Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.











−=ϕ+++ϕ−+ϕ−

=ϕ−+ϕ+++ϕ−

−−=ϕ−+ϕ−+ϕ++

.EgEg)ggg()g()g(

;Eg)g()ggg()g(

;EgEg)g()g()ggg(

663336532513

1135252111

331133211431

Полученную систему уравнений для определения узло-

вых потенциалов можно записать в общем виде:











=ϕ+ϕ+ϕ

,JGGG

;JGGG

33333232131

22323222121

11313212111

где

43111

gggG ++=

– сумма проводимостей ветвей подходя-

щих к первому узлу;

52122

gggG +

= – сумма проводимостей ветвей подхо-

дящих ко второму узлу;

65333

gggG +

– сумма проводимостей ветвей, подхо-

дящих к третьему узлу;

12112

gGG −== – сумма проводимостей ветвей, включен-

ных непосредственно между первым и вторым узлами;

33113

gGG −==

– сумма проводимостей ветвей, включен-

ных непосредственно между первым и третьим узлами;

53223

gGG −== – сумма проводимостей ветвей, включен-

ных непосредственно между вторым и третьим узлами; при-

чем, все диагональные коэффициенты в этой системе уравне-

ний имеют положительный знак, а все недиагональные - отри-

цательный;

∑

kkkk

EgJ – алгебраическая сумма условных узловых

токов, создаваемых ЭДС ветвей, подходящих к k-тому узлу; в

том случае если ЭДС направлена к узлу, то создаваемый ею

узловой ток входит в сумму с положительным знаком, если же

от узла, то с отрицательным:

.EgEgJ,EgJ,EgEgJ

6633331122331111

−

−−=

Определив по полученной системе уравнений потенциа-

лы узлов схемы, по закону Ома определяют токи ветвей.

1.1.9 Метод двух узлов

В том случае, если схема (рис. 1.14) имеет только два уз-

ла, удобно применять метод двух узлов, который является ча-

стным случаем метода узловых потенциалов.

Примем потенциал второго узла равным нулю

ϕ . И

определим потенциал первого узла. Согласно МУП необходи-

мо составить одно уравнение:

11111

Jg =ϕ или

44331114321

EgEgEg)gggg( −+

−

Рис. 1.14

Откуда потенциал первого узла и напряжение на зажимах

параллельных ветвей можно определить:

)gggg(

EgEgEg

4321

443311

12112

+++

−

=ϕ=ϕ−ϕ=

или в общем виде:

k0k

∑

=ϕ=

где

∑

– алгебраическая сумма условных узловых токов,

создаваемых ЭДС, подходящих к узлу k;

∑

– сумма проводимостей ветвей, подходящих к этому

узлу.

1.1.10 Метод наложения

Метод наложения, вытекающий из принципа наложения

(суперпозиции), справедлив для линейной цепи любой слож-

ности, содержащей несколько источников электрической энер-

гии.

Принцип наложения формулируется следующим обра-

зом: ток в k-той ветви сложной линейной электрической цепи,

содержащей несколько источников электрической энергии, ра-

вен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каж-

дым источником энергии в отдельности.

Рассчитаем токи в электрической цепи, схема которой

приведена на рис. 1.15 методом наложения. Расчет выполняет-

ся в следующей последовательности.

Определим частичные токи от действия первого ис-

точника ЭДС Е

Для этого составим схему (рис. 1.16, а), содержащую

только источник ЭДС Е

, а источник ЭДС Е

из схемы исклю-

чим. При этом зажимы источника ЭДС Е

закорачиваются, а

в2

в1

Рис. 1.15

его внутреннее сопротивление R

В2

остается в схеме.

Необходимо заметить, что в схеме с одним источником

электрической энергии мы можем сразу правильно показать

положительные направления токов во всех ветвях схемы.

Рис. 1.16

Токи в цепи, содержащей один источник ЭДС удобнее

всего определять методом эквивалентных преобразований.

Путем постепенного упрощения схемы найдем ее эквива-

лентное сопротивление относительно зажимов источника ЭДС,

что позволит определить ток I

'в неразветвленной части схемы.

Сопротивления второй и третьей ветвей соединены па-

раллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление, най-

денное относительно зажимов 1-2, может быть записано:

RRR

R)R(R

3B22

⋅

Сопротивление первой ветви и найденное сопротивление

´ соединены последовательно, поэтому эквивалентное со-

противление относительно зажимов источника ЭДС Е

нахо-

дится как:

.RRRR

B11

++=

Ток в неразветвленной части схемы определяем по зако-

в2

в1

а)

в2

в1

б)

ну Ома:

Напряжение между точками 1-2: .IRU

Тогда по закону Ома можно определить ток

RUI =

и с помощью первого закона Кирхгофа ток

III −= .

Определим частичные токи от действия второго ис-

точника ЭДС Е

Расчет этих токов выполняется аналогично расчету токов

от действия первого источника. При этом рассматривается

схема (рис. 1.16, б), в которой действует только источник Е

зажимы источника ЭДС Е

закорачиваются, но его внутреннее

сопротивление R

остается в схеме.

Входное сопротивление для определения частичных то-

ков от действия второго источника ЭДС находится относи-

тельно зажимов 5-6 этого источника.

Сопротивления первой и третьей ветвей относительно

зажимов 1-2 соединены в рассматриваемой схеме параллельно:

RRR

R)R(R

3B11

⋅

Входное сопротивление относительно зажимов источни-

ка ЭДС находим, как последовательное соединение сопротив-

ления второй ветви и сопротивления R

.RRRR

B22

++=

Ток в неразветвленной части цепи:

Напряжение между точками 1 и 2: .IRU

Тогда можно определить токи:

RUI =

.III

−=

Определим действительные токи в ветвях схемы пу-

тем алгебраического суммирования частичных токов. Причем,

частичные токи, направление которых совпадает с выбранным

ранее положительным направлением действительных токов,

берем в этой сумме со знаком «плюс», а те которые не совпа-

дают со знаком «минус»:

III −= ,

III +=

1.2 Примеры решения задач

1.2.1 Определить входное сопротивление относительно

зажимов 1-1' цепи (рис. 1.17) при холостом ходе (зажимы 2-2'

разомкнуты) и при коротком замыкании (зажимы 2-2' замкну-

ты). Значения сопротивлений указаны на схеме.

Рис. 1.17

В режиме холостого хода, когда зажимы 2-2' разомкнуты,

схему можно представить в виде, как показано на рис. 1.18, а.

По схеме видно, что сопротивления R

и R

соединены

последовательно, и их общее сопротивление определяется, как

сумма сопротивлений:

16040120RRR

3113

= Ом .

Сопротивление R

и резистор с сопротивлением R

при-

соединены к одной паре узлов, то есть соединены параллельно

и их эквивалентное сопротивление может быть определено:

160160

132

123

⋅

= Ом.

=120 Ом

=160 Ом

=40 Ом

Рис. 1.18

Входное сопротивление определяем как сумму сопротив-

лений четвертой ветви и полученного сопротивления R

123

, так

как эти элементы соединены последовательно:

1208040RRR

1234ВХ

Ом.

В режиме короткого замыкания, когда зажимы 2-2' замк-

нуты, схему можно представить в виде, как показано на рис.

1.18,б.

В этом случае третья и четвертая ветви соединены парал-

лельно, так как присоединены к одной паре узлов, и их эквива-

лентное сопротивление будет определяться:

4040

⋅

Ом.

Резистор с сопротивлением R

и полученное сопротивле-

ние R

соединены последовательно:

18020160RRR

342234

= Ом.

Первая ветвь соединена параллельно с полученным экви-

валентным резистором R

234

180120

2341

ВХ

⋅

= Ом.

=120 Ом

=160 Ом

=40 Ом

а)

=120 Ом

=160 Ом R

=40 Ом

б)

1.2.2 Определить токи в ветвях электрической цепи, схе-

ма которой показана на рис. 1.19. Параметры элементов цепи:

Е = 40 В, R

= 2 Ом, R'

= 3 Ом, R

= 10 Ом, R

= 6 Ом, R

= 8

Ом, R

= 5 Ом, R

= 3 Ом.

Цепь содержит один источник ЭДС. Токи в такой цепи

направлены от точки с самым высоким потенциалом (1) к точ-

ке с самым низким потенциалом (5), и мы можем сразу пока-

зать правильные положительные направления токов ветвей.

Задачу будем решать методом эквивалентных преобразо-

ваний.

Путем последовательных преобразований необходимо

определить входное сопротивление цепи

относительно зажимов источника, то есть

привести схему к виду рис. 1.20. В такой

цепи, содержащей один источник и один

приемник электрической энергии, напряже-

ние на зажимах приемника равно ЭДС и

ток, протекающий по цепи, может быть оп-

ределен с помощью закона Ома:

ВХВХ

вх

Рис. 1.19

вх

Рис. 1.20

Рассчитаем входное сопротивление цепи относительно

зажимов 1-5.

Найдем сопротивление пятой ветви, содержащей после-

довательное соединение сопротивлений R

и R

835RRR

65экв5

= Ом.

Сопротивления пятой и четвертой ветвей соединены па-

раллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление, найден-

ное относительно зажимов 3-4, может быть записано:

экв54

⋅

= Ом.

Сопротивление третьей ветви и найденное сопротивление

соединены последовательно:

1046RRR

453345

Ом.

Относительно зажимов 2-4 сопротивления второй ветви и

сопротивление R

345

соединены параллельно:

1010

3452

2345

⋅

= Ом.

Относительно зажимов источника ЭДС сопротивление

2345

и сопротивление первой ветви соединены последователь-

но, поэтому входное сопротивление можно рассчитать:

10352RRRR

123451ВХ

=++=++=

Ом.

Ток ветви, содержащей источник ЭДС, определим по за-

кону Ома:

ВХ

=== А.

Ток второй ветви определим из уравнения, составленного

по второму закону Кирхгофа для контура, образованного пер-

вой и второй ветвями:

EIRI)RR(

221

=++ ,

откуда:

4)32(40

I)RR(E

+−

А.

Ток третьей ветви найдем с помощью уравнения, состав-

ленного по первому закону Кирхгофа для узла 2:

,0III

321

−

откуда:

.A,224III

213

−=−=

Для определения тока четвертой ветви составим урав-

нение по второму закону Кирхгофа для контура, образованного

второй, третьей и четвертой ветвями:

,0IRIRIR

443322

−

тогда ток четвертой ветви найдем как:

26210

IRIR

3322

⋅

−

⋅

−

= А.

Ток пятой ветви найдем с помощью уравнения, состав-

ленного по первому закону Кирхгофа для узла 3:

,0III

543

=++−

откуда:

.A,112III

435

−

1.2.3 Найти неизвестные токи и напряжение на зажимах

источника ЭДС в электрической цепи, схема которой приведе-

на на рис. 1.19, если известен ток четвертой ветви I

= 0,5 А.

Параметры элементов цепи: R

= 70 Ом, R'

= 30 Ом, R

100 Ом, R

= 50 Ом, R

= 80 Ом, R

= 20 Ом, R

= 60 Ом.

Решение этой задачи можно полностью выполнить с по-

мощью законов Ома и Кирхгофа.

Четвертая и пятая ветви соединены параллельно, то есть

напряжение

на зажимах этих ветвей одно и то же. По за-

кону Ома определим это напряжение, зная ток и сопротивле-

ние четвертой ветви:

405,080IRU

4434

⋅

В.

Тогда ток пятой ветви:

5,0

6020

= А.

Ток третьей ветви найдем из уравнения составленного по

первому закону Кирхгофа:

,0III

543

−

тогда:

15,05,0III

543

= А.