Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
140
;ZZ
CD
AB
Z
K1X1C1
== .ZZ
CA
DB
Z
K2X2C2
==
При согласованной нагрузке:
CA
DB
ZZ
C2H
==
.
Выходной ток и напряжение связаны зависимостью:
2C22
IZU
&&
= .
Тогда напряжение и ток на входе четырехполюсника:
+=+=+=
+=+=+=
.I)BCAD(IDICZIDUCI
;U)BCAD(
Z
U
BUAIBUAU
222C2221
2
C2
2
2
.
2
2
.
1
&&&&&&
&
&
&&&&
Комплексное число
BCAD +
полагают равным е
g
,
где
)BCADln(jbag +=+= – постоянная передачи.
Входные и выходные токи и напряжения при согласован-
ной нагрузке связаны соотношением:
.eeeBCAD
I
I
U
U
jbag
2
1
2
1
==+==
&
&
&
&
Или
;ee
eU
eU
U
U
jba
2uj
2
1uj
1
2
1
==
ψ
ψ
&
&
,ee
eI
eI
I
I
jba
2ij
2
1ij
1
2
1
==
ψ
ψ
&
&
откуда:
a
2
1
2
1
e
I
I
U
U
== , то есть модуль входного напряжения в е
а
раз отличается от модуля выходного напряжения, а модуль
входного тока в е
а
раз отличается от модуля выходного тока;
jb
2ij
1ij
2uj
1uj
e
e
e
e
e
==
ψ
ψ
ψ
ψ
, то есть входное напряжение опережает вы-
ходное напряжение на угол b и начальные фазы входного и
выходного токов отличаются на такой же угол.
Величина
а называется коэффициентом затухания. Еди-
ницами измерения коэффициента затухания являются неперы
(Нп) и белы (Б).
141
Затухание в неперах:
а
Нп
=
.
U
U
ln
2
1
S
S
ln
2
1
2
2
1
2
1
=
Если
e
U
U
2
1
=
, то затухание равно 1 Нп.
Затухание в белах:
а
Б
=
=
=
2
1
2
2
1
2
1
U
U
lg2
U
U
lg
S
S
lg
, а в
децибелах:
а
дБ
=
2
1
U
U
lg20
.
Величина
b называется коэффициентом фазы и измеря-
ется в градусах или в радианах.
Передача энергии от источника через пассивный четы-
рехполюсник к приемнику характеризуется коэффициентом
полезного действия четырехполюсника и потерями мощности
в нем. КПД определяется как отношение мощности нагрузки
P
2
=U
2
I
2
cos ϕ
2
к входной мощности P
1
=U
1
I
1
cosϕ
1
, а потери
мощности как разность этих мощностей
∆
Р = Р
1
-Р
2
.
5.1.4 Электрические фильтры
Электрические фильтры – это четырехполюсники, вклю-
чаемые между источником питания (генератором) и приемни-
ком (нагрузкой), назначение которых состоит в том, чтобы без
затухания пропускать к приемнику токи одних частот и задер-
живать или пропускать, но с большим затуханием, токи других
частот (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Генератор
Фильтр
Нагрузка
ω=[0, ∞]
∆ω=ω
1
÷ω
2
142
Диапазон частот, пропускаемый фильтром без затухания,
называется
полосой прозрачности (ПП). В идеальном случае
необходимо обеспечить нулевое затухание сигнала (коэффици-
ент затухания
α
= 0) в этом диапазоне. Диапазон частот, про-
пускаемый с затуханием называется
полосой затухания (ПЗ).
Электрические фильтры выполняют обычно из L и С
элементов. В основе их работы лежит зависимость реактивных
сопротивлений от частоты:
.C/1X,LX
CL
ω
=
ω
=
Подключение резисторов с сопротивлением R приводит к
подавлению сигналов всех частот, поэтому в пассивных элек-
трических фильтрах они не применяются.
Выполняют фильтры по симметричной Т- или П- образ-
ной схеме четырехполюсника, (
21
ZZ
=
или
65
ZZ = ), согласо-
ванного по нагрузке (Z
H
=Z
C
). Сопротивления Z
1
и Z
4
называют
продольными, а Z
3
и Z
5
– поперечными.
Электрические фильтры, в которых произведение про-
дольного сопротивления на соответствующее поперечное,
представляет собой некоторое постоянное для данного фильтра
число k, независящее от частоты, принято называть k-
фильтрами. Фильтры, у которых это произведение зависит от
частоты, называют m-фильтрами.
Фильтры нижних частот (ФНЧ) пропускают сигналы в
диапазоне частот от ω
1
= 0 до ω
2
. На рис. 5.4 изображены про-
стейшие П- и Т-образные схемы фильтров низкой частоты.
В этих схемах LjZ
ω
=
и CjY
ω
=
. Индуктивные про-
дольные сопротивления с возрастанием частоты возрастают и
L/2
U
1
Рис. 5.5
С
L/2
U
2
U
1
С/2
L
U
2
С/2
143
гасят высшие гармоники; поперечные емкостные проводимо-
сти с увеличением частоты так же возрастают и токи высших
гармоник через поперечные ветви возвращаются на вход четы-
рехполюсника.
Граничные частоты для полосы пропускания определяют
из условия:
=ω=−
4
0
LCYZ
2
откуда 0
1
=
ω
и
02
LC/2 ω==ω
.
На рис. 5.6 показаны
зависимости коэффициента
затухания
a и коэффициента
фазы
b в зависимости от
0
/
ω
ω
.
Фильтры верхних частот (
ФВЧ) пропускают сигналы в
диапазоне частот от ω
1
до ω
2
= ∞. На рис. 5.7 изображены про-
стейшие П- и Т-образные схемы фильтров, пропускающих
сигналы верхних и задерживающие сигналы нижних частот.
В этих схемах Cj/1Z
ω
= и Lj/1Y
ω
=
. Продольные емко-
стные сопротивления при низких частотах имеют большие со-
противления и гасят токи низших гармоник, а при увеличении
ω/ω
0
0
,
51
,
0 1
,
5
2
,
0
0
1
2
3
4
α
π/2
π
a
b
Рис. 5.6
U
1
Рис. 5.7
2С
U
2
U
1
2С
2L
U
2
С
L
2L
144
частоты емкостное сопротивление уменьшается, и высшие
гармоники с небольшим затуханием передаются на выход.
Продольная индуктивная проводимость имеет большое значе-
ние на низких частотах, и токи этих частот через поперечные
ветви возвращаются на вход фильтра. На больших частотах
проводимость поперечных ветвей уменьшается, и токи высших
частот по пути наименьшего сопротивления поступают на вы-
ход фильтра.
Граничные частоты для
полосы пропускания опреде-
ляют из условия:
=
ω
=−
4
0
LC
1
YZ
2
откуда
01
LC2/1 ω==ω
и
∞
=
ω
2
.
На рис. 5.8 показаны за-
висимости коэффициента зату-
хания
a и коэффициента фазы b
в зависимости от
0
/ ωω .
Полосовые фильтры (ПФ) пропускают сигналы в диапа-
зоне частот от ω
1
до ω
2
и подавляют сигналы остальных час-
тот. Полосовой фильтр можно получить, если совместить элек-
трически друг с другом схемы фильтров низкой частоты (рис.
5.5) с полосой пропускания ω
Н1
= 0 до ω
Н2
и высокой частоты
(рис. 5.7) с полосой пропускания ω
В1
до ω
В2
=∞. Тогда полу-
ченный фильтр будет пропускать сигналы в диапазоне частот
от ω
В1
до ω
Н2
, как показано на частотной характеристике рис.
5.10. На рис. 5.9 приведены две схемы полосовых фильтров,
имеющие Т- и П-образные формы.
ω/ω
0
0
,
5 1
,
0 1
,
5
2
,
0
0
1
2
3
4
α
-π/2
-π
a
b
Рис. 5.8
β
145
Чтобы при одной и той же частоте стали равны нулю
продольные сопротивления Z (резонанс напряжений) и попе-
речные проводимости Y (резонанс токов), необходимо выпол-
нить условие, определяющее частоту:
2211
0
CL
1
CL
1
==ω
при котором
2211
CLCL
=
.
ω
ω
1В
0
1
2
3
4
а
Рис. 5.10
ω
2Н
ω
0
ПЗ
ПЗ
ПП
Рис. 5.9
2С
1
2С
1
L
1
/2
L
2
С
2
L
1
/2
С
1
L
1
2L
2
С
2
/2
2L
2
С
2
/2
146
Заграждающие фильтры (
ЗФ) пропускают сигналы в
диапазоне частот от 0 до ω
1
и от ω
2
до
∞, сигналы в диапазоне
частот от ω
1
до ω
2
подавляются. Заграждающий фильтр можно
получить если, если совместить электрически друг с другом
схемы фильтров низкой частоты с полосой пропускания ω
Н1
=
0 до ω
Н2
и высокой частоты с полосой пропускания ω
В1
до ω
В2
= ∞. Тогда полученный фильтр будет подавлять сигналы в
диапазоне частот от ω
Н2
до ω
В1
, как показано на частотной ха-
рактеристике рис. 5.11.
Тогда при частоте ω
0
можно получить разрыв продоль-
ных сопротивлений Z и короткое замыкание поперечных про-
водимостей Y. Для этого необходимо выполнить условия:
2211
CLCL =
и
2211
0
CL
1
CL
1
==ω
.
На рис. 5.12 приведены две схемы заграждающих фильт-
ров, имеющие Т- и П-образные формы.
ω
ω
2
=ω
1В
0
1
2
3
4
α
Рис. 5.11
ω
1
=ω
2Н
ω
0
ПП
ПЗ
ПП
147
5.2 Примеры решения задач
5.2.1
Четырехполюсник, схема соединения элементов ко-
торого приведена на рис. 5.13, имеет параметры R=X
L
=10 Ом,
Х
С
=20
Ом.
Определить коэффи-
циенты А-формы записи
уравнений четырехполюс-
ника и убедиться, что ре-
зультаты удовлетворяют
соотношению AD-BC=1.
Расчет коэффициен-
тов выполнить с помощью
законов Кирхгофа и по
входным сопротивлениям в режиме холостого хода и коротко-
го замыкания.
Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:
+=
+=
.IDUCI
;IBUAU
221
2
2
.
1
&&&
&&&
1) Составим уравнения по
законам Кирхгофа для рас-
сматриваемой схемы.
Согласно первому закону Кирхгофа:
321
III
&&&
+=
.
Рис. 5.12
2С
1
2С
1
L
1
/2
L
2
С
2
L
1
/2
С
1
L
1
2L
2
С
2
/2
С
2
/2
2L
2
1
U
&
Рис. 5.13
R
2
U
&
-jХ
С
jХ
L
1
I
&
2
I
&
3
I
&
148
По второму закону Кирхгофа составим уравнения для
внешнего и правого контуров схемы:
22C11
UI)jX(IRU
&&&&
+−+=
;
0IjXUI)jX(
3L22C
=−+−
&&&
.
Из второго уравнения выразим ток:
L
2
2
L
C
3
jX
U
I
jX
)jX(
I
&
&&
+
−
= ,
и подставим полученное выражение в уравнение, составленное
по первому закону Кирхгофа:
2
L
C
2
LL
2
2
L
C
21
I)
jX
jX
1(U
jX
1
jX
U
I
jX
)jX(
II
&&
&
&&&
−
++=+
−
+=
.
Сравнив полученное выражение с уравнением четырех-
полюсника, составленным для тока, можно определить коэф-
фициенты
,Ом/11,0j
10j
1
jX
1
C
L
−=== и
.121
10j
20j
1
jX
jX
1D
L
C
−=−=
−
+=
−
+=
Для определения коэффициентов А и В подставим выра-
жение, полученное для тока
1
I
&
в уравнение, составленное по
второму закону Кирхгофа для внешнего контура:
=+−+
−
++=
=+−+=
22C2
L
C
22
L
22C11
UI)jX(I
jX
jX
IU
jX
1
R
UI)jX(IRU
&&&&&
&&&&
.IjX
jX
RjX
RU1
jX
R
2C
L
C
2
L
&&
−
−
++
+=
Сравнив полученное выражение с уравнением четырех-
полюсника, составленным относительно напряжения, найдем
коэффициенты:
149
,1j11
10j
10
1
jX
R
A
L
−=+=+=
.B)20j10(20j
10j
1020j
10jX
jX
RjX
RB
C
L
C
−−=−
⋅
−
+=−
−
+=
Проверим выполнение соотношения между коэффициен-
тами А-формы записи уравнений четырехполюсника:
AD – BC = (1 – j1)(–1) – (–10 – j20)(–j0,1) = –1 + j1 – j1+ 2 = 1,
что и требовалось доказать.
2) Рассчитаем коэффициенты по входным сопротивлени-
ям
в режиме холостого хода и короткого замыкания.
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого
хода и короткого замыкания при прямом включении четырех-
полюсника (рис.2.14, а, б):
Омe21010j10jXRZ
45j
LX1
o
=+=+=
,
.Омe34,2220j10
10j
200
10
20j10j
)20j(10j
10
jXjX
)jX(jX
RZ
63j
CL
CL
1К
o
=+=
=
−
+=
−
−⋅
+=
−
−
+=
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого
хода и короткого замыкания при обратном включении четы-
рехполюсника (рис. 5.15, а, б):
,Ом10j10j20jjXjXZ
LCX2
−
=
+
−
=
+
−=
Рис. 5.14
R
jХ
L
X1
Z
R
-jХ
С
jХ
L
K1
Z
а)
б)