Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления

Подождите немного. Документ загружается.

208

Ú‡ÎÍË‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡ ÒÚÂÌÍÛ ‚ ÚÛÔËÍÂ ËÎË Ì‡ ÔÂÂÍÂÒÚÍÂ Ë ÔÓ‚Ó‡-

˜Ë‚‡ÂÚ Ì‡Á‡‰; ÔËıÓ‰ ‚ ‚Â¯ËÌÛ 9 – íÂÁÂÈ Ì‡¯ÂÎ åËÌÓÚ‡‚‡,

Ó·Û˜ÂÌËÂ Á‡ÍÓÌ˜ËÎÓÒ¸.

èÓ‚ÚÓÌÓÏÛ ÔÓËÒÍÛ Ó·Û˜ÂÌÌÓ„Ó íÂÁÂﬂ ÓÚ‚Â˜‡ÂÚ ÔÓ‰„‡Ù II.

ëÓÒÚÓﬂÌËﬂ ë

, Ç

, á

Ë û

‡Ì‡ÎÓ„Ë˜Ì˚ ë, Ç, á Ë û.

ëÚ‡ÚÂ„Ë˛ ÔÓËÒÍ‡ Ó·Û˜ÂÌÌÓ„Ó íÂÁÂﬂ ÏÓÊÌÓ ÒÙÓÏÛÎËÓ-

‚‡Ú¸ ‚ ‚Ë‰Â Ó‰ÌÓÈ Ù‡Á˚: “Ñ‚Ë„‡ÈÒﬂ ‚ Ì‡Ô‡‚ÎÂÌËﬂı, ÛÍ‡Á‡Ì-

Ì˚ı Ì‡ ÔÂÂÍÂÒÚÍ‡ı”, ÔÓ˝ÚÓÏÛ ‰Û„Ë ÔÓ‰„‡Ù‡ II ÌÂ Ú Â·Û-

˛Ú Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËÈ. ç‡ÔËÏÂ, ‰Û„‡ ë

˜ËÚ‡ÂÚÒﬂ Ú‡Í: “ÖÒÎË,

Ë‰ﬂ Ì‡ ÒÂ‚Â, Û‚Ë‰ÂÎ ÔÂÂÍÂÒÚÓÍ Ò ÔÓÏÂÚÍÓÈ Ç, ÚÓ ËÁÏÂÌË Ì‡-

Ô‡‚ÎÂÌËÂ Ì‡ ÇÓÒÚÓÍ”. é‰ÌÓ‚ÂÏÂÌÌÓ ‚ÒÂ ÔÓÈ‰ÂÌÌ˚Â ¯‡„Ë

Ó·Û˜ÂÌÌÓ„Ó íÂÁÂﬂ – ‰Îﬂ ‚ËÁÛ‡Î¸ÌÓ„Ó Ì‡·Î˛‰ÂÌËﬂ Ì‡ ˝Í‡ÌÂ

‰ËÒÔÎÂﬂ – ÔÓÏÂ˜‡˛ÚÒﬂ ÒËÏ‚ÓÎ‡ÏË “•“. èË Ó·Ì‡ÛÊÂÌËË åË-

ÌÓÚ‡‚‡ äñÄ åí ÔÂÂıÓ‰ËÚ ‚ ÒÓÒÚÓﬂÌËÂ 9 Ë Y

‰

= ëÚÓÔ. é˜Â-

‚Ë‰ÌÓ, „‡Ù ËÒ. 4.10 ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚ ÙÛÌÍˆËË Q

, Y

Ë Y

í‡Í Í‡Í ‚Â¯ËÌ‡ 9 – ‚ËÒﬂ˜‡ﬂ, ÚÓ ÂÂ ÏÓÊÌÓ ÓÚÓÊ‰ÂÒÚ‚ËÚ¸ Ò

Î˛·ÓÈ ‰Û„ÓÈ ‚Â¯ËÌÓÈ „‡Ù‡. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÔÓÒÎÂ ÏËÌËÏË-

Á‡ˆËË ˜ËÒÎ‡ ÒÓÒÚÓﬂÌËÈ, ‰Îﬂ Â‡ÎËÁ‡ˆËË ‰‚Ûı ÒÚ‡ÚÂ„ËÈ: ËÒ-

ÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÒÍÓÈ Ë ÔÓËÒÍ‡ åËÌÓÚ‡‚‡, Ó·Û˜ÂÌÌ˚Ï íÂÁÂÂÏ, ÚÂ-

·ÛÂÚÒﬂ E

min

= 4⋅n ÒÓÒÚÓﬂÌËÈ; n = 2. ç‡ ËÒ. 4.9 íÂÁÂÈ Ì‡ıÓ‰ËÚ-

Òﬂ Û ‚ıÓ‰‡ Ò ‚ÓÒÚÓ˜ÌÓÈ ÒÚÓÓÌ˚ Î‡·ËËÌÚ‡, åËÌÓÚ‡‚ ÒÔﬂ-

Ú‡ÎÒﬂ ‚ ÚÛÔËÍÂ Á‡Ô‡‰ÌÓÈ ˜‡ÒÚË Î‡·ËËÌÚ‡, ÔË˜ÂÏ Ú‡Í, ˜ÚÓ íÂ-

ÁÂ˛ ÔË¯ÎÓÒ¸ Ó·ÓÈÚË ‚ÒÂ ÍÓË‰Ó˚ Ë ÚÛÔËÍË.

íÓ˜Í‡ÏË ÓÚÏÂ˜ÂÌ ÔÛÚ¸ “ÌÂÓ·Û˜ÂÌÌÓ„Ó” íÂÁÂﬂ. èË ÔÓıÓÊ-

‰ÂÌËË Ó˜ÂÂ‰ÌÓ„Ó ÔÂÂÍÂÒÚÍ‡ íÂÁÂÈ ÒÚ‡‚ËÚ ·ÛÍ‚Û (ë, û, Ç,

á) ‚ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË ÓÚ Ì‡Ô‡‚ÎÂÌËﬂ ÔÛÚË ÔÓ ÌÓ‚ÓÏÛ ÍÓË‰ÓÛ.

