Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

160

2112

Z −==

Отсюда рассчитаем коэффициенты:

.Ом)7,77j32(e1,84

e25000)5000j5000(

100)50j50100j(Z)ZZ(ZZ

5,67j

135j

22K1111212

−==

=⋅=−−=

=⋅+−−=−==

−

5.2.7 Для симметричного четырехполюсника, работающе-

го в режиме холостого хода, на

рис. 5.21 задана векторная диа-

грамма токов и напряжений.

Определить А-параметры че-

тырехполюсника. Действую-

щие значения тока и напряже-

ний: U

1Х

= 100 В; U

2Х

= 200 В;

1Х

= 2,5 А.

Запишем уравнения четырехполюсника А-формы для ре-

жима холостого хода (











.UCI

;UAU

X2X1

Действующие значения тока и напряжений на зажимах

четырехполюсника в режиме холостого хода заданы, а их на-

чальные фазы можно определить по векторной диаграмме. То-

гда уравнения четырехполюсника запишутся, как







=−

.200C5,2j

200A100

Отсюда коэффициенты А = 0,5, С = –j0,0125 1/Ом.

Для симметричного четырехполюсника D = A = 0,5.

Из соотношения, связывающего коэффициенты А-формы

AD – BC = 1 определим коэффициент В:

Рис. 5.21

161

.Ом60j

0125,0j

75,0

0125,0j

125,0

1AD

B −==

−

5.2.8 Для ослабления сигнала в нагрузке между нагрузкой

и источником питания включен симметричный четырехпо-

люсник. Вычислить параметры Т-схемы замещения, если он

нагружен на согласованное сопротивление Z

= Z

= 200 Ом, а

сигнал нужно ослабить на 0,5 Нп без его задержки во времени.

Параметры Т-схемы замещения легко получить через

значения коэффициентов А-формы записи уравнений:











++=

.Z/Z1D

;Z/1C

;Z/ZZZZB

;Z/Z1A

32121

тогда











−=

.C/)1D(Z

;C/)1A(Z

;C/1Z

Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:

A = D, так как четырехполюсник симметричный;

;Ом200C/BZ

(a+jb)

BCA +

0,5

, так как сигнал передается без за-

держки во времени, то коэффициент фазы b = 0; A

– BC = 1.

Составим систему уравнений с тремя неизвестными ко-

эффициентами:











=−

.1BCA

;eBCA

;Ом200C/B

5,0

Решаем систему уравнений и находим коэффициенты:

А = 1,128; C = 0,0026 1/Ом; B = 10,2 Ом.

По рассчитанным значениям коэффициентов определим

параметры симметричной Т-схемы замещения:







=−=−==

===

.Ом500026,0/)1128,1(C/)1A(ZZ

;Ом3850026,0/1C/1Z

162

Как видно по значениям полученных комплексных со-

противлений схема рассматриваемого четырехполюсника реа-

лизована на активных сопротивлениях.

5.2.9 Определить параметры П-схемы замещения сим-

метричного четырехполюсника, нагруженного на характери-

стическое сопротивление Z

= Z

= 500 Ом, с помощью кото-

рого осуществляется задержка синусоидального сигнала на

четверть периода без его ослабления.

Параметры П-схемы замещения легко получить через

значения коэффициентов А-формы записи уравнений:











++=

.Z/Z1D

;ZZ/)ZZZ(C

;ZB

;Z/Z1A

65654

откуда











−=

).1A/(BZ

);1D/(BZ

;BZ

Определим коэффициенты А-формы, составив уравнения:

A = D, так как четырехполюсник симметричный;

;Ом500C/BZ

(a+jb)

BCA +

j90°

, так как сигнал передается без ос-

лабления, то коэффициент затухания

a = 0; так как задержка во

времени составляет четверть периода, то коэффициент фазы

b=90°; A

– BC = 1.

Составим систему уравнений:











=−

.1BCA

;eBCA

;Ом500C/B

90j

Решив эту систему уравнений найдем значения коэффи-

циентов А = 0; В = j500 Ом; С = j0,002 1/Ом.

По рассчитанным значениям коэффициентов определим

параметры симметричной П-схемы замещения:

163







−=−=−==

.Ом500j)1/(500j)1D/(BZZ

;Ом500jBZ

Как видно по значениям полученных комплексных со-

противлений схема рассматриваемого четырехполюсника реа-

лизована полностью на чисто реактивных элементах. В после-

довательной ветви включена идеальная индуктивная катушка,

а в продольных ветвях конденсаторы.

5.2.10 Определить параметры полосового фильтра,

имеющего Т-образную схему (рис. 5.22), нагруженного на ха-

рактеристическое сопротивление

Ом800ZZ

при резо-

нансной частоте. Нижняя граница полосы пропускания f

= 750

Гц, верхняя граница полосы пропускания f

= 850 Гц.

Резонансная частота

798850750fff

21p

=⋅==

Гц.

Параметры Т-образной схемы:

,мкФ0312,0

8008507502

750850

Zff2

C12

⋅⋅⋅π

−

,Гн27,1

8507502

800

ff2

⋅⋅π

,мкФ94,3

)750850(800

)ff(Z2

12C

−⋅⋅π

−π

.Гн01,0

8507504

)750850(800

ff22

)ff(Z

12C

⋅⋅π

−

⋅π⋅

−

Рис.5.22

164

6 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ

ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

6.1 Основы теории

Переходными процессами называют процессы перехода

от одного установившегося режима в электрической цепи к

другому установившемуся режиму. Переходные процессы воз-

никают в электрических цепях вследствие

коммутации, то есть

подключения или отключения источников энергии или эле-

ментов цепи, а также в результате скачкообразного изменения

параметров R, L, C элементов цепи. Считают, что коммутация

в цепи происходит мгновенно, то есть при t = 0.

Рассчитать переходный процесс – это значит определить

функцию изменения во времени тока i(t) или напряжения u(t)

при переходе цепи из одного (докоммутационного) устано-

вившегося состояния в другое (послекоммутационное) устано-

вившееся состояние.

Переходные процессы чаще всего длятся десятые, сотые,

а иногда и миллионные доли секунды, и очень редко их дли-

тельность составляет секунды и десятки секунд.

Тем не менее, изучение переходных процессов весьма

важно, так как во время переходного процесса токи или на-

пряжения на некоторых элементах цепи могут во много раз

превышать номинальные значения, на которые рассчитаны эти

элементы.

В ряде электротехнических устройств, и особенно в уст-

ройствах промышленной электроники, переходные процессы

являются основными процессами их работы.

6.1.1 Законы коммутации

Возникновение переходных процессов в электрических

цепях связано с наличием в них индуктивных и емкостных

элементов, так как эти элементы являются инерционными эле-

165

ментами, то есть изменение энергии электрического или маг-

нитного поля в них не может происходить мгновенно.

Энергия магнитного поля катушки

= , а энергия

электрического поля конденсатора

= . Магнитная и

электрическая мощности

== . Скачкооб-

разное изменение энергии требует бесконечно больших мощ-

ностей, что лишено физического смысла. Из энергетических

соотношений очевидно, что ток в индуктивном элементе и на-

пряжение на емкостном элементе не могут изменяться скач-

ком. Для этих величин в момент коммутации можно записать

равенства, называемые законами коммутации.

Первый закон коммутации. Ток ветви с индуктивным

элементом в момент коммутации i

(0+) сохраняет то значение,

которое он имел непосредственно перед коммутацией i

(0–), и

дальше начинает изменяться именно с этого значения, то есть:

(0+) = i

(0–).

Второй закон коммутации. Напряжение на емкости в

момент коммутации u

(0+) сохраняет то значение, которое оно

имело непосредственно перед коммутацией u

(0–), и далее на-

чинает изменяться именно с этого значения:

(0+) = u

(0–).

Два закона коммутации используются при расчете пере-

ходных процессов.

Значения переходных функций в момент времени равный

нулю называются начальными значениями и обозначаются как

i(0+), u(0+) или i(0), u(0).

Начальные значения, которые определяются по законам

коммутации, то есть i

(0+) и u

(0+), называются независимыми

начальными условиями. А начальные значения любых других

электрических величин называются

зависимыми начальными

166

условиями, например u

(0+), i

(0+),

и так далее.

6.1.2 Классический метод расчета переходных процессов

Переходные процессы в любой электрической цепи с по-

стоянными параметрами R, L, C описываются дифференциаль-

ными уравнениями, составленными в соответствии с законами

Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений.

Решение дифференциального уравнения записывается в

виде суммы двух решений: частного и общего. Частное реше-

ние неоднородного дифференциального уравнения с постоян-

ными коэффициентами называется

принужденной составляю-

щей, а общее решение однородного уравнения – свободной со-

ставляющей.

Тогда переходная функция может быть записана:

i(t)=i

св

(t)+i

пр

, u(t)=u

св

(t)+u

пр

Принужденная составляющая находится путем определе-

ния тока или напряжения в установившемся послекоммутаци-

онном режиме работы цепи, когда переходный процесс прак-

тически закончился (теоретически он длится бесконечно дол-

го). При расчете принужденных значений необходимо пом-

нить, что напряжение на зажимах индуктивной катушки в цепи

постоянного тока равно нулю, то есть индуктивная катушка в

установившемся режиме в цепи постоянного тока представляет

собой проводник с нулевым сопротивлением, а в ветви с кон-

денсатором не протекает постоянный ток и конденсатор,

включенный в цепь постоянного тока, представляет собой ра-

зомкнутый участок цепи.

Свободная составляющая, то есть решение однородного

уравнения, находится как сумма экспоненциальных функций:

св

(t) = ,eA

∑

где А

– постоянные интегрирования, р

– корни характери-

167

стического уравнения, которые представляют собой постоян-

ные числа, не зависящие от времени. Количество слагаемых

определяется числом корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение можно составить двумя

способами.

Первый способ предполагает замену производных иско-

мой функции в однородном дифференциальном уравнении на

, где n – степень соответствующей производной.

Второй способ состоит в определении входного сопро-

тивления Z(p) относительно любых разомкнутых зажимов пас-

сивной части послекоммутационной схемы, в которой все ис-

точники электрической энергии исключены, а реактивные ин-

дуктивные и емкостные сопротивления заменяют операторны-

ми сопротивлениями Lp и 1/Cp. Полученное выражение при-

равнивается к нулю, и находятся его корни.

Корни характеристического уравнения всегда отрица-

тельны, поэтому слагаемые свободной составляющей пред-

ставляют собой затухающие экспоненты.

Постоянные интегрирования А

находятся с помощью

рассмотрения начальных значений искомых функций.

Время переходного процесса зависит от времени затуха-

ния свободной составляющей и определяется через постоян-

ную времени τ=

min

. Тогда время переходного процесса

пп

=3÷5τ.

6.1.3 Переходные процессы в цепи с последовательно

соединенными резистором и индуктивной катушкой

Пусть цепь, показанная на рис. 6.1, включается на посто-

янное напряжение U.

168

В электротехнической практике это может быть подклю-

чение к источнику постоянного

напряжения электромагнитов, ре-

ле, электрических машин постоян-

ного тока и других электромагнит-

ных устройств. После коммутации

в цепи возникает переходный про-

цесс, во время которого все элек-

трические величины будут изме-

няться до своего установившегося значения.

Уравнение электрического состояния цепи (рис. 6.1) по-

сле замыкания ключа, записанное относительно тока:

URi

L)t(u)t(u

=+=+ .

Решение этого уравнения находится в виде суммы обще-

го решения однородного (свободная составляющая) и частного

решения неоднородного (принужденная составляющая) урав-

нений: i(t) = i

св

(t) + i

пр

Для определения принужденного значения искомого тока

необходимо рассчитать ток цепи в установившемся послеком-

мутационном режиме. Применительно к рассматриваемой цепи

принужденный ток определяется как i

пр

= U/R, так как индук-

тивное сопротивление катушки постоянному току равно нулю.

Для определения свободной составляющей необходимо

найти корни характеристического уравнения, которое получа-

ется путем замены в однородном дифференциальном уравне-

нии первой производной тока на р, а самой функции тока на р

то есть на единицу:

pL+R = 0, тогда p = -R/L.

Характеристическое уравнение имеет один корень, по-

этому свободная составляющая будет состоять из одного сла-

гаемого и выражение для переходного тока можно записать:

i(t)=Ae

+U/R= R/UAe

−

Для определения постоянной интегрирования А рассмот-

(

)

(t)

Рис. 6.1

169

рим искомую функцию в момент времени t = 0: i(0+) = A+U/R.

В докоммутационной схеме ток индуктивности был равен

нулю, так как цепь была отключена от источника энергии. То-

гда согласно первому закону коммутации:

i(0+) = i

(0+) = i

(0–) = 0,

и постоянная интегрирования может быть определена из урав-

нения 0 = A + U/R, откуда А = –U/R.

Искомая функция переходного тока будет иметь вид:

).e1(

)t(i

−−

−=−=

Напряжение на резистивном элементе цепи с сопротив-

лением R можно найти по закону Ома:

).e1(UUeU)t(iR)t(u

−−

−=−=⋅=

Напряжение на индуктивном элементе находится:

)t(di

L)t(u

−

Кривые изменения переходных токов и напряжений по-

казаны на рис. 6.2 и 6.3 соответственно.

Свободную составляющую тока удобно представлять в

виде:

)t(i

СВ

−

−=

где τ =

имеет размерность времени и называется

по-

стоянной времени

переходного процесса. Постоянная времени

имеет физический и геометрический смысл.

Физический смысл постоянной времени τ: это время, в

течение которого свободная составляющая, затухая, уменьша-

ется в

е раз по сравнению со своим предыдущим значением.

Например,

R/U

)0(i

e)0(ii

CBCB

−

=⋅+=

−

Геометрический смысл постоянной времени τ: постоян-