Постников Е.А. и др. Моделирование и анализ финансовых рынков

Подождите немного. Документ загружается.

101

(

)

(

)

.)(1)(1

−

−⋅−−⋅= zФSzФkec

put

(5.12)

Из формулы (5.12) выводится стратегия продавца опциона на мо-

мент времени t < T.

Количество акций

(

)

(

)

−−=

zФ1

. (5.13)

Стоимость бонов

(

)

(

)

−−−

−=

tTr

zФkeB 1

)(

. (5.14)

Все обозначения и предположения, введенные для call-опциона,

сохраняются и для put-опциона.

Пример 5.7. В рамках модели Блэка — Шоулса построить хеджи-

рующую стратегию на момент t = 0 и определить цену стандартного

опциона продавца для данных примера 5.6.

1. Число акций по формуле (5.13):

(

)

(

)

(

)()

.8944,0)1056,01(25,111

−=−−=−−−=−−=ϕ

ФzФ

Знак «–» означает, что акции заняты для продажи.

2. Стоимость бонов по формуле (5.14):

(

)

(

)

$.268,23)0778,01(232,251

=−⋅=−=ψ

−−

zФke

Знак «+» означает, что есть деньги на банковском счете.

Стратегия на следующий момент времени может быть построена,

только когда этот момент наступит и будет известна новая рыночная

цена акции.

3. Цена опциона по формуле (5.12):

(

)

(

)

$.38,5)1056,01(20)0778,01(232,25

)(1)(1

=−⋅−−⋅=

−

zФSzФkec

put

Вывод. Продавец опциона получает премию $5,38 за заключение

контракта. Занимает в банке 0,8944 акции, продает по текущей цене

(0,8944 · $20 = $17,888). Все имеющиеся деньги ($5,38 + $17,888 =

$23,268) вкладываются на счет. На следующий день цена акции меняется

и строится новый портфель из акций и бонов по формулам (5.13) и (5.14).

Теорема put-call эквивалентности для опционов на акции

Рассмотрим последовательность сделок в

момент времени t = 0.

1) продать один call-опцион со сроком T и ценой исполнения k;

2) купить один put-опцион с теми же сроком T и ценой

исполнения k;

3) купить базовый актив;

4) занять наличность в размере

−

102

Совокупный поток наличности при совершении этих сделок

должен быть равен нулю.

=+−−

−rT

putcall

keScc

. (5.15)

Покажем это подробно.

Рассмотрим различные варианты изменения цены акции в момент

времени t = T.

1) Если

> — цена актива будет больше цены исполнения.

Put-опцион будет невыгодным.

Сall-опцион будет предъявлен к исполнению. Продавец call-

опциона поставит основные активы по цене, полученная сумма уйдет

на погашение займа. Поток наличности = 0.

2) Если

< — цена актива будет меньше цены исполнения.

Call-опцион будет невыгодным.

Put-опцион будет предъявлен к исполнению. Покупатель put-

опциона продает основные активы по цене k, полученная сумма уйдет

на погашение займа. Поток наличности = 0.

3) Если

= — цена актива равна цене исполнения. Оба

опциона обесцениваются. Базовый актив продается на рынке по цене k,

полученная сумма уйдет на погашение займа. Поток наличности = 0.

Если итоговая стоимость портфеля равна нулю, то и начальная

стоимость портфеля равна равна нулю. Иначе возникает арбитражная

ситуация.

Пример 5.8. В рамках модели Блэка — Шоулса определить цену

стандартного опциона продавца для данных примера 5.6.

Воспользуемся формулой (5.15).

$.38,52620149,0

360

270

04,0

=+−=+−=

⋅−

−

ekeScc

callput

Ответ совпадает с результатами расчетов примера 5.7.

Опцион на валюту

Общие положения

Предполагается, что выполняется пять аксиом из пункта 3.1, по-

священного форвардному контракту.

На рынке фигурируют две валюты.

Стоимость первой валюты в любой момент времени можно опре-

делить по формуле

= B

· e

⋅

. (5.16)

103

Стоимость второй валюты в любой момент времени можно опре-

делить по формуле

= D

· e

⋅

, (5.17)

где B

, D

— начальная стоимость валют,

r1 > 0, r2 > 0 — годовые банковские ставки непрерывного процента.

Обменный курс второй валюты на первую — это случайная, зара-

нее неизвестная величина:

eSS

⋅

⋅=

, (5.18)

где S

— начальный обменный курс.

Call-опцион на валюту

Премия, или справедливая цена опциона покупателя на валюту ев-

ропейского типа с функцией выплаты (5.1) определяется по следующей

формуле:

),()(

−⋅−+⋅−

⋅−⋅= dФkedФeSc

TrTr

(5.19)

где

21ln

Trr

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±−+

,Tdd

−=

+−

k — обменный курс при исполнении опциона, выраженный в

первой валюте.

Call-опцион на валюту дает право купить вторую валюту по огово-

ренному в контракте курсу k. Вторая валюта является предметом оп-

циона, т.е. в момент времени T покупатель опциона отдает k единиц

первой валюты и получает одну единицу второй валюты. За

этот кон-

тракт продавец опциона получает премию в размере с, выраженную в

первой валюте.

Для выполнения своих обязательств продавец опциона в каждый

момент времени формирует портфель из

единиц второй валюты и

единиц первой валюты.

Цена портфеля, выраженная в первой валюте, рассчитывается по

следующей формуле:

· S

· B

. (5.20)

Из формулы (5.19) и (5.20) выводится стратегия продавца опциона

на момент времени t < T.

Количество второй валюты:

(

)

)(2

−

=ϕ

tTr

dФe (5.21)

104

где

tTrr

−⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+

)(

21ln

— рыночный обменный курс в момент t.

Количество первой валюты:

(

)

−−−

−=

tTr

dФkeB

)(1

, (5.22)

где

tTrr

−⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−−+

−

)(

21ln

Необходимо учитывать, что стратегия и цена опциона выведены

для контракта на одну единицу второй валюты. Если в контракт входит

больше валюты, что чаще всего и бывает, то все результаты расчетов

(c, ϕ, ψ) надо умножать на опционный множитель.

Пример 5.9. В рамках модели Блэка — Шоулса построить хеджи-

рующую стратегию на момент

t = 0 и определить цену стандартного

опциона покупателя на курс доллара k = 30 р./$, сроком 90 дней

(T = 90/360). Известно, что ставки по рублевым депозитам 20 % годовых,

по долларовым депозитам 5 % годовых. Современный обменный курс

= 31 р./$, волатильность курса 10 % (σ = 0,1). Объем контракта $1.

В данном примере первая валюта — это рубли (r1 = $0,2, B

= 1 р.),

вторая валюта — доллары (r2 = 0,05, D

= $1).

1. Количество долларов определяем по формуле (5.21):

()

.9121,0$9236,09876,0431,19876,0

360

1,0

360

1,0

05,02,0

360

05,0

=⋅=⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−+

==ϕ

⋅−

+−

ФedФe

Знак «+» означает, что столько долларов должно быть у продавца

опциона.

2. Количество рублей определяем по формуле (5.22):

(

)

(

)

()

=⋅⋅−=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−⋅−=

=σ−⋅−=−=ψ

⋅−

−

−−

381,19512,030

360

1,0431,130

360

2,0

ФФe

TdФkedФke

TrTr

= –28.536 · 0.9162 = –26,1447 р.

Знак «–» означает, что необходимо занять рубли в банке для по-

купки долларов.

105

Стратегия на следующий момент времени может быть построена,

только когда этот момент наступит и будет известен новый обменный

курс, сложившийся на рынке.

3. Справедливую цену опциона определим по формуле (5.19):

1304,21447,269121,031)()(

=−⋅=⋅−⋅=

−

⋅−

dФkedФeSc

TrTr

р.

Вывод. Продавец опциона получает премию 2,1304 р. за заключе-

ние контракта, занимает в банке под проценты еще 26,1447 р. и на все

деньги покупает 0,9121 доллара по текущей цене 31 р./$ ($0,9121 ·

· 31 р./$ = 2,1304 р. + 26,1447 р.). На следующий день обменный курс

меняется и строится новый портфель из долларов и рублей по форму-

лам (5.21) и (5.22).

Put-опцион на валюту

Put-опцион на валюту дает право продать вторую валюту по ого-

воренному в контракте курсу k. Вторая валюта является предметом оп-

циона, т.е. в момент времени T покупатель опциона отдает одну едини-

цу второй валюты и получают k единиц первой валюты. За этот кон-

тракт покупатель опциона

платит продавцу премию в с, выраженную в

первой валюте.

Премия, или цена опциона продавца на валюту европейского типа

с функцией выплаты (5.2) определяется по следующей формуле:

(

)

(

)

)(1)(1

1 +

⋅

−

⋅−

−⋅−−⋅= dФeSdФkec

TrTr

put

. (5.23)

Из формулы (5.23) выводится стратегия продавца опциона на мо-

мент времени t < T.

Количество второй валюты:

(

)

(

)

+−−

−−=

tTr

dФe 1

)(2

. .24)

Количество первой валюты:

(

)

(

)

−−−

−=

tTr

dФkeB 1

)(1

. (5.25)

Все обозначения и предположения, введенные для call-опциона,

сохраняются и для put-опциона.

Пример 5.10. В рамках модели Блэка — Шоулса построить хед-

жирующую стратегию на момент t = 0 и определить цену стандартного

опциона продавца для данных примера 5.9.

1. Количество долларов определяем по формуле (5.24):

()()

=−−=−−=ϕ

⋅−

+−

431,111

360

05,0

ФedФe

$07545,0)9236,01(9876,0

−

Знак «–» означает, что доллары заняты для продажи.

106

2. Количество рублей определяем по формуле (5.25):

()()

()

=−=−=ψ

⋅−

−⋅−

)381,11(301

360

2,0

ФedФke

= –28,536 · (1 – 0,9162) = 2,3914 р.

Знак «+» означает, что есть рубли на банковском счете.

Стратегия на следующий момент времени может быть построена,

только когда этот момент наступит и будет известен новый обменный

курс.

3. Цена опциона по формуле (5.23):

(

)

(

)

=−⋅−−⋅=

⋅

−

⋅−

)(1)(1

dФeSdФkec

TrTr

put

0524,007545,0313914,2

⋅

−

р.

Вывод. Продавец опциона получает премию 0,0524 р. за заключе-

ние контракта. Занимает в банке $0,07545, продает по текущей цене

($0,07545 · 31р./$ = 2,339 р.). Все имеющиеся деньги (0,0524 р. + 2,339 р.

= 2,3914) вкладываются на счет. На следующий день обменный курс

меняется и строится новый портфель из рублей и долларов по форму-

лам (5.24) и (5.25).

Теорема put-call эквивалентности для

опционов на валюту

Рассмотрим последовательность сделок в момент времени t = 0.

Продать один call опцион на валюту со сроком T и ценой

исполнения k.

Купить один put опцион на валюту с теми же сроком T и той же

ценой исполнения k.

Купить вторую валюту и вложить под проценты.

Занять первую валюту

1−

Совокупный поток наличности при совершении этих сделок

должен быть равен нулю:

=+−−

−− TrTr

putcall

keeSCC

. (5.26)

Показать это можно так же, как и в опционах на акцию.

Пример 5.11. В рамках модели Блэка — Шоулса определить цену

стандартного опциона продавца для данных примера 5.9.

Воспользуемся формулой (5.26)

=+−=

−

TrTr

callput

keeScc

0524,030311304,2

360

2,0

360

05,0

=+−=

⋅−⋅−

ee р.

Ответ совпадает с результатами расчетов примера 5.9.

107

Достоинства и недостатки

Каждый профессиональный участник рынка самостоятельно «мо-

делирует» свою рыночную цену опциона. При этом он учитывает

предлагаемые моделями цены опционов, собственный опыт и факторы,

которые влияют на цену, но не входят в модель. Модель цен — это

«помощник» торговцу, но принятие окончательного решения всегда

остается за ним.

Популярность модели Блэка — Шоулса объясняется

тем, что она

позволяет легко моделировать динамику стоимости активов и неплохо

прогнозировать стоимости производных ценных бумаг, заключенных

на непродолжительные промежутки времени.

Однако модель Блэка — Шоулса действует на идеализированном

рынке.

r — постоянна (в действительности r = r(t)).

Нет ограничений на величины и знаки φ

и ψ

(если φ

< 0 и ψ

0, то это называется лизинг актива).

σ и μ постоянные. В реальном времени σ = σ(t, S

), μ = μ(t, S

Оценивание σ и μ обычно делается по неполным статистическим на-

блюдениям, например, по значениям стоимости акций в момент откры-

тия, средним дневным стоимостям и по стоимостям в момент закрытия.

Поэтому модель стоимости акций S

= S

· e

σ · ωt + μt

работает плохо на

больших интервалах времени.

Нет платы за операционные издержки, налоги, дивиденды и т.п.

На самом деле, только для крупных корпораций подобные издержки

представляют доли процентов.

Рынок является равновесным, т.е. невозможно извлечение прибы-

ли без риска. В случае неравновесного рынка инвесторы стремятся вос-

пользоваться арбитражной ситуацией, что приводит к ее исчезновению.

Рынок является полным, т.е. доступны все фигурирующие на

рынке активы и отсутствуют ограничения для инвестирования в эти ак-

тивы.

Идеализация, с одной стороны, упрощает модель, с другой сторо-

ны, не позволяет учитывать многих факторов, влияющих на цену оп-

циона.

5.4. Свойства опционов

Рыночная цена опциона складывается в результате биржевой тор-

говли. Спрос и предложение вызывают ее отклонения от теоретических

значений.

Рассмотрим, как меняется цена опциона во времени.

108

Прибыль

Рис. 5.13. Изменение стоимости сall-опциона до исполнения

Из рисунка видно, что долгосрочные опционы стоят дороже крат-

косрочных опционов. Это понятно, т.к. чем больше времени остается

до исполнения, тем выше вероятность большого отклонения текущей

рыночной цены актива от ее среднего значения, другими словами, тем

больше вероятность того, что продавец опциона понесет крупный

убыток.

Цена опциона состоит из двух

частей.

1) Внутренняя стоимость — чистая прибыль держателя опциона

при немедленной его реализации. При одних и тех же k и S

внутренняя

стоимость постоянна в любой момент времени.

Пример 5.12. Call-опцион: k = $100. Если S

= $105, тогда внутрен-

няя стоимость по формуле (5.1) 105 – 100 = $5. Если S

= $95, то внут-

ренняя стоимость = 0.

2) Временная стоимость — разность между рыночной ценой оп-

циона и внутренней стоимостью. Отражает вероятностный уровень ко-

лебания цены актива опциона.

Прибыль

Временная

стоимость

Вну тренняя

стоимсть

Рис. 5.14. Внутренняя и временная стоимость call-опциона

Оценивание опциона сводится к нахождению временной стоимо-

сти. Чем больше времени остается до его исполнения, тем выше вре-

менная стоимость. Она компенсирует продавцу опциона риск большо-

го изменения цены актива.

Опционы обычно заключаются, когда внутренняя стоимость от-

сутствует или не превышает размера премии. В зависимости от рыноч-

ной цены актива опционы

можно разделить следующим образом.

Прибыль

T > T′,

--- — день исполнения

109

Таблица 5.1

Выгодные и невыгодные опционы

Условия Call-опцион Put-опцион

< k

невыгодный выгодный

> k

выгодный невыгодный

= k

справедливый справедливый

Рассмотрим более подробно для call-опциона.

1) У выгодного опциона

(опциона с прибылью — in the money) внут-

ренняя стоимость больше 0. Скорее всего, его надо будет исполнять.

Продавец call-опциона должен создавать хедж путем покупки ба-

зового актива. Однако существует риск падения цены актива, опцион

окажется невыгодным, и придется продавать активы с убытком.

Чем выгоднее опцион, тем меньше вероятность риска, тем меньше

временная стоимость.

2) У

невыгодного опциона (опциона с убытком — out of the mo-

ney) — внутренняя стоимость = 0. Вероятность его исполнения мала.

Продавец опциона отказывается от хеджа.

Для call-опциона существует риск роста цены базового актива.

Продавцу опциона придется покупать активы на рынке по более высо-

кой цене, чем при заключении контракта.

Риск тем меньше, чем невыгоднее был опцион в момент заключе

ния сделки. Чем меньше риск, тем меньше временная стоимость.

Временная стоимость выгодного опциона больше, чем временная

стоимость соответствующего невыгодного опциона.

3) У справедливого опциона (нулевого опциона — at the money) —

цена исполнения совпадает с текущей ценой актива. Вероятность ис-

полнения равна 0,5. Это наиболее сложный случай для продавца оп-

циона.

Для call-опциона существуют риски:

−

активы куплены, а опцион оказывается невыгодным;

−

активов нет, а опцион оказался выгодным.

Временная стоимость справедливого опциона больше, чем у дру-

гих видов опционов.

5.5. Числовые характеристики свойств опционов

Рыночная цена опциона зависит от пяти параметров: рыночной це-

ны базового актива S

; срока, оставшегося до погашения (T – t); банков-

ской ставки r; волатильности σ и от цены исполнения k. Рассмотрим,

как меняется цена опциона при изменении только одного из парамет-

ров — это числовые характеристики свойств опционов.

110

Дельта

Дельта (δ) рассчитывается как изменение цены опциона при изме-

нении цены базового актива на единицу:

),()1(

ScSc

−

=δ (5.27)

где c(S

+ 1) и c(S

) — цены опциона, вычисленные с помощью модели

Блэка — Шоулса. В пособии это формулы номер (5.9), (5.12), (5.19),

(5.23).

Объясним некоторые значения δ.

−

Если δ близка к нулю, то изменение стоимости основного актива

мало влияет на стоимость опциона. Опцион заведомо невыгодный.

−

Если δ близка к единице, то стоимость опциона ведет себя почти

как стоимость актива. Чем ближе к единице, тем больше выгодность

опциона.

−

Если δ близка к 0,5, то опцион справедливый.

Пример 5.12. С помощью модели Блэка — Шоулса рассчитайте

характеристику δ, для опциона покупателя со страйком k = $26, сроком

на 2 года. Известно, что акции имеют постоянную волатильность 20 %

в год, банковский процент 4 % годовых, текущая цена акций $30. На-

чальная стоимость бона $1.

1. Рассчитаем стоимость опциона по формуле (5.9) для заданных

условий.

()

() ()

.9240,6$6474,0269302,030

22,0

2,0

04,0

22,0

2,0

04,0

30)30(

204,0

=⋅−⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅==

⋅−

ФeФ

Фe

ФcSc

2. Рассчитаем стоимость опциона по формуле (5.9), если цена ак-

ции вырастет до $31.

()

() ( )

.7624,7$7633,0260461,131

22,0

2,0

04,0

22,0

2,0

04,0

31)31(1

204,0

=⋅−⋅=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅==+

⋅−

ФeФ

Фe

ФcSc