í‡Í Í‡Í ÔÂÂÍÂÒÚÍË ÏÓ„ÛÚ ÔÓıÓ‰ËÚ¸Òﬂ ÌÂÓ‰ÌÓÍ‡ÚÌÓ, ÚÓ ÔÓ-

ÏÂÚÍË Ì‡ ÌËı ÏÂÌﬂ˛ÚÒﬂ ‚ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË ÓÚ ‚˚·‡ÌÌÓ„Ó ÌÓ‚Ó„Ó

Ì‡Ô‡‚ÎÂÌËﬂ. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÍÓ„‰‡ íÂÁÂÈ Ì‡È‰ÂÚ åËÌÓÚ‡‚‡,

Ì‡ ÔÂÂÍÂÒÚÍ‡ı ÓÒÚ‡ÌÛÚÒﬂ ÔÓÒÎÂ‰ÌËÂ ÔÓÒÚ‡‚ÎÂÌÌ˚Â ÒËÏ‚ÓÎ˚

ë, û, Ç ËÎË á (ÒÏ. ËÒ. 4.9). èË ÔÓ‚ÚÓÌÓÏ ÔÓËÒÍÂ

“Ó·Û˜ÂÌÌ˚È “íÂÁÂÈ ·Û‰ÂÚ ÛÍÓ‚Ó‰ÒÚ‚Ó‚‡Ú¸Òﬂ ˝ÚËÏË ÒËÏ‚ÓÎ‡ÏË

Ú‡Í, ˜ÚÓ ‚ Ì‡¯ÂÏ ÔËÏÂÂ ÓÌ ÔÓÈ‰ÂÚ ÔÓ Ú‡ÂÍÚÓËË í–ë–Ç–

ë–á–û (Ô‡‚‡ﬂ ÔÓÏÂÚÍ‡ Ì‡ ÔÂÂÍÂÒÚÍÂ ‚ÂıÌÂ„Ó „ÓËÁÓÌ-

Ú‡Î¸ÌÓ„Ó ÍÓË‰Ó‡) – á–á–ë–Ç–ë–Ç–û–å.

ä‡Í ‚Ë‰ËÏ, Ú‡ÂÍÚÓËﬂ ÓÍ‡Á‡Î‡Ò¸ ÌÂ ÓÔÚËÏ‡Î¸ÌÓÈ, ÌÓ ·ÎËÁ-

ÍÓÈ Í ÌÂÈ (ÔÓË„ÌÓË Ó‚‡Ì˚ ‚ÒÂ ÚÛÔËÍË, ËÒÍÎ˛˜ËÎÓÒ¸ Ì‡Ô‡Ò-

ÌÓÂ ·ÎÛÊ‰‡ÌËÂ ÔÓ ÒÂ‰ÌÂÏÛ ‚ÂÚËÍ‡Î¸ÌÓÏÛ ÍÓË‰ÓÛ, ÎÂ‚˚È

‚ÂÚËÍ‡Î¸Ì˚È ÍÓË‰Ó ÔÓı Ó‰ËÎÒﬂ ÚÓÎ¸ÍÓ Ì‡ Û˜‡ÒÚÍÂ ë–Ç).

ÑÎﬂ ‰‡ÌÌÓ„Ó ÔËÏÂ‡ ÓÔÚËÏ‡Î¸ÌÓÈ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ú‡ÂÍÚÓËﬂ í–ë–

Ç–ë–á–û–û–û–Ç–ë–Ç–û–å.

í‡Í Í‡Í ‚ “Ó·Û˜ÂÌËÂ” íÂÁÂﬂ ÌÂ ‚ÍÎ‡‰˚‚‡Î‡Ò¸ Í‡Í‡ﬂ-ÎË·Ó ÓÔ-

ÚËÏ‡Î¸Ì‡ﬂ ÒÚ‡ÚÂ„Ëﬂ, ÚÓ ÓÔÚËÏ‡Î¸Ì‡ﬂ Ú‡ÂÍÚÓËﬂ ‚ Î˛·ÓÏ ‚˚-

209

·‡ÌÌÓÏ Î‡·ËËÌÚÂ ÏÓÊÂÚ Â‡ÎËÁÓ‚˚‚‡Ú¸Òﬂ ÒÎÛ˜‡ÈÌÓ ÚÓÎ¸ÍÓ

ÔË ÌÂÍÓÚÓÓÏ ÏÂÒÚÂ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ åËÌÓÚ‡‚‡.

é·ÒÛÊ‰ÂÌËÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚. ç‡ ÔËÏÂÂ Â¯ÂÌËﬂ Î‡·ËËÌÚ-

ÌÓÈ Á‡‰‡˜Ë ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡Ì ÔÓÒÚÓÈ ‡Î„ÓËÚÏ ÔÓËÒÍ‡ Ë Ó·Û˜ÂÌËﬂ,

ËÌÚÂÔÂÚËÓ‚‡ÌÌ˚È Í‡Í ‡·ÓÚ‡ åí Ò ‰‚ÛÏÂÌÓÈ ÎÂÌÚÓÈ.

Ç‡ÊÌÓÂ Ó·ÒÚÓﬂÚÂÎ¸ÒÚ‚Ó, ÛÔÓÒÚË‚¯ÂÂ Á‡‰‡˜Û, Á‡ÍÎ˛˜‡ÂÚÒﬂ ‚

ÚÓÏ, ˜ÚÓ ÒÓÒÂ‰ÌËÂ Û˜‡ÒÚÍË ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ Î‡·ËËÌÚ‡ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÒÓ-

ÒÂ‰ÌËÏË ﬂ˜ÂÈÍ‡ÏË ‰‚ÛÏÂÌÓÈ ÎÂÌÚ˚ åí. êÂ¯ÂÌËÂ Î‡·ËËÌÚ-

ÌÓÈ Á‡‰‡˜Ë Ì‡ åí Ò Ó‰ÌÓÏÂÌÓÈ ÎÂÌÚÓÈ ÚÂ·ÛÂÚ ·ÓÎÂÂ ÒÚ‡ ÒÓ-

ÒÚÓﬂÌËÈ äñÄ åí, ÔË˜ÂÏ ÓÒÌÓ‚ÌÓÂ Á‡ÚÛ‰ÌÂÌËÂ Á‰ÂÒ¸ ‚ÓÁÌË-

Í‡ÂÚ ÓÚÚÓ„Ó, ˜ÚÓ ÒÓÒÂ‰ÌËÂ Û˜‡ÒÚÍË Î‡·ËËÌÚ‡ ÌÂ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÒÓ-

ÒÂ‰ÌËÏË Ì‡ Ó‰ÌÓÏÂÌÓÈ ÎÂÌÚÂ.

ÑÎﬂ Î‡·ËËÌÚ‡ Ò ÔﬂÏÓÛ„ÓÎ¸Ì˚ÏË ÔÂÂÍÂÒÚÍ‡ÏË ÏËÌË-

Ï‡Î¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ ÒÓÒÚÓﬂÌËÈ äñÄ åí Ö

min

= 4⋅n, „‰Â n – ˜ËÒÎÓ

Â‡ÎËÁÛÂÏ˚ı ÒÚ‡ÚÂ„ËÈ. ÖÒÎË, Ì‡ÔËÏÂ, ÍÓÏÂ Â¯ÂÌËﬂ ‰‚Ûı

‡ÒÒÏÓÚÂÌÌ˚ı Á‡‰‡˜, ÔÓÚÂ·Ó‚‡Ú¸ Ó·ÂÒÔÂ˜ËÚ¸ ÔÓËÒÍ Ó·Û˜ÂÌÌ˚Ï

íÂÁÂÂÏ ËÁ ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÈ ÌÂÔÓÈ‰ÂÌÌÓÈ ÚÓ˜ÍË Î‡·ËËÌÚ‡, ËÁÓ·-

‡ÁËÏ Î‡·ËËÌÚ ‚ ‚Ë‰Â „‡Ù‡ (ËÒ. 4.7). í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, íÂÁÂÈ

Ò ·ÓÎÂÂ ‡Á‚ËÚ˚Ï ËÌÚÂÎÎÂÍÚÓÏ ÚÂ·ÛÂÚ Ì‡ÎË˜Ëﬂ “ÌÂ‚ÌÓÈ ÒÂ-

ÚË” ËÁ E ≥ 4⋅3 = 12 ÒÓÒÚÓﬂÌËÈ. àÒÍÛÒÒÚ‚ÂÌÌ˚È ËÌÚÂÎÎÂÍÚ íÂ-

ÁÂﬂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔËÏËÚË‚Ì˚Ï, Ú‡Í Í‡Í ‚ÒÂ Â„Ó Ó·Û˜ÂÌËÂ Á‡ÍÎ˛˜‡-

ÂÚÒﬂ ‚ ‰ÂÈÒÚ‚ËË ÔÓ ÔÓ‰ÒÍ‡ÁÍÂ (ÛÍ‡Á‡ÚÂÎË Ì‡Ô‡‚ÎÂÌËÈ, ‡Ò-

ÒÚ‡‚ÎÂÌÌ˚Â íÂÁÂÂÏ Ì‡ ÔÂÂÍÂÒÚÍ‡ı !). ç‡Ï ‚‡ÊÌÓ ÓÚÏÂÚËÚ¸,

˜ÚÓ ÏÓ‰ÂÎËÓ‚‡ÌËÂ ‡·ÓÚ˚ ËÒÍÛÒÒÚ‚ÂÌÌÓ„Ó ËÌÚÂÎÎÂÍÚ‡, Â¯‡-

˛˘Â„Ó Î‡·ËËÌÚÌÛ˛ Á‡‰‡˜Û, Ì‡ ùÇå ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ÔÓÒÚÓ Â‡ÎË-

ÁÛÂÚÒﬂ Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ Ï‡¯ËÌ˚ í¸˛ËÌ„‡ Ò ‰‚ÛÏÂÌÓÈ ÎÂÌÚÓÈ.

ÖÒÎË ·˚ Î‡·ËËÌÚ ·˚Î ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚ÂÌÌ˚Ï, ÚÓ ‰Îﬂ ÔÓËÒ-

Í‡ ˆÂÎÂÒÓÓ·‡ÁÌÓ ·˚ÎÓ ·˚ ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡Ú¸ ‡Î„ÓËÚÏ Ï‡¯ËÌ˚

í¸˛ËÌ„‡ Ò ÚÂıÏÂÌÓÈ ÎÂÌÚÓÈ, Ú.Â. ‚ n = 3-ÏÂÌÓÏ ÔÓÒÚ‡Ì-

ÒÚ‚Â.

èË ÔÓ„‡ÏÏÌÓÈ Â‡ÎËÁ‡ˆËË Î‡·ËËÌÚÌÓÈ Á‡‰‡˜Ë Ì‡ ùÇå

‡Î„ÓËÚÏ ÁÌ‡˜ËÚÂÎ¸ÌÓ ÛÒÎÓÊÌﬂÂÚÒﬂ, Ú‡Í Í‡Í Í‡Ê‰‡ﬂ ÓÚ‰ÂÎ¸Ì‡ﬂ

ÔÓˆÂ‰Û‡, ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÏ‡ﬂ íÂÁÂÂÏ (ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÔÂÂÍÂÒÚ-

ÍÓ‚, ÔÓ‚ÓÓÚ˚ Ë Ú.Ô.), ÚÂ·ÛÂÚ ‚‚Ó‰‡ ÔÓ‰ÔÓ„‡ÏÏ, Â‡ÎËÁÛ˛-

˘Ëı ˝ÚË ÔÓˆÂ‰Û˚ [13].

ëèàëéä ãàíÖêÄíìêõ

1. ÄÈÁÂÏ‡Ì å.Ä., ÉÛÒÂ‚ Ä.Ä. Ë ‰. ãÓ„ËÍ‡, ‡‚ÚÓÏ‡Ú˚ , ‡Î„ÓËÚÏ˚. – å.:

îËÁÏ‡Ú„ËÁ, 1963.

2. ÇÂÌÚˆÂÎ¸ Ö.ë., é‚˜‡Ó‚ ã.Ä. íÂÓËﬂ ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚÂÈ Ë ÂÂ ËÌÊÂÌÂÌ˚Â

ÔËÏÂÌÂÌËﬂ. – å.: ç‡ÛÍ‡, 1988.

3. ÉÎÛ¯ÍÓ‚ Ç.å. Ç‚Â‰ÂÌËÂ ‚ ÍË·ÂÌÂÚËÍÛ. – å.: àÁ‰. Äç ëëëê, 1964.

4. ÉÎÛ¯ÍÓ‚ Ç.å. ëËÌÚÂÁ ˆËÙÓ‚˚ı ‡‚ÚÓÏ‡ÚÓ‚. – å.: ç‡ÛÍ‡, 1962.

5. äËÌËˆÍËÈ ç.Ä. ÄÎ„ÓËÚÏ˚ ‚ÓÍÛ„ Ì‡Ò. – å.: ç‡ÛÍ‡, 1977.

210

6. å‡Î¸ˆÂ‚ Ä.à. ÄÎ„ÓËÚÏ˚ Ë ÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË. – å.: îËÁÏ‡Ú„ËÁ,

1965.

7. å‡ÍÓ‚ Ä.Ä. íÂÓËﬂ ‡Î„ÓËÚÏÓ‚/íÛ‰˚ Ï‡ÚÂÏ. ËÌÒÚËÚÛÚ‡ Äç ëëëê,

Ú. 42, 1954.

8. åËÌÒÍËÈ å. Ç˚˜ËÒÎÂÌËﬂ Ë ‡‚ÚÓÏ‡Ú˚. – å.: åË, 1971.

9. åÓÎÓÚÍÓ‚ É.è. å‡¯ËÌ˚ í¸˛ËÌ„‡ – Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍËÂ ÏÓ‰ÂÎË ÛÌË‚Â-

Ò‡Î¸Ì˚ı ùÇå. – å.: àÁ‰. åàçï Ë Éè, 1981.

10. í‡ıÚÂÌ·ÓÚ Å.Ä. ÄÎ„ÓËÚÏ˚ Ë ‚˚˜ËÒÎËÚÂÎ¸Ì˚Â Ï‡¯ËÌ˚. – å.: ëÓ-

‚ÂÚÒÍÓÂ ‡‰ËÓ, 1974.

11. òÂÌÌÓÌ ä. ê‡·ÓÚ˚ ÔÓ ÚÂÓËË ËÌÙÓÏ‡ˆËË Ë ÍË·ÂÌÂÚËÍÂ. – å.: àã,

1963.

12. ù··ËÌı‡ÛÁ É.Ñ. Ë ‰. å‡¯ËÌ˚ í¸˛ËÌ„‡ Ë ÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË. –

å.: åË, 1972.

13. åÓÎÓÚÍÓ‚ É.è. ë·ÓÌËÍ Î‡·Ó‡ÚÓÌ˚ı ‡·ÓÚ ÔÓ ÍÛÒÛ ùÇå. – å.:

àÁ‰. åàçï Ë Éè, 1981.

14. äÎËÏÌ ë. Ç‚Â‰ÂÌËÂ ‚ ÏÂÚ‡Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍÛ. – å.: àã, 1957.

211

5.1. çÖóÖíäéÖ åçéÜÖëíÇé. éèêÖÑÖãÖçàÖ.

íÖêåàçéãéÉàü. ÄäëàéåÄíàäÄ

èË ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‚ „Î‡‚Â 1 Ï˚ ËÒıÓ‰ËÎË ËÁ ÚÓ-

„Ó, ˜ÚÓ ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ Î˛·Ó„Ó Ó·˙ÂÍÚ‡ ÏÓÊÌÓ ÚÓ˜ÌÓ ÒÍ‡Á‡Ú¸,

ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ

ÎË

ÓÌ

˝ÎÂÏÂÌÚÓÏ

‰‡ÌÌÓ„Ó

ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡

ËÎË ÌÂÚ. é‰Ì‡ÍÓ

Ú‡ÍÓÂ ÔÂ‰ÔÓÎÓÊÂÌËÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ë‰Â‡ÎËÁ‡ˆËÂÈ. ùÚÓ ÒÚ‡ÌÓ‚ËÚÒﬂ

ﬂÒÌ˚Ï ÔË ËÁÛ˜ÂÌËË ‡Á‚Ë‚‡˛˘ËıÒﬂ, ‰‚ËÊÛ˘ËıÒﬂ Ó·˙ÂÍÚÓ‚,

Ú.Â. Ú‡ÍËı, ÏÂÒÚÓÌ‡ıÓÊ‰ÂÌËÂ ËÎË ÒÓÒÚÓﬂÌËÂ ÍÓÚÓ˚ı ÔÓÒÚÓﬂÌÌÓ

ÏÂÌﬂÂÚÒﬂ, ÎË·Ó ÌÂ ÔÓ‰‰‡ÂÚÒﬂ ÚÓ˜ÌÓÏÛ ËÁÏÂÂÌË˛. èË  Â¯ÂÌËË

Á‡‰‡˜, Ò‚ﬂÁ‡ÌÌ˚ı Ò ‡Ì‡ÎËÁÓÏ ËÁÏÂÌﬂ˛˘ËıÒﬂ Ó·˙ÂÍÚÓ‚ – ˝ÍÓÌÓ-

ÏË˜ÂÒÍËı, ÔÓËÁ‚Ó‰ÒÚ‚ÂÌÌ˚ı, ÒÓˆË‡Î¸Ì˚ı – ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ÌÂ˜ÂÚ-

ÍÓÒÚ¸ ÔËÌËÏ‡Ú¸ Í‡Í Ó·˙ÂÍÚË‚ÌÛ˛ Â‡Î¸ÌÓÒÚ¸.

ëÂ‰ÒÚ‚‡ ‰Îﬂ Â¯ÂÌËﬂ Ú‡ÍËı Á‡‰‡˜ ‰‡ÂÚ ÚÂÓËﬂ ÌÂ˜ÂÚ-

ÍËı ÏÌÓÊÂÒÚ‚, Ô Â‰ÒÚ‡‚Îﬂ˛˘‡ﬂ Ó·Ó·˘ÂÌËÂ ÍÎ‡ÒÒË˜ÂÒÍÓÈ

ÚÂÓËË ÏÌÓÊÂÒÚ‚. éÒÌÓ‚ÓÔÓÎÓÊÌËÍÓÏ ÚÂÓËË ÌÂ˜ÂÚÍËı ÏÌÓ-

ÊÂÒÚ‚ ﬂ‚Îﬂ ÂÚÒﬂ Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍ ã. á‡‰Â, ÓÒÌÓ‚ÌÓÈ Á‡ÒÎÛ„ÓÈ ÍÓ-

ÚÓÓ„Ó ÒÚ‡ÎÓ ‚‚Â‰ÂÌËÂ ÔÓÌﬂÚËﬂ ‚Á‚Â¯ÂÌÌÓÈ ÔËÌ‡‰ÎÂÊ-

ÌÓÒÚË, ÂÁÍÓ ‡Á‰‚ËÌÛ‚¯Â„Ó ‡ÏÍË ÍÎ‡ÒÒË˜ÂÒÍÓÈ ÚÂÓËË ÏÌÓ-

ÊÂÒÚ‚.

ÄÏÂËÍ‡ÌÒÍËÈ Û˜ÂÌ˚È ÔÓÍ‡Á‡Î, Í‡Í Ó·‡˘‡Ú¸Òﬂ Ò Ú‡ÍËÏË

Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚, Í‡Í ÌÂ‰ÂÚÂÏËÌËÓ‚‡ÌÌÓÒÚ¸, ÌÂÔÓÎÌÓÚ‡,

ÌÂÌÓÏËÓ‚‡ÌÌÓÒÚ¸, ÌÂÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÓÒÚ¸ Ë ÏÌÓ„ËÏË ‰Û„ËÏË “ÌÂ”

‚ÌÛÚË “˜ÂÚÍÓÈ” Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÈ ÚÂÓËË. èÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ ÔÓ-

‚Ó‰ﬂ Ë‰Â˛ ÌÂ˜ÂÚÍÓÒÚË, ÔÓ ÏÌÂÌË˛ á‡‰Â, ÏÓÊÌÓ ÔÓÒÚÓËÚ¸ ÌÂ-

˜ÂÚÍËÂ ‡Ì‡ÎÓ„Ë ‚ÒÂı ÓÒÌÓ‚Ì˚ı Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍËı ÔÓÌﬂÚËÈ Ë ÒÓ-

Á‰‡Ú¸ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏ˚È ÙÓÏ‡Î¸Ì˚È ‡ÔÔ‡‡Ú ‰Îﬂ ÏÓ‰ÂÎËÓ‚‡ÌËﬂ

˜ÂÎÓ‚Â˜ÂÒÍËı ‡ÒÒÛÊ‰ÂÌËÈ Ë ˜ÂÎÓ‚Â˜ÂÒÍÓ„Ó ÒÔÓÒÓ·‡ Â¯ÂÌËﬂ

Á‡‰‡˜.

Ç ÍÎ‡ÒÒË˜ÂÒÍÓÈ ÚÂÓËË ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Î˛·ÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÛÌË-

‚ÂÒ‡Î¸ÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ U Ó‰ÌÓÁÌ‡˜ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ ı‡‡ÍÚÂË-

ÒÚË˜ÂÒÍÓÈ ÙÛÌÍˆËÂÈ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË:

212

()

∉

∈







èÂ‰ÔÓÎÓÊËÏ, ˜ÚÓ ÙÛÌÍˆËﬂ Ô ËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË µ

(ı) ÏÓÊÂÚ

ÔËÌËÏ‡Ú¸ Î˛·˚Â ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ‚ Á‡ÏÍÌÛÚÓÏ ËÌÚÂ‚‡ÎÂ [0, 1]. íÓ„-

‰‡ ‰Îﬂ ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓ„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ ı ∈ U ‚ÓÁÏÓÊÌ‡ﬂ Â„Ó ÔËÌ‡‰-

ÎÂÊÌÓÒÚ¸ Í ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û Ä ‚ ·ÓÎ¸¯ÂÈ (ËÎË ÏÂÌ¸¯ÂÈ) ÒÚÂÔÂÌË ‚

Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË ÓÚ “·ÎËÁÓÒÚË” ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ µ

(ı) Í 1 (ËÎË Í 0).

è ËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚ¸ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ ı Í ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û Ä ·Û‰ÂÏ Ó·ÓÁÌ‡˜‡Ú¸

ÒËÏ‚ÓÎÓÏ ∈ Ò ËÌ‰ÂÍÒÓÏ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË, ‡‚Ì˚Ï ÁÌ‡˜ÂÌË˛

(ı):

µÄ(ı)

∈ Ä, (5.1)

‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ ÌÂ˜ÂÚÍËÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ

(ÒÓÍ‡˘ ÂÌÌÓ Ì.Ï.). Ç ÒÎÛ˜‡Â, ÍÓ„‰‡ µ

(ı) = 0 ËÎË µ

(ı) = 1,

·Û‰ÂÏ ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡Ú¸ Ú‡‰ËˆËÓÌÌ˚Â Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËﬂ:

ı ∉ Ä ËÎË ı ∈ Ä.

èÛÒÚ¸ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó U ÒÓÒÚÓËÚ Ë n ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚:

U = {x

, x

,..., x

ã˛·ÓÂ Ó·˚˜ÌÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ U ‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ

ÌÂÍÓÚÓ˚Â ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ËÁ U, ‡ ÁÌ‡˜ËÚ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Ì‡·ÓÓÏ

ÁÌ‡˜ÂÌËÈ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË µ

(ı) Ì‡ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ı x

,..., x

í‡Í, Ì‡ÔËÏÂ, ‰Îﬂ Ä = {x

, x

} ËÏÂÂÏ µ

(ı

) = 1, µ

(ı

) =

= 0,..., µ

(ı

n–1

) = 0, µ

(ı

) = 1.

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, Î˛·ÓÏÛ Ó·˚˜ÌÓÏÛ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û Ä ÏÌÓÊÂÒÚ-

‚‡ U ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔÓÒÚ‡‚ÎÂÌ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ n-ÏÂÌ˚È ‚ÂÍÚÓ,

ÒÓÒÚÓﬂ˘ËÈ ËÁ ÌÛÎÂÈ Ë Â‰ËÌËˆ, – ÁÌ‡˜ÂÌËÈ ÙÛÌÍˆËË Ô ËÌ‡‰-

ÎÂÊÌÓÒÚË ‚ ÚÓ˜Í‡ı x

, x

,..., x

(ı

), µ

(ı

),..., µ

(ı

Ç ˜‡ÒÚÌÓÒÚË, ‰Îﬂ ÔÛÒÚÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ∅ ËÏÂÂÏ ÌÛÎÂ‚ÓÈ ‚ÂÍÚÓ:

(0, 0,..., 0), Ú‡Í Í‡Í µ

∅

(ı

) = 0 ‰Îﬂ i = 1, 2,..., n. ÑÎﬂ Ò‡ÏÓ„Ó

ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ U ËÏÂÂÏ µ

(ı

) = 1 ‰Îﬂ i = 1, 2,..., n, ÔÓ˝ÚÓÏÛ ‚ÂÍ-

ÚÓ, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÈ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÏÛ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û U, ÒÓÒÚÓËÚ

ËÁ n Â‰ËÌËˆ:

(1, 1,..., 1).

ê‡ÒÒÛÊ‰‡ﬂ ‡Ì‡ÎÓ„Ë˜Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ, ÏÓÊÌÓ Î˛·ÓÏÛ ÌÂ˜ÂÚÍÓÏÛ

Ä ÔÓÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ n-ÏÂÌ˚È ‚ÂÍÚÓ

213

ξ µµ µ

ÄÄ Ä Än

xx x=

()

( ), ( ), ( ) .

1 2

..., (5.2)

Ç ‰‡ÌÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÍÓÓ‰ËÌ‡Ú‡ÏË µ

(ı

), ˝ÚÓ„Ó ‚ÂÍÚÓ‡ ÏÓ„ÛÚ ·˚Ú¸

ÌÂ ÚÓÎ¸ÍÓ ÌÛÎ¸ Ë Â‰ËÌËˆ‡, ‡ Î ˛ · ˚ Â ˜ Ë Ò Î ‡ Ë Á Á ‡ Ï Í Ì Û -

Ú Ó „ Ó Ë Ì Ú Â  ‚ ‡ Î ‡ [0, 1]

0 ≤ µ

(ı

) ≤ 1. (5.3)

ÇÂÍÚÓ (5.2), ÒÓÒÚÓﬂ˘ËÈ ËÁ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊ-

ÌÓÒÚË Ì‡ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ı ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡, ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸

‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆËÂÈ ÌÂ˜ÂÚÍÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä.

Ç ‰‡Î¸ÌÂÈ¯ÂÏ ‚ÒÂ ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡ÂÏ˚Â ÌÂ˜ÂÚÍËÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ·Û-

‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓ„Ó ÏÌÓ-

ÊÂÒÚ‚‡ U.

àÚ‡Í, Ï˚ ‚‚ÂÎË ÔÓÌﬂÚËÂ Ì.Ï. (ÌÂ˜ÂÚÍÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡), Ó·Ó·-

˘‡˛˘ÂÂ ÔÓÌﬂÚËÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡.

ÅÓÎÂÂ ÒÚÓ„Ó ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ Ì.Ï. ÏÓÊÌÓ Ú‡Í.

