциону в каждом узле дерева.
(
)
downup
tr
nownow
fqfqeBf ⋅−+⋅⋅⋅=
Δ
−
−
)1(
1
, (5.5)
где
0≥
now
f ,
1
f — выплата по опциону в начальный момент времени является
справедливой ценой опциона.
Дерево для прибыли f строится с конца.
Шаг 4. Выплаты по опциону совпадают с ценой портфеля продав-
ца опциона:
f
t
=
ϕ
t
S
t
+
ψ
t
B
t,
,
где
ψ
— число бонов;
ϕ
— число акций.
Из этого предположения определяется число акций и число бонов
в каждом узле дерева:
94
,
downup
downup
now
SS
ff
−
−
=ϕ
(5.6)
(
)
.
1
upnowup
tr
nownow
SfeB ⋅ϕ−⋅⋅=ψ
Δ
−
−
(5.7)
Построенная стратегия (ϕ
t
, ψ
t
) называется хеджирующей, т.к. пока-
зывает продавцу опциона, как перераспределять средства между рис-
ковыми и безрисковыми активами, чтобы выполнить обязательства пе-
ред покупателем опциона. Стратегия называется репликационной, т.к.
воспроизводит выплаты по опциону независимо от случайной цены ак-
ции. Можно представить стратегию в виде дерева:
(ϕ
up
, ψ
up
)
(ϕ
now
, Ψ
now
)
(ϕ
down
, Ψ
down
)
t = 0 t = 1
Рис. 5.5. Стратегия продавца опциона
Если ϕ
t
< 0 — акции занимаются для продажи;
ϕ
t
> 0 — акции куплены;
ψ
t
> 0 — деньги на счете есть;
ψ
t
< 0 — деньги заняты для покупки акций.
Обычно для call-опциона ϕ
t
> 0, ψ
t
< 0;
для put-опциона ϕ
t
< 0 , ψ
t
> 0.
Необходимо учитывать, что стратегия и цена опциона выведены
для контракта на одну акцию. Если в контракт входит больше одной
акции, что чаще всего и бывает, то все результаты расчетов (f, c, ϕ, Ψ)
надо умножать на опционный множитель.
Пример 5.3. Call-опцион.
2 1
1
0,5 0
t = 0 t = 1 = T
Рис. 5.6. Однопериодное дерево
ϕ
1
= (1 – 0)/(2 – 0,5) = 2/3 означает, что премию плюс занятые день-
ги вложили в акции,
Ψ
1
= 1 – (2/3) · 2 = –1/3 — деньги заняли в банке,
С = f
1
= (2/3) · 1 – (1/3) = 1/3 — справедливая цена опциона.
95
Пример 5.4. Определить цену стандартного call-опциона со страй-
ком k = $10, построить хеджирующую стратегию (найти ϕ, Ψ). Банков-
ский процент равен 0, начальная цена бона равна $1. Цены акций ме-
няются следующим образом:
q
3
120 = S
7
110 = f
7
q
1
100 = S
3
1 – q
3
60 = S
6
50 = f
6
20 = S
1
20 = S
5
10 = f
5
q
2
1 – q
1
10 = S
2
1 – q
2
5 = S
4
0 = f
4
t = 0 t = 1 t = 2 = T
Рис. 5.7. Call опцион, двухпериодное дерево цен акций
Шаг 1. Определяются выплаты по опциону в момент времени T по
формуле (5.1).
f
7
= 120 – 10 = 110,
f
6
= 60 – 10 = 50,
f
5
= 20 – 10 = 10,
f
4
= 0.
Шаг 2. Определяется вероятность изменения цены акций по фор-
муле (5.4).
q
1
= 1·1·(20–10)/(100–10) = 1/9,
q
2
= 1·1·(10–5)/(20–5) = 1/3,
q
3
= 1·1·(100–60)/(120–60) = 2/3.
Шаг 3. Определяются выплаты по опциону в каждом узле дерева
формуле (5.5):
f
3
= (2/3)·110 + (1/3)·50 = 90,
f
2
= (1/3)·10 + (2/3)·0 = 10/3,
c = f
1
= (1/9)·90 + (8/9)·(10/3) = 12,963 — справедливая цена опциона.
110
90
50
12,963
10
10/3
0
Рис. 5.8. Дерево выплат по опциону
96
Шаг 4. Число акций рассчитываем по формуле (5.6):
ϕ
1
= (90–10/3)/(100– 0) = 0,963,
ϕ
2
= (10–0)/(20–5) = 0,667, Акции покупаются.
ϕ
3
= (110–50)/(120–60) = 1.
Число бонов рассчитываем по формуле (5.7):
Ψ
1
= 90–0,963·100 = –6,3,
Ψ
2
= 10–0,667·20 = –3,34, Деньги занимаются в банке.
Ψ
3
= 110–1·120 = –10,
(1; –10)
(0,963; –6,3)
(0,667; –3,34)
Рис. 5.9. Дерево стратегий
Вывод. Продавец сall-опциона получает $12,963 на 1 акцию за за-
ключение контракта. Занимает еще $6,3 и на все деньги покупает 0,963
акции по текущей цене $20.
Если в следующий момент времени (t = 1) цена акции вырастет до
$100, то продавец опциона займет еще $3,7 (долг станет $10) и докупит
еще 0,037 акции (будет 1 акция), т.к. скорее всего опцион
предъявят к
исполнению.
Если в следующий момент времени (t = 1) цена акции упадет до
$10, то продавец опциона продаст 0,296 акции по $10 и отдаст часть
долга.
Пример 5.5. Определить цену стандартного опциона put со страй-
ком $90, построить хеджирующую стратегию. Банковский процент ра-
вен 0, В
0
= $1.
120 0
100
60 30
20
20 70
10
5 85
Рис. 5.10. Put опцион, двухпериодное дерево цен акций
Шаг 1. Определяются выплаты по опциону в момент времени T по
формуле (5.2):
f
7
= 0,
f
6
= 90 – 60 = 30,
f
5
= 90 – 20 = 70,
f
4
= 90 – 5 = 85.
97
Шаг 2. Определяется вероятность изменения цены акций по фор-
муле (5.4):
q
1
= (20–10)/(100–10) = 1/9,
q
2
= (10–5)/(20–5) = 1/3,
q
3
= (100–60)/(120–60) = 2/3.
Шаг 3. Определяются выплаты по опциону в каждом узле дерева
формуле (5.5):
f
3
= (2/3)·0 + (1/3)·30 = 10,
f
2
= (1/3)·70 + (2/3)·85 = 80,
c = f
1
= (1/9)·10 + (8/9)·80 = 650/9 = 72,22 — справедливая цена оп-
циона.
0
10
30
72,22
70
80
85
Рис. 5.11. Дерево выплат по опциону
Шаг 4. Число акций (5.6):
ϕ
1
= (10–80)/(100–10) = –7/9 = 0,778,
ϕ
2
= (70–85)/(20–5) = –1, Акции занимаются для продажи.
ϕ
3
= (0–30)/(120–60) = –1/2.
Число бонов (5.7):
Ψ
1
= 10 + 0,778·100 = 87,8,
Ψ
2
= 70 + 1·20 = 90, Премия за опцион и деньги от продажи
Ψ
3
= 0 + 0,5·120 = 60. акций вкладываются на счет.
(–0,5; 60)
(–0,778; 87,8)
(–1; 90)
Рис. 5.12. Дерево стратегий
Вывод. Продавец put-опциона получает $72,22 на 1 акцию за за-
ключение контракта. Занимает еще 0,778 акции, продает ее и все день-
ги вкладывает на счет.
Если в следующий момент времени (t = 1) цена акции вырастет до
$100, то продавец опциона снимет $27,8 со счета, купит и вернет 0,278
акции.
98
Если в следующий момент времени (t = 1) цена акции упадет до
$10, то продавец опциона займет еще 0,222 акции (долг будет 1 акция),
продаст и добавит еще денег на счет, т.к. опцион скорее всего предъя-
вят к исполнению.
Модель Кокса — Росса — Рубинштейна является моделью дис-
кретного времени. Подходит и для оценки опционов американского
типа, т.к. в каждом узле дерева стоимость портфеля продавца опциона
равна выплате по опциону.
Расчеты ведутся с помощью компьютерных моделей. Для получе-
ния подходящей оценки достаточно рассчитать 50–70 промежутков
времени (шагов). Увеличение числа шагов несущественно улучшает
оценки, но значительно увеличивает время расчетов.
Проблема модели состоит в том, что в ней заложено
плавное изме-
нение цены актива на рынке. Это часто не соблюдается, т.к. реальному
рынку свойственны и взлеты и падения.
Рассмотрим далее модель, у которой цены рискового актива меня-
ются непрерывно.
5.3. Модель Блэка — Шоулса
Опцион на актив
Общие положения
Предполагается, что выполняются пять аксиом идеального равно-
весного рынка, описанных в пункте 3.1, — форвардный контракт.
На рынке фигурируют два актива.
1. Боны, или долговые расписки, — ценные бумаги, выпускаемые
государством или корпорациями (банковский счет, облигация). Бон яв-
ляется безрисковым активом, его будущая цена известна заранее и оп-
ределяется по формуле
B
t
= B
0
· e
rt
, (5.3)
где B
0
— начальная стоимость,
r > 0 — годовая банковская ставка непрерывного процента.
2. Акции — рисковые ценные бумаги, цена которых подвержена
случайным колебаниям
tt
eSS
t
μ
+
ω
⋅
σ
⋅=
0
, (5.8)
где S
0
— начальная цена акции в момент времени t = 0;
ω
t —
случайный процесс — броуновское движение;
σ — волатильность (разброс);
μ — дрейф (коэффициент роста).
99
На этих предположениях основывается известная в финансовой
математике формула Блэка — Шоулса, выведенная 1973 году амери-
канскими профессорами Фишером Блэком и Майроном Шоулсом [32].
Call-опцион на акции
Премия, или справедливая цена опциона покупателя на акции ев-
ропейского типа с функцией выплаты (5.1) определяется по следующей
формуле:
),()(
0
−−+
⋅−⋅= zФkezФSc
rT
(5.9)
где
,
2
ln
2
0
T
Tr
k
S
z
⋅
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
±+
=
±
σ
σ
,Tzz
σ
−=
+−
S
0
— рыночная стоимость акции в момент заключения котракта,
k — цена исполнения или страйк;
()
∫
∞−
−
=
z
x
dxe
T
zФ
2
2
2
1
— функция нормального распределения.
Для определения значения Ф(z) используют специальные стати-
стические таблицы (см. прил. 3) или с помощью функции =
НОРМСТРАСП() в EXCEL.
Для выполнения своих обязательств продавец опциона формирует
портфель из ϕ
t
акций и ψ
t
бонов. Цена такого портфеля в момент вре-
мени t < T равна
V
t
= ϕ
t
· S
t
+ ψ
t
· B
t
.
Тогда из формулы (5.9) выводится стратегия продавца опциона на
момент времени t < T.
Количество акций:
(
)
,
+
=ϕ
tt
zФ (5.10)
где
tT
tTr
k
S
z
t
t
−⋅σ
−⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
++
=
+
)(
2
ln
2
,
S
t
— рыночная стоимость акций в момент t.
Стоимость бонов в момент времени t:
(
)
−
−
−
−=ψ
t
tTr
tt
zФkeB
)(
, (5.11)
где
tT
tTr
k
S
z
t
t
−⋅
−⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
=
−
σ
σ
)(
2
ln
2
.
100
Необходимо учитывать, что стратегия и цена опциона выведены
для контракта на одну акцию. Если в контракт входит больше одной
акции, что чаще всего и бывает, то все результаты расчетов (c, ϕ, ψ)
надо умножать на опционный множитель.
Пример 5.6. В рамках модели Блэка — Шоулса построить хеджи-
рующую стратегию на момент t = 0 и
определить цену стандартного
опциона покупателя со страйком k = $26, сроком на 270 дней. Извест-
но, что акции имеют постоянную волатильность 20 % в год, банков-
ский процент 4 % годовых, текущая цена акций $20. Начальная стои-
мость бона $1.
1. Число акций по формуле (5.10):
()
() ()
.1056,08944,0125,1125,1
360
270
2,0
360
270
2
2,0
04,0
26
20
ln
2
0
=−=−=−=
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
==ϕ
+
=
ФФ
ФzФ
t
Знак «+» означает, что столько акций должно быть у продавца оп-
циона.
2. Стоимость бонов по формуле (5.11):
() ()
()
$.963,1232,25
26
360
270
04,0
00
−=σ−⋅−=
=⋅−=−=ψ
+
−
⋅−
−−
tzФ
zФezФkeB
rT
.
Знак «–» означает, что деньги заняты в банке для покупки акций.
Стратегия на следующий момент времени может быть построена,
только когда этот момент наступит и будет известна новая рыночная
цена акции.
3. Цена опциона по формуле (5.9):
149,0$0778,0232,251056,020)()(
0
=⋅−⋅=⋅−⋅=
−−+
zФkezФSc
rT
.
Вывод. Продавец опциона получает премию $0,149 за заключение
контракта, занимает в банке под проценты еще $1,963 и на все деньги
покупает 0,1056 акции по текущей цене $20 (0, 1056 · $20 = $0,149 +
$1,963). На следующий день цена акции меняется и строится новый
портфель из акций и бонов по формулам (5.10) и (5.11).
Put-опцион на акции
Премия, или справедливая цена опциона продавца на акции евро-
пейского типа с функцией выплаты (5.2) определяется по следующей
формуле: