Павлов С.Н. Теория систем и системный анализ

Подождите немного. Документ загружается.

Поскольку присваиваемое классу объектов обозначение в принципе

произвольно (хотя после присвоения и однозначно), эту свободу в выборе

можно использовать для удобства. Так, при большом и/или нефиксированном

числе классов их конкретизация упрощается и облегчается, если обозначения

вводятся иерархически. Примером могут служить почтовые адреса: страна –

территориальная административная единица (республика, штат, кантон, граф-

ство, область) – населенный пункт – улица – дом – квартира – адресат. Дру-

гой пример – автомобильные номера: в их символике есть обозначение как

территории, так и принадлежности машины (государственная или личная).

Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда клас-

сифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Задача сводится

к предыдущей, если все множество разбить на конечное число подмножеств,

искусственно образуя тем самым классы эквивалентности. Теперь принад-

лежность состояния к какому-либо классу снова можно регистрировать в

шкале наименований. Однако условность введенных классов (не их шкальных

обозначений, а самих классов) рано или поздно проявится на практике. На-

пример, возникают трудности точного перевода с одного языка на другой при

описании цветовых оттенков: в английском языке голубой, лазоревый и синий

цвета не различаются; не исключено, что англичане иначе видят мир (напри-

мер, в одном английском толковом словаре слово «синий» объясняется как

«цвет чистого неба, древесного дыма, снятого молока, свинца», а в другом –

как «цвет неба или моря, а также вещей намного бледнее или темнее, как

дым, удаленные холмы, лунный свет, синяк»).

Аналогичная ситуация имеет место в профессиональных языках.

Вспомним примеры с наименованиями коров у африканского племени маса-

ев, различных состояний снега у эвенков.

Названия болезней также образуют шкалу наименований. Психиатр,

ставя больному диагноз «шизофрения», «паранойя», «маниакальная депрес-

сия» или «психоневроз», использует номинальную шкалу; и все же иногда

врачи не зря вспоминают, что «нужно лечить больного, а не болезнь»: назва-

ние болезни лишь обозначает класс, внутри которого на самом деле имеются

различия, так как эквивалентность внутри класса носит условный характер.

Перейдем теперь к вопросу о допустимых операциях над данными, вы-

раженными в номинальной шкале. Подчеркнем еще раз, что обозначения

классов – это только символы, даже если для этого использованы номера.

Номера лишь внешне выглядят как числа, но на самом деле числами не яв-

ляются. Если у одного спортсмена на спине номер 4, а другого 8, то никаких

других выводов, кроме того, что это разные участники соревнований, делать

нельзя: так, нельзя сказать, что второй «в два раза лучше» или что у одного из

них форма новее. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключе-

нием определения их равенства или неравенства: только эти отношения опре-

делены между элементами номинальной шкалы (см. приведенные выше ак-

сиомы 1° – 3°).

Поэтому при обработке экспериментальных данных, зафиксированных

в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять

только операцию проверки их совпадения или несовпадения. Изобразим эту

операцию с помощью символа Кронекера: δ

i,j

= {1 : х

= x

; 0: х

≠ x

} , где х

и x

–

записи разных измерений.

С результатами этой операции можно выполнять более сложные пре-

образования: считать количества совпадений (например, число наблюдений k-

го класса равно

∑

j,k

, где n – общее число наблюдений), вычислять относи-

тельные частоты классов (например, частота k-го класса есть p

= n

/n), срав-

нивать эти частоты между собой (находя, например, моду – номер наиболее

часто встречающегося класса k

max

= arg max

), выполнять различные стати-

стические процедуры, строго следя, однако, чтобы в этих процедурах с ис-

ходными данными не выполнялось ничего, кроме операции проверки их на

совпадение (например, можно использовать χ

-тест, другие тесты на относи-

тельных частотах, коэффициент согласия и т.д.).

В тех случаях, когда наблюдаемый (измеряемый) признак состояния

имеет природу, не только позволяющую отождествить состояния с одним из

классов эквивалентности, но и дающую возможность в каком-то отношении

сравнивать разные классы, для измерений можно выбрать более сильную шка-

лу, чем номинальная. Если же не воспользоваться этим, то мы откажемся от

части полезной информации. Однако усиление измерительной шкалы зависит

от того, какие именно отношения между классами существуют в действитель-

ности. Это и явилось причиной появления измерительных шкал разной силы.

Порядковые шкалы. Следующей по силе за номинальной шкалой яв-

ляется порядковая шкала (используется также название ранговая шкала). Этот

класс шкал появляется, если, кроме аксиом тождества 1°-3°, классы удовле-

творяют следующим аксиомам упорядоченности:

4°. Если А ≠ В,то либо А > В, либо В > А.

5°. Если А > В и В > С, то А > С.

Обозначив такие классы символами и установив между этими симво-

лами те же отношения порядка, мы получим шкалу совершенного порядка.

Примерами применения такой шкалы являются нумерация очередности, во-

инские звания, призовые места в конкурсе.

Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить

по предпочтению: некоторые пары считаются равными. В таком случае ак-

сиомы 4° и 5° видоизменяются.

4'. Либо А ≤ В, либо А ≥ В.

5'. Если А ≥ В и В ≥ С,то А ≥ С.

Шкала, соответствующая аксиомам 4' и 5', называется шкалой квази-

порядка. Примером шкалы квазипорядка служит упорядочение по степени

родства с конкретным лицом (мать = отец > сын = дочь, дядя = тетя < брат =

сестра и т.п.).

Иная ситуация возникает, когда имеются пары классов, не сравнимые

между собой, т.е. ни А ≤ В, ни В ≤ А (это отличается от условия квазипорядка,

когда одновременно А ≥ В и В ≥ А, т.е. А = В) . В таком случае говорят о шка-

ле частичного порядка. Шкалы частичного порядка часто возникают в социо-

логических исследованиях субъективных предпочтений. Например, при изу-

чении покупательского спроса субъект часто не в состоянии оценить, какой

именно из двух разнородных товаров ему больше нравится (например, клет-

чатые носки или фруктовые консервы, велосипед или магнитофон и т.д.); за-

трудняется человек и упорядочить по предпочтению любимые занятия (чте-

ние литературы, плавание, вкусная еда, слушание музыки...).

Как видим, порядковые шкалы могут быть различными. В зависимости

от того, каким аксиомам упорядоченности отвечают рассматриваемые объекты,

мы должны пользоваться либо шкалой совершенного, либо шкалой частичного

порядка. Однако разнообразие порядковых шкал этим не исчерпывается. Иногда

число градаций в шкале задается заранее, и эксперимент лишь определяет, к ка-

кому из упорядоченных классов относится наблюдаемый объект (например,

оценка на экзамене, сила землетрясения, воинское звание и т.п.). В других слу-

чаях эталонные классы отсутствуют, а упорядочение проводится непосредст-

венным попарным сравнением самих рассматриваемых объектов (например, вы-

страивание солдат в шеренгу по росту, определение мест в результате спортив-

ных соревнований, музыкальных конкурсов и т.д.).

Очень важно обратить внимание на то, что отношение порядка ничего

не говорит о «дистанциях» между сравниваемыми классами или объектами.

Это придает порядковым шкалам характерную особенность: наблюдения, за-

фиксированные в таких шкалах, не являются числами. Даже если эксперимен-

тальные данные представлены цифрами (как школьные баллы, номера мест,

занятых в соревновании, и т.п.), эти данные нельзя рассматривать как числа.

Над ними нельзя производить арифметические операции и вообще любые

действия, результат которых изменится при преобразованиях шкалы, не на-

рушающих порядка. Между тем не все это знают; ярким примером такого

широко распространенного заблуждения являлось использование в школах и

вузах в недавнем прошлом (а кое-где продолжающееся и сейчас) «средних

баллов». Правда, сразу было замечено, что средний балл, худо-бедно «рабо-

тавший» в руках одного учителя, в рамках одного класса переставал играть

роль объективного показателя при сравнении выпускников разных школ. Во

всяком случае, непродуманно введенный ранее учет средних школьных бал-

лов при проведении конкурса для поступления в высшие учебные заведения

был недавно отменен.

Допустимые операции над порядковыми наблюдениями вытекают из от-

ношений, определяющих эти шкалы, т.е. из отношений эквивалентности и

предпочтения. Допустимые операции представляют собой только операции

проверки выполнимости этих отношений. Операция проверки принадлежности

наблюдения к заданному классу (или неразличимости двух наблюдений) была

уже введена выше, при рассмотрении номинальной шкалы, как символ Кроне-

кера δ

i,j

, где один индекс – номер наблюдения, а другой – номер класса или дру-

гого наблюдения (в зависимости от типа порядковой шкалы). Операция провер-

ки отношения предпочтения тоже может быть формализована. Введем индика-

торную функцию C(t) положительных чисел: C(t) = {1: t≥0; 0: t<0}. Тогда если

≥x

, то C(x

– x

) = 1, а C(x

– x

) = 0, что позволяет установить предпочти-

тельность x

перед x

. В результате по значению бинарной функции C(t), мы

можем однозначно судить о порядке предъявленных объектов. Как и ранее, в

зависимости от типа шкалы один объект – данное наблюдение, а другой – ли-

бо некоторый класс, либо другое наблюдение.

Итак, непосредственно над порядковыми данными можно производить

только операции по определению величин δ

i,j

и С

i,j

. Результаты этих операций

являются двоичными числами; над ними уже можно производить арифмети-

ческие и логические операции.

Число

∑

−=

jii

)xx(CR, где n – число сравниваемых объектов

(1≤R

≤n), называется рангом i-го объекта. Отсюда происходит специальное

название для данного типа порядковых шкал – ранговые. Если имеет место

квазипорядок, то часть наблюдений может совпадать (в статистике такая

группа наблюдений называется связкой) и все члены связки получают одина-

ковый (старший для них) ранг. Когда это неудобно, прибегают либо к при-

своению ранга, среднего для данной связки (мидранга), либо присваивают

ранги от младшего до старшего случайным образом.

С числами δ

i,j

и С

i,j

можно выполнять и другие необходимые операции.

Кроме нахождения частот и мод (как и для номинальной шкалы), появляется

возможность определить выборочную медиану (т.е. наблюдение с рангом

,ближайшим к числу n/2); можно разбить всю выборку на части в любой

пропорции, находя выборочные квантили любого уровня р, 0 < р < 1 (т.е. на-

блюдения с рангом R

, ближайшим к величине пр); можно определить коэф-

фициенты ранговой корреляции между двумя сериями порядковых наблю-

дений (r

Спирмэна, τ Кендалла); строить другие статистические процедуры.

Подчеркнем еще раз, что даже в тех случаях, когда состояния, которые

допускают только порядковые сравнения, в эксперименте измеряются через

величины, связанные с ними косвенно, но фиксируемые в числовых шкалах,

эти измерения все равно остаются измерениями в порядковой шкале.

В качестве примера рассматривается испытание умственных способ-

ностей, при котором измеряется время, затрачиваемое испытуемым на реше-

ние тестовой задачи. В таких экспериментах время хотя и измеряется в чи-

словой шкале, но как мера интеллекта принадлежит порядковой шкале.

Выше мы не без умысла к названию порядковой шкалы присоединяли

слова «в строгом смысле». Суть состоит в том, что порядковые в строгом

смысле шкалы определяются только для заданного набора сравниваемых объ-

ектов, у этих шкал нет общепринятого, а тем более абсолютного стандарта.

Поэтому при определенных условиях правомерно выражение «первый в мире,

второй в Европе» – просто чемпион мира занял второе место на всеевропей-

ских соревнованиях.

Модифицированные порядковые шкалы. По-видимому, опыт рабо-

ты с сильными числовыми шкалами и желание уменьшить относительность

порядковых шкал, придать им хотя бы внешнюю независимость от измеряе-

мых величин побуждают исследователей к различным модификациям, при-

дающим порядковым шкалам некоторое (чаще всего кажущееся) усиление.

Другая важная причина попыток усиления шкалы состоит в том, что многие

измеряемые в порядковых (принципиально дискретных) шкалах величины

имеют действительный или мыслимый непрерывный характер: сила ветра или

землетрясения, твердость вещества, глубина и прочность знаний, овладение

навыками и т.п. Сама возможность введения между любыми двумя шкальными

значениями третьего способствует тому, чтобы попытаться усилить шкалу.

Все это вместе взятое привело к появлению и использованию на прак-

тике ряда порядковых шкал, но не в таком «строгом смысле», как те, о кото-

рых мы говорили выше. При этом иногда с полученными данными начинают

обращаться как с числами, даже если произведенная модификация не выво-

дит шкалу из класса порядковых. Это сопряжено с ошибками и неправильны-

ми решениями. Рассмотрим некоторые из известных модификаций.

Шкала твердости по Моосу. Из двух минералов тверже тот, который

оставляет на другом царапины или вмятины при достаточно сильном сопри-

косновении. Отношение «А тверже В» – типичное отношение порядка. В 1811 г.

немецкий минералог Ф. Моос предложил установить стандартную шкалу

твердости, постулируя только десять ее градаций. За эталоны приняты сле-

дующие минералы с возрастающей твердостью: 1 – тальк, 2 – гипс, 3 – каль-

ций, 4 – флюорит, 5 – апатит, 6 – ортоклаз, 7 – кварц, 8 – топаз, 9 – корунд,

10 – алмаз. Шкала Мооса устанавливает искусственно квазипорядок, так как

промежуточных единиц градаций твердости эта шкала не имеет. Градации

твердости все равно не носят числового характера: нельзя говорить ни что

алмаз в два раза тверже апатита, ни что разница в твердостях флюорита и

гипса такая же, как у корунда и кварца; измерения твердости методом цара-

пания не дают оснований для оправдания таких утверждений.

Шкала силы ветра по Бофорту. В 1806 г. английский гидрограф и

картограф адмирал Ф. Бофорт предложил балльную шкалу силы ветра, опре-

деляя ее по характеру волнения моря: 0 – штиль (безветрие), 4 – умеренный

ветер, 6 – сильный ветер, 10 – шторм (буря), 12 – ураган. Кроме штиля, града-

ции силы ветра имеют условный, качественный характер.

Шкала магнитуд землетрясений по Рихтеру. В 1935 г. американ-

ский сейсмолог Ч. Рихтер предложил 12-балльную шкалу для оценки энергии

сейсмических волн в зависимости от последствий прохождения их по данной

территории. Затем он развил метод оценки силы землетрясения в эпицентре

по его магнитуде на поверхности земли и глубине очага.

Балльные шкалы оценки знаний учащихся. Слушая ответы учащихся

или сравнивая их письменные работы, опытный преподаватель может обна-

ружить разницу между ними и установить, чьи ответы лучше; это типичное от-

ношение порядка. Методом сравнения можно определить, кто в классе лучше

других знает данный предмет; сложнее, но иногда возможно (это зависит от со-

става класса) определить лучшего ученика в классе. Сравнение старшеклассника

с младшеклассником по степени овладения знаниями проблематично.

Потребность общества в официальном определении степени квалифи-

цированности проходящих обучение независимо от того, где, когда и как они

получают образование, способствовала введению общепринятых шкал для

оценивания знаний учащихся в виде баллов (такие шкалы введены повсеме-

стно). Все испытывают, в том числе и на собственном опыте, неточность,

приблизительность этой шкалы. Одна из попыток «улучшить» шкалу баллов

состоит в увеличении числа градаций. В наших школах принята 5-балльная, в

вузах – 2-балльная (для зачетов) и 4-балльная (для экзаменов) системы оце-

нок, в некоторых европейских странах – 10-балльная, а в англоязычных стра-

нах – 100-балльная система. Это не спасает положения, и преподаватели не-

официально («для себя») вводят дополнительные градации – присоединяют к

баллам плюсы, минусы, точки. Примечательно, что и при 100-балльной шкале

некоторые преподаватели используют дробные баллы. Все это происходит

потому, что не существует ни абсолютного стандарта, единого для всех лю-

дей, ни даже условного общедоступного стандарта, наподобие эталонов твер-

дости или высоты волн, и знания могут оцениваться только в порядковой

шкале. Тем не менее мало кто (не только учащиеся, но и преподаватели) по-

нимает, что балльная шкала принадлежит к классу порядковых. Дело доходит

до того, что даже в официальных вопросах, влияющих на судьбы людей, учи-

тывают среднеарифметический балл – величину, не имеющую смысла в по-

рядковой шкале! Некоторый оттенок объективности и количественности

балльной шкале пытаются придать директивным определением того, каким

требованиям должен удовлетворять учащийся, чтобы иметь право на тот или

иной балл, т.е. ввести независимые стандарты. Однако преподаватели неиз-

бежно по-разному понимают и выполняют инструкции, и оценки все равно

получаются относительными: известно, что уровень знаний отличников раз-

ных школ или вузов заметно различается. Именно поэтому в ответственных

случаях устраивают не конкурсы документов об успеваемости, а конкурсы

самих претендентов, т.е. возвращаются к порядковому измерению, непосред-

ственному сравнению обладателей знаний.

Шкалы интервалов. Если упорядочивание объектов можно выпол-

нить настолько точно, что известны расстояния между любыми двумя из них,

то измерение окажется заметно сильнее, чем в шкале порядка. Естественно

выражать все расстояния в единицах, хотя и произвольных, но одинаковых по

всей длине шкалы. Это означает, что объективно равные интервалы измеря-

ются одинаковыми по длине отрезками шкалы, где бы они на ней ни распола-

гались. Следствием такой равномерности шкал этого класса является незави-

симость отношения двух интервалов от того, в какой из шкал эти интервалы

измерены (т.е. какова единица длины интервала и какое значение принято за

начало отсчета).

Сказанное можно выразить вполне формализованно. Пусть М – мно-

жество совершенно упорядоченных элементов, для каждой пары с, d которых

задано вещественное число ρ(с, d), удовлетворяющее следующим условиям:

(1) если с < d, то ρ(с, d) >0;

(2) если с Є М и r – вещественное число, то найдутся такие d, е Є M,

что ρ(с, d) = r, ρ(с, е)= –r;

(3) для любых (с, d, е) Є М верно равенство ρ(с, d) + ρ(d, е) = ρ(с, е).

Множество М с таким бинарным отношением назовем интервальной

шкалой. В шкале интервалов можно ввести систему координат. Выберем для

этого любую пару точек (репер) c,d Є M; точка с играет роль начала коорди-

нат, а интервал (с, d) – роль единичного интервала. Каждой точке е Є М по-

ставим в соответствие координату x

= ρ(с, е)/ ρ(с, d). Тогда точка с будет

иметь координату 0, а точка d – координату 1.

Если ввести в М другую систему координат, построенную на репере с

, то координаты х

и x

точки е в этих двух системах координат будут связаны

линейным соотношением х

= ах

+ b, где a и b – очевидные обозначения. Не-

смотря на то, что координата х

и разности (х

– х

) меняются при смене репера,

для любых e, f, g, h Є M отношение интервалов не зависит от выбора репера.

Итак, интервальные шкалы могут иметь произвольные начала отсчета

и единицы измерения, что можно выразить словами: «шкала интервалов

единственна с точностью до линейных преобразований».

Примерами величин, которые по физической природе либо не имеют

абсолютного нуля, либо допускают свободу выбора в установлении начала

отсчета и поэтому измеряются в интервальных шкалах, являются температу-

ра, время, высота местности.

Начало летоисчисления у христиан установлено от рождества Христо-

ва, а у мусульман на 622 г. позднее – от переезда Мухаммеда в Медину; еди-

ницы летоисчисления привязаны к относительным перемещениям Солнца и

Луны, но в астрономии существуют целых шесть разных определений года.

Высоту принято отсчитывать от уровня моря, но это привело к тому, что

большая часть территории Голландии имеет... отрицательную высоту, так как

расположена ниже уровня моря.

Несмотря на произвольность начала отсчета, в обыденной жизни коор-

динаты интервальной шкалы иногда абсолютизируются (вспомните, как много эмо-

ций и реальных событий мы связываем с Новым годом, началом нового века, и т.д.).

Название «шкала интервалов» подчеркивает, что в этой шкале только

интервалы имеют смысл настоящих чисел и только над интервалами следует

выполнять арифметические операции: если произвести арифметические опе-

рации над самими отсчетами по шкале, забыв об их относительности, то име-

ется риск получить бессмысленные результаты. Например, если сказать, что

температура воды увеличилась в два раза при ее нагреве от 9 до 18° по шкале

Цельсия, то для тех, кто привык пользоваться шкалой Фаренгейта, это будет

звучать весьма странно, так как в этой шкале температура воды в том же опы-

те изменится от 48,2 до 64,4.

Подобно тому как определение значения символа Кронекера является

единственной допустимой операцией над наблюдениями в номинальной шка-

ле, а вычисление ранга наблюдения – в порядковой шкале, в интервальной

шкале единственной новой допустимой операцией над наблюдениями являет-

ся определение интервала между ними. Над интервалами же можно выпол-

нять любые арифметические операции, а вместе с ними использовать подхо-

дящие способы статистической и иной обработки данных. Например, цен-

тральные моменты (в том числе дисперсия) имеют объективный физический

смысл, а начальные моменты (в том числе среднее значение) являются отно-

сительными наряду с началом отсчета. Поэтому понятие относительной по-

грешности (коэффициента вариации, т.е. отношения стандартного отклонения

к математическому ожиданию) не имеет смысла для интервальной шкалы.

Это не означает, что вообще нельзя суммировать показания в шкале интерва-

лов, например, вычислять выборочное среднее

∑

. Однако с такой ве-

личиной нужно обращаться так же, как и с другими исходными на-

блюдениями – она остается интервальной величиной и приобретает числовой

смысл только в процессе определения интервалов. Поэтому выборочная дис-

персия имеет объективный смысл, хотя и определяется по формуле

)( xXS −= , дело в том, что (X –

) является интервалом.

Шкалы отношений. Пусть наблюдаемые величины удовлетворяют не

только аксиомам 4° и 5°, но и аксиомам аддитивности:

6°. Если А = Р и В > 0, то А + В > Р.

7°. А + В = В + А.

8°. Если A = P u B = Q, mo A + B = P + Q.

9°. (A + B) + C = A + (B + С).

Это существенное усиление шкалы: измерения в такой шкале являют-

ся «полноправными» числами, с ними можно выполнять любые ариф-

метические действия, так как вычитание, умножение и деление – лишь част-

ные случаи сложения. Введенная таким образом шкала называется шкалой

отношений. Этот класс шкал обладает следующей особенностью: отношение

двух наблюдаемых значений измеряемой величины не зависит от того, в ка-

кой из таких шкал произведены измерения: х

/х

= у

/у

. Этому требованию

удовлетворяет соотношение вида у = ах (а ≠ 0). Таким образом, величины,

измеряемые в шкале отношений, имеют естественный, абсолютный нуль, хо-

тя остается свобода в выборе единиц. В самом деле, при наличии абсо-

лютного нуля свобода в выборе начала отсчета исчезает и в формуле связи

между разными системами координат, выведенной для интервальных шкал,

второй член равен нулю (так как ρ(с, с

) = ρ(с, с) = 0), откуда и следует y = ах.

Примерами величин, природа которых соответствует шкале отноше-

ний, являются длина, вес, электрическое сопротивление, деньги.

Шкалы разностей. К числу шкал, единственных с точностью до ли-

нейных преобразований, относятся шкала интервалов (у = ах + b, а > 0 и b

произвольно) и шкала отношений (у = ах, а > 0 – преобразование растяже-

ния). Рассмотрим особенности шкал, инвариантных к сдвигу: у = х + b.

Повторно применяя сдвиг к y(z = у + b = х + 2b), затем к z и т.д., обна-

руживаем, что в такой шкале значение не изменяется при любом числе сдвигов:

у = х + nb, п = 0, 1, 2, … Постоянная b является характерным параметром шкалы

и называется ее периодом. Полученную шкалу будем называть шкалой разно-

стей (иногда ее также называют циклической или периодической). В таких шка-

лах измеряется направление из одной точки (шкала компаса, роза ветров и т.д.),

время суток (циферблат часов), фаза колебаний (в градусах или радианах).

Циклические шкалы являются частным случаем интервальных шкал.

Однако соглашение о хотя и произвольном, но едином для нас начале отсчета

шкалы позволяет использовать показания в этой шкале как числа, применять

к ним арифметические действия (до тех пор, пока кто-нибудь не забудет об

условности нуля, например при переходе на летнее время или обратно, пере-

сечении линии смены дат и т.д.).

Абсолютная шкала. Рассмотрим такую шкалу, которая имеет и абсо-

лютный нуль, и абсолютную единицу. Эта шкала не единственна с точностью

до какого-либо преобразования, а просто единственна, уникальна. Именно та-

кими качествами обладает числовая ось, которую естественно назвать абсо-

лютной шкалой. Важной особенностью абсолютной шкалы по сравнению со

всеми остальными является отвлеченность (безразмерность) и абсолютность

ее единицы. Указанная особенность позволяет производить над показаниями

абсолютной шкалы такие операции, которые недопустимы для показаний

других шкал – употреблять эти показания в качестве показателя степени и ар-

гумента логарифма. Числовая ось используется как измерительная шкала в

явной форме при счете предметов, а как вспомогательное средство присутст-

вует во всех остальных шкалах. Внутренние свойства числовой оси, при всей

кажущейся ее простоте, оказываются чрезвычайно разнообразными, и теория

чисел до сих пор не исчерпала их до конца. А некоторые безразмерные чи-

словые отношения, обнаруживаемые в природе, вызывают восхищение и

изумление (явления резонанса; гармонические отношения размеров, звуков;

законы теории подобия и размерности; квантование энергии элементарных

частиц и т.п.).

Согласование шкалы с природой наблюдений. В табл. 3.1 приведе-

ны основные сведения о всех рассмотренных в данном параграфе измери-

тельных шкалах. Можно сказать, что чем сильнее шкала, в которой произво-

дятся измерения, тем больше сведений об изучаемом объекте, явлении, про-

цессе дают измерения. Поэтому так естественно стремление каждого иссле-

дователя провести измерения в возможно более сильной шкале. Однако важ-

но иметь в виду, что выбор шкалы измерения должен ориентироваться на

объективные отношения, которым подчинена наблюдаемая величина, и луч-

ше всего производить измерения в той шкале, которая максимально согласо-

вана с этими отношениями. Можно измерять и в шкале, более слабой, чем со-

гласованная (это приведет к потере части полезной информации), но приме-

нять более сильную шкалу опасно: полученные данные на самом деле не бу-

дут иметь той силы, на которую ориентируется их обработка.

Аналогичная ситуация имеет место и после того, как проведены изме-

рения. У исследователя могут быть причины, побуждающие его преобразо-

вать протокол наблюдений, переведя их из одной шкалы в другую. Если при

этом данные переводятся в более слабую шкалу, то обычно исследователь от-

дает себе отчет в том, что в результате происходит некоторое ухудшение ка-

чества выводов. Иногда же исследователи усиливают шкалы; типичный слу-

чай – «оцифровка» качественных шкал: классам в номинальной или порядко-

вой шкале присваиваются номера, с которыми дальше «работают» как с чис-

лами. Если в этой обработке не выходят за пределы допустимых преобразо-

ваний, то «оцифровка» – это просто перекодировка в более удобную (напри-

мер, для ЭВМ) форму. Однако применение других операций сопряжено с за-

блуждениями и ошибками, так как свойства, навязываемые подобным обра-

зом, на самом деле не имеют места.

О других шкалах. Обширный опыт наблюдений в разнообразных об-

ластях науки и практики нередко приводил к целесообразности использова-

ния шкал, отличающихся от рассмотренных выше. Обсудим наиболее важные

и интересные из них.

Очень распространены измерения непрерывных величин, возможные

значения которых образуют континуум. По ряду причин результат наблюде-

ния такой величины всегда фиксируется с «округлением», с конечной точно-

стью, т.е. так, как будто наблюдаемая величина дискретна. Иногда эта точ-

ность связана лишь с выбором числа разрядов в записи наблюдения, и ее

можно увеличить, просто наращивая число значащих цифр (что часто дела-

ется в компьютерных расчетах). Однако в научных и технических измерениях

эта точность ограничивается не тем, на сколько еще частей можно разделить

каждое деление шкалы, а классом точности самого прибора.