Павлов С.Н. Теория систем и системный анализ

Подождите немного. Документ загружается.

Модель «черного ящика» часто оказывается не только очень полезной,

но в ряде случаев единственно применимой при изучении системы. Напри-

мер, при влиянии лекарства на живой организм мы выводы делаем только на

основании наблюдений; при действительном отсутствии данных о внутрен-

нем устройстве системы приходится ограничиваться только этой моделью.

Модель состава системы. При рассмотрении любой системы обнару-

живается, что ее целостность и обособленность (отображенные в модели

«черного ящика») выступают как внешние свойства. Внутренность же «ящи-

ка» оказывается неоднородной, что позволяет различать составные части са-

мой системы. При более детальном рассмотрении некоторые части системы

могут быть, в свою очередь, разбиты на составные части и т.д. Те части сис-

темы, которые мы рассматриваем как неделимые, будем называть элемента-

ми. Части системы, состоящие более, чем из одного элемента, назовем под-

системами.

В результате получается модель состава системы, описывающая, из

каких подсистем и элементов она состоит (рис. 3.3).

рисунок.

Рис. 3.3

Подсистема

Подподсистема

элементы

элементы элементы

Система

№ Системы Подсистемы Элементы

Подсистема передач Центральная теле-

студия. Антенно-

передающий центр

Канал связи Среда распростране-

ния радиоволн.

Спутники ретранс-

ляторы.

Система телевидения

Приемная подсисте-

ма

Местные телесту-

дии. Телевизоры по-

требителей

Члены семьи Муж

Жена

Предки

Потомки

Другие родственни-

ки

2 Семья

Имущество семьи Общее жилье и хо-

зяйство. Личная соб-

ственность членов

семьи

Источники тепла Котельная или отвод

от центральной

теплотрассы

Подсистема распре-

деления и доставки

тепла

Трубы

Калориферы

Вентили

3 Отопительная система жилого дома

Подсистема экс-

плуатации

Службы эксплуата-

ции и ремонта.

Персонал

Рис. 3.4

Построение модели состава системы кажется простым делом, но это

не так, и причина состоит в следующем:

Разные модели состава одной системы получаются вследствие того,

что понятие элементарности можно определить по-разному. То, что с одной

точки зрения является элементом, с другой оказывается подсистемой, подле-

жащей дальнейшему разделению.

2. Как и любая модель, модель состава является целевой, и для раз-

личных целей один и тот же объект потребуется разбить на разные части. На-

пример, один и тот же завод для директора, бухгалтера, начальника пожарной

охраны состоит из совершенно различных подсистем.

3. Модели состава различаются потому, что всякое разделение целого

на части, всякое деление системы на подсистемы является относительным.

Например, тормозную систему автомобиля можно отнести либо к подсистеме

управления, либо к ходовой части. Таким образом, границы между подсисте-

мами условны. Это относится и к границам самой системы и окружающей

среды.

Модель структуры системы.

Для достижения ряда целей недоста-

точно иметь представленные две модели системы. Необходимо еще устано-

вить между элементами связи − отношения. Совокупность необходимых и

достаточных для достижения цели отношений между элементами называется

структурой системы.

Перечень связей между элементами (т.е. структура системы) является

абстрактной моделью: установлены только отношения между элементами, но

не рассмотрены сами элементы. Когда мы рассматриваем некоторую сово-

купность объектов как систему, то из всех отношений важными, т.е. сущест-

венными для достижения цели, являются лишь некоторые. Например, при

расчете механизма не учитываются силы взаимного притяжения его деталей,

хотя, согласно законам всемирного тяготения, такие силы объективно суще-

ствуют. Зато вес деталей (т.е. сила их притяжения к земле) учитывается обя-

зательно.

Структурная схема системы. Если мы объединим модели «черного

ящика», состава и структуры, то получим еще одну модель, которую будем

называть структурной схемой системы («белый ящик», «конструкция систе-

мы»). В структурной схеме указываются все элементы системы, все связи

между элементами внутри системы и связи определенных элементов с окру-

жающей средой (входы и выходы системы). Приведем пример структурной

схемы «синхронизируемые часы» (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Элементы системы изображены в виде прямоугольников; связи 1-3

между элементами; вход 4 изображает поступление энергии извне; вход 5 со-

ответствует регулировке индикатора; выход 6 − показание часов.

Динамические модели системы. Рассмотренные выше модели ото-

бражают систему в некоторый момент времени и могут быть названы стати-

Датчик времени

Эталон времени

Индикатор

стическими моделями, что подчеркивает их неподвижный, как бы застывший

характер. Следующий шаг в исследовании систем состоит в том, чтобы по-

нять и описать, как система «работает», что происходит с ней самой и с ок-

ружающей средой в ходе реализации поставленной цели. Очевидно, и подход

к описанию и степень подробности описания происходящих процессов могут

быть различными. Однако общим при этом является то, что разрабатываемые

модели должны отражать поведение системы, описывать происходящее с те-

чением времени изменения, последовательность каких-то этапов, операций,

действий, причинно-следственные связи.

Системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со

временем, будем называть динамическими, а модели, отображающие эти из-

менения, − динамическими моделями систем.

Для разных объектов и систем разработано большое количество дина-

мических моделей, описывающих процессы с различной степенью детально-

сти: от самого общего понятия динамики, движения вообще, до формальных

математических моделей конкретных процессов типа уравнения движения в

механике или волновых уравнений в теории поля. Развитие модели происхо-

дит примерно в той последовательности, как это было изложено: от «черного

ящика» к «белому».

Функционирование и развитие. Уже на этапе «черного ящика» раз-

личают два типа динамики системы: ее

функционирование и развитие. Под

функционированием подразумевают процессы, которые происходят в системе

(и окружающей среде), стабильно реализующие фиксированную цель (функ-

ционируют, например, часы, городской транспорт, школа, телевизор и т.д.).

Развитием называют то, что происходит с системой при изменении ее целей.

Характерной чертой развития является тот факт, что существующая структу-

ра перестает соответствовать новой цели и для обеспечения новой функции

приходится изменять структуру, а иногда и состав системы, перестраивать

всю систему.

Не следует считать, что система всегда находится либо в фазе разви-

тия, либо в состоянии функционирования. При реконструкции одного цеха

остальные функционируют, завод в целом развивается. Даже при коренной

перестройке системы какие-то элементы и даже подсистемы старой структу-

ры могут продолжать функционировать по-прежнему.

Следующий шаг в построении динамических моделей состоит в том,

чтобы конкретнее отобразить происходящие изменения. Это значит, что сле-

дует различать части, этапы происходящего процесса, рассматривать их

взаимосвязи. Иными словами, типы динамических моделей такие же, как и

статические, только элементы этих моделей имеют временной характер. На-

пример, динамический вариант «черного ящика» − указания начального

(«вход») и конечного («выход») состояний системы (например, как в пяти-

летнем плане). Модели состава соответствует перечень этапов в некоторой

упорядоченной последовательности действий. Динамический вариант «бело-

го ящика» − это подробное описание происходящего или планируемого про-

цесса. Например, на производстве широко используют так называемые сете-

вые графики − графы, имеющие сетевую структуру; их вершинами служат

выполняемые производственные операции, а ребра указывают, какие опера-

ции не могут начаться, пока не окончатся предыдущие. Здесь же некоторым

образом (задание длин или весов ребер) изображается длительность выполне-

ния операций, что и позволяет находить на графе «критические» пути, т.е. по-

следовательность операций, от которых главным образом зависит ритмич-

ность всей работы.

Типы динамических моделей. Те же типы моделей прослеживаются

и при более глубокой формализации динамических моделей. При математи-

ческом моделировании некоторого процесса его конкретная реализация опи-

сывается в виде соответствия между элементами множества Х возможных

«значений» х и элементов упорядоченного множества Т «моментов времени»

t, т.е. в виде отображения Т→Х: х(t)ЄХ

, tЄT. С помощью этих понятий мож-

но строить математические модели.

Рассматривая выход y(t) системы (это может быть вектор) как ее реак-

цию на управляемые u(t) и неуправляемые v(t) выходы x(t)= {u(t), v(t)} (рис.

3.6), можно модель «черного ящика» выразить как совокупность двух процес-

сов:

={x(t)} и Y

={y(t)} , tЄХ.

Ошибка!

Рис. 3.6

Если даже считать y(t) результатом некоторого преобразования Ф про-

цесса х(t), т.е. y(t)= Ф(x(t)), то модель «черного ящика» предполагает, что это

преобразование неизвестно. В том же случае, когда мы имеем дело с «белым

ящиком», соответствие между входом и выходом можно описать тем или

иным способом. Какой именно способ − зависит от того, что нам известно, и в

какой форме можно использовать эти знания.

Например, иногда бывает известно, что система мгновенно преобразу-

ет вход в выход, т.е. что y(t) является функцией только x(t) в тот же момент

времени. Остается задать или найти эту функцию. На практике чаще всего из-

вестна лишь безынерционность системы и требуется, наблюдая входы и вы-

ходы, восстановить неизвестную функцию y=Ф(x). По существу, это задача о

переходе модели «черного ящика» к модели «белого ящика» по наблюдениям

входов и выходов при наличии информации о безынерционности системы.

Даже в такой достаточно простой постановке задача имеет совсем не простые

варианты, которые зависят от того, что известно о функции Ф (в параметри-

зованном случае Ф принадлежит семейству функций, известных с точностью

до параметров; в непараметризованном вид функции Ф неизвестен), и от на-

личия или отсутствия некоторых общий сведений о ее свойствах (непрерыв-

ности, монотонности, симметричности и т.д.). Дополнительные варианты (и

дополнительные трудности) возникают, если входы или выходы наблюдают-

ся с помехами и искажениями. При этом разные предположения о природе

этих помех приводят к принципиально отличающимся решениям задачи.

Однако класс систем, которые можно считать безынерционными,

весьма узок. Необходимо строить математические модели систем, выход ко-

торых определяется не только значением входа в данный момент времени, но

и теми значениями, которые были на входе в предыдущие моменты.

Все указанные типы моделей являются формальными, относящимся к

любым системам, и следовательно, не относящиеся ни к одной конкретной

системе. Чтобы получить модель заданной системы, нужно придать формаль-

ной модели конкретное содержание. Это относится как к статическим систе-

мам, так и к динамическим (рис. 3.7).

Черный ящик Состав Структура

Вход: начальное состоя-

ние

Выход: конечное со-

стояние

Перечень действий, не-

обходимых для перевода

начального состояния в

конечное

Последовательность

действий и продолжи-

тельность каждого дей-

ствия

Сетевой график всего процесса

Структурная схема

Рис. 3.7

3.3 Структурный и функциональный подходы в системном

анализе

Любая система может изучаться с двух точек зрения: извне и изнутри.

Изучение системы извне означает рассмотрение взаимодействия системы с

внешней средой, или рассмотрение функций системы. С другой стороны,

можно изучать, как система устроена, т.е. какова ее структура. Понятно, что

работа системы и ее устройство тесно взаимосвязаны: нет структур без функ-

ций, как и функций без структур.

Для определения цели можно, однако, ограничиться изучением либо

только структуры, либо только функцией системы. Этому соответствуют

структурный и функциональный подходы в теории систем. Структурный под-

ход является конкретизацией дескриптивного определения системы, а функ-

циональный подход базируется на конструктивном определении системы

Структурный подход. Структурный подход применяется тогда, когда

необходимо выяснить, как система устроена, из каких частей она состоит, как

эти части связаны между собой. Структурный подход состоит из двух этапов:

этапа определения состава системы, т.е. полного перечисления ее элементов,

и этапа выяснения (анализа или синтеза) структуры системы.

Введем понятие формальной (логической) и материальной структуры

системы.

Под формальной структурой будем понимать совокупность функ-

циональных элементов и их отношений, необходимых и достаточных для

достижения системой заданных целей. Под материальной структурой бу-

дем понимать реальное наполнение формальной структуры.

В качестве поясняющего примера рассмотрим систему, целью которой

является указание времени (часы).

Формальная структура часов есть совокупность отношений между

функциональными элементами − датчиком времени, индикатором и эталоном

времени. Необходимыми и достаточными отношениями между перечислен-

ными элементами являются: синхронизация датчика с эталоном, однозначная

связь датчика с индикатором и градуировка индикатора по эталону. Наличие

данной формальной структуры присуще часам любой конструкции.

Материальная структура, реализующая формальную структуру часов,

определяется конкретной конструкцией часов. Например, в качестве эталона

времени может быть выбран любой естественный периодический стабильный

процесс: движение планеты вокруг Солнца или вокруг своей оси, колебания

простых молекул или атомов и т.д. В качестве датчика времени могут выступать

любые известные процессы, однако из соображений удобства и простоты реали-

зации обычно пользуются процессами с постоянными характеристиками: рав-

номерное раскручивание механической пружины, постоянный ток в схеме элек-

трических часов, постоянный поток песчинок через отверстие и т.д.

Понятно, что фиксированной цели соответствует одна и только одна

формальная структура системы и одной формальной структуре может соот-

ветствовать множество различных материальных структур.

Первый этап структурного подхода − это этап выяснения состава сис-

темы. По отношению к выяснению состава формальной структуры можно

сказать, что оно эквивалентно выделению дескрипторов (ключевых слов и

выражений) в определении цели.

Второй этап структурного подхода − определение структуры системы.

Функциональный подход. Согласно конструктивному определению

системы, всякий объект рассматривается как система только в том случае, ес-

ли какое-то из его свойств используется для достижения поставленной цели.

Поэтому дескриптивное описание функции системы можно дать следующим

образом: функция системы есть ее свойство в динамике, приводящее к дос-

тижению цели.

Проиллюстрируем вышесказанное на примере транспортной системы.

Ее − цель перемещение грузов в пространстве. Свойства, используемые для

достижения этой цели − подвижность и грузоподъемность. Функция транс-

портной системы − сам процесс перемещения грузов, т.е. реализация выше-

указанных свойств для достижения заданной цели.

Перейдем к конструктивному определению функции системы. Это оз-

начает, что мы должны указать способ описания функции и способ сравнения

различных функций. Для этого введем необходимые понятия. Всякий объект

(в том числе и системный) выделяется, обосабливается в окружающей среде

благодаря его специфическим отношениям с этой средой. Такие отношения

называются свойствами или

характеристиками данного объекта. По отноше-

нию к некоторой цели из всего множества характеристик всегда можно выде-

лить конечное число характеристик, представляющихся необходимыми и

достаточными для построения адекватной модели объекта. Будем называть

эти характеристики существенными.

Необходимость математического описания объекта вынуждает нас по-

пытаться ввести количественную меру для каждой из существенных характе-

ристик. При этом открывается, что для некоторых из них можно ввести еди-

ный эталон сравнения, а для других такой эталон на данном уровне знаний

ввести не удается. Так возникают понятия о количественных и качественных

характеристиках объекта (системы).

Для любой количественной характеристики удобно ввести понятие па-

раметра, т.е. числа, выражающего отношение между данной характеристикой

и избранным эталоном. Желание ввести понятие количественного параметра

для качественных характеристик наталкивается на ту трудность, что универ-

сального эталона в данном случае не существует. Эта трудность обходится

двумя способами. Первый состоит в том, чтобы проверять наличие или отсут-

ствие данного качества у данного объекта. При этом используется совокуп-

ность двух произвольных чисел (0 и 1 или +1 и −1 и т.д.), второй способ ис-

пользуется, когда при наличии данного качества существует необходимость

сравнить между собой конечное число фиксированных объектов по степени

выраженности данного качества в них. В этом случае за эталон принимается

качество любого из сравниваемых объектов, но надо всегда иметь в виду, что

получающаяся в результате шкала является относительной. В качестве пара-

метра при этом могут выступать ранги, т.е. номера сравниваемых объектов в

упорядоченном ряду. Последним способом сравниваются качество игры му-

зыкантов на конкурсах, выступления фигуристов, гимнастов. Таким образом,

мы имеем возможность введения количественных параметров и для качест-

венных характеристик.

Предположим, что в некоторый момент система характеризуется на-

бором значений n параметров. Тогда эти значения можно рассматривать как

координаты определенной точки в n-мерном пространстве, которое назовем

пространством состояний. Точку в этом пространстве будем называть со-

стоянием

системы.

Функционирование системы проявляется в ее переходе из одного со-

стояния в другое или в сохранении какого-либо состояния в течение некото-

рого промежутка времени (отметим, что время нами не включено в число па-

раметров системы).

Таким образом,

функция системы проявляется в движении изобра-

жающей точки на некоторой

траектории пространства состояний.

В дальнейшем будем использовать следующее обозначение: X

− про-

странство состояний; x

) − значение i-го параметра системы в момент вре-

мени t

; x(t

)= x

)=[ x

),x

),... x

)] − вектор состояния системы в мо-

мент времени t

; x(t) − траектория системы, если она определена для всех t,

где t Є T.

Поскольку достижение

целевого состояния может быть осуществлено

движением по разным траекториям, оканчивающимся в целевой точке или

области, возникает вопрос, не все ли равно, по какой траектории двигаться к

целевому состоянию. Ответ на этот вопрос лежит вне данной системы и оп-

ределяется двумя внешними факторами: во-первых, ограничениями, накла-

дываемыми на систему внешней средой, и, во-вторых, оценкой качества тра-

ектории с точки зрения системы высшего уровня, задавшей целевое состоя-

ние данной системе. Оценка качества функционирования системы достигает-

ся путем определения предпочтительности любых двух ее траекторий. Спо-

соб определения предпочтительности любых двух траекторий системы назы-

вается критерием качества функционирования системы. Общепринятым спо-

собом задания критерия качества функционирования является задание целе-

вой функции и ограничений на множестве траекторий.

3.4 Измерительные шкалы

Измерение – это алгоритмическая операция, которая данному наблю-

даемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие оп-

ределенное обозначение: число, номер или символ. Такое соответствие обеспе-

чивает то, что результаты измерений содержат информацию о наблюдавшем-

ся объекте, количество же информации зависит от степени полноты этого со-

ответствия и разнообразия вариантов. Нужная нам информация получается из

результатов измерения с помощью их преобразований, или, как еще говорят,

с помощью обработки экспериментальных данных.

Совершенно ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и

их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате об-

работки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не

только от организации измерений (т.е. от экспериментатора), но и от природы

исследуемого явления и что сама степень соответствия в свою очередь опре-

деляет допустимые (и недопустимые) способы обработки данных.

В данном параграфе мы будем рассматривать только такие объекты,

про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и

только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в

соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые

обозначения

. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения

удовлетворяют следующим аксиомам эквивалентности:

1°. А = А (рефлексивность).

2°. Если А = В, то В = А (симметричность).

3°. Если А = В и В=С, то А = С (транзитивность).

Здесь символ = обозначает отношение эквивалентности; в том случае,

когда А и В – числа, он означает их равенство.

Шкалы наименований. Предположим, что число различимых со-

стояний (математический термин – число классов эквивалентности) конечно.

Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, от-

личное от обозначений других классов. Теперь измерение будет состоять в

том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность

результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помо-

щью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется из-

мерением в шкале наименований (иногда эту шкалу называют также номи-

нальной или классификационной); указанное множество символов и образует

шкалу.

Особенности шкалы наименований рассмотрим на примерах. Естест-

веннее всего использовать шкалу наименований в тех случаях, когда класси-

фицируются дискретные по своей природе явления (например, различные

объекты). Для обозначения классов могут быть использованы как слова есте-

ственного языка (например, географические названия, собственные имена лю-

дей и т.д.), произвольные символы (гербы и флаги государств, эмблемы родов

войск, всевозможные значки и т.д.), номера (регистрационные номера авто-

мобилей, официальных документов, номера на майках спортсменов), так и их

различные комбинации (например, почтовые адреса, экслибрисы личных

библиотек, печати и пр.) Все эти обозначения эквивалентны простой нумера-

ции (в некоторых странах человек при рождении получает номер, под кото-

рым он фигурирует в государственных информационных системах всю

жизнь), но на практике часто предпочитают другие обозначения (вообразите,

что вместо имен и фамилий ваших друзей и знакомых вы должны будете ис-

пользовать номера!).

В дальнейшем мы убедимся, что существуют не только такие типы измерений.