Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
130
.B75,0
41,1
069,1
2
U
U
)3(
2m
)3(
2
===
Определим показания приборов. Измерительные приборы
электромагнитной системы измеряют действующие значения
несинусоидальных токов и напряжений.
,A107,004,001,0)I()I()I(I
222)3(2)1(2)0(
A
=++=++=
,A141,0005,01,01,0)I()I()I(I
2222)3(
1
2)1(
1
2)0(
11A
=++=++=
,A11,0045,01,00)I()I()I(I
222)3(
2
2)1(
2
2)0(
22A
=++=++=
,B05,575,050)U()U()U(U
222)3(
2
2)1(
2
2)0(
22V
=++=++=
.B34,7)
42,1
85,2
()
41,1
07,7
(5
)
2
U
()
2
U
()U(U
222
2
)3(
2
2
)1(
2
2)0(
21V
=++=
=++=
В рассматриваемой цепи активная мощность будет
выделяться только в резисторе с сопротивлением R, и она
может быть определена:
.Вт572,050107,0RIR)I(R)I(R)I(P
222)3(2)1(2)0(
=⋅==++=
4.2.5 На вход электрической цепи, схема которой
представлена на рис. 4.18, подано несинусоидальное
напряжение:
.B)45t9000sin(30t3000sin50100)t(u
o
−++=
Подобрать емкости конденсаторов С
1
и С
2
так, чтобы в
нагрузку не проходила постоянная составляющая и третья
гармоника напряжения, а первая гармоника проходила без
искажения. Параметры цепи: L = 10 мГн, R
Н
= 100 Ом.
Рассчитать мгновенные значения токов и показания
приборов электродинамической системы.
Для того, чтобы в нагрузку не проходила постоянная
составляющая, необходимо последовательно с нагрузочным
131
сопротивлением включить конденсатор любой емкости,
который, как известно, не пропускает постоянный ток.
Поэтому постоянные составляющие тока нагрузки
)0(
3
I
и
напряжения на его зажимах
)0(
2
U будут отсутствовоть.
Для того, чтобы в нагрузке отсутствовала третья
гармоника напряжения, необходимо, чтобы в нее не проходила
третья гармоника тока, а для этого нужно параллельный
контур настроить в резонанс токов на частоте 3ω = 9000 рад/с.
Для того, чтобы резонансный контур LС
1
был настроен в
резонанс на частоте 3ω, необходимо выполнение условия:
CL
bb =
или
1
C
L3
1
ω=
ω
, откуда
.мкФ23,1
01,09000
1
L)3(
1
C
22
1
=
⋅
=
ω
=
Сопротивление резонансного контура для третьей
гармоники будет равно бесконечности и все напряжение этой
гармоники будет приложено к параллельному контуру.
Рассчитаем токи третьей гармоники в параллельных
ветвях, учитывая, что ток индуктивности отстает от
R
Н
L
u (t)
Рис. 4.18
V
1
С
1
V
2
i
1
(
t
)
i
2
(
t
)
A
1
A
2
A
3
i
3
(
t
)
С
2
132
напряжения на 90
°
, а ток конденсатора опережает напряжение
на такой же угол:
,A)135t9000sin(333,0)9045t9000sin(
01,09000
30
)90t3sin(
L3
U
i
u
)3(
m
)3(
1
ooo
o
−=−−
⋅
=
=−ψ+ω
ω
=
.A)45t9000sin(333,0)9045t9000sin(
23,19000/10
30
)90t3sin(
C3/1
U
i
6
u
1
)3(
m
)3(
2
ooo
o
+=+−
⋅
=
=+ψ+ω
ω
=
Рассчитаем токи первой гармоники. Расчет будем
выполнять в комплексной форме.
Сопротивление параллельного контура первой
гармоники:
.Омe73,3373,33j
271j30j
)271j(30j
)23,13000/10j()01,03000(j
)23,13000/10j)(01,03000(j
C/1jLj
)C/1j(Lj
Z
90j
6
6
1
1
)1(
12
o
==
−
−⋅
=
=
⋅−+⋅
⋅−⋅
=
ω−ω
ω−⋅ω
=
Для того, чтобы первая гармоника входного напряжения
передавалась без искажения, необходимо цепь настроить в
резонанс напряжений, то есть чтобы
73,33XX
12L2C
=
=
Ом,
тогда:
.мкФ10)37,333000/(1X/1C
2C2
=
⋅
=ω=
Входное сопротивление первой гармоники:
.Ом10010073,33j73,33jRXjZZ
HC2
)1(
12
(1)
=+−=+−=
Ток нагрузки:
A5,0
100
50
R
U
I
H
)1(
m
)1(
3m
===
&
&
.
Токи параллельных ветвей:
A562,0
01,03000j
73,33j5,0
Lj
ZI
I
)1(
12
)1(
3m
)1(
1m
=
⋅
⋅
=
ω
=
&
&
133
Ae062,0A062,0
)23,13000/(10j
73,33j5,0
)C/(1j
ZI
I
180j
6
1
)1(
12
)1(
3m
)1(
2m
o
&
&
=−=
⋅−
⋅
=
ω−
=
.
Запишем мгновенные значения токов первой гармоники;
.A)t3000sin(5,0i
,A)180t3000sin(062,0i
,A)t3000sin(562,0i
)1(
3
)1(
2
)1(
1
=
+=
=
o
Мгновенные значения несинусоидальных токов ветвей:
.A)t3000sin(5,0i)t(i
,A)45t9000sin(333,0)180t3000sin(062,0ii)t(i
,A)135t9000sin(333,0)t3000sin(562,0ii)t(i
)1(
33
)3(
2
)1(
22
)3(
1
)1(
11
==
+++=+=
−+=+=
oo
o
Показания измерительных приборов, измеряющих
действующие значения токов и напряжений:
,B2,108
2
30
2
50
100
2
U
2
U
UU
22
2
2
)3(
m
2
)1(
m
)0(
1V
2
=
+
+=
=
+
+=
,B5,35
2
50
2
U
U
)1(
m
2V
===
,A462,0
2
333,0
2
562,0
2
I
2
I
I
22
2
)3(
1m
2
)1(
1m
1A
=
+
=
+
=
,A24,0
2
333,0
2
062,0
2
I
2
I
I
22
2
)3(
2m
2
)1(
2m
2A
=
+
=
+
=
.A355,0
2
5,0
2
I
I
)1(
3m
3A
===
134
5 ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
5.1 Основы теории
Системы автоматического регулирования энергетических
систем, ЭВМ, другие сложные электрические устройства име-
ют в своем составе блоки, которые связаны с внешней цепью
четырьмя зажимами - двумя входными и двумя выходными.
При анализе работы системы в целом такие блоки, зачас-
тую имеющие достаточно сложную внутреннюю структуру,
могут рассматриваться как четырехполюсники, служащие для
передачи или преобразования энергии или электрических сиг-
налов. Если четырехполюсник не содержит в своем составе ис-
точники энергии или содержит источники энергии, но дейст-
вие их не обнаруживается на входных и выходных зажимах, то
такие четырехполюсники называют пассивными. Например,
трансформаторы, электрические фильтры, линии электропере-
дач, линии связи и т.д.
5.1.1 Уравнения четырехполюсника
Зависимости между двумя напряжениями и двумя тока-
ми, определяющими режим на первичных и вторичных выво-
дах, могут быть записаны в различных формах. Если считать
две из указанных величин заданными, то две другие величины
будут связаны с ними системой из двух уравнений, которые
называются уравнениями четырехполюсника. Существует не-
сколько форм записи уравнений четырехполюсника.
В том случае, если на входные зажимы четырехполюсни-
ка подается напряжение источника питания, а к выходным за-
жимам подключается нагрузка, то такое включение четырех-
полюсника называется прямым (рис. 5.2, а). Если же напряже-
ние источника подается на выходные зажимы четырехполюс-
ника, а нагрузка подключается к входным, то такое включение
называется обратным (рис. 5.1, б). Положительные направле-
135
ния токов и напряжений при прямом и обратном включении
показаны на рис. 2.1.
а) б)
Рис. 5.1
При прямом включении четырехполюсника входные на-
пряжение и ток можно связать с выходными напряжением и
током уравнениями четырехполюсника в А-форме (5.1). При
обратном включении можно связать выходные режимные па-
раметры с входными с помощью уравнений в В-форме (5.2):
+=
+=
.IDUCI
;IBUAU
221
2
2
.
1
&&&
&&&
(5.1)
+=
+=
.IAUCI
;IBUDU
112
112
&&&
&&&
(5.2)
Коэффициенты А, В, С и D в этих уравнениях в общем
случае являются комплексными величинами. Они зависят от
внутренней структуры рассматриваемого четырехполюсника и
частоты источника питания.
Коэффициенты уравнений взаимного четырехполюсника
в А- и В-формах записи связаны зависимостью:
AD – BC = 1.
Коэффициент В имеет размерность сопротивления [Ом],
коэффициент С – размерность проводимости [1/Ом], коэффи-
циенты А и D – безразмерные.
Выражения, связывающие напряжения на входе и выходе
четырехполюсника с токами, называются Z-формой записи
уравнений четырехполюсника и все коэффициенты в этой сис-
теме уравнений имеют размерность сопротивлений [Ом]:
П
1
I
&
2
I
&
1
U
&
2
U
&
1
1'
2
2'
Z
H2
Ė
П
1
I
&
2
I
&
1
U
&
2
U
&
1
1'
2
2'
Z
H1
Ė
136
+=
+=
.IZIZU
;IZIZU
222121
2
.
2121111
&&&
&&&
Y-формой записи называются уравнения четырехполюс-
ника, связывающие токи на входе и выходе четырехполюсника
с напряжениями на его зажимах:
+=
+=
.UYUYI
;UYUYI
2
.
22
1
.
212
2
.
12
1
.
111
&&&
&&&
Все коэффициенты этой формы записи имеют размер-
ность проводимости [1/Ом].
Кроме этого существуют Н- и G- формы записи уравне-
ний четырехполюсника:
+=
+=
.UHIHI
;UHIHU
2
.
221212
2
.
12111
1
.
&&&
&&&
+=
+=
.IGUGU
;IGUGI
2
.
221212
2
.
12111
1
.
&&&
&&&
Для Z, Y, Н и G – форм записи уравнений четырехполюс-
ников принято положительное направление токов и напряже-
ний, как показано на рис. 5.2
5.1.2 Определение коэффициентов А- и В- форм
записи уравнений четырехполюсника
Коэффициенты А, В, С и D можно рассчитать аналитиче-
ски на основании схемы четырехполюсника или определить
опытным путем.
В том случае, если внутренняя структура и параметры
П
1
I
&
2
I
&
1
U
&
2
U
&
1
1'
2
2'
Рис. 5. 2
137
элементов, составляющих четырехполюсник, известны, можно
связать входные и выходные токи и напряжения четырехпо-
люсника и получить выражения для определения коэффи-
циентов уравнений через известные параметры элементов, со-
ставив уравнения по законам Кирхгофа.
а) б)
Рис. 5.3
Для простейших Т- и П-образных схем четырехполюсни-
ков (рис. 5.3, а, б) коэффициенты, полученные в результате
расчетов с помощью законов Кирхгофа, имеют вид:
Для Т- схемы: Для П- схемы:
+=
=
++=
+=
.Z/Z1D
;Z/1C
;Z/ZZZZB
;Z/Z1A
32
3
32121
31
+=
++=
=
+=
.Z/Z1D
;ZZ/)ZZZ(C
;ZB
;Z/Z1A
54
65654
4
64
Коэффициенты А-формы записи уравнений также можно
определить, рассчитав входные комплексные сопротивления
четырехполюсника при прямом и обратном включении в ре-
жимах холостого хода и короткого замыкания.
При прямом включении четырехполюсника в режиме хо-
лостого хода ток I
2х
= 0, а в режиме короткого замыкания на-
пряжение U
2К
= 0, тогда уравнения (5.1) примут вид:
Z
1
Z
3
Z
6
Z
5
Z
4
Z
2
1
U
&
1
U
&
2
U
&
2
U
&
2
I
&
2
I
&
1
I
&
1
I
&
138
=
=
;UCI
;UAU
X2
.
X1
.
X2
.
X1
.
=
=
.IDI
;IBU
K2
.
K1
.
K2
.
K1
.
(5.3)
При обратном включении четырехполюсника в режиме
холостого хода ток I
1X
=0, а в режиме короткого замыкания на-
пряжение U
1К
=0 и уравнения (5.2) примут вид:
=
=
;UCI
;UDU
X1
.
X2
.
X1
.
X2
.
=
=
.IAI
;IBU
K1
.
K2
.
K1
.
K2
.
(5.4)
Используя данные уравнений (5.3) и (5.4), можно выра-
зить входные сопротивления четырехполюсника для режимов
холостого хода и короткого замыкания для прямого включе-
ния - Z
1X
, Z
1K
и обратного включения – Z
2X
, Z
2K
:
;C/Aeze
I
U
I/UZ
X1xx1
j
X1
j
X1
X1
X1X1X1
====
ϕϕ
&&
;C/Deze
I
U
I/UZ
X2
кз2
j
X2
j
X2
X2
X2X2X2
====
ϕ
ϕ
&&
(5.5)
.A/Beze
I
U
I/UZ
;D/Beze
I
U
I/UZ
КЗ2КЗ2
КЗ1КЗ1
j
K2
j
К2
К2
K2K2K2
j
K1
j
К1
К1
K1K1K1
====
====
ϕϕ
ϕϕ
&&
&&
Решая совместно уравнения (5.5) и учитывая связь коэф-
фициентов А-формы AD-BC=1, можно получить значения ко-
эффициентов четырехполюсника, выраженные через сопро-
тивления холостого хода и короткого замыкания:
K2X2
X1
ZZ
Z
A
−
=
, или А =
)ZZ(Z
ZZ
K1X1K2
K1X1
−
; (5.6)
B = A Z
2K
; C = A/Z
1X
; D = AZ
2X
/Z
1X
=AZ
2K
/Z
1K
.
Этот способ определения коэффициентов четырехполюс-
ника используют и в том случае, если внутренняя структура
139
четырехполюсника и параметры составляющих его элементов
неизвестны. Для этого проводят опыты холостого хода и ко-
роткого замыкания при прямом и обратном включении четы-
рехполюсника. С помощью вольтметра и амперметра измеряют
действующие значения входного напряжения и тока для каж-
дого режима, а также измеряют фазометром угол сдвига фаз
между ними.
По формулам (5.5) определяют комплексные сопротивле-
ния в режимах холостого хода и короткого замыкания. Затем
по формулам (5.6) рассчитывают коэффициенты А-формы за-
писи уравнений.
5.1.3 Вторичные параметры четырехполюсника
К вторичным параметрам четырехполюсника относятся
характеристические сопротивления и постоянная передачи.
Для каждого пассивного четырехполюсника существуют
два таких характеристических сопротивления Z
1C
, Z
2C
(со сто-
роны входных и выходных зажимов соответственно), которые
удовлетворяют следующим условиям: если сопротивление на-
грузки Z
H2
на выходе четырехполюсника равно характеристи-
ческому Z
2C
, то входное сопротивление со стороны первичных
зажимов равно характеристическому Z
1C
; если при обратном
включении четырехполюсника сопротивление нагрузки Z
H1
равно характеристическому Z
1C
, то входное сопротивление со
стороны вторичных зажимов будет равно характеристическому
сопротивлению Z
2C
.
Такая нагрузка четырехполюсника называется согласо-
ванной. При согласованной нагрузке потери в четырехполюс-
нике минимальны.
Характеристические сопротивления можно вычислить
как по известным коэффициентам четырехполюсника, так и по
опытным данным, полученным при проведении опытов холо-
стого хода и короткого замыкания: