Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

При

> угол φ>0, ток отстает по фазе от

напряжения. При

угол φ <0, ток опережает

напряжение по фазе. При

= угол φ=0, ток совпадает по

фазе с напряжением и цепь ведет себя, как чисто активное

сопротивление. Такой режим работы цепи называют

резонансным режимом.

2.1.8 Векторные диаграммы для цепи с последовательным

соединением элементов R, L, C

В цепи с последовательным соединением элементов R, L,

C ток во всех участках один и тот же, а напряжения связаны

между собой вторым законом Кирхгофа. В комплексной или

векторной форме можно записать:

.I)jX(IjXIRUUUU

CLCLR

&&&&&&&

−+⋅+=++=

В соответствии с тремя возможными вариантами соот-

ношения между реактивными сопротивлениями X

и X

, X

= X

) построим три векторные диаграммы

для каждого из случаев (рис. 2.9, а, б, в). При построении век-

торных диаграмм примем начальную фазу тока равной нулю

=0. Тогда сдвиг фаз φ между входным напряжением и током

и начальная фаза входного напряжения ψ

будут равны друг

другу. Напряжение

на активном сопротивлении совпадает

по фазе c током, напряжение на индуктивном элементе

опережает ток на 90°, напряжение на емкостном элементе

отстает от тока по фазе на 90°.

а) б) в)

Рис. 2.9

На векторных диаграммах угол сдвига фаз φ отсчитыва-

ется от вектора тока I

к вектору напряжения U

. Угол φ поло-

жителен при отстающем токе (рис. 2.9, а) и отрицателен при

опережающем токе (рис. 2.9, в).

При неизменной частоте источника питания цепь (рис.

2.8) может быть представлена одной из эквивалентных схем,

представленных на рис. 2.9, а, б, в: при X

как последова-

тельное соединение активного и индуктивного сопротивлений

(R и X

´ = X

– X

); при X

= X

как активное сопротивление

R; при X

< X

как последовательное соединение активного и

емкостного сопротивлений (R и X

´ = X

– X

Заштрихованные треугольники, показанные на векторных

диаграммах, принято называть

треугольниками напряжений.

Проекцию вектора напряжения на направление вектора тока

называют активной составляющей напряжения и обозначают

. Проекцию вектора напряжения на направление, перпен-

дикулярное вектору тока, называют реактивной составляющей

напряжения и обозначают

. Из векторных диаграмм рис. 2.9

видно, что:

,pa

UUU

&&&

,cosUU

.sinUU

Если каждую сторону треугольника напряжений поде-

лить на вектор тока, то получим треугольник, подобный ис-

ходному и называемый

треугольником сопротивлений

(рис.2.10).

Рис. 2.10

Этот же треугольник можно получить, построив на ком-

плексной плоскости векторную диаграмму, соответствующую

выражению комплексного сопротивления:

.jXR)XX(jRZ

−

Необходимо заметить, что напряжения на L и С - элемен-

тах находятся в противофазе, вследствие чего в цепи перемен-

ного тока с последовательным соединением элементов могут

создаваться условия, невозможные для цепей постоянного то-

ка, когда напряжения на отдельных участках цепи значительно

превышают напряжение на входе.

jX=jX

-jX

2.1.9 Параллельное соединение элементов R, L, C

На вход электрической

цепи (рис. 2.11), состоящей из

соединенных параллельно

элементов R, L, C подано си-

нусоидальное напряжение

u(t) = U

sin(ωt+ψ

Запишем уравнение по

первому закону Кирхгофа для

мгновенных значений токов

цепи:

∫

++=++=

Cudt

iii)t(i

CLR

Сумме синусоидальных токов соответствует сумма изо-

бражающих их комплексных величин. Тогда для действующих

комплексных значений можно записать:

.UYU)]C

[

C/j

IIII

CLR

&&&

&&&&

=⋅ω+

−+=

ω−

+=++=

Величину

)bb(jg)]C

−+=ω+

−+= назы-

вают комплексной проводимостью цепи с параллельным со-

единением элементов R, L, C, которая определяется как сумма

проводимостей параллельных ветвей;

g =

– активная составляющая проводимости;

– реактивная индуктивная составляющая про-

водимости;

ω=

– реактивная емкостная составляющая прово-

димости.

(

)

i(t)

Рис. 2.11

(t)

Необходимо заметить, что в том случае если ветвь со-

держит не один, а несколько элементов, то активная и реактив-

ная составляющие полной проводимости такой ветви будут

определяться:

222

== ,

222

== .

Запишем комплексную проводимость в показательной

форме:

ϕ−

−

=−+=−+=

jarctg

yee)bb(g)bb(jgY

Тогда комплексный ток можно записать как:

)(jj

IeeyUUeyeUYI

ϕ−ψψ

ϕ−

=⋅===

где

yUU)bb(gI

=⋅−+=

– действующее значение

входного тока;

−

ψ=ψ

– начальная фаза тока;

R/1

CL/1

arctg

ω−ω

−

=ϕ – угол сдвига фаз между

напряжением на зажимах цепи и входным током, который оп-

ределяется соотношением активной и реактивной проводимо-

стей.

Построим векторную диаграмму токов и напряжения на

зажимах цепи (рис. 2.12), приняв начальную фазу напряжения

за ноль.

Ток активного элемента совпадает по фазе с напряжени-

ем, поэтому на векторной диаграмме вектор этого тока изо-

бражается параллельно вектору напряжения. Ток индуктивного

элемента отстает от напряжения на 90 градусов, поэтому на

векторной диаграмме индуктивный ток повернут относительно

вектора напряжения на 90 градусов по направлению движения

часовой стрелки. Ток емкостного элемента опережает напря-

жение на 90 градусов, поэтому емкостный ток повернут отно-

сительно вектора напряжения против направления часовой

стрелки на 90 градусов.

Необходимо отметить, что ток индуктивного и емкостно-

го элементов находятся в противофазе, вследствие чего в цепи

переменного тока при параллельном соединении этих элемен-

тов могут создаваться условия, невозможные для цепей посто-

янного тока, когда токи отдельных элементов будут значи-

тельно превышать входной ток.

Треугольник, образованный векторами токов, принято

называть

треугольником токов.

Если каждую сторону треугольника токов поделить на

вектор напряжения, то получим треугольник (рис. 2.13), по-

добный исходному и называемый треугольником проводимо-

стей.

Как видно из полученных векторных диаграмм (рис. 2.12

и 2.13), угол сдвига фаз зависит от соотношения параметров

−

Рис. 2.12

jb=j(b

– b

)

Y=ye

-jφ

Рис. 2.13

цепи:

при

CL/1илиbb

> угол φ > 0, ток отстает по

фазе от напряжения;

при

CL/1илиbb

угол φ < 0, ток опережает

по фазе напряжение;

при

CL/1илиbb

угол φ = 0, ток совпадает

по фазе с напряжением и цепь ведет себя как чисто активное

сопротивление; такой режим работы цепи называется режимом

резонанса токов.

2.1.10 Частотные характеристики и функции

К частотным характеристикам цепи относятся входные и

передаточные функции. К комплексным частотным характери-

стикам относятся входные и передаточные функции, записан-

ные в комплексной форме.

Входная комплексная функция цепи

– это зависимость от частоты входного комплексного сопро-

тивления или проводимости относительно двух выделенных

или заданных зажимов:

)(jX)(Re)(z)j(Z

)(j

ω+ω=ω=ω

ωϕ

)(jb)(ge)(y)j(Y

)(j

ω−ω=ω=ω

ωϕ−

В качестве примера построим зависимости от частоты

модуля сопротивления z(ω) и аргумента φ(ω) входного ком-

плексного сопротивления схемы замещения реального конден-

сатора (рис. 2.14) с заданными парамет-

рами

g = и С. Будем считать их в рас-

сматриваемом диапазоне частот постоян-

ными.

Входное сопротивление:

)C(g

Cjg

)j(Y

)j(Z

ω+

−

ω+

=ω ,

тогда выражения для построения характеристик можно запи-

Рис. 2.14

сать:

)C(g

)(z

ω+

=ω

и )

(arctg)(

−

=ωϕ .

Эти зависимости показаны на рис. 2.15.

Рис. 2.15

Передаточная комплексная функция (коэффициент пере-

дачи) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и

равно отношению выходной величины напряжения или тока к

входной величине напряжения или тока, выраженных в ком-

плексной форме.

Различают четыре вида передаточных функций:

1. Передаточная функция по напряжению:

)j(U

)j(K

вх

вых

=ω

;

2. Передаточная функция по току:

)j(I

)j(K

вх

вых

=ω

;

3. Передаточное сопротивление:

)j(I

)j(U

)j(K

вх

вых

=ω

;

4. Передаточная проводимость:

)j(U

)j(I

)j(K

вх

вых

=ω

Передаточные функции

)(j

e)(K)j(K

ωϕ

ω=ω могут

определяться для различных пар выбранных входных и

выходных выводов цепи.

(

)

φ(

)

-π/2

Зависимость модуля передаточной функции К(ω) от час-

тоты называется амплитудочастотной характеристикой (АЧХ),

зависимость аргумента пе-

редаточной функции φ(ω)

– фазочастотной характе-

ристикой (ФЧХ).

В качестве примера

рассмотрим передаточную

функцию по напряжению

цепи, схема которой при-

ведена на рис. 2.16.

Передаточная функ-

ция определяется как от-

ношения выходного напряжения цепи в режиме холостого хода

к входному напряжению:

ВХВХ

ВЫХ

I)C/1j(

ω−

Ток цепи определим по закону Ома:

)C/1j(R

ВХ

ω−+

отсюда:

)RC(1

RCj1

)C/1j(R

I)C/1j(

ω+

ω−

ω+

ω−+

ω−

Тогда выражение для амплитудочастотной характеристи-

ки (АЧХ) имеет вид:

)RC(1

)(K

ω+

=ω

;

а для фазочастотной (ФЧХ):

).RC(arctg)(

−

Графики этих зависимостей аналогичны графикам, при-

веденным на рис. 2.15.

Рис. 2.16

ВХ

ВЫХ

2.1.11 Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Резонансными режимами в цепях синусоидального тока

называются такие режимы, при которых сдвиг фаз φ между на-

пряжением на участке цепи и током равен нулю.

В цепи с последовательным соединением элементов R, L,

C сдвиг фаз между напряжением на зажимах участка цепи и

током определяется через сопротивления этого участка цепи:

C1L

artg

−

=ϕ .

Он становится равным нулю при равенстве реактивных

сопротивлений

C1L

= . Напряжения на индуктивности и

емкости равны между собой (рис. 2.9,б), поэтому резонанс в

рассматриваемой цепи называют

резонансом напряжений.

Входное напряжение при этом равно напряжению на активном

сопротивлении.

Из условия возникновения резонансного режима

fC21fL2 π=π следует способ его достижения. Резонанс на-

пряжений в цепи можно получить путем изменения одной из

трех величин при постоянстве двух других:

f = var, L = const, C = const;

f = const, L = var, C = const;

f = const, L = const, C = var.

Характеристики, показывающие изменение напряжений,

токов и других величин при изменении одного из параметров,

называются резонансными характеристиками.

Рассмотрим резонансные кривые тока I(ω), напряжений

на индуктивности и емкости U

(ω) и U

(ω) и угла сдвига фаз

φ(ω) (рис. 2.17).