Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Для определения тока второй ветви составим уравнение

по второму закону Кирхгофа для контура, образованного вто-

рой, третьей и четвертой ветвями:

,0IRIRIR

443322

−

откуда

100

5,0100150

IRIR

4433

⋅

= А.

Ток первой ветви находим, составив уравнение по перво-

му закону Кирхгофа для узла 2:

,0III

321

−

откуда:

211III

321

+=+=

А.

ЭДС рассчитаем, составив уравнение по второму закону

Кирхгофа для контура, образованного первой и второй ветвя-

ми: 30011002)3070(IRI)RR(E

221

=⋅+⋅+=++= В.

1.2.4 Рассчитать токи в ветвях электрической цепи, схема

которой показана на рис. 1.21, используя метод наложения.

Параметры элементов цепи: E

= 24 B, E

= 96 B, E

= 48

B, R

= 8 Ом, R

= 16 Ом, R

= 8 Ом, R

= 16 Ом.

Рис. 1.21

Выберем произвольно положительные направления токов

в ветвях схемы. Согласно принципу наложения действитель-

ные токи в ветвях электрической цепи, возникающие от дейст-

вия нескольких источников электрической энергии, равны ал-

гебраической сумме токов от действия каждого источника

энергии.

Определим частичные токи от действия первого источ-

ника ЭДС Е

. Для этого оставим в цепи только источник Е

, а

остальные исключим, оставив их внутренние сопротивления.

Так как цепь содержит

только идеальные источники

ЭДС, внутреннее сопротив-

ление которых равно нулю,

то источники Е

и Е

заме-

ним короткозамкнутыми

участками (рис. 1.22, а). По-

лученная схема содержит

один источник энергии, по-

этому в ней можно сразу

правильно показать положи-

тельные направления час-

тичных токов.

Токи в полученной

схеме будем определять ме-

а) б)

в)

Рис. 1.22

тодом эквивалентных преобразований. Для того, чтобы опре-

делить ток I

' в ветви с источником ЭДС, пользуясь законом

Ома, необходимо найти эквивалентное сопротивление относи-

тельно зажимов «а» и «с» источника Е

. Вторая и четвертая

ветви присоединены к одной паре узлов «с» и «b», то есть, со-

единены параллельно и общее сопротивление этих ветвей бу-

дет равно:

.Ом8

1616

⋅

Сопротивления первой и третьей ветвей относительно уз-

лов «а» и «b» также соединены параллельно, и их эквивалент-

ное сопротивление найдем как:

.Ом4

⋅

Сопротивления R

и R

соединены между собой после-

довательно, поэтому эквивалентное сопротивление относи-

тельно зажимов источника определяется:

.Ом1284RRR

2413

=+=+=

Определим ток

.А2

===

Для второй и четвертой ветвей, соединенных параллель-

но, можно записать:

IRIR

⋅

откуда можно определить ток второй и четвертой ветвей:

,A12

1616

R)RR(

242

⋅

.A12

1616

R)RR(

442

⋅

Для первой и третьей ветвей можно записать аналогичное

выражение:

IRIR

⋅

откуда найдем токи этих ветвей:

,A12

R)RR(

131

⋅

.A12

R)RR(

331

⋅

Определим частичные токи от действия второго ис-

точника ЭДС Е

. Оставим в схеме только источник ЭДС Е

зажимы всех остальных источников закоротим (рис. 1.22, б).

Покажем положительные направления частичных токов от

действия второго источника ЭДС.

Для определения тока I

" по закону Ома, найдем эквива-

лентное сопротивление относительно зажимов источника Е

В рассматриваемой схеме потенциалы узлов «а» и «с»

одинаковы, сопротивления первой, третьей и четвертой ветвей

присоединены к этим узлам, то есть, соединены параллельно:

.Ом2,3

88816816

8816

RRRRRR

RRR

434131

431

134

⋅+⋅+⋅

⋅⋅

Полученное сопротивление включено последовательно с

сопротивлением второй ветви, и тогда эквивалентное сопро-

тивление найдем:

.Ом2,19162,3RRR

2134

=+=+=

Определим ток:

.А5

2,19

===

Токи в параллельных ветвях можно определить, составив

уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров образо-

ванных второй и первой и второй и четвертой ветвями:

222

EIRIRиEIRIR =+=+

откуда найдем токи:

,A2

51696

IRE

222

⋅−

−

.A1

51696

IRE

222

⋅−

−

Ток третьей и пятой ветвей можно рассчитать, составив

уравнения для узлов «с» и «а» по первому закону Кирхгофа:

,A415III

=−=−=

.A224III

=−=−=

Определим частичные токи от действия третьего ис-

точника ЭДС Е

. Оставим в схеме только источник ЭДС Е

зажимы всех остальных источников закоротим (рис. 1.22, в).

Покажем положительные направления частичных токов от

действия третьего источника ЭДС.

Найдем входное сопротивление относительно зажимов

источника Е

. Сопротивления первой, второй и четвертой вет-

вей относительно узлов «а» и «b» (узлы «а» и «с» имеют оди-

наковый потенциал, как и в предыдущей схеме) соединены па-

раллельно:

.Ом4

8168161616

81616

RRRRRR

RRR

424121

421

124

⋅+⋅+⋅

⋅⋅

Полученное сопротивление и сопротивление третьей вет-

ви соединены последовательно:

.Ом1284RRR

3124

=+=+=

Определим ток в ветви с источником ЭДС:

.А4

===

Токи в параллельных ветвях определим, используя урав-

нения, записанные на основании второго закона Кирхгофа:

.EIRIREIRIR,EIRIR

33,3

333

=+=+=+

Тогда:

,A2

4848

IRE

333

⋅−

−

,A1

4848

IRE

333

⋅−

−

.A1

4848

IRE

333

⋅−

−

Ток пятой ветви найдем, составив уравнения по первому

закону Кирхгофа для узла «с»:

.A211III

=+=+=

Определим действительные токи в ветвях схемы путем

алгебраического суммирования частичных токов. Причем, час-

тичные токи, направление которых совпадает с выбранным ра-

нее положительным направлением действительных токов, бе-

рем в этой сумме со знаком «плюс», а те, которые не совпада-

ют, со знаком «минус»:

A3221IIII

−=−−=−−= ;

A7151IIII

−=−−−=−−−= ;

A3421IIII

=+−=+−= ;

A3111IIII

=++=++= ;

0242IIII

=+−=+−= .

В результате расчета значения некоторых токов получи-

лись отрицательными, это означает, что в исходной схеме эти

токи направлены в противоположную сторону.

1.2.5 Определить токи в ветвях электрической цепи, схе-

ма которой представлена на рис. 1.23 на основе законов Кирх-

гофа. Параметры элементов цепи: Е

=100 В, Е

=180 В, Е

=90

В, R

=75 Ом, R

=60 Ом, R

=40 Ом, R

=90 Ом, R

=50 Ом.

Прежде чем составлять систему уравнений по законам

Кирхгофа, произвольно покажем условно положительные на-

правления токов в ветвях и проведем топологический анализ

цепи.

Рассматриваемая цепь имеет пять ветвей с неизвестными

токами (I

÷ I

), три узла (узлы 3-3' можно объединить в один,

так как они соединены проводником с сопротивлением, рав-

ным нулю), три линейно независимых контура (I, II, III).

Так как в цепи имеется пять неизвестных токов, то необ-

ходимо составить систему из пяти уравнений по законам Кирх-

гофа для определения этих токов.

Количество уравнений, составленных по первому закону

Кирхгофа на одно меньше, чем количество узлов в цепи. Для

рассматриваемой цепи, имеющей три узла, составляем два

уравнения по первому закону Кирхгофа:

Рис. 1.23

узел 1:

,0III

421

−

узел 2:

.0III

351

−−

Остальные три необходимые уравнения составляем по

второму закону Кирхгофа для трех линейно независимых кон-

туров. Перед составлением уравнений по второму закону

Кирхгофа выберем произвольно направления обхода каждого

из контуров, и покажем эти направления на схеме:

контур I (1-3-1): ;EIRIR

24422

−

контур II (1-3-2-1):

;EIRIRIR

1554411

контур III (2-3-2):

.EIRIR

33355

−

Запишем эти уравнения в виде системы алгебраических

уравнений:

III











=−

=++

−=−−

=−−

=+−−

.EIRIR

;EIRIRIR

;EIRIR

;0III

35533

1554411

24422

531

421

Полученную систему уравнений можно записать в мат-

ричной форме:













−













⋅













−

−−

541

R0R00

RR00R

0R0R0

10101

01011

Элементами матрицы [R] являются коэффициенты при

неизвестных токах в алгебраической системе уравнений.

Подставив числовые значения, рассчитаем ток в каждой

из ветвей цепи по формуле:

∆

= где ∆ – главный определи-

тель системы













−

−−













−

−−

=∆

5004000

50900075

0900600

10101

01011

R0R00

RR00R

0R0R0

10101

01011

541

∆

– дополнительные определители, которые получают путем

замены i- того столбца главного определителя на столбец сво-

бодных членов.

В настоящее время существует ряд программных систем

(MATLAB, MathCAD), которыми можно воспользоваться для

решения данной системы уравнений.

Решив эту систему, получим значения токов в ветвях це-

пи:

,A315,0I

,A011,1I

,A175,1I

,A326,1I

.A859,0I

−

Ток пятой ветви в результате расчета получился со зна-

ком «минус», это означает, что в рассматриваемой цепи нами

было неверно выбрано его положительное направление. На са-

мом деле ток I

направлен в противоположную сторону.

1.2.6 Рассчитать токи в ветвях электрической цепи, схема

которой приведена на рис. 1.23 методом контурных токов. Ис-

ходные данные для расчета такие же, как в задаче

1.2.5.

Пусть по ветвям каждого из независимых контуров про-

текает свой контурный ток. Направления контурных токов вы-

берем по направлению движения часовой стрелки (рис. 1.24).

Рис. 1.24

Система уравнений для определения контурных токов в

общем виде записывается:











=++

,EIRIRIR

;EIRIRIR

33333322321131

22332322221121

11331322121111

где R

, R

– собственные сопротивления контуров, кото-

рые определяются как сумма сопротивлений, входящих в соот-

ветствующий контур:

Ом1509060RRR

4211

=+= ;

Ом215509075RRRR

54122

++=

;

Ом904050RRR

3533

=+= ;

2112

RR = ,

2332

RR = ,

3113

– взаимные сопротивле-

ния контуров, которые определяются как сумма сопротивлений

одновременно принадлежащих двум смежным контурам, при-

чем эти сопротивления имеют знак «–», если направления кон-

турных токов в общей ветви не совпадают, и знак «+» – если

совпадают:

Ом90RRR

42112

−=−== – взаимное сопротивление первого

и второго контуров, знак «минус» обусловлен противополож-

ным направлением контурных токов в сопротивлении R

;

Ом50RRR

52332

−=−==

– взаимное сопротивление второго

и третьего контуров, знак «минус» обусловлен противополож-

ным направлением контурных токов в сопротивлении R

;

0RR

3113

– взаимное сопротивление первого и третьего

контуров, оно равно нулю, так как эти контуры не имеют ни

одного общего сопротивления;

332211

E,E,E – алгебраическая сумма ЭДС в соответствующем

контуре:

B180EE

211

−=−= – алгебраическая сумма ЭДС в пер-

вом контуре, знак минус обусловлен несовпадением направле-

ния контурного тока и направления ЭДС Е

;

B100EE

122

= – алгебраическая сумма ЭДС во втором

контуре, в этом контуре направление контурного тока и ЭДС