çÂ˜ÂÚÍËÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ Ä Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÛÔÓﬂ‰Ó-

˜ÂÌÌ˚ı Ô‡ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚

(ı, µ

(ı)), (5.4)

„‰Â ı ∈ U, µ

(ı) ∈ [0, 1].

ÅÓÎÂÂ ÍÓÏÔ‡ÍÚÌÓ ˝ÚÓ ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Ú‡Í:

Ax xxU xM

ÄÄ

()

∈∈

{}

,() ,() , µµ (5.5)

„‰Â M – Ó·Î‡ÒÚ¸ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ ÙÛÌÍˆËË µ

(ı), ÔË˜ÂÏ M ⊆ [0, 1].

ùÚ‡ Á‡ÔËÒ¸ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌË˛, ÍÓÚÓÓÂ ‰‡Î ã. á‡‰Â

ÌÂ˜ÂÚÍÓÏÛ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û.

àÒÔÓÎ¸ÁÛﬂ ÔÓÌﬂÚËÂ ÌÂ˜ÂÚÍÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡, ÏÓÊÌÓ ÙÓÏ‡ÎËÁÓ-

‚‡Ú¸ ﬂ‰ “ÌÂ˜ÂÚÍËı” ÔÓÌﬂÚËÈ Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍË. ëÎÂ‰Û˛˘ËÂ ÔËÏÂ˚

ËÎÎ˛ÒÚËÛ˛Ú ˝ÚÓ.

è  Ë Ï Â  1. éÔÂ‰ÂÎËÏ ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ˜ËÒÂÎ, “·ÎËÁ-

ÍËı ÌÛÎ˛” Ì‡ ËÌÚÂ‚‡ÎÂ [–1, 1]. ùÚÓ ÏÓÊÌÓ Ò‰ÂÎ‡Ú¸ ‡ÁÎË˜-

Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ ‚ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË ÓÚ ‚˚·Ó‡ ‚Ë‰‡ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰-

ÎÂÊÌÓÒÚË. é˜Â‚Ë‰ÌÓ, ˜ÂÏ ÏÂÌ¸¯Â ‡ÒÒÚÓﬂÌËÂ ÓÚ ÔÓËÁ‚ÓÎ¸ÌÓÈ

ÚÓ˜ÍË ı ‰Ó ÚÓ˜ÍË ÌÛÎ¸, ÚÂÏ “·ÓÎ¸¯Â ¯‡ÌÒÓ‚” Û ÌÂ„Ó ·˚Ú¸ ˝ÎÂ-

ÏÂÌÚÓÏ Ú‡ÍÓ„Ó ÌÂ˜ÂÚÍÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡. í‡ÍÓÂ ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó

ÏÓÊÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸, Ì‡ÔËÏÂ, Ú‡Í:

Ax xx x x

ÄÄ

()

∈− = −

{}

,() [,],() .

() ()

µµ

11 1

Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÔË ı = 0 ËÏÂÂÏ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯Û˛ ÙÛÌÍˆË˛ ÔË-

Ì‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË

()

0 1= , ‡ „‡ÌË˜Ì˚Â ÚÓ˜ÍË ıÛÊÂ ÓÒÚ‡Î¸Ì˚ı

Û‰Ó‚ÎÂÚ‚Óﬂ˛Ú ÔÓÒÚ‡‚ÎÂÌÌÓÏÛ ÛÒÎÓ‚Ë˛, Ú‡Í Í‡Í

()

1− =

214

()

1 0= , ˜ÚÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÒÏ˚ÒÎÛ, ÍÓÚÓ˚È ‚ÍÎ‡‰˚ ‚‡ÂÚÒﬂ ‚

ÔÓÌﬂÚËÂ Ú‡ÍËı ˜ËÒÂÎ ‚ Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍÂ.

çÂ˜ÂÚÍÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÓ Ò ÔÓÏÓ˘¸˛

ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ‰Û„Ó„Ó ‚Ë‰‡:

Ax ı x ı

ÄÄ

()

∈− = −













,() [,],() .

() ()

µµ

222

11 1 1

îÛÌÍˆËﬂ

()

ÚÓÊÂ ÓÔËÒ˚‚‡ÂÚ Ì.Ï. ˜ËÒÂÎ, “·ÎËÁÍËı ÌÛ-

Î˛”. ç‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ‰ÓÒÚË„‡-

ÂÚÒﬂ, Í‡Í Ë ‚ ÔÂ‰˚‰Û˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÔË ı = 0. èÓ ÏÂÂ ÓÚ‰‡ÎÂ-

ÌËﬂ ÓÚ ÚÓ˜ÍË 0 ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ÛÏÂÌ¸¯‡-

˛ÚÒﬂ, ‡ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ËÂ ÂÂ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ (‡‚Ì˚Â ÌÛÎ˛) ËÏÂ˛Ú „‡-

ÌË˜Ì˚Â ÚÓ˜ÍË ËÌÚÂ‚‡Î‡ [–1, 1].

ç‡ ËÒ. 5.1 ÔÓÍ‡Á‡Ì˚ „‡ÙËÍË ÙÛÌÍˆËÈ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË

()

è  Ë Ï Â  2. éÔÂ‰ÂÎËÏ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Ì‡ÚÛ‡Î¸Ì˚ı ˜ËÒÂÎ

ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä “ÌÂ·ÓÎ¸¯Ëı” Ì‡ÚÛ‡Î¸Ì˚ı ˜ËÒÂÎ.

óÚÓ·˚ ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ Ú‡ÍÓÂ Ì.Ï., ÌÂ Ó·ﬂÁ‡ÚÂÎ¸ÌÓ Á‡‰‡‚‡Ú¸ ‡Ì‡ÎË-

ÚË˜ÂÒÍËÈ ‚Ë‰ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË. ùÚÓ ÏÓÊÌÓ Ò‰ÂÎ‡Ú¸,

Á‡‰‡‚ Ú‡·ÎËˆÛ ÂÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ. éÌ‡ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸, Ì‡ÔËÏÂ, Ú‡ÍÓÈ

(Ú‡·Î. 5.1).

ëÓ„Î‡ÒÌÓ Ú‡·ÎËˆÂ, ÙÛÌÍˆËﬂ µ

(ı) ËÏÂÂÚ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ÁÌ‡˜Â-

ÌËÂ ‚ ÚÓ˜ÍÂ ı = 0 Ë ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚ ÌÂÛ·˚‚‡˛˘Û˛ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚ¸

ÓÚ ı . ➤

êàë. 5.1

í‡·ÎËˆ‡ 5.1

ı 0 1 23456...

(ı) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 ...

215

ÑÎﬂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ ÏÂÊ‰Û ÌÂ˜ÂÚÍËÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË

‚‚Â‰ÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂ ÚË ÓÚÌÓ¯ÂÌËﬂ ÏÂÊ‰Û ‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆËﬂÏË.

‡) ùÍ‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚ¸.

Ñ‚Â ‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆËË

Än

kk k= ( , ,..., )

1 2

kk k=

′′ ′

( , ,..., )

1 2

·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ÏË Ë Ó·ÓÁÌ‡˜‡Ú¸

ξξ

ÄB

= , ÂÒÎË

‰Îﬂ Î˛·ÓÈ Ô‡˚ Ëı ÍÓÓ‰ËÌ‡Ú ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

′

·) ÑÓÏËÌËÓ‚‡ÌËÂ.

ÅÛ‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ ‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆËﬂ

Än

kk k=

()

1 2

, ,..., ‰Ó-

ÏËÌËÛÂÚ ‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆË˛

kk k=

′′ ′

()

1 2

, ,..., Ë Ó·ÓÁÌ‡˜‡Ú¸ ÔË

˝ÚÓÏ

ξξ

ÄB

≥ , ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·ÓÈ Ô‡˚

′

Ëı ÍÓÓ‰ËÌ‡Ú ‚˚ÔÓÎ-

ÌﬂÂÚÒﬂ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

≥

′

‚) ëÚÓ„ÓÂ ‰ÓÏËÌËÓ‚‡ÌËÂ.

ëÍ‡ÊÂÏ, ˜ÚÓ

Än

kk k=

()

1 2

, ,..., ÒÚÓ„Ó ‰ÓÏËÌËÛÂÚ

kk k=

′′ ′

()

1 2

, ,..., , ÂÒÎË

‰ÓÏËÌËÛÂÚ

Ë ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓ

Í‡ÈÌÂÈ ÏÂÂ Ó‰Ì‡ Ô‡‡ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚

′

Ú‡Í‡ﬂ, ˜ÚÓ ‚˚ÔÓÎÌﬂ-

ÂÚÒﬂ ÒÚÓ„ÓÂ ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó

′

. ÅÛ‰ÂÏ ÔË ˝ÚÓÏ Ô ËÏÂÌﬂÚ¸

Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËÂ

ξξ

ÄB

> .

éÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ Ì‡‰ ÌÂ˜ÂÚÍËÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ÓÒÌÓ-

‚˚‚‡˛ÚÒﬂ Ì‡ ÔË‚Â‰ÂÌÌ˚ı ‚˚¯Â ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂı ÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ

ÏÂÊ‰Û ‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆËﬂÏË.

éÚÌÓ¯ÂÌËÂ ‡‚ÂÌÒÚ‚‡. Ñ‚‡ ÌÂ˜ÂÚÍËı ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ A Ë B

‡‚Ì˚ (A = B), ÂÒÎË ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ Ëı ‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆËË ÔË-

Ì‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË:

ξξ

ÄB

= .

éÚÌÓ¯ÂÌËÂ ‚ÍÎ˛˜ÂÌËﬂ. çÂ˜ÂÚÍÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä ‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ

Ì.Ï. B, ËÎË B – ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä (Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÚÒﬂ Ç ⊆ Ä), ÂÒÎË

‰ÓÏËÌËÛÂÚ

, Ú.Â.

ξξ

ÄB

≥ .

éÚÌÓ¯ÂÌËÂ ÒÚÓ„Ó„Ó ‚ÍÎ˛˜ÂÌËﬂ. ÅÛ‰ÂÏ „Ó‚Ó ËÚ¸, ˜ÚÓ Ì.Ï. Ä

ÒÚÓ„Ó ‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ Ì.Ï. B, ËÎË B – ÒÚÓ„ÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä, Ë

ÔËÏÂÌﬂÚ¸ Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËÂ B ⊂ Ä, ÂÒÎË

ÒÚÓ„Ó ‰ÓÏËÌËÛÂÚ

5.2. éèÖêÄñàà çÄÑ çÖóÖíäàåà åçéÜÖëíÇÄåà

èÛÒÚ¸ Ä Ë B – ‰‚‡ ÌÂ˜ÂÚÍËı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓ„Ó

ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ U. éÔÂ‰ÂÎËÏ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂ ÓÔÂ‡ˆËË Ì‡‰ ÌËÏË.

ÑÓÔÓÎÌÂÌËÂ. ÅÛ‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ Ì.Ï. Ä Ë Ì.Ï. B ‰ÓÔÓÎÌﬂ˛Ú

216

‰Û„ ‰Û„‡ Ë Ó·ÓÁÌ‡˜‡Ú¸ Ä =

B , ÎË·Ó B =

Ä , ÂÒÎË ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó

˝ÎÂÏÂÌÚ‡ ı ∈ U ËÏÂÂÏ

µµ

ÄB

ıı() ().= −1

á ‡ Ï Â ˜ ‡ Ì Ë Â: ÑÓÔÓÎÌÂÌËÂ Í ‰ÓÔÓÎÌÂÌË˛ ÌÂ˜ÂÚÍÓ„Ó ÏÌÓÊÂ-

ÒÚ‚‡ Ä ‡‚ÌÓ Ä, Ú.Â.

A = Ä.

ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ, ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó ı ∈ U ËÏÂÂÏ

ı()= −1

−− =(())()1 µµ

ÄÄ

ıı, ‡ ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó ÙÛÌÍˆËÈ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ‚

Í‡Ê‰ÓÈ ÚÓ˜ÍÂ ı ÓÁÌ‡˜‡ÂÚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚ¸ ‚ÂÍÚÓ-ÙÛÌÍˆËÈ ÒÓ-

ÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı ÏÌÓÊÂÒÚ‚, ˜ÚÓ ÓÁÌ‡˜‡ÂÚ ÔÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌË˛ ‡‚ÂÌ-

ÒÚ‚Ó Ò‡ÏËı ÏÌÓÊÂÒÚ‚.

é·˙Â‰ËÌÂÌËÂ. é·˙Â‰ËÌÂÌËÂÏ ÌÂ˜ÂÚÍËı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä Ë B,

Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÏ˚Ï Ä ∪ B, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ò ÙÛÌÍ-

ˆËÂÈ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÈ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ:

µµµ

ÄB Ä B

ııı

∪

=( ) max( ( ), ( )) ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó ı ∈ U.

èÂÂÒÂ˜ÂÌËÂ. èÂÂÒÂ˜ÂÌËÂÏ ÌÂ˜ÂÚÍËı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä Ë B,

Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÏ˚Ï Ä ∩ B, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ò ÙÛÌÍ-

ˆËÂÈ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË

µµµ

ÄB Ä B

ııı

∩

=( ) min( ( ), ( )) ‰Îﬂ Î˛·Ó„Ó

ı ∈ U.

á ‡ Ï Â ˜ ‡ Ì Ë Â: èÂÂÒÂ˜ÂÌËÂ ÌÂ˜ÂÚÍÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ë Â„Ó ‰Ó-

ÔÓÎÌÂÌËﬂ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Ë ÌÂ ÔÛÒÚ˚Ï. é·˙Â‰ËÌÂÌËÂ ÌÂ˜ÂÚÍÓ„Ó

ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ë Â„Ó ‰ÓÔÓÎÌÂÌËﬂ ÏÓÊÂÚ ÌÂ ·˚Ú¸ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸Ì˚ Ï.

óÚÓ·˚ ÔÓÍ‡Á‡Ú¸ ÒÔ‡‚Â‰ÎË‚ÓÒÚ¸ ˝ÚÓ„Ó Á‡ÏÂ˜‡ÌËﬂ, ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ

ÔÓ‰ÂÏÓÌÒÚ ËÓ‚‡Ú¸, ˜ÚÓ ‚ÓÁÏÓÊÌÓ

ÄÄ

∩

≠() ,0 ‡ Ú‡ÍÊÂ

ÄÄ

∪

≠() 1 ‰Îﬂ ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó ı ∈ U. èÓÍ‡ÊÂÏ ˝ÚÓ. ÇÓÁ¸ÏÂÏ Ú‡-

ÍÓÈ ˝ÎÂÏÂÌÚ ı ∈ U, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓ„Ó ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰-

ÎÂÊÌÓÒÚË

ı() ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ˜ËÒÎÓÏ, ÓÚÎË˜Ì˚Ï ÓÚ 0 Ë ÓÚ 1:

0 1<<µ

ı( ) . íÓ„‰‡ ‰Îﬂ Ì.Ï.

Ä ËÏÂÂÏ

0 1<<µ

ı( ) , Ú‡Í Í‡Í

µµ

ÄÄ

ıı() ().= −1 Ä ÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ,

µµ

ÄÄ Ä

ıı

∩

=( ) min( ( ),

ı())> 0 Ë

ÄÄ∩ – ÌÂ ÔÛÒÚÓ. èË ˝ÚÓÏ

µµµ

ÄÄ Ä Ä

ııı

∪

=<( ) max( ( ), ( )) 1

Ë Ì.Ï.

ÄÄ∪ – ÌÂ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÂ.

éÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓÂ ‰ÓÔÓÎÌÂÌËÂ. éÚÌÓÒËÚÂÎ¸Ì˚Ï ‰ÓÔÓÎÌÂÌËÂÏ

Ì.Ï. B ‰Ó Ì.Ï. Ä, Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÏ˚Ï Ä – B, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ

ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÂ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂÏ Ä – B = Ä ∩

B . ëÎÂ-

‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ, Â„Ó ÙÛÌÍˆËﬂ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ‡‚Ì‡

µµµ

ÄB Ä B

ııı

−

=( ) min( ( ), ( )). 1 –

ëËÏÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ‡ÁÌÓÒÚ¸. ëËÏÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÌÓÒÚ¸˛

Ì.Ï. Ä Ë Ì.Ï. B, Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÏÓÈ Ä + B, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ

217

ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏÓÂ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ: Ä + B = (Ä –

– B) ∪ (B – Ä). àÁ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ÓÔÂ‡ˆËË ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó

‰ÓÔÓÎÌÂÌËﬂ, ‰‡ÌÌÓ„Ó ‚˚¯Â, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ ÙÓÏÛÎÛ ‰Îﬂ ‚˚ ˜ËÒÎÂÌËﬂ

ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ÒËÏÏÂÚË˜ÂÒÍÓÈ ‡ÁÌÓÒÚË:

µµµµµ

ÄB Ä B B A

ııııı

[]

( ) max min( ( ), ( )), min( ( ), ( )) . 1 – 1 –

è  Ë Ï Â  1. èÛÒÚ¸

Uxxx=

{}

1 23

,, ;

Ax x x=

{}

(; ; ; );

1 23

0 0,6) ( 0,8), (

Bx x x=

{}

(; ; ; ,).

1 23

05 0,3) ( 1), (

ëÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ,

()

= . ë‡ÏÓ-

ÒÚÓﬂÚÂÎ¸ÌÓ Ì‡È‰ËÚÂ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ÙÛÌÍˆËË ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË Ì.Ï. B

Ë ÔÓÍ‡ÊËÚÂ ˝ÚË ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ÔÂÔÓ‰‡‚‡ÚÂÎ˛. èÓÒ˜ËÚ‡ÂÏ ÂÁÛÎ¸Ú‡-

Ú˚ ÓÔÂ‡ˆËÈ Ì‡‰ Á‡‰‡ÌÌ˚ÏË Ì.Ï. Ä Ë B:

Äx x x=

{}

(; ; ;);

1 23

1 0,4) ( 0,2), (

ÄB x x x∪ =

{}

(; ; ; );

1 23

0 0,6), ( 1), ( ,5

ÄB x x x∩ =

{}

(; ; ; );

1 23

00,3), ( 0,8), (

ÄB x x x− =

{}

(; ; ; );

1 23

00,6), ( 0), (

ÄB x x x+=

{}

(; ; ; ,).

1 23

050,6), ( 0,2), ( ➤

É‡ÙË˜ÂÒÍÓÂ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËÂ

ÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ

ÓÔÂ‡ˆËÈ

Ì‡‰ Ì.Ï.

ÑÎﬂ Ì‡„Îﬂ‰ÌÓ„Ó „‡ÙË˜ÂÒÍÓ„Ó ËÁÓ·‡ÊÂÌËﬂ ÓÔÂ‡ˆËÈ Ë ÓÚÌÓ-

¯ÂÌËÈ Ì‡‰ ÌÂ˜ÂÚÍËÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ‚˚·ÂÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÂ ÔÂ‰-

ÒÚ‡‚ÎÂÌËÂ. ÅÛ‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó U ÏÌÓÊÂ-

ÒÚ‚ÓÏ ÚÓ˜ÂÍ Á‡ÏÍÌÛÚÓ„Ó ËÌÚÂ‚‡Î‡ [0, x

∗

]. èÓ ÓÒË ‡·ÒˆËÒÒ ·Û‰ÂÏ

ÓÚÍÎ‡‰˚‚‡Ú¸ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ı ∈ U, ‡ ÔÓ ÓÒË Ó ‰ËÌ‡Ú – ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ÒÓ-

ÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı ÙÛÌÍˆËÈ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË. ä‡Ê‰ÓÂ ÌÂ˜ÂÚÍÓÂ

ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ËÁÓ·‡ÁËÚÒﬂ, Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, „‡ÙËÍÓÏ ÙÛÌÍˆËË

ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ‚ÌÛÚË ÔﬂÏÓÛ„ÓÎ¸ÌËÍ‡, Ó„‡ÌË˜ÂÌÌÓ„Ó Ò‚Âı Û