Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 2.17

Ток в цепи определяется законом Ома:

)C/1L(R

ωω

−+

При значении частоты ω = 0 емкостное сопротивление Х

равно бесконечности и ток в цепи равен нулю. Далее с увели-

чением частоты емкостное сопротивление уменьшается, а ин-

дуктивное увеличивается и ток возрастает до максимального

значения при резонансе I

= U/R. При дальнейшем увеличении

частоты ток уменьшается и при ω → ∞, когда индуктивное со-

противление стремится к бесконечности, он стремится к нулю.

Напряжение на индуктивности определяется

LIU

= и

своей формой напоминает кривую зависимости тока I(ω).

При ω = 0 напряжение на емкости равно сетевому напря-

жению U, так как сопротивление конденсатора равно беско-

нечности, ток в цепи отсутствует, и все входное напряжение

приложено к месту разрыва. При ω = ω

напряжение емкостное

равно напряжению индуктивному. При ω → ∞ напряжение ем-

max

рез

U, I,

вх

-π/2

костного элемента стремится к нулю.

В резонансной цепи комплексное сопротивление равно

активному сопротивлению и имеет минимальное значение Z =

R = min.

Тогда ток в такой цепи, как было показано выше, будет

иметь максимальное значение: I

= U/Z = U/R = I

max

. В случае

если реактивные сопротивления по величине гораздо больше

активного сопротивления

RXX

, в режиме резонанса

напряжения на индуктивности и емкости могут во много раз

превышать входное напряжение:

XIXU

LLL

>>== U

XIXU

CCC

>>== .

Соотношение напряжений в резонансном режиме опре-

деляется величиной добротности Q контура, величина которой

определяется исходя из следующих соображений:

QUU

C/L

RLC

IXUU

pLpCрLр

===

=== ,

где Q – добротность цепи, состоящей из последовательно со-

единенных элементов R, L, C, значение которой может дости-

гать десятков и сотен единиц.

При изменении частоты от 0 до ω

угол сдвига фаз φ ме-

жду напряжением и током изменяется от (–π/2) до 0. При изме-

нении частоты ω до ∞ угол φ возрастает от 0 до π/2.

При параллельном соединении элементов R, L, C в цепи

наблюдается

резонанс токов. Угол сдвига фаз между входным

напряжением и током в цепи при параллельном соединении

приемников определяется:

R/1

CL/1

arctg

ω−ω

−

=ϕ .

Он будет равен нулю при равенстве реактивных состав-

ляющих проводимостей:

или

CL/1 ω

, что и будет

являться условием резонанса токов, при котором, как видно из

векторной диаграммы рис. 2.12, равны реактивные составляю-

щие токов индуктивного и емкостного элементов, входной ток

равен току активного элемента и имеет минимальное значение.

Резонансные кривые (рис. 2.18) для режима резонанса то-

ков строятся аналогично резонансным кривым, построенным

для режима резонанса напряжений.

Рис. 2.18

Входной ток цепи определяется согласно первому закону

Кирхгофа:

.)CUL/U()gU()II(II

222

ω−ω+=−+=

Ток активного сопротивления от частоты питающего на-

пряжения не зависит и будет всегда неизменным.

При частоте равной нулю ток емкости равен нулю, так

как конденсатор представляет собой разомкнутый участок це-

пи, а ток идеальной катушки стремится к бесконечности, так

как при нулевой частоте катушки представляет собой коротко-

замкнутый участок. Входной ток при этой частоте равен току

катушки и также стремится к бесконечности.

рез

I, U,

-π/2

При частоте равной резонансной ω

рез

действующие зна-

чения

емкостного и индуктивного токов равны. А так как эти

токи находятся в противофазе, то их векторная сумма равна

нулю, и входной ток равен току активного элемента и имеет

минимальное значение.

При частоте стремящейся к бесконечности проводимость

емкостного элемента стремится к бесконечности, а проводи-

мость индуктивного элемента – к нулю. Входной ток становит-

ся практически равным току конденсатора и также стремится к

бесконечности.

При частотах меньше резонансной ω<ω

рез

угол сдвига фаз

больше нуля φ>0, так как преобладает индуктивная состав-

ляющая проводимости. При частоте равной резонансной

ω=ω

рез

реактивные составляющие проводимостей равны и угол

сдвига фаз равен нулю φ = 0. При частотах больше резонанс-

ной ω>ω

рез

угол сдвига фаз меньше нуля φ<0 и стремится к

значению -π/2, так как преобладает емкостная составляющая

проводимости.

2.2 Примеры решения задач

2.2.1

Записать выражение для комплексного сопротивле-

ния Z цепи (рис. 2.19) относительно зажимов а и b.

Комплексное сопротивление цепи определяется по тем

же правилам, что и входное сопротивление цепи постоянного

тока, только сопротивления всех участков записываются в

комплексной форме. При этом необходимо помнить, что со-

противление активного элемента в комплексной форме записи

определяется как действительное число R, сопротивление ин-

дуктивного элемента как мнимое число jωL, а комплексное со-

противление емкостного элемента как (

C/1j

−

Активное сопротивление R

и индуктивная катушка со-

единены параллельно, тогда эквивалентное комплексное со-

противление двух параллельных ветвей определяем как:

LjR

ω+

⋅

= .

Входное комплексное сопротивление всей цепи относи-

тельно зажимов а и b определим как сумму активного сопро-

тивления R

, сопротивления параллельного участка и реактив-

ного сопротивления емкостного элемента, так как все эти уча-

стки соединены последовательно:

LjR

j(ZRZ

1RL1ab

−+

ω+

⋅

−++=

2.2.2 Чему равен угол сдвига фаз между входным напря-

жением и током цепи, состоящей из а) последовательного со-

единения элементов R, L; б) параллельного соединения эле-

ментов R, L. Параметры элементов цепи: R = 100 Ом, L = 0,5

Гн, f = 50 Гц.

Рассмотрим участок цепи, состоящий из последователь-

ного соединения элементов R, L (рис. 2.20, а). Построим век-

торную диаграмму тока и напряжений на каждом из элементов

этого участка. Так как по всем элементам протекает один и тот

же ток I, то при построении векторной диаграммы удобнее все-

го принять его начальную фазу за ноль.

Рис.2.19

Напряжение на активном сопротивлении IRU

= сов-

падает по фазе с током, а напряжение на индуктивном реак-

тивном сопротивлении

ILjU

ω= опережает ток по фазе на

угол 90º, и поэтому на векторной диаграмме вектор этого на-

пряжения повернут относительно вектора тока против часовой

стрелки на угол 90º. Напряжение на зажимах всего участка

равно геометрической сумме векторов напряжений U

и U

Угол сдвига фаз между напряжением и током этого участка,

как видно из построенной векторной диаграммы (рис. 2.20, б),

можно определить из отношения напряжений и он зависит от

соотношения активного и реактивного сопротивлений:

.5,57

100

5,0314

arctg

⋅

=ϕ

Рассмотрим параллельное соединение этих же элементов

(рис. 2.21, а). При таком соединении напряжение ветвей, со-

единенных параллельно, одинаково, поэтому при построении

векторной диаграммы удобно принять за ноль начальную фазу

напряжения на зажимах цепи, а векторы токов строить относи-

тельно этого напряжения.

jωL

IRU

ILjU

ω=

Рис. 2.20

а)

б)

Ток активного элемента

совпадает с напря-

жением по фазе и на векторной диаграмме располагается па-

раллельно вектору напряжения. Ток реактивного индуктивного

элемента

Ujb

−=

отстает от напряжения по фазе на

угол 90º, и на векторной диаграмме вектор этого тока повернут

относительно вектора напряжения по часовой стрелке на 90º.

Угол сдвига фаз между напряжением и током этого участка,

как видно из построенной векторной диаграммы (рис. 2.21, б),

можно определить из отношения токов и он зависит от соот-

ношения активной и реактивной проводимостей:

.5,32

100/1

)5,0314/(1

arctg

R/1

L/1

arctg

⋅

==ϕ

2.2.3 Определить показания вольтметра, подключенного

к входным зажимам цепи (рис. 2.22), при условии, что показа-

ния остальных вольтметров, измеряющих действующие значе-

ния напряжений, заданы: U

= 50 В, U

= 40 В, U

= 20 В.

При решении большинства задач по расчету цепей синусои-

дального тока удобно решение сопровождать построением век-

торных диаграмм. Для удобства решения данной задачи по-

строим векторную диаграмму тока цепи и напряжений на каж-

Рис.2.21

UgI

UjbI

)

дом из ее элементов (рис. 2.23). Начальную фазу тока примем

равной нулю.

Напряжение на активном сопротивлении совпадает с то-

ком по фазе, напряжение на

индуктивной катушке опе-

режает ток по фазе на угол

90º, а напряжение на емкост-

ном элементе отстает от тока

на угол 90º. Напряжение на

зажимах цепи равно геомет-

рической сумме векторов

напряжений всех элементов

и может быть определено с

помощью теоремы Пифагора

из полученного треугольни-

ка напряжений:

.B50)2050(40

)UU(U)UU(UU

3V1V

=−+=

=−+=−+=

2.2.4 В цепь синусоидального тока включены последова-

тельно элементы R, L, C (рис. 2.24). Каким должно быть со-

противление емкостного элемента Х

, чтобы при замыкании

рубильника показания амперметра не изменялись.

Заданы параметры цепи R = 8 Ом, X

= 6 Ом.

Рис.2.22

Рис. 2.23

Амперметр измеряет действующее значение тока, проте-

кающего в цепи, который определяется согласно закону Ома:

Так как на вход цепи подается неизменное напряжение,

то действующее значение тока цепи не будет изменяться, если

будет оставаться неизменным при замыкании ключа полное

сопротивление цепи, которое можно записать:

)XX(Rz −+=

При замыкании ключа емкостное сопротивление исклю-

чается из цепи и в цепи остается только индуктивное реактив-

ное сопротивление. Для того чтобы полное сопротивление ос-

талось неизменным, необходимо чтобы модуль суммарного ре-

активного сопротивления схемы до замыкания и после замы-

кания ключа не изменялся:

,XXX

LCL

=−

а такое возможно только в том случае если емкостное сопро-

тивление будет в два раза больше индуктивного:

.Ом1262X2X

⋅

2.2.5 В цепь синусоидального тока (рис. 2.25) включены

три амперметра электромагнитной системы. Определить пока-

зания амперметра А

, если амперметры А и А

показывают со-

ответственно 10 А и 6 А.

Рис.2.24

u=U

sinωt

Амперметры изме-

ряют действующие значе-

ния синусоидальных то-

ков.

Для удобства реше-

ния задачи качественно

построим векторную диа-

грамму (рис. 2.26) токов и

напряжений цепи.

Цепь состоит из двух

параллельно соединенных

ветвей. Примем начальную

фазу напряжения на зажимах

этих ветвей равной нулю. Ток

активного сопротивления

совпадает с этим напряжени-

ем по фазе, а ток емкостного

сопротивления опережает на-

пряжение по фазе на угол 90º.

Входной ток равен геометри-

ческой сумме этих векторов.

Полученная векторная диаграмма представляет собой прямо-

угольный треугольник, называемый треугольником токов.

Длины сторон этого треугольника, соответствующие дейст-

вующим значениям токов ветвей связаны выражением, запи-

санным на основании теоремы Пифагора:

1AA

III += , откуда .A86436100III

==−=−=

2.2.6 Рассчитать токи и напряжения на всех участках

электрической цепи, схема которой показана на рис. 2.27,

питающейся от источника синусоидального напряжения,

комплексное действующее значение которого .B50U

Построить векторную диаграмму рассчитанных токов и

напряжений. Параметры элементов цепи: R =X

= 100 Ом.

Рис. 2.25

Рис. 2.26