Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие
Подождите немного. Документ загружается.
150
.Омe81,1515j55j520j
10j10
10j10
20j
jXR
JXR
jXZ
72j
L
L
C2K
o
−
=−=++−=
=
+
⋅
+−=
+
⋅
+−=
По известным формулам рассчитаем значения коэффици-
ентов:
,1j1e2e2
e25
e210
15j510j
e210
ZZ
Z
A
45j90j
135j
45j45j
K2X2
X1
−===
==
+−−
=
−
=
−−
oo
o
oo
B=A Z
2K
=(1-j1)·(5-j15)=5-j5-j15-15= (-10-j20) Ом;
,Ом/11,0je1,0
e210
e2
10j10
1j1
Z
A
C
90j
45j
45j
X1
−===
+
−
==
−
−
o
o
o
.1e1
e210
e10
e2
10j10
10j
)1j1(
Z
Z
AD
180j
45j
90j
45j
X1
X2
−===
+
−
−==
−
−
−
o
o
o
o
Результаты расчетов соответствуют значениям коэффи-
циентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.
Рис. 5.15
-jX
C
jХ
L
X2
Z
R
-jХ
С
jХ
L
K2
Z
а)
б)
151
5.2.2 Четырехполюсник, схема которого приведена на
рис. 5.16, имеет параметры:
R = X
L
= 10 Ом, Х
С
= 20
Ом.
Определить коэффициенты А-
формы записи уравнений че-
тырехполюсника и убедиться,
что результаты удовлетворяют
соотношению AD – BC = 1.
Расчет коэффициентов
выполнить с помощью законов
Кирхгофа и по входным со-
противлениям в режиме холостого хода и короткого замыка-
ния.
Уравнения четырехполюсника в А-форме имеют вид:
+=
+=
.IDUCI
;IBUAU
221
2
2
.
1
&&&
&&&
1) Составим уравнения по
законам Кирхгофа для рас-
сматриваемой схемы.
По первому закону Кирхгофа составим два уравнения
431
III
&&&
+=
и
253
III
&&&
+=
По второму закону Кирхгофа составим уравнение для
внешнего контура схемы:
231
UIRU
&&&
+=
Так как напряжение на зажимах четвертой ветви рано
входному напряжению четырехполюсника, а напряжение на
пятой ветви равно – выходному, то по закону Ома можно вы-
разить токи в ветвях:
L
1
4
jX
U
I
&
&
=
и
C
2
5
jX
U
I
−
=
&
&
.
Выразим значение тока третьей ветви через выходные
режимные параметры четырехполюсника, подставив выраже-
ние для тока
5
I
&
в уравнение, составленное по первому закону
1
U
&
-jХ
С
R
jХ
L
2
U
&
1
I
&
2
I
&
3
I
&
4
I
&
5
I
&
Рис. 5.16
152
Кирхгофа
2
C
2
3
I
jX
U
I
&
&
&
+
−
= . Полученное выражение подставим в
уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа:
22
C
22
C
2
1
IRU)1
jX
R
(U)I
jX
U
(RU
&&&&
&
&
++
−
=++
−
=
.
Сравнив полученное выражение с уравнением четырех-
полюсника, составленным относительно напряжения, найдем
коэффициенты:
,5,0j11
20j
10
1
jX
R
A
C
+=+
−
=+
−
= .Ом10RB =
=
Можно записать, подставив одно в другое уравнения, со-
ставленные по первому закону Кирхгофа
4521
IIII
&&&&
++=
.
Подставим в полученное уравнение значения токов чет-
вертой и пятой ветвей и уже известное выражение для входно-
го напряжения:
.I)
jX
R
1(U)
jX
1
jXjX
R
jX
1
(
I
jX
R
)1
jX
R
(
jX
U
jX
U
I
jX
U
jX
U
II
2
L
2
LLCC
2
LCL
2
C
2
2
L
1
C
2
21
&&
&
&&
&
&&
&&
+++
−
+
−
=
=++
−
+
−
+=+
−
+=
Сравнив полученное выражение с уравнением четырех-
полюсника, составленным относительно входного тока, найдем
коэффициенты:
,Ом/105,0j05,01,0j05,005,0j
10j
1
10j20j
10
20j
1
jX
1
jXjX
R
jX
1
C
LLCC
−=−+=
=+
⋅−
+
−
=+
−
+
−
=
.1j1
10j
10
1
jX
R
1D
L
−=+=+=
Проверим выполнение соотношения между коэффициен-
тами А-формы записи уравнений четырехполюсника:
AD-BC=(1+j0,5)·(1-j1)-10·(0,05-j0,05)=1-j1+j0,5+0,5-0,5+j0,5=1.
153
2) Рассчитаем коэффициенты по
входным сопротивлени-
ям
в режиме холостого хода и короткого замыкания.
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого
хода и короткого замыкания при прямом включении четырех-
полюсника (рис. 5.17, а и б).
,Ом)15j5(
200
3000j1000
1010
2000j100020001000j
)10j10(
)10j10(
)10j10(
)200100j(
20j1010j
)20j10(10j
)jXR(jX
)jXR(jX
Z
22
CL
CL
X1
+=
+
=
+
+−+
=
=
+
+
⋅
−
+
=
−+
−
=
−+
−
=
.Ом5j5
200
10001000j
)10j10(
)10j10(
)10j10(
10j10
jXR
jXR
Z
L
L
1K
+=
+
=
−
−
⋅
+
⋅
=
+
⋅
=
Рассчитаем входные сопротивления в режимах холостого
хода и короткого замыкания при обратном включении четы-
рехполюсника (рис. 5.18, а и б).
,Ом20
200
4000
1010
2000j200020002000j
)10j10(
)10j10(
)10j10(
)200200j(
10j1020j
)10j10(20j
)jXR(jX
)jXR(jX
Z
22
LC
LC
X2
==
=
+
+++−
=
+
+
⋅
−
+−
=
++−
+
−
=
++−
+−
=
-jХ
С
R
jХ
L
Рис. 5.17
Z
1X
jХ
L
Z
1K
R
а)
б)
154
.Ом4j8
500
2000j4000
2010
40002000j
)20j10(
)20j10(
)20j10(
)20j(10
jXR
)jX(R
Z
22
C
C
2K
−=
−
=
=
+
+
−
=
+
+
⋅
−
−
⋅
=
−
−⋅
=
По известным формулам рассчитаем значения коэффици-
ентов уравнений А-формы записи:
,5,0j1e118,1e25,1
e65,12
e81,15
4j820
15j5
ZZ
Z
A
27j54j
18j
72j
K2X2
X1
+===
==
+−
+
=
−
=
oo
o
o
B = A Z
2K
= (1 + j0,5)·(8 – j4) = 8 + j4 – j4 + 2 = 10 Ом;
,Ом/105,0j05,0e071,0
e81,15
e118,1
15j5
5,0j1
Z
A
C
45j
71j
26j
X1
−===
+
+
==
−
o
o
o
.1j1e41,1
e81,15
e36,22
15j5
10j20
15j5
20
)5,0j1(
Z
Z
AD
45j
71j
26j
X1
X2
−==
==
+
+
=
+
+==
−
o
o
o
Результаты расчетов соответствуют значениям коэффи-
циентов, полученным с помощью законов Кирхгофа.
5.2.3 Несимметричный четырехполюсник имеет парамет-
ры А = 1; В = 2,83е
j45°
Ом; С = j0,5 См; D = j1. Найти характе-
ристические сопротивления четырехполюсника и постоянную
-jХ
С
R
jХ
L
Рис. 5.18
Z
2X
-jХ
С
Z
2K
R
а)
б)
155
передачи.
Найдем характеристические сопротивления:
;Омe38,2
e66,5je66,5j
1j5,0j
e38,21
CD
AB
Z
5,67j
135j45j
45j
C1
o
oo
o
−
−
±=
==−=
⋅
⋅
==
.Омe38,2e66,5
1j0,5
2,38ej1
CA
DB
Z
5,22j45j
j45
C2
oo
o
±==
⋅
⋅
==
Отрицательные значения комплексного сопротивления не
имеют физического смысла, так как они не реализуемы.
Определим постоянную передачи:
,3,57j765,0eln15,2ln
)e15,2ln()1806j162,1ln()e19,1eln(
)5,0je83,21jln()BCADln(g
3,57j
3,57j5,67j45j
45j
o
o
ooo
o
+=+=
==+=+=
=⋅+=+=
где коэффициент затухания
Нп765,0a
=
, а коэффициент фа-
зы
o
3,57b = или
.рад0,1b =
5.2.4 Для четырехполюсника, эквивалентная схема кото-
рого приведена на рис. 5.19, составить уравнения, выражаю-
щие зависимость комплексных напряжения
1
U
&
входной ветви и
тока
2
I
&
выходной ветви от комплексных тока
1
I
&
входной ветви
и напряжения
2
U
&
вы-
ходной ветви.
Параметры эле-
ментов цепи: Z
0
=12 Ом,
Z
2
=6 Ом, Z
1
=(4+j3) Ом.
Искомую зависи-
мость выражают урав-
нения четырехполюсни-
ка Н-типа:
1
U
&
Рис. 5.19
R
1
2
U
&
Z
2
jХ
1
1
I
&
2
I
&
Z
0
156
+=
+=
.UHIHI
;UHIHU
2
.
221212
2
.
12111
1
.
&&&
&&&
Коэффициенты Н
11
, Н
12
, Н
21
и Н
22
можно определить на
основе рассмотрения исходной схемы сначала при разомкну-
тых первичных зажимах, а затем при короткозамкнутых вто-
ричных полюсах с одновременным анализом уравнений Н-
формы записи, соответствующим этим состояниям.
При разомкнутых первичных зажимах
1
I
&
= 0 и система
уравнений примет вид:
=
=
.UHI
;UHU
2
.
222
2
.
12
1
.
&&
&&
откуда запишем
=
=
.
U
I
H
;
U
U
H
2
2
22
2
1
12
&
&
&
&
Для рассматриваемого режима:
2022
I)ZZ(U
&&
+= ,
201
IZU
&&
= ,
и тогда можно определить коэффициенты:
=
+
=
+
==
=
+
=
+
==
.Ом18/1
126
1
ZZ
1
U
I
H
;3/2
126
12
ZZ
Z
U
U
H
022
2
22
02
0
2
1
12
&
&
&
&
При короткозамкнутых вторичных полюсах
2
U
&
=0 систе-
ма уравнений примет вид:
=
=
,IHI
IHU
1212
111
1
.
&&
&&
откуда запишем
=
=
.
I
I
H
I
U
H
1
2
21
1
1
11
&
&
&
&
Для рассматриваемого режима:
157
111
20
20
1
I)RjX
ZZ
ZZ
(U
&&
++
+
⋅
= ,
20
0
12
ZZ
Z
II
+
−=
&&
.
Тогда можно определить коэффициенты:
−=
+
−=
+
−==
+=++
+
⋅
=++
+
⋅
==
.3/2
612
12
ZZ
Z
I
I
H
,Ом)3j8(43j
612
612
RjX
ZZ
ZZ
I
U
H
20
0
1
2
21
11
20
20
1
1
11
&
&
&
&
5.2.5 Выразить Z параметры взаимного четырехполюсни-
ка через сопротивления его Т-схемы замещения (рис. 5.20).
Система уравнений че-
тырехполюсника в Z-форме
записи имеет вид:
+=
+=
.IZIZU
;IZIZU
222121
2
.
2121111
&&&
&&&
Запишем уравнения по
законам Кирхгофа, связы-
вающие напряжения четырехполюсника с входным и выход-
ным токами, одновременно проводя анализ уравнений Z-
формы:
,IZI)ZZ()II(ZIZ
IZIZIZIZUIZIZU
2312121311
33222211222111
&&&&&
&&&&&&&&
++=++=
=++−=+−=
где
213
III
&&&
+= – ток в поперечной ветви; .IZIZU
33222
&&&
+=
Сравнив выражение, полученное для входного напряже-
ния четырехполюсника с первым уравнением Z- формы, можно
определить коэффициенты:
;ZZZ
2111
+
=
.ZZ
312
=
Относительно выходного напряжения запишем:
.I)ZZ(IZ)II(ZIZIZIZU
232132132233222
&&&&&&&&
++=++=+=
Сравнив полученное уравнение со вторым уравнением
1
U
&
Рис. 5.20
Z
1
2
U
&
Z
2 1
I
&
2
I
&
Z
3
158
системы уравнений в Z-форме, определим коэффициенты:
;ZZZ
3222
+
= .ZZ
321
=
Из полученных значений видно, что для взаимного четы-
рехполюсника равны коэффициенты
.ZZZ
32112
=
=
5.2.6 При питании четырехполюсника со стороны пер-
вичных зажимов были измерены U
1
, I
1
, P
1
в двух режимах:
а) холостого хода U
1X
= 100 B; I
1X
= 1 A; P
1X
= 0; б) в режиме
короткого замыкания U
1К
= 100 B; I
1К
= 1,41 A; P
1К
= 100 Вт. В
обоих случаях характер сопротивлений емкостный.
При обратном включении четырехполюсника при зако-
роченных первичных зажимах были измерены U
2К
= 100 B; I
2К
= 1 A; P
2К
= 100 Вт. Известно, что Z
1K
/Z
2K
= Z
1X
/Z
2X
. Рассчитать
сопротивления прямого, обратного холостого хода и короткого
замыкания. Определить по ним Z-параметры четырехполюсни-
ка.
При прямом включении четырехполюсника входные со-
противления для режимов холостого хода и короткого замыка-
ния по показаниям измерительных приборов определяются:
Омe
1
100
e
I
U
Z
90j
j
X1
X1
X1
X1
o
−
ϕ
== ,
где
o
90
X1
−=ϕ так как, согласно исходным данным, нагрузка
носит чисто емкостный характер (Р
1Х
=0);
Ом)50j50(e71e
41,1
100
e
I
U
Z
45j45j
j
K1
K1
K1
K1
−====
−−
ϕ
oo
,
где
oo
4545
41,1100
100
arccos
IU
P
arccos
K1K1
K1
K1
−=±=
⋅
±=±=ϕ ,
так как известно, что характер сопротивлений емкостный.
Омe
1
100
e
I
U
Z
0j
j
X2
X2
X2
X2
o
==
ϕ
,
159
где
o
0
1100
100
arccos
IU
P
arccos
X2X2
X2
X2
=
⋅
±=±=ϕ .
Сопротивление Z
2K
найдем из соотношения Z
1K
/Z
2K
=
Z
1X
/Z
2X
:
.Омe7150j50
100j
100)50j50(
Z
ZZ
Z
45j
X1
X2K1
K2
o
=+=
−
⋅
−
==
Уравнения четырехполюсника в Z-форме записи имеют
вид:
+=
+=
.IZIZU
;IZIZU
222121
2
.
2121111
&&&
&&&
Для режима холостого хода при прямом
2
I
&
= 0 и обратном
1
I
&
= 0 включении четырехполюсника запишем:
X111X1
IZU
&&
= тогда ;Ом100jZ
I
U
Z
X1
X1
X1
11
−===
&
&
X222X2
IZU
&&
= тогда
.Ом100Z
I
U
Z
X2
X2
X2
22
===
&
&
Для режима короткого замыкания на вторичных зажимах
четырехполюсника (0U
2
=
&
) запишем:
+=
+=
.IZIZ0
;IZIZU
К222К121
К212К111К1
&&
&&&
Выразим из второго уравнения ток на выходе четырехпо-
люсника, и подставим полученное выражение в первое уравне-
ние:
К1
22
21
К2
I
Z
Z
I
&&
−= , тогда
К1
22
2112
К1111К
I
Z
ZZ
IZU
&&&
−= .
Сопротивление короткого замыкания со стороны первич-
ных зажимов: