Питолин В.М., Попова Т.В., Беляков П.Ю., Кобзистый С.Ю. Теоретические основы электротехники: элементы теории с примерами решения задач. Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

180

В505,0100iRu

пр22Спр

⋅

= .

Для составления характеристического уравнения найдем

входное сопротивление Z(p) пассивной

части схемы относительно любых

разомкнутых зажимов. Источник

напряжения заменим

короткозамкнутым участком цепи,

конденсатор – операторным

сопротивлением 1/рС, а цепь разомкнем

в той ветви, которая содержит

конденсатор (рис. 6.14). Найдем

операторное сопротивление:

Cp/1)p(Z

+= .

Приравняв полученное выражение к нулю,

050

100100

p1010

=+=

⋅

−

получим характеристическое уравнение: 10

+ 50р = 0.

Полученное уравнение имеет один корень р = –2000 1/с.

Свободная составляющая состоит из одного слагаемого и

находится как

t2000

Be)t(u

−

= .

Определим постоянную интегрирования В. Для этого,

рассмотрим искомую функцию напряжения:

(t)=u

Cсв

(t)+u

Cпр

50Be

t2000

−

в момент времени t=0

50B

Согласно закону коммутации начальное значение напря-

жения конденсатора u

) = 0.

Получим уравнение

50B

= 0, и найдем постоянную ин-

тегрирования В = –50 В.

Искомая переходная функция:

(t) = 50e50

t2000

+−

−

(В).

Определим переходные функции токов ветвей:

Рис. 6.14

1/Ср

181

),A(e1e)2000)(50(1010

)50e50(d

)t(du

C)t(i

t2000t20006

t2000

−−−

−

=−−⋅=

+−

),A(5,0e5,0

100

50e50

)t(u

)t(i

t2000

+−=

+−

−

).A(5,0e5,0)5,0e5,0(e1

)t(i)t(i)t(i

t2000t2000t2000

2C1

+=+−+=

−−−

Временные зависимости полученных переходных функ-

ций построены на рис. 6.15 и 6.16. Время переходного процес-

са: t

пп

= 5τ = 5/|р| = 5/2000 = 0,0025 с.

(t)

(t),

t, c

Рис. 6.15

182

6.2.3 Катушка, индуктивность которой L

= 5 Гн и актив-

ное сопротивление R

= 4 Ом, отключается от источника по-

стоянной ЭДС, напряже-

ние которого U

= 110 В

и замыкается на разряд-

ный резистор сопротив-

лением R

= 6 Ом (рис.

6.17). Найти значение то-

ка для момента времени

t=1с после отключения

катушки. Определить на-

пряжение на резисторе

в начальный момент

после коммутации.

Когда переключатель находился в положении

Ι, в цепи

протекал постоянный ток

.A5,27

110

I)0(i

====−

(t)

i (t),

t, c

Рис. 6.16

ΙΙ

Рис. 6.17

(t)

183

После коммутации, то есть перевода переключателя в по-

ложение

II, катушка отключается от источника питания и по-

этому принужденное значение её тока будет равно нулю.

Переходная функция тока катушки имеет только свобод-

ную составляющую:

−

===

AeAe)t(i)t(i ,

где постоянная времени:

.c5,0)64/(5)RR/(Lp/1

K1K

=+=+==τ

Найдем постоянную интегрирования А. Так как согласно

первому закону коммутации, ток в катушке не может изме-

няться скачком, то в момент переключения t = 0:

.A5,27A)0(i)0(i

−

Выражение для переходного тока имеет вид:

.Ae5,27)t(i)t(i

−

При t = 1 с ток катушки .A71,3135,05,27e5,27i

=⋅==

−

График переходного тока катушки показан на рис. 6.18.

(

)

(t),

t, c

3,71

Рис. 6. 18

184

Напряжение на разрядном реpиcторе R

в начальный мо-

мент после коммутации ,B1655,276)0(iR)0(u

L1R

⋅

то

есть оно оказалось выше напряжения источника питания, так

как R

> R

. Указанное обстоятельство следует иметь в виду

при коммутации цепей, содержащих индуктивные элементы,

так как возникающие при этом перенапряжения могут вывести

из строя аппаратуру.

6.2.4 Построить зависимость переходного напряжения на

конденсаторе от времени в цепи рис. 6.19 при поочередном пе-

реключении выключателя в положения

I и II. Напряжение U

= 5 В, R

= 75 Ом, R

= 25 Ом, С = 1 мкФ. Коммутация начина-

ется с установки выключателя в положение

I, время зарядки и

разрядки конденсатора t = 4τ.

При установке переключателя в положение

I в цепи воз-

никает ток и конденсатор заряжается в течение времени t

зар

4τ

= 4R

C = 300 мкс.

Переходное напряжение на конденсаторе увеличивается

по экспоненциальному

закону:

)e1(U)t(u

τ−

−=

и через 300 мкс, то есть к

моменту переключения

выключателя в положе-

ние

II, напряжение дос-

тигнет значения:

.B92,4)e1(5u

=−=

−

После установки

выключателя в положе-

ние

II начинается разрядка конденсатора от значения

B92,4u

= , которая будет продолжаться в течении времени

зар

= 4τ

= 4R

C = 100 мкс. При этом напряжение на конденса-

торе будет изменяться в соответствии с экспоненциальной за-

ΙΙ

(t)

Рис. 6.19

(t)

185

висимостью

e92,4)t(u

τ−

= .

Через 100 мкс оно снизится до 0,088 В. Кривая измене-

ния напряжения на конденсаторе показана на рис. 6.20.

6.2.5 В цепи, схема которой приведена на рис. 6.21, про-

исходит коммутация. Построить переходные функции напря-

жения и тока конденсатора. Данные для расчета Е = 20 В, R

= R

= 10 Ом, R

= 30 Ом, С = 10 мкФ.

Определим, пользуясь

заданным алгоритмом расче-

та переходных процессов,

функцию изменения во вре-

мени напряжения конденса-

тора u

(t)=u

Cсв

(t)+u

Cпр

Ток конденсатора рас-

считаем по закону Ома, запи-

санному для мгновенных зна-

чений:

)t(du

C)t(i

= .

В установившемся докоммутационном режиме в ветви с

конденсатором ток отсутствует и в цепи (рис. 6.22) в парал-

(t)

Рис. 6.21

(t)

(t),

t, c

Рис. 6.20

186

лельных ветвях протекают токи:

,A1

1010

)0(i

=−

.A5,0

3010

)0(i

=−

Напряжение конденсатора в докоммутационной цепи

найдем по второму закону Кирхгофа:

.B55,030110)0(iR)0(iR)0(u

4422C

−=

⋅

−

⋅

−

Согласно второму за-

кону коммутации напряже-

ние конденсатора не может

измениться скачком, по-

этому начальное значение

этого напряжения будет

равно его докоммутацион-

ному значению:

) = u

)= –5 В.

Принужденное значение напряжения конденсатора опре-

делим, рассчитав токи и на-

пряжения в установившем-

ся режиме в цепи после

коммутации (рис. 6.23). Ток

в четвертом резисторе от-

сутствует и в цепи протека-

ет только ток:

.A1

ПР2

Тогда напряжение конденсатора:

.В10110iRu

ПР22СПР

⋅

(0-)

Рис. 6.22

(0-)

CПР

Рис. 6.23

2ПР

187

Составим характеристическое уравнение. Для этого най-

дем входное сопротивление пас-

сивной части схемы после комму-

тации относительно разомкнутых

зажимов ab (рис. 6.24). В рас-

сматриваемой цепи источник на-

пряжения заменяется коротко-

замкнутым участком, а конденса-

тор операторным сопротивлением 1/Сp:

)p(Z

4ab

++= .

Откуда

.c2857

530

)

R(C

−

−=

Характеристическое уравнение имеет один корень:

р = –2857 1/с,

поэтому свободную составляющую напряжения запишем как:

t2857

Be)t(u

−

Определим постоянную интегрирования В. Для этого,

рассмотрим искомую функцию напряжения:

(t) = u

Cсв

(t) + u

Cпр

= 10Be

t2857

−

в момент времени t = 0

) = 10B

Начальное значение напряжения конденсатора u

) = –5

В. Получим уравнение

10B

= –5, и найдем постоянную ин-

тегрирования В = –15 В.

Искомая переходная функция напряжения:

(t) = 10e15

t2857

+−

−

(В).

Определим переходную функцию тока в ветви с конден-

сатором:

.Ae428,0e)2857)(15(1010

)10e15(d

)t(du

C)t(i

t2857t28576

t2857

−−−

−

=−−⋅=

+−

Рис.6.24

1/С

188

Графики переходных функций напряжения и тока кон-

денсатора представлены на рис. 6.25.

6.2.6 В цепи, схема которой приведена на рис. 6.26, про-

исходит коммутация. Построить переходные функции напря-

жения и тока индуктивной катушки.

Данные для расчета Е = 30 В, R

= R

= 10 Ом, L = 1

мГн.

Определение переходных функций начнем с нахождения

тока индуктивной катушки i

(t). Напряжение на ее зажимах

найдем, с помощью закона Ома для мгновенных значений:

)t(di

L)t(u

= .

Учитывая, что в цепи

постоянного тока в устано-

вившемся режиме идеальная

индуктивная катушка пред-

ставляет собой участок с со-

противление равным нулю,

легко определить ток катуш-

ки в схеме до коммутации

(рис. 6.27):

(t)

Рис.

.25

Рис. 6.26

(t)

189

.A3

)0(i

===−

Согласно первому закону

коммутации ток индуктивной

катушки в момент коммутации

не может измениться скачком

и в первый момент остается

равным докоммутационному

значению

) = i

) = 3 А.

Искомая переходная

функция тока представляет

собой сумму свободной и

принужденной составляющей

(t) = i

Lсв

(t) + i

Lпр

Найдем принужденное

значение тока катушки. Для

этого рассчитаем величину

тока в установившемся режи-

ме в цепи после коммутации

(рис. 6.28). Так как индуктив-

ная катушка представляет собой короткозамкнутый участок

цепи, то ток в резисторе R

отсутствует, а ток катушки опреде-

лим, как:

.A6

PLП













Составим характеристическое уравне-

ние путем определения входного сопротив-

ления Z(p) пассивной части цепи после ком-

мутации (рис. 6.29). В рассматриваемой це-

пи источник напряжения заменяется корот-

козамкнутым участком, а индуктивная ка-

тушка операторным сопротивлением Lp.

Находим входное сопротивление относи-

Рис. 6.27

(0-)

Рис. 6.28

LПР

Рис. 6.29