Постников Е.А. и др. Моделирование и анализ финансовых рынков

Подождите немного. Документ загружается.

131

Опцион выхода (Knock-out) — начинается как обычный опцион, но

если спотовая цена актива переходит барьер — погашается.

Опционы входа и выхода подразделяются на типы (Down и Up) в

зависимости от направления движения цены.

Таблица 5.15

Типы барьерных опционов

In Out

Down Вступает в действие, если цена упа-

дет до барьера

Прекращает в действие, если цена

упадет до барьера

Up Вступает в действие, если цена вы-

растет до барьера

Прекращает в действие, если цена

вырастет до барьера

Все четыре типа применимы к call- и put-опционам. Таким обра-

зом, всего существует восемь барьерных опционов.

Обычно барьерная цена устанавливается так, чтобы при немедлен-

ном исполнении владелец опциона не получал премии. Если за время

действия опциона цена актива так и не достигла оговоренного барьера,

то владелец опциона в зависимости от условий контракта

или ничего не

получает, или получает компенсацию. Барьерные опционы достаточно

популярны. Они дешевле обычных опционов, так как максимальный

доход по ним одинаков, а вероятность получения прибыли ниже.

Лестничный опцион (Ladder Option). При достижении барьера

фиксируется прибыль (если есть) и называет новый барьер. В конце

срока выплачивается вся накопленная прибыль.

Ступенчатый опцион (Step Option). Если

цена актива падает до

определенного уровня, то фиксируется новая более низкая страйковая

цена.

Лестничные и ступенчатые опционы широко применяются в хед-

жировании, когда ожидается неблагоприятное изменение цены актива.

3. Бинарные опционы

(Binary Options, Digital Options). Предполага-

ется два исхода: если опцион оказывается выгодным, то выплачивается

заранее фиксированная сумма, если невыгодным — то не выплачивает-

ся ничего.

Опцион «Одно касание» (One touch) исполняется, когда спотовая

цена базового актива достигнет оговоренного уровня.

Опцион «Ни одного из двух касаний» (Double no touch) исполняет-

ся, если за период его действия спотовая цена базового актива

не выхо-

дила за обозначенные пределы.

132

Опцион «Все или ничего» (All or nothing). Исполняется, если спото-

вая цена базового актива находится на оговоренном уровне на дату по-

гашения опциона.

Отсроченный опцион (Contingent Premium Option), или «Бостон-

ский» опцион (Boston Option) ничего не стоит при покупке. Премия

выплачивается при исполнении. Кроме того, опцион содержит условие,

согласно которому он автоматически исполняется, если цена базового

актива сравняется

или превысит цену исполнения в период обращения

опциона. Опцион изменчивой премии стоит дороже простого опциона

благодаря условиям, выгодным для держателя опциона. Однако выпла-

та при исполнении гораздо выше выплаты по обычным опционам. В

случае неисполнения он ничего не стоит.

4. Опционы на экстремумы (Options on Extremes) позволяют ку-

пить по минимуму, продать по максимуму.

Опцион с оглядкой (Lookback Option). Вместо цены исполнения k

владелец опциона выбирает наилучшую для него цену S

за все время

действия опциона. Тогда выплата равна:

()

(

)

.max,min

−=−=

TtputtTcall

SSfSSf

Пример 5.16. Спотовый обменный курс на 1 марта составил S

30,72 р./$. Опционы Lookback покупателя и продавца с ценой исполне-

ния k = 30,75 р./$ погашаются 1 июня. За период с 1 марта по 1 июня

максимальный обменный курс был равен 30,98 р./$, а минимальный —

30,65 р./$. На 1 июня спотовый обменный курс равен 30,91 р./$.

Владелец Lookback call-опциона при исполнении получает прибыль

()

0,26 30,6530,91min =−=−=

tTcall

SSf р. за каждый доллар.

Владелец Lookback put-опциона при исполнении получает прибыль

()

0,07 30,91 30,98max =−=−=

Ttput

SSf р. за каждый доллар.

Опционы с предвосхищением (Lookforward Option). Вместо рыноч-

ной цены актива на день исполнения S

, владелец опциона выбирает

наилучшую для него цену S

за все время действия опциона. Прибыль

равна:

()

(

)

.min,max

−=−=

tputtcall

SkfkSf

Пример 5.17. Рассчитаем прибыли владельца опционов Look-

forward покупателя и продавца для данных примера 5.15.

Владелец Lookforward call-опциона при исполнении получает

прибыль

()

0,2330,7530,98max =−=−=

kSf

tcall

р. за каждый доллар.

133

Владелец Lookforward put опциона при исполнении получает

прибыль

()

0,1 30,6530,75min =−=−=

tput

Skf р. за каждый доллар.

Из примеров 5.16 и 5.17 видно, put- и call-опционы на экстремумы

могут быть исполнены при одних и тех же рыночных условиях (одно-

временно). Поэтому у них высокая цена и невысокий объем торговли.

Для обычных опционов это невозможно. Если выгоден call-опцион, то

put-опцион невыгоден и наоборот.

Диапазонные опционы (Range Extremes Option) дают возможность

получить разницу между минимумом и максимумом спотовых цен за

период либо некоторый процент от этой разницы.

Опцион Клике (Cliquet Option). Цена исполнения устанавливается

при заключении контракта, а потом меняется в заранее оговоренные

даты в соответствии со значениями цен основных активов. При каждом

изменении цены исполнения фиксируется внутренняя стоимость. В

конце срока выплачивается

вся накопленная прибыль.

Пример 5.18. Рассмотрим опцион покупателя Клике. Первона-

чальная цена исполнения равна k

= 100. В первую дату пересчета цена

основного актива поднялась до S

= 110. Тогда будет зафиксирована

прибыль f

= 110 – 100 = 10 и цена исполнения станет равной k

= 110.

Если на вторую дату пересчета цена основного актива упадет до S

95, то фиксации прибыли не будет, а цена исполнения будет снова из-

менена k

= 95. Если на третью дату пересчета цена основного актива

вырастет до S

= 103, то будет дополнительно зафиксирована прибыль

= 103 – 95 = 8. Цена исполнения меняется на k

= 103. Общая при-

быль на третью дату равна f

+ f

= 10 + 8 = 18.

Опционы, зависящие от выбора покупателя

В эту группу экзотических опционов включаются контракты, при

исполнении которых некоторые детали выбираются покупателем.

Рассмотрим примеры таких опционов.

1. Сложные опционы

(Compound Options) — это опционы на оп-

ционы. Они бывают четырех видов.

Call на Call

— дает право купить опцион покупателя (базисный

опцион).

Call на Put

— дает право купить опцион продавца.

Put на Call — дает право продать опцион покупателя.

Put на Put — дает право продать опцион продавца.

134

Сложный опцион имеет две цены исполнения и две даты погаше-

ния. Первая цена исполнения k1 — это прогноз будущей премии про-

стого (базисного) опциона, вторая цена исполнения k2 — это ожидае-

мая цена базисного актива. Первая дата погашения T1 относится к ис-

полнению первого опциона, дающего право купли/продажи базисного

опциона, вторая дата

— к купле/продаже базисного актива. Сложные

опционы позволяют отсрочить выплаты премии за дорогой базисный

опцион.

2. Выборные опционы (Chooser Options) дают владельцу право на

определенную дату решить, каким же будет тип опциона: put или call.

Используются, когда ожидается значимое событие (выборы, встреча

глав центральных банков, выход экономической статистики), которое

может определить новый рыночный тренд, но

пока неизвестно, в каком

направлении. Дата выбора устанавливается сразу после события, когда

результат уже известен, но рынок еще не успел решить, куда двинуться.

3. Опцион с выкриком (Shout Option) дает право один раз сравнять

цену исполнения с текущей ценой базового актива в любой момент до

даты исполнения опциона путем «выкрика» новой цены исполнения

Пример 5.19. Рассмотрим опцион покупателя с выкриком. На-

чальная цена исполнения k

= 100. Владелец выкрикивает при спотовой

цене базисного актива S

= 114. Тогда фиксируется прибыль f

= 114 –

100 = 14 и цена исполнения переустанавливается на k

= 114. При ис-

полнении владелец получит прибыль f

= 14 и ту внутреннюю стои-

мость, которая окажется на день исполнения.

