Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

190

тельно разомкнутых входных зажимов цепи:

20)10p10(

50p105,0p10

10p10

p10

1010

10p10

p10

RLp

LpR

)p(Z

+⋅+

⋅

−

−−

−

Характеристическое уравнение 1,5·10

-2

р + 50 = 0 име-

ет один корень: р = –3333 1/с.

Свободную составляющую тока катушки запишем:

t3333pt

AeАеi

−

== .

Для нахождения постоянной интегрирования А рассмот-

рим искомую функцию тока: i

(t)=i

Lсв

(t)+i

Lпр

= 6Ae

t3333

−

момент времени t = 0

)=А+6.

Так как согласно закону коммутации i

) = 3 А, то по-

лучим уравнение А + 6 = 3, откуда найдем значение постоян-

ной интегрирования А = –3 (А).

Переходная функция тока катушки: i

(t)= –3е

-3333t

+6 А.

Напряжение индуктивной катушки:

).B(e10e)3)(3333(10

)6e3(d

)t(di

L)t(u

t3333t33333

t3333

−−−

−

=−−=

+−

Графики переходных функций напряжения и тока кон-

денсатора представлены на рис. 6.30.

191

(

)

(t)

(t),

(

)

Рис. 6.30

192

7 НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

7.1 Основы теории

7.1.1 Классификация нелинейных элементов

Нелинейные элементы (НЭ) могут быть классифицирова-

ны по разным признакам. Если нелинейность вольт-амперной

характеристики (ВАХ) обусловлена тепловыми процессами, то

такие элементы называют

инерционными (лампы накаливания,

бареттеры, газоразрядные приборы и др.). Если же нелиней-

ность ВАХ обусловлена не тепловыми, а иными процессами,

то такие элементы называют

безынерционными (полупровод-

никовые и электронные приборы). Однако полупроводниковые

приборы при импульсном или высокочастотном воздействии

переключаются с задержкой из-за наличия нелинейной емко-

сти p-n перехода, то есть приборы становятся инерционными.

Различают

управляемые и неуправляемые НЭ. Неуправ-

ляемыми, как правило, бывают двухполюсные НЭ. Характери-

стика неуправляемого НЭ изображается одной кривой. Управ-

ляемыми являются многополюсные НЭ: транзисторы, тиристо-

ры, электронные лампы, операционные усилители и т.д., кото-

рые кроме основной цепи имеют хотя бы еще одну управляю-

щую цепь, ток или напряжение которой влияют на ВАХ ос-

новной цепи. Поэтому управляемый НЭ характеризуется се-

мейством нелинейных характеристик, параметром которых яв-

ляется управляющий фактор.

В зависимости от вида ВАХ различают НЭ с симметрич-

ной и несимметричной характеристикой.

На рис. 7.1, а показана симметричная характеристика

лампы накаливания с металлической нитью. Загиб кривой I(U)

объясняется тем, что по мере увеличения тока нить нагревается

сильнее, и ее сопротивление возрастает.

Характеристику, представленную на рис. 7.1, б, имеет ба-

реттер, с помощью которого поддерживается неизменный ток

193

при колебаниях напряжения на его зажимах в определенных

пределах от U

до U

Рис. 7.1

На рис. 7.2 показаны несимметричные характеристики.

ВАХ, изображенную на рис. 7.2, а, имеет выпрямитель-

ный германиевый диод. Для удобства изображения характери-

стики прямой и обратный токи, а также прямое и обратное на-

пряжение даны на одном рисунке в разных масштабах.

Рис. 7.2

На рис. 7.2, б показана вольт-амперная характеристика

полупроводникового стабилитрона – прибора, напряжение на

котором в некотором диапазоне изменения тока остается прак-

тически неизменным.

а)

б)

I, mA

пр

U, B

а)

б)

4 0

-200

400

-0,4

-400

обр

194

При постоянном токе не имеет принципиального значе-

ния, является ли характеристика НЭ симметричной или несим-

метричной. В цепях переменного тока зависимость ВАХ от по-

лярности приложенного напряжения или направления тока

очень существенна. Приборы с несимметричной характеристи-

кой используются для преобразования переменного тока в по-

стоянный, для выделения четных гармоник тока при синусои-

дальном напряжении источника и для других целей.

7.1.2 Статическое и динамическое сопротивления

нелинейного элемента

При расчете нелинейных

цепей помимо ВАХ используют

также некоторые числовые па-

раметры, например

статиче-

ское

и динамическое сопротив-

ления нелинейного элемента.

Статическим сопротив-

лением R

СТ

нелинейного эле-

мента в заданной точке

а его

характеристики называют от-

ношение напряжения на НЭ к току в нем. Из рис. 7.3 видно,

что это сопротивление пропорционально тангенсу угла α, обра-

зованного прямой, соединяющей точку

а с началом координат,

и осью токов:

α=α== tgmtg

СТ

где m

, m

– соответственно масштабы осей напряжения,

тока, сопротивления.

Дифференциальным или динамическим сопротивлением

ДИФ

НЭ в заданной точке а его характеристики называют

производную от напряжения по току. Это сопротивление про-

порционально тангенсу угла β между касательной к ВАХ в

Рис. 7.3

195

точке

а и осью токов (рис. 7.3):

β=β== tgmtg

ДИФ

Для прямолинейного участка ВАХ дифференциальное

сопротивление равно отношению конечного приращения на-

пряжения к конечному приращению тока:

ДИФ

∆

= .

Если рабочая точка

а находится на падающем участке

ВАХ, то дифференциальное сопротивление в таком случае бу-

дет отрицательным.

7.1.3 Графический метод расчета нелинейных цепей

постоянного тока

Нелинейные цепи простой конфигурации удобно рассчи-

тывать графическим методом. Рассмотрим графический метод

расчета нелинейных цепей с последовательным и параллель-

ным соединением нелинейных элементов.

Последовательное соединение НЭ. На рис. 7.4, а показано

последовательное соединение двух НЭ, характеристики кото-

рых представлены на рис. 7.4, б.

а) б)

Рис. 7.4

НЭ1

НЭ2

I(U

)

I(U

)

I(U)

196

НЭ

экв

Рис. 7.5

Эти два элемента можно заменить одним эквивалентным

(рис. 7.5) с вольт-амперной характеристи-

кой I(U), построенной на рис. 7.4, б. Для

построения этой характеристики, задаваясь

значениями тока, суммируют значения на-

пряжений U

и U

на нелинейных элемен-

тах в соответствии со вторым законом

Кирхгофа. Полученная характеристика I(U)

позволяет определить ток I' цепи для любо-

го заданного значения входного напряже-

ния U'. А по значению этого тока опреде-

лить напряжения на НЭ U

' и U

' по вольтамперным характери-

стикам этих элементов.

Графические построения для расчета цепи (рис. 7.4, а)

можно провести и другим методом (метод пересечения харак-

теристик).

а) б)

Рис. 7.6

Напряжение U

на зажимах нелинейного элемента опре-

деляется, с одной стороны, вольт-амперной характеристикой

этого элемента I

), а с другой – характеристикой I(U – U

так как U

= U – U

На рис. 7.6, а построены характеристики I(U

) и I(U – U

абсциссы которых получены вычитанием абсцисс вольт-

амперной характеристики I(U

) из напряжения U при различ-

I(U-U

)

I(U

)

I(U-U

)

I(U

)

197

ных значениях тока.

Когда одним из элементов является линейное сопротив-

ление R, построение упрощается. Как показано на рис. 7.6, б,

прямая MN соответствует линейному уравнению U

= U – RI и

построена по двум точкам, соответствующим режиму холосто-

го хода (I = 0, U

= U') и режиму короткого замыкания (U

= 0, I

= I

′

) на участке цепи с НЭ.

Если последовательно с нелинейным элементом включен

источник постоянной ЭДС (рис. 7.7, а), то ВАХ всей цепи по-

лучается путем смещения характеристики НЭ I(U

) влево или

вправо в зависимости от полярности источника (рис. 7.7, б).

При этом положительное направление для напряжений выби-

рают совпадающим с положительным направлением тока.

а) б)

Рис. 7.7

Параллельное соединение нелинейных элементов показа-

но на рис. 7.8, а. Характеристики этих НЭ представлены на

рис. 7.8, б.

Эти два элемента можно заменить одним эквивалентным

(рис. 7.9) с вольт-амперной характеристикой I(U), изображен-

ной на рис. 7.8, а жирной линией. Для этого задаются произ-

=-E+U

=E+U

-E

I(U

)

I(U

)

I(U

)

198

вольными значениями напряжения и суммируют соответст-

вующие ординаты характеристик НЭ, то есть графически реа-

лизуют первый закон Кирхгофа: I=I

а) б)

Рис. 7.8

Для нахождения токов в парал-

лельно соединенных НЭ построение ре-

зультирующей характеристики не требу-

ется, так как токи находятся непосредст-

венно по характеристикам НЭ.

Результирующая характеристика

параллельно соединенных нелинейных

элементов используется в том случае,

если по заданному току I требуется оп-

ределить напряжение U на зажимах це-

пи, а также при расчете цепей при смешанном соединении

элементов.

Смешанное соединение НЭ. На рис. 7.10, а показана схема

смешанного соединения НЭ.

Графическое построение для определения токов и напря-

жений приведено на рис. 7.10, б. Вначале производим замену

двух параллельно соединенных элементов одним эквивалент-

ным с характеристикой I

) = (I

+ I

)(U

Затем строим вольт-амперную характеристику I

(U) всей

цепи, задаваясь произвольными значениями тока I

и суммируя

(U)

I(U)

НЭ1

НЭ2

НЭ

экв

Рис. 7.9

199

соответствующие абсциссы кривых I

) и I

Далее на оси абсцисс откладываем заданное напряжение

U' и проводим прямую, параллельную оси ординат, до пересе-

чения с кривой I

(U) и на оси ординат находим ток I', соответ-

ствующий заданному напряжению. При этом значении тока по

кривой I

) находим напряжение U

', а по кривой I

) –

значение напряжения U

'. По найденному значению напряже-

ния U

' на кривых I

) и I

) находим токи параллельных

ветвей I

' и I

7.2 Примеры решения задач

7.2.1 Три одинаковых лампы накаливания соединены, как

показано на рис. 7.11, а. Определить ток в неразветвленной

части схемы, если ток в лампе 3 равен 0,3 А. ВАХ одной лампы

приведена на рис. 7.11,б. Построить входную ВАХ схемы.

По ВАХ одной ламы для значения тока I

= 0,3 A опреде-

лим величину напряжения на зажимах параллельных ветвей U

= 23 В.

Первая и вторая лампы одинаковы, соединены последо-

вательно и по ним протекает один и тот же ток I

, поэтому на-

пряжения на каждой из ламп одинаковы и равны половине на-

пряжения ветви U

= U

= U/2 = 23/2 = 11,5 B.

НЭ2

НЭ3

НЭ1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Рис. 7.10

а)

б)