Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Для того чтобы по за-

кону Ома определить ток на

входе цепи, необходимо

рассчитать комплексное со-

противление цепи относи-

тельно входных зажимов.

Активное и емкостное со-

противления соединены па-

раллельно, поэтому эквива-

лентное сопротивление от-

носительно зажимов «ab»

можно рассчитать:

.Омe250

e2100

e10000

100j100

)100j(100

)jX(R

45j

90j

−

−+

−

Относительно входных зажимов индуктивное сопротив-

ление и сопротивление участка «ab» соединены последова-

тельно, поэтому входное сопротивление всей цепи можно оп-

ределить как сумму комплексных сопротивлений:

.Омe250e505050j50

50j50100j45sin250j45cos250100j

e250100jZjXZ

45j

jarctg

45j

abL

=+=+=

=−+=−+

=+=+=

−

Определим входной ток, протекающий по индуктивному

элементу:

.Ae

e250

e50

45j

−

===

Определим напряжения на участках цепи:

,Be250e

e100e

100jIjXU

45j45j90j45j

LLL

oooo

====

−−

.Be50e

e250IZUUU

90j45j45j

LabCRab

ooo

&&&&

−−−

=====

Зная напряжения на зажимах параллельных ветвей, мож-

Рис. 2.27

но определить токи, протекающие по ветвям по закону Ома:

.Ae5,0

e100

e50

100j

e50

,Ae5,0

100

e50

90j

90j90j

90j

−

===

−

−−

−

Построим векторную

диаграмму токов и напряже-

ний участков цепи (рис.

2.28). Для этого на ком-

плексной плоскости в соот-

ветствующих масштабах то-

ка m

и напряжения m

по-

строим вектора рассчитан-

ных напряжений и токов со

своими начальными фазами.

На векторной диаграмме по-

кажем выполнение законов

Кирхгофа:

CRL

III

&&&

.UUU

abL

&&&

2.2.7 Рассчитать токи и напряжения на всех участках

электрической цепи, схема которой показана на рис. 2.27, если

известен ток ветви с активным сопротивлением I

= 2 A. По-

строить векторную диаграмму рассчитанных токов и напряже-

ний.

Параметры элементов цепи: R =X

= 100 Ом.

Примем начальную фазу тока ветви с активным сопро-

тивлением равной нулю, тогда комплексное значение этого то-

ка запишется:

.Ae2I

Зная ток в одной из параллельных ветвей, найдем напря-

жение на зажимах этих ветвей по закону Ома:

.Be200e2100IRU

0j0j

Rab

=⋅==

Зная напряжение на зажимах параллельных ветвей, легко

Рис. 2.28

найдем ток в ветви с конденсатором:

.A2je2

e100

e200

100j

e200

90j

0j0j

===

−

Ток в неразветвленной части цепи найдем, составив

уравнение по первому закону Кирхгофа для узла «а»:

.Ae22e222j2III

45j

jarctg

CRL

&&&

=+=+=+=

Напряжение на зажимах первой ветви, содержащей ин-

дуктивный элемент, найдем по закону Ома:

.B200j200135sin2200j135cos2200e2200

e22e100e22100jIjXU

135j

45j90j45j

LLL

+−=+==

=⋅=⋅==

ooo

Напряжение на зажимах цепи найдем, составив уравне-

ние по второму закону Кирхгофа:

.Be200200j200200j200UUU

90j

abL

&&&

==++−=+=

Построим векторную диаграмму рассчитанных токов и

напряжений на рис. 2.29.

Напряжения и токи в выбранных масштабах будем стро-

ить на векторной диаграмме в том порядке, в котором произ-

водили их расчет.

Рис. 2.29

2.2.8 Рассчитать комплексную передаточную функцию по

напряжению

и построить АЧХ для цепи, схема которой

приведена на рис. 2.30.

Передаточная функ-

ция по напряжению

определяется отношением

выходного напряжения

цепи в режиме холостого

хода к входному напря-

жению, записанных в

комплексной форме:

вхвх

вых

== ,

где İ – комплексное действующее значение тока, вызываемое в

цепи входным напряжением

вх

, причем все элементы в рас-

сматриваемой цепи соединены последовательно и по ним про-

текает один и тот же ток; Z – комплексное сопротивление уча-

стка цепи, с которого снимается выходное напряжение

вых

По закону Ома ток определяется:

LjR3

LjRR2

вхвх

ω+

ω++

Так как сопротивление

LjRZ

, то комплексную пе-

редаточную функцию можно определить:

)LjR3(

)LjR(

U)LjR3(

)LjR(U

вх

ω+

Модуль передаточной функции определяется:

)L()R3(

)L(R

ω+

При частоте ω = 0 модуль передаточной функции K

=1/3;

при частоте ω → ∞ модуль передаточной функции K

= 1. Эти

Рис. 2.30

вх

вых

значения определяют характер изменения АЧХ, которая при-

ведена на рис. 2.31.

2.2.9 Определить значение емкости конденсатора и тока в

цепи, состоящей из последовательного соединения элементов

R, L, C (рис. 2.22) при условии, что в цепи режим резонанса

напряжений.

Заданы параметры цепи: U= 50 B, R = 100 Ом, L = 0,1 Гн,

частота питающей сети f = 50 Гц.

Условием резонанса напряжений является равенство ре-

активных сопротивлений индуктивного и емкостного элемен-

тов:

XX = или

C/1L

, из этого выражения можно по-

лучить значение емкости конденсатора, при котором в цепи

наступит режим резонанса напряжений:

.Ф1042,101

1,0)5028,6(

L)f2(

L/1C

2 −

⋅=

⋅⋅

=ω=

Полное сопротивление цепи при резонансе равно актив-

ному сопротивлению, так как реактивные индуктивное и емко-

стное сопротивления равны по модулю и их сумма равна нулю:

.R)XX(Rz

=−+=

Тогда действующее значение тока в цепи будет равно:

.A5,0

100

I ====

1/3

Рис. 2.31

2.2.10 Для электрической цепи, схема которой приведена

на рис. 2.32, составить на основе законов Кирхгофа систему

уравнений для расчета токов в ветвях цепи и записать ее в двух

формах: дифференциальной и символической.

Так как схема содержит несколько источников электри-

ческой энергии, положительные направления токов в ветвях

выбираем произвольно. Также произвольно выбираем направ-

ления обхода контуров.

Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа,

должно соответствовать количеству неизвестных токов. Рас-

сматриваемая электрическая цепь имеет три ветви с неизвест-

ными токами, поэтому система уравнений, составляемая по за-

конам Кирхгофа должна состоять из трех уравнений.

По первому закону Кирхгофа составляется на одно урав-

нение меньше, чем количество узлов в цепи. Цепь имеет два

узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляем одно

уравнение. Недостающие два уравнения составляем по второ-

му закону Кирхгофа для двух независимых контуров, направ-

ление обхода которых показано на рис. 2.32.

Рис.2.32

Запишем систему уравнений в дифференциальной форме

записи, где все токи, напряжения и ЭДС записаны в мгновен-

ной форме и зависимости между напряжениями и токами реак-

тивных элементов дифференциально-интегральные:











+=++

=++

=+−

∫

).IIконтур(eeiR

);Iконтур(e

Ldti

);1узел(0iii

3233

321

Запишем систему уравнений в символической форме за-

писи. Для этого от функций времени перейдем к изображению

синусоидальных функций времени комплексными числами.

Соответственно дифференциальные и интегральные зависимо-

сти между напряжениями и токами в цепях синусоидального

тока мы заменяем линейными зависимостями между ком-

плексными токами и напряжениями:

)tsin(E)t(e

=ω →

EeE

)tsin(I)t(i

=ω →

IeI

Riu

→ IRU

= → ILjU

ω=

∫

= idt

→

−=

Тогда система уравнений, записанная по законам Кирх-

гофа будет иметь вид:











+=+ω+ω

=ω+ω−+

=+−

.EEIRILjILj

;EILjI))C/(j(IR

;0III

32333322

222111

321

&&&&&

&&&&

&&&

2.2.11 Рассчитать токи в ветвях цепи, схема которой

представлена на рис. 2.32, методом узловых потенциалов. По-

строить векторную диаграмму токов и напряжений на всех

элементах цепи. Параметры элементов цепи:

),90t1000sin(141)t(e

+= ),60t1000sin(6,84)t(e

=80 Ом, R

=60 Ом, L

=40 мГн, L

=30 мГн, C

=10 мкФ.

Расчет цепи будем выполнять в комплексной форме запи-

си, для чего перейдем от ЭДС, записанных как функции вре-

мени, к их изображению комплексными числами:

,Be100e

141

90j90j

== .Be60e

6,84

60j60j

Рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:

;100j80))C/(1j(RZ

111

−

;40jLjZ

.30j60LjRZ

333

Произвольно выбранное направление токов в ветвях схе-

мы показано на рис. 2.33. Так как схема имеет всего два узла,

то для расчета токов в ней применяют частный случай метода

Рис.2.33

узловых потенциалов – метод двух узлов. Согласно этому ме-

тоду напряжение между узлами 1 и 2 определяется:

YYY

YEYE

321

3322

−

где комплексные проводимости параллельных ветвей:

;Смe00776,0

0061,0j0048,0

100j80

)C/j(R

52j

111

=+=

−

ω−+

;Смe025,0025,0j

40j

90j

−

=−==

.Смe0146,0

0067,0j013,0

30j60

LjR

27j

333

−

=−=

ω+

Подставим значения комплексных ЭДС и проводимостей

в формулу для определения напряжения:

.B28,37j04,44e7,57

0067,0j013,0025,0j0061,0j0048,0

e0146,0e60e025,0e100

YYY

YEYE

40j

27j60j90j90j

321

3322

+==

−+−+

⋅−⋅

−

−−

oooo

Рассчитаем токи в ветвях цепи, пользуясь законом Ома

для ветви с ЭДС:

;Ae43,043,0j012,0

100j80

e7,57

92j

40j

=+−=

−

;Ae865,101,1j568,1

40j

100j28,37j04,44

33j

212

=+=

+−−

+−

.Ae724,1686,0j582,1

30j60

52j3028,37j04,44

23j

312

=+=

+++

Для построения векторной диаграммы рассчитаем на-

пряжения на всех элементах цепи:

;Be4,34e43,080IRU

92j92j

111R

=⋅==

;Be43e43,0)100j(I)C/j(U

2j92j

111C

=⋅−=ω−=

;Be6,74e865,140jILjU

123j33j

222L

=⋅=ω=

;Be44,103e724,160IRU

23j23j

333R

=⋅==

.Be7,51e724,130jILjU

103j23j

333L

=⋅=ω=

На комплексной плоскости построим векторную диаграмму

токов и напряжений (рис. 2.34) и покажем на ней выполнение

законов Кирхгофа, то есть:











+=++

=++

=+−

.EEUUU

;EUUU

;0III

323R3L2L

22L1C1R

321

&&&&&

&&&&

&&&

Рис. 2.34