Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

ния на участках схемы и расходуемые в них мощности.

Для схемы рис. 1.6 составим систему уравнений на осно-

вании законов Кирхгофа.

Рис. 1.6

Схема содержит шесть ветвей с неизвестными токами,

четыре узла и три элементарных контура. По первому закону

Кирхгофа составляем три уравнения, то есть на одно меньше,

чем количество узлов в схеме, а недостающие три уравнения

составляем по второму закону Кирхгофа для трех элементар-

ных контуров, направления обходов которых показаны на рис.

1.6.

Узел 1:

0III

431

−

+ .

Узел 2:

0III

521

+−

Узел 3:

0III

653

−−

Контур I:

31335511

EEIRIRIR

−

Контур II:

63446633

EEIRIRIR

Контур III:

6556622

EIRIRIR

−

обход

III

1.1.4 Эквивалентные преобразования в

электрических цепях

С целью упрощения расчета электрической цепи часто

оказывается целесообразным осуществить эквивалентное пре-

образование некоторой части цепи. Часть цепи до преобразо-

вания эквивалентна этой же части после преобразования при

условии, что режим в остальной непреобразованной части схе-

мы остается неизменным. То есть разность потенциалов между

зажимов преобразованной части схемы остается такой же, как

и напряжение на зажимах непреобразованной части схемы, а

так же входной ток преобразованной части схемы остается не-

изменным.

Ветвь может содержать любое число последовательно со-

единенных элементов цепи. При этом

последовательным со-

единением участков электрической цепи называют соединение,

при котором через все участки цепи проходит один и тот же

ток. При этом напряжение на зажимах этого участка цепи рав-

но сумме напряжений на каждом из ее элементов (рис. 1.7):

.I)RRR(IRIRIRUUUU

3213213R2R1R

Рис. 1.7

Если мы хотим заменить участок цепи, состоящий из не-

скольких последовательно соединенных элементов, одним эк-

вивалентным, то напряжение на нем будет равно:

IRU

= .

Учитывая условия эквивалентного преобразования, полу-

чаем:

321Э

RRRR

То есть при последовательном соединении элементов сопро-

I I

тивление цепи равно сумме сопротивлений составляющих ее

элементов.

Параллельным соединением участков (ветвей) электриче-

ской цепи называют соединение, при котором все участки цепи

присоединены к одной паре узлов (рис. 1.8), и на всех этих

участках имеется одно и то же напряжение.

Рис. 1.8

При этом ток на входе цепи равен сумме токов парал-

лельных ветвей:

.U)GGG(U)

(

IIII

321

3R2R1R

++=++=

=++=++=

В том случае, если необходимо заменить участок элек-

трической цепи, состоящий их нескольких параллельно соеди-

ненных элементов, одним эквивалентным, то ток такого экви-

валентного элемента будет определяться:

.UGU

Учитывая условия эквивалентного преобразования, мож-

но записать:

321Э

GGGG

или

321Э

++=

, то

есть при параллельном соединении приемников для получения

эквивалентной проводимости, складывают проводимости па-

раллельных ветвей.

Отсюда можно получить формулу для определения экви-

валентного сопротивления:

323121

321

RRRRRR

RRR

Для случая параллельного соединения двух ветвей это

выражение буде иметь вид:

При расчете электрических цепей возникает необходи-

мость эквивалентных преобразований звезды сопротивлений

(рис. 1.9, а) в треугольник сопротивлений (рис. 1.9, б). Соеди-

нения звездой и треугольником эквивалентны друг другу при

условии, что при одинаковых в обоих случаях напряжениях

, U

между точками 1, 2 и 3 и токи I

, I

, подходящие

к этим точкам от остальной части цепи, одинаковы в обоих

случаях.

Рис. 1.9

Формулы для определения сопротивлений лучей звезды

через сопротивления сторон треугольника имеют вид:

RRR

312312

3112

RRR

312312

1223

RRR

312312

2331

а)

)

Формулы для расчета сопротивлений сторон треугольни-

ка через сопротивления лучей звезды имеют вид:

RRR

2112

++= ,

RRR

3223

++=

RRR

1331

++=

1.1.5 Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохране-

ния энергии и записывается следующим образом:

,IRJUIE

KJKK

∑∑∑

===

где

∑

– мощность, генерируемая источниками ЭДС;

∑

KJK

JU – мощность, генерируемая источниками тока;

∑

IR – мощность, рассеиваемая в резисторах.

Мощность, рассеиваемая в резисторах, всегда положи-

тельна. Мощность источников энергии может быть как поло-

жительной, так и отрицательной. Отрицательный знак мощно-

сти означает, что соответствующий источник работает в режи-

ме потребления электрической энергии.

Схемы идеальных источников энергии представлены на

(рис. 1.10).

Рис. 1.10

Для источника ЭДС мощность P

= EI положительна,

если направления ЭДС источника Е и тока ветви I совпадают, в

противном случае мощность отрицательна.

Для источника тока мощность P

= U

J = (φ

– φ

)·J может

быть как положительной, так и отрицательной. Если φ

>φ

, то

мощность положительна, то есть источник работает в режиме

генератора. Если же φ

< φ

, то мощность отрицательна и это

означает, что источник работает в режиме потребления.

Выполнение баланса мощностей является одним из кри-

териев правильности расчета электрической схемы исследуе-

мой цепи.

1.1.6 Условие передачи максимальной мощности

в нагрузку

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источни-

ка ЭДС с внутренним сопротивлени-

ем R

и нагрузочного резистора с со-

противлением R

(рис. 1.11). Мощ-

ность, выделяющуюся в нагрузке,

определим по формуле:

,IRP

= где .

вн

Тогда выражение для определе-

ния мощности имеет вид:

(RP

вн

График зависимости мощности от величины нагрузочно-

го сопротивления приведен на рис. 1.12. Эта функция имеет

максимальное значение при сопротивлении нагрузки R

, рав-

ном внутреннему сопротивлению источника ЭДС R

, что вид-

но из графика.

Можно аналитически рассчитать сопротивление нагруз-

ки, при котором в нем будет выделяться максимальная мощ-

Рис. 1.11

ность. Для этого найдем производную функции P(R

) и опре-

делим, при каком

значении сопро-

тивления нагрузки

эта производная

обращается в

ноль. В результате

этих математиче-

ских вычислений

получим: R

= R

1.1.7 Метод контурных токов

Используя метод контурных токов (МКТ) для анализа

электрических цепей полагают, что по ветвям каждого незави-

симого контура схемы течет свой контурный ток. Токи всех

ветвей схемы можно выразить через эти контурные токи, со-

кратив таким образом количество неизвестных величин. То

есть МКТ можно определить как метод расчета, при котором за

неизвестные принимают контурные токи. Число контурных

токов в МКТ равно числу уравнений, которые необходимо бы-

ло бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

Рассмотрим определение токов в ветвях схемы рис. 1.6

методом контурных токов. Пусть по ветвям первого контура

протекает контурный ток I

, по ветвям второго – I

, третьего –

(рис. 1. 13).

Уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа

для выбранных контуров, имеют вид:











−=−−

+=++

−=−+

.EIRIRIR

;EEIRIRIR

6556622

63446633

31335511

Причем, направления обхода контура выбрано по направ-

Р, Вт

max

, Ом

Рис. 1.12

лению контурного тока.

Выразим токи ветвей через контурные токи:

111

II =

332

II =

11223

III

−

224

II = ,

33115

III

−

33226

III

−

Подставим полученные выражения в уравнения, состав-

ленные по второму закону Кирхгофа:











−=−−−−

+=+−+−

−=−−−+

.E)II(R)II(RIR

;EEIR)II(R)II(R

;EE)II(R)II(RIR

63311533226332

632243322611223

311122333115111

Рис. 1.13

Преобразовав полученную систему уравнений, можно за-

писать:











−=+++−−

+=−+++−

−=−−++

.EI)RRR(IRIR

;EEIRI)RR(RIR

;EEIRIRI)RR(R

633652226115

6333622543113

3133522311531

Полученную систему уравнений для определения кон-

турных токов можно записать в общем виде:











=++

,EIRIRIR

;EIRIRIR

33333322321131

22332322221121

11331322121111

где

53111

RRRR +

– полное или собственное сопротивле-

ние первого контура, которое определяется, как сумма сопро-

тивлений в этом контуре;

64322

RRRR ++=

– собственное сопротивление второго

контура;

65233

RRRR ++=

– собственное сопротивление третье-

го контура;

32112

RRR −==

– общее сопротивление первого и второ-

го контуров, которое определяется как сумма сопротивлений,

одновременно принадлежащих первому и второму контурам,

это сопротивление имеет знак «–», если направления контур-

ных токов в общей ветви не совпадают, и знак «+» – если сов-

падают;

53113

RRR −== – общее сопротивление первого и

третьего контуров;

62332

RRR −==

– общее сопротивление второго и

третьего контуров;

332211

E,E,E – алгебраическая сумма ЭДС в соответст-

вующем контуре, причем, ЭДС, направления которых совпада-

ет с выбранным положительным направлением контурного то-

ка входят в сумму со знаком «+», а которых не совпадают – со

знаком «–»:

.EE,EEE,EEE

63363223111

−

Решив полученную систему уравнений, и определив кон-

турные токи, легко рассчитать токи в ветвях схемы.

1.1.8 Метод узловых потенциалов

Искомыми величинами в методе узловых потенциалов

(МУП) являются потенциалы узлов схемы. При этом потенци-

ал одного из узлов принимается равным нулю, а значения по-

тенциалов остальных узлов находятся относительно выбранно-

го нулевого. Определив каждый из искомых узловых потен-

циалов, нетрудно найти напряжения между любыми парами

узлов и токи в ветвях цепи.

При расчете цепей с помощью МУП, используют уравне-

ния, составленные по первому закону Кирхгофа для узлов, по-

тенциалы которых необходимо рассчитать.

Составим уравнения для определения узловых потенциа-

лов схемы рис. 1.13, приняв четвертый узел за опорный, то

есть φ

=0. Для чего составим уравнения по первому закону

Кирхгофа для остальных узлов:

0III

431

=−+ ;

0III

521

=++−

;

0III

653

=+−−

Выразим токи всех ветвей через потенциалы узлов схемы

с помощью закона Ома:

)E(g

1211

121

+ϕ−ϕ=

+ϕ−ϕ

= ;

I ϕ=

ϕ−

= ;

)E(g

3313

331

+ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ

= ;

)(g

ϕ−=

ϕ−

)(g

525

ϕ−ϕ=

ϕ−ϕ

= ; )E(g

636

643

+ϕ=

−

= .

Подставим значения токов в уравнения, составленные по

закону Кирхгофа, и после преобразования получим: