Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

2.1.4 Действия с комплексными числами

Пусть мы имеем два комплексных числа, записанных в

показательной и алгебраической формах записи:

AjAAeA

′′

′

BjBBeB

′′

′

Рассмотрим основные действия, выполняемые над ком-

плексными числами.

Алгебраическое сложение комплексных чисел выполня-

ется при записи их в алгебраической форме. При этом мы сум-

мируем отдельно действительные части комплексных величин,

отдельно – мнимые:

).BA(j)BA()BjB()AjA(BA

′′

′

′′

′

′′

′

=±

Умножение комплексных чисел удобнее всего выполнять

в показательной форме записи. При этом модуль нового ком-

плексного числа получается путем перемножения модулей

комплексных величин, а аргумент – путем сложения фаз:

.eABBeAeBA

)(jjj β+αβα

⋅=⋅=⋅

Деление комплексных величин выполняется аналогично,

то есть для получения модуля новой комплексной величины

модуль числителя необходимо разделить на модуль знаменате-

ля, а для получения аргумента необходимо из фазы числителя

вычесть фазу знаменателя:

.eB/A)Be/(AeB/A

)(jjj β−αβα

⋅==

2.1.5 Линейные элементы R, L, C в цепи

синусоидального тока

Резистивный элемент.

Резистивный элемент с сопро-

тивлением R как элемент схемы учитывает

необратимые преобразования электриче-

ской энергии в другие виды энергии (теп-

ловую, механическую и т.д.).

Такой элемент называют идеальным

в том случае, если мы пренебрегаем энергиями магнитных и

(t)

i(t)

электрических полей, всегда имеющихся в реальном элементе.

При синусоидальном токе, протекающем по резистивно-

му элементу i(t)= I

sin(ωt + ψ

), напряжение между зажимами

резистивного элемента и ток связаны законом Ома:

(t) = R i(t)= R I

sin(ωt + ψ

) = U

sin(ωt + ψ

Амплитудные и действующие значения тока и напряже-

ния на резистивном элементе также связаны законом Ома:

= RI

, U

= RI.

Из полученного выражения для мгновенного значения

напряжения видно, что начальные фазы напряжения и тока

одинаковы, то есть напряжение и ток резистивного элемента

совпадают по фазе. На рис. 2.5, а представлены их временные

диаграммы. При построении временных диаграмм начальная

фаза тока принята положительной ψ

> 0.

Если синусоидальную функцию времени i(t)=I

sin(ωt+ψ

)

заменить изображающей ее комплексной величиной, то закон

Ома в комплексной форме запишется следующим образом:

,eRIIRU

mmRm

где

– комплексные амплитуды.

Рис.2.5

Для действующих комплексных величин будем иметь:

RIeIRU

i,u

ωt

а)

=ψ

б)

Векторы, изображающие синусоидальные функции вре-

мени, представлены на векторной диаграмме рис. 2.5, б.

Мгновенная мощность резистивного элемента:

p(t) = u

·i = U

sin(ωt + ψ

)·I

sin(ωt + ψ

) =

= U

sin

(ωt + ψ

)= U

)t(2cos1

ψ+

−

=)ψt(2cosIUIU

iRR

−

Временная диаграмма мгновенной мощности представ-

лен на рис. 2.5, а. Из графика хорошо видно, что вся энергия,

поступающая в резистивный элемент, расходуется в нем и не

возвращается к генератору.

Среднее значение мгновенной мощности за время, равное

периоду синусоидального тока, называется

активной мощно-

стью

.RIIUdt)t(p

∫

===

Индуктивный элемент. Идеальный индуктивный эле-

мент с индуктивностью L учитывает энергию

магнитного поля

и явление самоиндукции.

В этом случае пренебрегают потерями элек-

тромагнитной энергии и наличием энергии электрического по-

ля.

Напряжение на зажимах индуктивного элемента при про-

текании синусоидального тока i(t) = I

sin(ωt + ψ

) будет опре-

деляться:

),tsin(U)2/tsin(IX

)tcos(IL

)]tsin(I[d

L)t(u

uLmimL

ψ+ω=π+ψ+ω=

=ψ+ω⋅ω=

где

ω=

– индуктивное реактивное сопротивление сину-

соидальному току;

(t)

(

)

mLLm

IXU ⋅=

– амплитудное значение напряжения на ин-

дуктивном элементе;

ψ=ψ

– начальная фаза напряжения, то есть на-

пряжение на индуктивном элементе опережает свой ток на

угол π/2.

При переходе к действующим значениям имеем:

.IXU

В комплексной форме записи:

.IjXILjeeLIeLIU

mLm

2/j

)2/(j

mLm

&&&

=ω=ω=ω=

ψπ+ψ

Для действующих комплексных значений:

,IjXIL jωU

&&&

=⋅=

здесь

j90

eXjXL jω == – индуктивное реактивное сопро-

тивление в комплексной форме записи (

90j

ej = ).

На рис. 2.6, а представлена временная диаграмма тока и

напряжения индуктивного элемента. На рис. 2.6, б построена

векторная диаграмма для действующих комплексных значений

тока и напряжения.

а) б)

Рис. 2.6

Угол сдвига фаз φ на векторной диаграмме показывается

стрелкой, направленной от вектора тока к вектору напряжения.

π/2

ωt

i, u

, p

(t)

i(t)

(t)

Мгновенная мощность индуктивного элемента может

быть определена:

).t(2sinIU

)t(2sin

UI)tcos(U)tsin(I

)tsin(U)tsin(I)t(u)t(i)t(p

LmmiLmim

uLmimL

ψ+ω=

ψ+ω

=ψ+ωψ+ω=

=ψ+ωψ+ω==

Как видно из полученного выражения мгновенная мощ-

ность изменяется по синусоидальному закону с частотой в два

раза большей, чем частота тока. График мгновенной мощности

для индуктивного элемента представлен на рис. 2.6, а. Среднее

значение мгновенной мощности за период равно нулю. В те

промежутки времени, когда значение мгновенного тока увели-

чивается, мощность имеет положительное значение, то есть

энергия передается от генератора к индуктивному элементу и

накапливается в нем. Когда же мгновенный ток уменьшается,

мощность имеет отрицательное значение, энергия возвращает-

ся от индуктивного элемента к генератору.

Для того чтобы количественно охарактеризовать обмен-

ные процессы магнитной энергией между источником и ин-

дуктивным элементом, вводят понятие индуктивной реактив-

ной мощности, величина которой принимается равной ампли-

тудному значению мгновенной мощности:

LLL

IXIU]BAp[Q == (ВАр – вольт-ампер реактивный – еди-

ница измерения реактивной мощности).

Емкостный элемент. Емкостный элемент схемы с емко-

стью С учитывает только энергию электриче-

ского поля

, пренебрегая при этом необра-

тимым расходом энергии в диэлектрике и на-

личием энергии магнитного поля.

Ток ветви с емкостью определяется:

(t)

(

)

)Cu(d

)t(i

=== или

).tsin(U)2/tsin(

)tcos(

dt)tsin(I

dt)t(i

uCmi

imC

ψ+ω=π−ψ+ω

=ψ+ω

−=ψ+ω==

∫∫

В приведенных выражениях:

mCmCm

IXI

– амплитудное значение напряжения

на конденсаторе;

= – реактивное емкостное сопротивление

синусоидальному току;

= (ψ

– π/2) – начальная фаза напряжения, то есть

напряжение на емкостном элементе отстает от своего тока на

угол π/2.

Для действующих значений:

.IXI

В комплексной форме записи:

,IjXIe

jeIe

90j

j)90(j

iii

−=

−

ψ−ψ

здесь

90j

eXjX

−

=−=−

– реактивное емкостное

сопротивление в комплексной форме записи (

90j

−

=−

На рис. 2.7, а и б представлены временная и векторная

диаграммы тока и напряжения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента будет

определяться:

).t(2sinIU

)t(2sin

UI)tcos(U)tsin(I

)tsin(U)tsin(I)t(u)t(i)t(p

CmmiCmim

uCmimC

ψ+ω−=

ψ+ω

−=ψ+ωψ+ω−=

=ψ+ωψ+ω==

Временная диаграмма мгновенной мощности построена

на рис. 2.7, а. Из графика мгновенной мощности следует, что

среднее значение мощности за период так же, как и у индук-

тивного элемента, равна нулю. В промежутки времени, когда

напряжение на емкостном элементе увеличивается, конденса-

тор заряжается, то есть энергия поступает от генератора к эле-

менту (мощность положительна). В промежутки времени, ко-

гда напряжение уменьшается, емкостный элемент возвращает

генератору накопленную энергию (мощность отрицательна).

Для того чтобы количественно охарактеризовать эти обменные

процессы, вводят понятие реактивной емкостной мощности,

величина которой принимается равной амплитудному значе-

нию мгновенной мощности:

.IXIUQ

CCC

−=−=−

а) б)

Рис. 2.7

Как видно из временных диаграмм (рис. 2.6 и 2.7) в каж-

дый момент времени индуктивная и емкостная мгновенные

-π/2

i, u

, p

(t)

ωt

i(t)

(t)

мощности находятся в противофазе. Поэтому при расчете сум-

марной реактивной мощности значение индуктивной реактив-

ной мощности берется положительным, а емкостной реактив-

ной мощности – отрицательным.

2.1.6 Комплексный метод расчета

Для расчета цепей синусоидального тока используется

комплексный метод расчета. Он основан на изображении дей-

ствительных синусоидальных функций времени комплексными

числами. Соответственно дифференциальные и интегральные

зависимости между напряжениями и токами в цепях синусои-

дального тока, мы заменяем линейными зависимостями между

комплексными токами и напряжениями:

)tsin(E)t(e

=ω →

EeE

)tsin(I)t(i

=ω →

IeI

Riu

= → IRU

→ ILjU

ω=

∫

= idt

→ I

−=

Далее расчеты в цепях синусоидального тока выполняют-

ся теми же методами, что и расчеты в цепях постоянного тока

(метод эквивалентных преобразований, законов Кирхгофа,

контурных токов, узловых потенциалов и т.д.), только все со-

противления, токи и напряжения записываются в комплексной

форме записи.

2.1.7 Последовательное соединение элементов R, L, C

Пусть в цепи, состоящей из

последовательно соединенных

элементов R, L, C (рис. 2.8), из-

вестен ток i(t) = I

sin(ωt + ψ

) и

необходимо определить напря-

жение на ее зажимах.

Запишем для цепи

уравнение по второму закону

Кирхгофа для мгновенных

значений напряжений:

∫

++=++= .idt

LRiuuu)t(u

CLR

Сумме синусоидальных напряжений соответствует сумма

изображающих их комплексных величин. Тогда для

действующих комплексных значений можно записать:

.I)]

L(jR[I)

j(ILjIRUUUU

CLR

&&&&&&&&

⋅

−ω+=

−+⋅ω+=++=

Комплексное действующее значение напряжения:

,Iee)XX(RIee)

L(RUe

j22

⋅−+=⋅−+=

где

I)XX(RI)

L(RU

222

⋅−+=⋅−+=

– действую-

щее значение напряжения, приложенного к цепи;

ϕ+ψ=ψ

– начальная фаза напряжения;

arctg

−

−ω

=ϕ

– угол сдвига фаз между

напряжением на зажимах участка цепи и током; сдвиг фаз

определяется соотношением реактивных и активных сопро-

тивлений, включенных на этом участке.

Так как амплитудные значения тока и напряжения

(

)

(t)

(

)

(t)

Рис. 2.8

связаны с действующими значениями соотношениями:

= ,

то амплитудное значение входного напряжения запишется:

.I)XX(RI)

L(RU

⋅−+=⋅

−ω+=

Запишем мгновенное значение напряжения на входе

цепи, которое при синусоидальном токе также будет

изменяться по синусоидальному закону:

).tsin(I)XX(R)tsin(U)t(u

ϕ+ψ+ω⋅−+=ψ+ω=

Введем еще ряд величин, характеризующих цепь

синусоидального тока.

Величину

)XX(jR)jX(jXRZ

CLCL

−

называют комплексным сопротивлением цепи с

последовательным соединением элементов R, L, C. Заметим,

что в этом случае комплексные сопротивления отдельных

участков цепи складываются, как и сопротивления цепи

постоянного тока.

Запишем комплексное сопротивление в показательной

форме:

.zee)

L(RZ

jj22

ϕϕ

=⋅−+=

Модуль комплексного сопротвления:

222

)XX(R)

L(Rz −+=−+=

– называют

полным сопротивлением цепи.

Аргумент комплексного сопротивления:

arctg

−ω

=ψ−ψ=ϕ

– угол сдвига фаз между

входным напряжением и током.