Павлов С.Н. Теория систем и системный анализ

Подождите немного. Документ загружается.

Большинство из направлений математики не содержит средств поста-

новки задачи и доказательства адекватности модели. Последняя доказывается

экспериментально, но это дорого и не всегда бесспорно и реализуемо.

Математическое же программирование содержит средства постановки

задачи и расширяет возможности доказательства адекватности моделей. Идея

эта была предложена лауреатом государственной и нобелевской премий Л.В.

Канторовичем для решения экономических задач.

Привлекательность методов математического программирования для

решения слабоформализованных задач (планирования, распределения работ и

ресурсов, загрузки оборудования и т.д.) объясняется рядом особенностей, от-

личающих эти методы от методов классической математики.

Рассмотрим упрощенный пример. Предположим, что в трех цехах (Ц1,

Ц2, Ц3) изготавливаются два вида изделий И1 и И2. Известны загрузка каж-

дого цеха а

(оцениваемая в данном случае в процентах) при изготовлении

каждого из изделий и прибыль (цена, объем реализуемой продукции в руб-

лях) с

от реализации изделий. Требуется определить, сколько изделий каждо-

го вида следует производить при возможно более полной загрузке цехов, что-

бы получить за рассматриваемый плановый период максимальную прибыль

или максимальный объем реализуемой продукции. Такую ситуацию удобно

отобразить таблицей, которая подсказывает характерную для задач математи-

ческого программирования форму представления задачи, т.е. целевую функ-

цию (в данном случае определяющую максимальную прибыль или объем

реализуемой продукции)

∑

→⋅+⋅==

2iii

maxx320x240xcF

и ряд ограничений (в данном случае диктуется возможностями цехов, т.е. их

предельной 100%-ной загрузки)

+4x

≤100;

1,6x

+6,4x

≤100, или

∑

jij

Ba ∑;

2,9x

+5,8x

≤100.

Цех (участок) Цена изделия

Изделия

Ц1 Ц2 Ц3

И1 5% 1,6% 2,9% 240 руб

И2 4% 6,4% 5,8% 320 руб

максимальная за-

грузка

100% 100% 100%

В общем случае может быть несколько групп ограничений (по имею-

щимся материалам разной группы, себестоимости, заработной платы рабочих

и т.д.).

Ограничения определяют область допустимых решений. Здесь можно

использовать наиболее простой метод решения задачи. В случае большого

числа разнородных ограничений используются специальные методы (сим-

плекс-метод, пакеты прикладных задач).

Основные особенности математического программирования:

− Введение целевой функции и ограничений и ориентация на их фор-

мирование являются фактически некоторыми средствами постановки задачи.

− При использовании методов математического программирования

появляется возможность объединения в единой модели разнородных крите-

риев (разных размерностей, предельных значений).

− Модель математического программирования допускает выход на

границу области определения переменных.

− Позволяет получить пошаговый алгоритм решения задачи.

2. Статистические представления. Сформировались как самостоя-

тельное научное направление в середине XX века. Основу их составляет ото-

бражение явлений и процессов с помощью случайных (

стохастических) со-

бытий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятност-

ными (

стохастическими) характеристиками и статистическими закономер-

ностями.

Термин «стохастические» уточняет понятие «случайный», которое в

обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления собы-

тий, с появлением не только повторяющихся и подчи-

няющихся каким-то закономерностям, но и единичных со-

бытий; процессы же, отображаемые статистическими за-

кономерностями, должны быть жестко связаны с заранее

заданными, определенными причинами, а «случайность»

означает, что они могут появиться или не появиться при

наличии заданного комплекса причин. Статистические

отображения системы в общем случае можно представить как бы в виде

«размытой» точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую

переводит систему оператор Ф[Sx] (рис. 2.3). «Размытую» точку следует по-

нимать как некоторую область, характеризующую движение системы (ее по-

ведение); при этом границы области заданы с некоторой вероятностью Р

(«размыты») и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, можно получить

срез по линии аb, смысл которого – воздействие данного параметра на пове-

дение системы, что можно описать статистическим распределением по этому

параметру. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т.д. кар-

тины статистического распределения.

Ф[Sx]

Рис. 2.3

На базе статистических представлений развивается ряд математиче-

ских теорий:

математическая статистика, объединяющая различные мето-

ды статистического анализа (регрессионный, дисперсионный, корреляцион-

ный, факторный и т.д.);

теория статистических испытаний, основой кото-

рой является метод Монте-Карло, а развитием – теория статистического ими-

тационного моделирования; теория выдвижения и проверки статистических

гипотез, возникшая для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов

по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что при

применении статистических представлений процесс постановки задачи как

бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не

выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (собы-

тиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выбо-

рочного исследования (исследования репрезентативной выборки) получать

статистические закономерности и распространять их на поведение системы в

целом.

Однако не всегда можно получить статистические закономерности, не

всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана право-

мерность применения статистических закономерностей. В таких случаях це-

лесообразно обратиться к методам, объединенным под общим названием –

методы дискретной математики, на которой базируются теоретико-

множественные, логические, лингвистические или графические методы.

3. Теоретико-множественные представления. Теоретико-множест-

венные представления базируются на понятиях множество, элементы множе-

ства, отношения на множествах, предложены Г. Кантором.

Сложную систему можно отобразить в виде совокупности разнород-

ных множеств и отношений между ними (рис. 2.4). Множества могут зада-

ваться двумя способами: перечислением элементов

, … , a

} и названием характеристического свойства

(именем, отражающим это свойство, например, множест-

во А или множество планет солнечной системы, множе-

ство рабочих данного завода и т.д.). В основе большин-

ства теоретико-множественных преобразований лежит

переход от одного способа задания множества к другому.

В множестве могут быть выделены подмножества (см.

определение системы).

Из двух и более множеств или подмножеств можно, установив отно-

шения между их элементами, сформировать новое множество, состоящее из

элементов исходных множеств (при таком преобразовании у элементов ново-

го множества как бы появляется иной смысл по сравнению с исходным). Тео-

ретико-множественные представления допускают введение любых отноше-

ний. При конкретизации применяемых отношений и правил их использования

а в

Ф[Sx]

Рис. 2.4

можно получить одну из алгебр логики, один из формальных языков матема-

тической лингвистики, создать язык моделирования сложных систем, кото-

рый затем, получив соответствующее название, может развиваться как само-

стоятельное научное направление.

Благодаря тому что при теоретико-множественных представлениях

систем и процессов в них можно вводить любые отношения, эти представле-

ния:

а) служат хорошим языком, с помощью которого облегчается взаимо-

понимание между представителями различных областей знаний;

б) могут являться основой для возникновения новых научных направ-

лений для создания языков моделирования.

Теоретико-множественные представления являются основой матема-

тической теории систем М. Месаровича. Однако свобода введения любых от-

ношений приводит к тому, что в создаваемых языках моделирования трудно

ввести правила, закономерности, используя которые формально, можно полу-

чить новые результаты, адекватные реальным моделируемым объектам и

процессам. В общем же случае в языке могут появляться ситуации парадок-

сов или антиномий, что приводит к необходимости ограничения разнообразия

отношений в создаваемых языках.

Конкретная система при первоначальном описании может быть отраже-

на теоретико-множественной формулой, включающей наборы различных эле-

ментов, отношений между ними, которые также могут быть разделены на под-

множества, свойства элементов и свойства отношений. Далее могут быть учте-

ны множества входных воздействий и выходных результатов. Формула может

измениться и отразить взаимоотношения между группами множеств и т.д.

4. Математическая логика. Логические представления переводят ре-

альную систему и отношения в ней на язык одой из алгебр логики (двузнач-

ной, многозначной), основанных на применении алгебраических методов для

выражения законов формальной логики (рис. 2.5). Наибольшее распростране-

ние получила бинарная алгебра логики Буля (булева алгебра).

Алгебра логики оперируется понятиями: высказывание, предикат, ло-

гические операции (логические функции, кванторы). В ней

доказываются теоремы, приобретающие затем силу логи-

ческих законов, применяя которые, можно преобразовать

систему из одного описания в другое с целью ее совершен-

ствования, например, получить более простую структуру

(схему), содержащую меньшее число состояний, элемен-

тов, но осуществляющую требуемые функции. Теоремы

доказываются и используются в рамках формального логи-

ческого базиса, который определяется совокупностью спе-

циальных правил.

Логические методы представления систем относятся к детерминист-

ским, хотя возможно и их расширение в сторону вероятностных оценок.

Ф[Sx]

Рис. 2.5

На базе математической логики созданы и развиваются теории логиче-

ского анализа и синтеза, теория автоматов. На основе логических представле-

ний первоначально начинали развиваться некоторые разделы теории фор-

мальных языков.

В силу ограниченности смысловыражающих возможностей бинарной

алгебры логики в последнее время имеются попытки создания многозначных

алгебр логики с соответствующими логическими базисами и теоремами.

Применяются логические методы при исследовании новых структур

систем разнообразной природы (технических объектов, текстов и т.д.), в ко-

торых характер взаимодействия между элементами еще не на столько ясен,

чтобы было возможно их представление аналитическими методами, а стати-

стические исследования либо затруднены, либо не привели к выявлению ус-

тойчивых закономерностей. В то же время следует иметь в виду, что с помо-

щью логических алгоритмов можно описывать не любые отношения, а лишь

те, которые предусмотрены законами алгебры логики и подчиняются требо-

ваниям логического базиса.

Логические представления нашли широкое практическое применение

при исследовании и разработке автоматов, автоматических систем контроля, а

также при решении задач распознавания образов и в экспертных системах.

Логические представления лежат в основе теории алгоритмов. На их базе раз-

виваются прикладные разделы теории формальных языков. В то же время

смысловыражающие возможности логических методов ограничены базисом и

функциями алгебры логики и не всегда позволяют адекватно отобразить ре-

альную проблемную ситуацию.

5. Лингвистические, семиотические представления. Лингвистиче-

ские

представления (рис. 2.6) базируются на понятиях тезауруса Т (множест-

во смысловыражающих элементов языка с заданными смы-

словыми отношениями; тезаурус характеризует структуру

языка),

грамматики G (правил образования смысловыра-

жающих элементов разных уровней тезауруса),

семантики

(смыслового содержания формируемых фраз, предложений и

других смысловыражающих элементов) и

прагматики (смыс-

ла для данной задачи, цели).

Семиотические представления базируются на понятиях: знак, знаковая

система, знаковая ситуация.

Семиотика возникла как наука о знаках в широ-

ком смысле. Однако наиболее широкое практическое применение нашло на-

правление лингвистической семиотики, которое, наряду с основными поня-

тиями семиотики (знак, знаковая система, треугольник Фреге и т.д.) широко

пользуется некоторыми понятиями математической лингвистики (тезаурус,

грамматика и т.д.). С теоретической точки зрения, границу между лингвисти-

ческими и семиотическими представлениями при разработке языков модели-

рования можно определить характером правил грамматики (если правила не

охватывают классификацией правил вывода формальных грамматик Н. Хом-

Ф[Sx]

ТG

Рис. 2.6

ского, то модель удобнее отнести к семиотической и применять принципы ее

анализа, предлагаемые семиотикой). Для практических приложений модели

лингвистических и семиотических представлений можно рассматривать как

один класс методов формализованного представления систем.

Лингвистические и семиотические представления возникли и разви-

ваются в связи с потребностями анализа текстов и языков. Однако в послед-

нее время эти представления начинают широко применяться для отображения

и анализа процессов в сложных системах в тех случаях, когда не удается при-

менить сразу аналитические, статистические представления или методы фор-

мальной логики.

В частности, такие представления являются удобным аппаратом для

первого этапа постепенной формализации задач принятия решений в плохо-

формализуемых ситуациях. На их основе разрабатывают языки моделирова-

ния, автоматизации проектирования и т.д.

Что касается недостатков методов, то при усложнении языка модели-

рования, при применении правил произвольных грамматик Хомского или

правил лингвистической семиотики трудно гарантировать правильность по-

лучаемых результатов, возникают проблемы алгоритмической разрешимости,

возможно появление парадоксов.

6. Графические представления. К графическим представлениям (рис.

2.7) отнесены любые графики (графики Ганта, диаграммы, гистограммы и т.д.)

и возникшие на основе графических отображений теории

(теория графов, теория сетевого планирования и управления и

т.д.), т.е. все то, что позволяет наглядно представить процес-

сы, происходящие в системах, и облегчить таким образом их

анализ для человека (лица, принимающего решения).

Графические представления являются удобным сред-

ством исследования структур и процессов в сложных систе-

мах и решения различного рода организационных вопросов в

информационно-управляющих комплексах, в которых необходимо взаимо-

действие человека и технических устройств.

Широкое применение на практике получила теория сетевого планиро-

вания и управления.

2.3 Методы, направленные на активизацию использования

интуиции и опыта специалистов

К рассматриваемым ниже подходам и методам специалисты прибега-

ют в тех случаях, когда не могут сразу описать рассматриваемую проблемную

ситуацию аналитическими зависимостями или выбрать тот или иной из рас-

смотренных выше методов принятия решения.

Методы типа «мозговой атаки» или коллективной генерации

идей.

Концепция мозгового штурма и мозговой атаки получила широкое

Ф[Sx]

Рис. 2.7

распространение с начала 50-х годов. Мозговая атака основана на гипотезе,

что среди большого числа идей имеется, по меньшей мере, несколько хороших,

полезных для решения проблемы, которые нужно выявить. Методы этого типа

известны также под

названием коллективной генерации идей, конференций идей,

метода обмена мнениями.

Обычно при проведении мозговой атаки или сессии

стараются выполнить определенные правила, суть которых сводится к тому,

чтобы обеспечить как можно большую свободу мышления участников и выска-

зывания ими новых идей. Для этого рекомендуется сформулировать проблему в

основных терминах, выделив центральный пункт обсуждения, высказывать и

подхватывать любые идеи, даже если они вначале кажутся сомнительными или

абсурдными, не допускать критики, не прекращать обсуждать ни одну идею,

высказывать как можно больше идей (желательно нетривиальных), стараться

создать как бы цепные реакции идей, оказывать поддержку и поощрения, необ-

ходимые для того, чтобы освободить участников от скованности.

В зависимости от принятых правил и жесткости их выполнения различают

прямую мозговую атаку, метод обмена мнениями, метод типа комиссий, судов.

Методы типа «сценариев». Методы подготовки и согласования пред-

ставлений о проблеме или анализируемом объекте, изложенных в письмен-

ном виде, получили название

сценариев. Это любой документ, содержащий

анализ рассматриваемой проблемы и предложения по ее решению или по раз-

витию системы, независимо от того, в какой форме он представлен.

Как правило, на практике предложения для подготовки подобных до-

кументов пишутся экспертами вначале индивидуально, а затем формируется

согласованный текст.

Сценарий предусматривает не только содержательные суждения, по-

могающие не упустить детали, которые невозможно учесть в формальной мо-

дели (в этом собственно и заключается основная роль сценариев), но и со-

держит, как правило, результаты количественного технико-экономического

или статистического анализа с предварительными выводами. Роль специали-

стов по системному анализу при подготовке сценария – помочь привлекае-

мым ведущим специалистам соответствующих областей знаний выявить об-

щие закономерности развития системы; проанализировать внешние и внут-

ренние факторы, влияющие на ее развитие и формулирование целей; провес-

ти анализ высказываний ведущих специалистов. В настоящее время в сцена-

рий вводят и количественные параметры и устанавливаются их взаимосвязи,

предлагаются методики целевого управления подготовкой сценария.

Сценарий позволяет создать предварительное представление о про-

блеме (системе) в ситуациях, которые не удается сразу отобразить формаль-

ной моделью. Однако сценарий – это все тот же текст, да еще с последствия-

ми (синонимия, парадоксы, отношения) неоднозначного толкования. Поэтому

это всего лишь основа для дальнейшей формализации.

Методы структуризации. Структурные представления разного рода

позволяют разделить сложную проблему с большой неопределенностью на

более мелкие, лучше поддающиеся исследованию, что само по себе можно

рассматривать как некоторый метод исследования, именуемый иногда сис-

темно-структурным. Виды структур, получаемые путем расчленения системы

во времени (сетевые структуры) или в пространстве (иерархические структу-

ры разного рода, матричные структуры) были рассмотрены в 1.3. Методы

структуризации являются основой любой методики системного анализа, лю-

бого сложного алгоритма организации проектирования или принятия управ-

ленческого решения.

Методы типа «дерева целей». Термин «дерево» подразумевает ис-

пользование иерархической структуры, получаемой путем расчленения об-

щей цели на подцели, а их, в свою очередь, на более детальные составляю-

щие, т.е. на подцели нижележащих уровней, направления, проблемы, а с не-

которого уровня − функции.

При использовании метода «дерево целей» в качестве средства приня-

тия решений часто применяют термин «дерево решений». При применении

метода для выявления и уточнения функций системы управления говорят о

«дереве целей и функций». При структуризации тематики научно-

исследовательских организаций пользуются термином «дерево проблемы», а

при разработке прогнозов – «дерево направлений развития (прогнозирования

развития)» или «прогнозный граф».

Методы экспертных оценок. Основные положения методов эксперт-

ных оценок заключаются в следующем:

проблемы формирования экспертных групп, включая требования к

экспертам, размеры группы, вопросы тренировки экспертов, оценки их ком-

петентности;

формы экспертного опроса (разного рода анкетирования, интер-

вью, смешанные формы опроса) и методики организации опроса (в т.ч. мето-

дики анкетирования, мозговая атака, деловые игры и т.д.);

подходы к оцениванию (ранжирование, нормирование, различные

виды упорядочения в т.ч. методы предпочтений, попарных сравнений и т.д.);

методы обработки экспертных оценок;

способы определения согласованности мнений экспертов, досто-

верность экспертных оценок (в т.ч. статистические методы оценки дисперсии,

оценки вероятности для заданного диапазона изменений оценок, оценка ран-

говой корреляции Кендалла и т.д.).

При обработке индивидуальных экспертных оценок применяется

обычно метод согласования оценок, который имеет много вариантов, разли-

чающихся способами, при помощи которых получают обобщенную оценку.

Предположим, например, что эксперты оценивают альтернативы в чи-

словых шкалах. Пусть q

) – оценка i-той альтернативы j-том экспертом

(i=1,m, j=1, n). Оценки q

), q

), … , q

) можно рассматривать как «из-

мерения» искомой «истинной характеристики» q (x

), считая отклонения q

)

- q (x

) случайными величинами. В качестве приближения можно использо-

вать некоторую статистику q (x

)=q( q

), q

), … , q

)); обычно это вы-

борочное среднее q (x

)=(1/n)∑ q

), хотя можно использовать и другие ста-

тистики.

Сложнее обстоит дело, когда альтернативы нельзя оценить сразу од-

ним числом и экспертам предлагается дать оценки отдельно по каждому по-

казателю. Например, оценка товара по признакам экономическим, эстетиче-

ским, функциональным и т.д. В этом случае имеем набор чисел q

), где к −

номер признака. Кроме этих чисел, экспертов просят оценить степень важно-

сти λ

каждого показателя. Тогда q(x

)=(1/n)ΣΣ λ

Следующее уточнение вводят в случае неоднородности группы экс-

пертов. Естественно придать различные (а не одинаковые, равные 1/n) веса

мнениям экспертов, имеющих разную квалификацию. Определение коэффи-

циента α

компетентности j-го эксперта можно поручить самим экспертам.

Пусть каждый из них (l-й) оценивает компетентность других числами

≤α

≤1 (при этом и свою − числом α

). Усреднение дает α

=Σ(α

/Σα

). В

результате получают итоговую оценку q(x

)=ΣΣ α

В тех случаях, когда эксперты лишь упорядочивают альтернативы, т.е.

используют только порядковую шкалу, возможность арифметических опера-

ций отпадает. Тогда переходят к обработке либо относительных частот пред-

почтений альтернативы, либо рангов.

Методы типа «Дельфи». Метод «Дельфи» или метод «дельфийского

оракула» был предложен Л. Хелмером как альтернативная процедура при

проведении мозговой атаки. Однако почти одновременно «Дельфи»-

процедуры стали средством повышения объективности экспертных опросов с

использованием количественных оценок при сравнительном анализе состав-

ляющих «деревьев целей» и при разработке «сценариев». Основные средства

повышения объективности результатов при применении метода «Дельфи» -

использование обратной связи, ознакомление экспертов с результатами

предшествующего тура опроса и учет этих результатов при оценке значимо-

сти мнений экспертов. В конкретных методиках, реализующих процедуру

«Дельфи», эта идея используется в разной степени. Например, достаточно

следующих четырех этапов:

1) раздача анкет, сбор оценок, их обобщенное представление с указа-

нием разбора мнений;

2) сообщение итогов и запрос объяснений причин индивидуального

отклонения от средней или медианной оценки первой итерации;

3) сообщение всех объяснений и запрос контраргументов на них;

4) сообщение возражений и запрос новых оценок альтернатив, если

эксперт пожелает их изменить; нахождение окончательного итога.

Вся работа проводится под руководством отдельной управляющей

группы, в которую входят системный аналитик и лицо принимающее реше-

ния; анонимность экспертов сохраняется до конца работы (а по желанию и

после окончания). Метод «Дельфи» показывает на практике хорошую эффек-

тивность.

Методы организации сложных экспертиз. Дальнейшее улучшение

методов экспертных оценок проводилось в связи с необходимостью создания

методов, повышающих объективность получения оценок путем расчленения

большой неопределенности проблемы, предлагаемой эксперту для оценок, на

более мелкие, лучше поддающиеся осмыслению. В качестве простейшего из

этих методов может быть использован способ усложнения экспертной проце-

дуры, предложенны в методике ПАТТЕРН. В этой методике выделяются

группы критериев оценки и рекомендуется ввести весовые коэффициенты

критериев. Введение критериев позволяет организовать опрос экспертов бо-

лее дифференцированно, а весовые коэффициенты повышают объективность

результирующих оценок. Это первая методика системного анализа, в которой

были определены порядок, методы формирования и оценки приоритетов эле-

ментов структур целей.

Назначением, конечной целью создания системы ПАТТЕРН была под-

готовка и реализация планов обеспечения военного превосходства США над

миром.

Принципиальная структура методики ПАТТЕРН приведена на рис.2.8.

В качестве основы для формирования и оценки «дерева целей» разрабатыва-

лись «сценарии» нормативный прогноз и прогноз развития науки и техники

(изыскательный прогноз).

Сценари

Прогноз

азвития

науки и

техники

Коэффициенты

состояния и

сроков

аз

аботки

ЭВМ

Коэффициенты

взаимной

полезности

Коэффициент

относительной

важности

Дерево целей

Рис. 2.8