Опционы с выкриком стоят дешевле Lookback и Lookforward из-за

неопределенности лучшего времени фиксирования цены.

4. Растянутые опционы (Installment Options). Оплата премии про-

изводится несколькими платежами в определенные моменты времени.

Чтобы получить право исполнить опцион, покупатель должен сделать

все платежи. Отказ от очередного платежа вызывает прекращение вза-

имных обязательств по опциону. Отказ может быть вызван изменением

прогноза относительно динамики цен базисного актива или возможно-

стью «создать» новый растянутый

опцион на тот же базисный актив с

более низкими платежами.

5. Квазиамериканские опционы

(Semi-American Options), или Бер-

мудские опционы

(Bermudan Options) могут быть исполнены только в

определенные, заранее оговоренные в опционном контракте, даты в

период до исполнения опциона. «Окно» для исполнения может быть

как определенным днем, так и несколькими днями.

135

Опционы, зависящие от корреляции активов

Цена мультипликативных опционов (Multi-assets Options) зависит

от параметров нескольких активов, а значит, и от корреляции данных

активов. Они позволяют, как сразу хеджировать несколько видов риска

(например, ценовой и валютный), так и использовать в спекулятивных

целях существующую корреляцию между активами. Однако чем выше

отрицательная корреляция активов, тем выше премия мультипликатив-

ных опционов. Рассмотрим примеры таких опционов.

1. «Радужные» опционы (Rainbow Options) заключаются на не-

сколько n активов («цветов»). Выплата по радужному call-опциону оп-

ределяется по наибольшей цене базисного актива. Выплата по радуж-

ному put-опциону определяется по наименьшей цене базисного актива.

Выразим выплаты математически:

{}()

{

}

(

)

.,,,min,,,,max

2121

−=−=

TTT

put

TTT

call

SSSkfkSSSf KK

2. «Лучший или худший из активов» (Best or worst of assets) не со-

всем опцион, так как у него нет страйка. Он похож на оговорку в кон-

тракте купли-продажи продать самый дорогой (купить самый деше-

вый) из предложенного списка активов.

3. Обмениваемый опцион (Exchange Option) дает держателю право

обменять один актив на другой (доплатив или получив доплату). При-

чем нет различия между call- и put-опционами. Его можно рассматри-

вать, как call-опцион на первый актив со страйком, равным цене второ-

го актива или как put-опцион на второй актив со страйком, равным бу-

дущей цене первого актива на дату исполнения. Выплата при обмене

первого актива на второй равна:

{

}

.0,max

SSf −=

4. Спрэдовый опцион (Spread Option). Выплата основана на разнице

между фактическим спрэдом цен (доходностей) двух активов и вре-

менным (заложенным в опцион в качестве страйка). Выплаты рассчи-

тывается как:

(

)

{

}

0,max

kSSf

−−= .

5. Кросс-валютные опционы (Cross-currency Options).

Кванто-опцион. Название Quanto происходит от слов quantity-

adjusting option, т.е. количественно скорректированный опцион. Часто

используются для хеджирования валютного риска, когда валюта вы-

платы по опциону и валюта базисного актива не совпадают.

Возможны следующие варианты контрактов:

– фиксируется только цена актива;

136

– фиксируется обменный курс и цена актива;

– фиксируется только обменный курс;

– фиксируется цена актива в валюте опциона.

Корзиночный опцион (Basket Option). Выплата определяется как

средневзвешенная цена нескольких активов, составляющих корзину.

Аналогичен портфелю опционов, которые исполняются вместе. По-

этому премия по корзиночному опциону меньше суммы премий по

обыкновенным опционам на эти же активы.

Другие виды экзотических опционов

Рынок экзотических опционов непрерывно развивается, появляют-

ся новые виды контрактов, которые трудно классифицировать:

1. Пакеты (Packages of Profiels) — это портфели, состоящие из

обычных опционов, форвардных контрактов и базисных активов.

Портфель обращается как один инструмент (например, это опционные

стратегии).

2. Степенные опционы (Power Options) — выплата рассчитывается

как степенная функция от разницы страйковой и спотовой цен. Приве-

дем примеры.

Опцион квадратного корня (Square Root Option) выплачивает вла-

дельцу call-опциона сумму ,kSf

Tcall

−

для

.kS

Квадратичный опцион (Square Option) выплачивает владельцу call-

опциона сумму

()

kSf

Tcall

−= для

.kS

В состав обычных опционных контрактов можно включать беско-

нечное множество оговорок. Поэтому в этом пункте были перечислены

не все экзотические опционы, а только наиболее известные на мировых

рынках.

5.8. Российский рынок опционов

Рынок опционов, представленный на FORTS, ограничивается кон-

трактами на акции РАО «ЕЭС», ОАО «Газпром», НК «ЛУКойл», ОАО

«Ростелеком», доллар США с котировками в рублях и индекс РТС. В

качестве базового актива для опционов выступают фьючерсы с соот-

ветствующими сроками погашения.

137

Таблица 5.16

Пример опционов на FORTS

Код

REUTERS

Полный код Расшифровка контракта

Диапа-

зон

страйков

Базо-

вый

актив

ESхххххA6 EERU-3.06_

110106CA

ххххх,

где xxxxx —

цена-страйк

(цена исполне-

ния) опциона

Call-опцион на фьючерсный контракт

на акции РАО «ЕЭС России»,с коти-

ровками в рублях и исполнением 15

марта 2006 г., последний день обра-

щения и последний день срока дейст-

вия опциона — 11 января 2006 г.

4 000–

15 000

с шагом

500

ESН6

ESхххххM6 EERU-3.06_

110106PA

ххххх,

где xxxxx —

цена-страйк

(цена исполне-

ния) опциона

Put-опцион на фьючерсный контракт

на акции РАО «ЕЭС России» с коти-

ровками в рублях и исполнением 15

марта 2006 г., последний день обра-

щения и последний день срока дейст-

вия опциона — 11 января 2006 г.

– ״ – – ״ –

ESхххххС6 EERU-3.06_

100306CA

ххххх,

где xxxxx —

цена-страйк

(цена исполне-

ния) опциона

Call-опцион на фьючерсный контракт

на акции РАО «ЕЭС России» с коти-

ровками в рублях и исполнением 15

марта 2006 г., последний день обра-

щения и последний день срока дейст-

вия опциона — 10 марта 2006 г.

– ״ – – ״ –

ESхххххО6 EERU-3.06_

100306PA

ххххх,

где xxxxx —

цена-страйк

(цена исполне-

ния) опциона

Put-опцион на фьючерсный контракт

на акции РАО «ЕЭС России» с коти-

ровками в рублях и исполнением 15

марта 2006 г., последний день обра-

щения и последний день срока дейст-

вия опциона — 10 марта 2006 г.

– ״ – – ״ –

ESхххххF6 EERU-6.06_

090606CA

ххххх,

где xxxxx —

цена-страйк

(цена исполне-

ния) опциона

Call-опцион на фьючерсный контракт

на акции РАО «ЕЭС России», с коти-

ровками в рублях и исполнением 15

июня 2006 г., последний день обра-

щения и последний день срока дейст-

вия опциона — 9 июня 2006 г.

4 000–

14 000 с

шагом

500

ESМ6

ESхххххR6 EERU-6.06_

090606PA

ххххх,

где xxxxx —

цена-страйк

(цена исполне-

ния) опциона

Put-опцион на фьючерсный контракт

на акции РАО «ЕЭС России» с коти-

ровками в рублях и исполнением 15

июня 2006 г., последний день обра-

щения и последний день срока дейст-

вия опциона — 9 июня 2006 г.

– ״ – – ״ –

138

Как и для фьючерсов, тиккер (код контракта) содержит информа-

цию как о базовом активе, так и о месяце и годе погашения. Например,

EERU — акция РАО «ЕЭС России», 03.06 — март 2005 года. Кроме

этого, предоставляется информация о последнем дне срока действия

опциона, так как он не совпадает с датой погашения фьючерса, а также

цене-страйк опциона.

В качестве примера приведем расшифровку тиккеров нескольких

опционов.

EERU-3.06_100306CA 13000. Call-опцион на фьючерс РАО «ЕЭС

России» с датой погашения 15 марта 2006 года. Последний день срока

действия опциона 10 марта 2006 года. Цена-страйк 13 тыс. р.

EERU-3.06_110106PA 12000. Put-опцион на фьючерс РАО «ЕЭС

России» с датой погашения 15 марта 2006 года. Последний день срока

действия опциона 11 января 2006 года. Цена-

страйк 12 тыс. р.

LKOH-3.06_100306CA 17500. Call-опцион колл на фьючерс ОАО

«ЛУКойл» с датой погашения 15 марта 2006 года. Последний день сро-

ка действия опциона 10 марта 2006 года. Цена-страйк 17 тыс. 500 р.

Вопросы и задачи

1. Определить справедливую цену стандартного опциона покупа-

теля (call) со страйком $90, построить хеджирующую стратегию, если

цены акций меняются следующим образом ($). Банковский процент

принять равным нулю. Начальная стоимость бона равна $1.

200

140

90 120

t = 0 t = 1 t = 2

Определить справедливую цену стандартного опциона продавца

(put) со страйком $141, построить хеджирующую стратегию, если цены

акций меняются следующим образом ($). Банковский процент принять

равным нулю. Начальная стоимость бона равна $1.

XXXX-MM.YY_dd.mm.yyTA xxxxx

базовый актив месяц год

Рис. 5.26. Кодировка опциона РТС

ок действия колл/п

т ст

айк

139

160

140

100 130

t = 0 t = 1 t = 2

В рамках модели Блэка — Шоулса построить стратегию и опре-

делить справедливую цену стандартного опциона покупателя с ценой

поставки $120 сроком на 27 дней. Известно, что у актива начальная це-

на $110, постоянная волатильность 20 %, безрисковая ставка равна

10 % годовых.

В рамках модели Блэка — Шоулса построить стратегию и опре-

делить цену стандартного опциона продавца с ценой поставки $120

сроком на 60 дней. Известно, что у актива начальная цена $130, посто-

янная волатильность 13 %, безрисковая ставка равна 5 % годовых.

В рамках модели Блэка — Шоулса построить стратегию и опре-

делить цену стандартного опциона покупателя с ценой поставки 36

р./евро, сроком на 270 дней. Известно, что современный обменный

курс 34 р./евро, волатильность 16 %, доходность по рублевым депози-

там 14 %, по депозитам в евро — 8 % годовых.

Опционы покупателя и продавца на один и тот же актив сроком

на 270 дней и ценой исполнения $110 имеют рыночные опционные

премии, равные $40 и $30 соответственно. Текущая рыночная цена ак-

тива равна $90. Имеется возможность безрисковых вложений и заимст-

вований под 15 % годовых (непрерывно начисляемый процент). Про-

верить возможность арбитража и при необходимости построить арбит-

ражную

комбинацию, позволяющую извлечь прибыль из этой рыноч-

ной ситуации.

Опционы покупателя и продавца на один и тот же актив сроком на

180 дней и ценой исполнения $20 имеют рыночные опционные премии,

равные $2 и $3 соответственно. Текущая рыночная цена актива равна

$22. Имеется возможность безрисковых вложений и заимствований под

12 % годовых (непрерывно начисляемый процент). Проверить возмож-

ность арбитража и при необходимости построить арбитражную комби-

нацию, позволяющую извлечь прибыль из этой рыночной ситуации.

Заполнить таблицу.

10 15 20 25 30 35

call

сall

put

140

call

и C

put

считаются по формуле Блэка — Шоулса для активов, где

k = $25; σ = 0,2; r = 0,1; T = 4 года.

Построить графики.

Заполнить таблицу.

T, лет 3 2 1 0,5 0,2 0,01

call

сall

put

call

и C

put

считаются по формуле Блэка — Шоулса для активов, где

k = $19; S

= $20; σ = 0,1; r = 0,2; года.

Построить графики.

10.

Заполнить таблицу.

σ, % 1 5 10 15 20 30

call

сall

put

call

и C

put

считаются по формуле Блэка — Шоулса для активов, где

k = $20; S

= $15; r = 0,07; T = 1 год.

Построить графики.

11.

Заполнить таблицу.

r, % 1 5 10 15 20 30

call

сall

put

call

и C

put

считаются по формуле Блэка — Шоулса для активов, где

k = $39; S

= $36; σ = 0,2; T = 6 мес.

Построить графики.