Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления
Подождите немного. Документ загружается.
28
2. ÑÓÔÓÎÌÂÌË ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä
i
‡‚ÌÓ ÒÛÏÏÂ
‰ÓÔÓÎÌÂÌËÈ ˝ÚËı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚
ΩΩ− = − =
∑
∏
∑
AAÄ
ii
i
i
i
i
( ) . (1.32)
Ç ‚˚‡ÊÂÌËflı (1.31), (1.32) ÒÛÏÏËÛÂÚÒfl (ËÎË ÔÂÂÏÌÓʇ-
ÂÚÒfl) ÔÓËÁ‚ÓθÌÓ (ÍÓ̘ÌÓ ËÎË Ò˜ÂÚÌÓÂ) ˜ËÒÎÓ ÔÓ‰ÏÌÓ-
ÊÂÒÚ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ω.
ÑÓ͇ÊÂÏ ˝ÚÓ ÛÚ‚ÂʉÂÌË ‰Îfl ÔÓÒÚÓÚ˚ ̇ ÔËÏ ‰‚Ûı
ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä
1
Ë Ä
2
, ÔË ˝ÚÓÏ Ä
1
⋅ Ä
2
≠ ∅ Ë Ä
1
≠ Ä
2
(ËÒ. 1.9).
ç‡ ËÒ. 1.9 ‚Òfl Á‡¯ÚËıÓ‚‡Ì̇fl ıÓÚfl ·˚ Ó‰ËÌ ‡Á ӷ·ÒÚ¸
Ô‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ÒÛÏÏÛ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä
1
+ Ä
2
. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
‰ÓÔÓÎÌÂÌË ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ (Ä
1
+ Ä
2
) ·Û‰ÂÚ Ô‰ÒÚ‡‚ÎflÚ¸ ÒÓ·ÓÈ
ÚÛ ˜‡ÒÚ¸ ‚ÒÂ„Ó ÔflÏÓÛ„ÓθÌË͇ (ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ω), ÍÓÚÓ‡fl Ì Á‡-
¯ÚËıÓ‚‡Ì‡ ̇ ËÒ. 1.9:
()(),AA AA
12 12
+=− +Ω
„‰Â
()AA
12
+ – ‰ÓÔÓÎÌÂÌË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä
1
+ Ä
2
.
ç‡ ËÒ. 1.10 ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó
Ä
2
Á‡¯ÚËıÓ‚‡ÌÓ ÎËÌËflÏË,
Ëϲ˘ËÏË Ì‡ÍÎÓÌ ÔÎ˛Ò 45°, ‡ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó
A
1
– ÎËÌËflÏË,
Ëϲ˘ËÏË Ì‡ÍÎÓÌ ÏËÌÛÒ 45°. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÔÓËÁ‚‰ÂÌËÂ
ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚
ÄÄ
12
⋅ ̇ ËÒ. 1.10 Ô‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ‰‚‡Ê‰˚
Á‡¯ÚËıÓ‚‡ÌÌÛ˛ ӷ·ÒÚ¸, ÌÓ Ó̇ ‡‚̇ ÌÂÁ‡¯ÚËıÓ‚‡ÌÌÓÈ Ó·-
·ÒÚË Ì‡ ËÒ. 1.9. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, Ï˚ ÔÓ͇Á‡ÎË, ˜ÚÓ ÙÓÏÛ·
(1.31) ÒÔ‡‚‰ÎË‚‡:
()() .AA AA ÄÄ
12 12 12
+=− +=⋅Ω
êàë. 1.9 êàë. 1.10
29
èÓ͇ÊÂÏ ÚÂÔ¸ ÒÔ‡‚‰ÎË‚ÓÒÚ¸ ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ (1.32). ç‡ ËÒ.
1.9 ÔÓËÁ‚‰ÂÌË A
1
⋅ A
2
– ˝ÚÓ Ó·Î‡ÒÚ¸, Á‡¯ÚËıÓ‚‡Ì̇fl ‰‚‡Ê-
‰˚, ‡ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó
Ω− +AA
12
– ӷ·ÒÚ¸, Ì Á‡¯ÚËıÓ‚‡Ì̇fl
‰‚‡Ê‰˚; ̇ ËÒ. 1.10 ӷ·ÒÚ¸, Ô‰ÒÚ‡‚Îfl˛˘‡fl ÒÛÏÏÛ
AA
12
+ ,
ÂÒÚ¸ ӷ·ÒÚ¸, Á‡¯ÚËıÓ‚‡Ì̇fl ıÓÚfl ·˚ Ó‰ËÌ ‡Á. ëΉӂ‡ÚÂθ-
ÌÓ, ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ‡‚ÂÌÒÚ‚Ó
() ,AA A A
12 1 2
⋅ =+
˜ÚÓ Ë Ú·ӂ‡ÎÓÒ¸ ÔÓ͇Á‡Ú¸.
ꇂÂÌÒÚ‚‡ (1.31) Ë (1.32) ·ÓΠ̇„Îfl‰ÌÓ ÏÓÊÌÓ ÔÂÂÔËÒ‡Ú¸
‚ Ú‡ÍÓÏ ‚ˉÂ:
AÄ
i
i
i
i
∑
∏
= , (1.33)
AÄ
i
i
i
i
∏
∑
= (1.34)
Ë ˜ËÚ‡˛ÚÒfl ÓÌË ÍÓÓÚÍÓ Ú‡Í: ‰ÓÔÓÎÌÂÌË ÒÛÏÏ˚ ‡‚ÌÓ ÔÓËÁ-
‚‰ÂÌ˲ ‰ÓÔÓÎÌÂÌËÈ (ÙÓÏÛ· 1.33); ‰ÓÔÓÎÌÂÌË ÔÓËÁ‚‰ÂÌËÈ
‡‚ÌÓ ÒÛÏÏ ‰ÓÔÓÎÌÂÌËÈ (ÙÓÏÛ· (1.34)).
ùÚËÏË ÙÓÏÛ·ÏË Ï˚ ‚ÓÒÔÓθÁÛÂÏÒfl ÔË ËÁÛ˜ÂÌËË ÚÂÓËË
‚ÂÓflÚÌÓÒÚÂÈ Ë ÔË ËÁÛ˜ÂÌËË ÏÂÚÓ‰Ó‚ ÓÔÚËÏËÁ‡ˆËË (ÎËÌÂÈÌÓÂ
ÔÓ„‡ÏÏËÓ‚‡ÌËÂ).
ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÌÂÒÍÓθÍÓ ÔÓ‰Ó·Ì ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌË ˜ËÒ· ˝ÎÂ-
ÏÂÌÚÓ‚, ÒÓ‰Âʇ˘Ëı Òfl ‚Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ı. ÖÒÎË Ò‡‚ÌË‚‡˛ÚÒfl ‰‚‡
ÍÓ̘Ì˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç ÔÓ ˜ËÒÎÛ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚, ÒÓ‰Âʇ˘ËıÒfl
‚ ÌËı, ÚÓ Ò‡‚ÌÂÌË ÏÓÊÌÓ ÔÓ‚ÂÒÚË ÔË ÔÓÏÓ˘Ë ÔÓÒÚÓ„Ó
Ò˜ÂÚ‡ (ÌÛχˆËË ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚) ËÎË ÛÒÚ‡ÌÓ‚ÎÂÌËfl ÓÔ‰ÂÎÂÌÌÓ„Ó
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ëfl ÏÂÊ‰Û ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä Ë Ç.
è Ë Ï Â 17. ìÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÏÂÊ‰Û ˜ËÒÎÓÏ fl˜ÂÂÍ
ÓÔ‡ÚË‚ÌÓÈ Ô‡ÏflÚË å Ë ˜ËÒÎÓÏ å
t
Á‡ÌflÚ˚ı fl˜ÂÂÍ ÓÔ‡ÚË‚-
ÌÓÈ Ô‡ÏflÚË ‚ ÏÓÏÂÌÚ t ÏÓÊÌÓ ÔÛÚÂÏ ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl ˜ËÒ· ÌÂÁ‡-
ÌflÚ˚ı fl˜ÂÂÍ ÓÔ‡ÚË‚ÌÓÈ Ô‡ÏflÚË ‚ ÏÓÏÂÌÚ ‚ÂÏÂÌË t, ÍÓÚÓÓÂ
ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ‚˚‚‰ÂÌÓ Ì‡ ‰ËÒÔÎÂÈ. ÖÒÎË ˝ÚÓ ˜ËÒÎÓ ‡‚ÌÓ ÌÛβ,
ÚÓ ËÏÂÂÚÒfl Ó‰ÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÏÂÊ‰Û ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË å
Ë å
t
. ÖÒÎË Ô‚˚È ÒÔÓÒÓ· (ÔÓ‰Ò˜ÂÚ) „Ó‰ËÚÒfl ‰Îfl ÍÓ̘Ì˚ı
ÏÌÓÊÂÒÚ‚, ÚÓ ÛÒÚ‡ÌÓ‚ÎÂÌË ӉÌÓÁ̇˜ÌÓ„Ó ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ëfl ÏÂÊ-
‰Û ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ÏÓÊÌÓ ËÒÔÓθÁÓ‚‡Ú¸ Ë ‰Îfl ·ÂÒÍÓ̘Ì˚ı ÏÌÓ-
ÊÂÒÚ‚. ➤
ë‡Ï˚Ï ÔÓÒÚ˚Ï ËÁ ÏÌÓÊÂÒÚ‚, ÒÓ‰Âʇ˘Ëı · Â Ò Í Ó Ì Â ˜ Ì Ó Â
30
˜ Ë Ò Î Ó ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚, fl‚ÎflÂÚÒfl Ò˜ÂÚÌÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó. ë˜ÂÚÌ˚Ï
ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ Ú‡ÍÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó, ͇ʉ˚È ˝ÎÂÏÂÌÚ
ÍÓÚÓÓ„Ó ÏÓÊÌÓ ÔÓÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ Ó‰ÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÒÓ ‚ÒÂÏË
Ì ‡ Ú Û ‡ Î ¸ Ì ˚ Ï Ë ˜ËÒ·ÏË: (1, 2, 3,..., n,...).
è Ë Ï Â 18. åÌÓÊÂÒÚ‚Ó, ÒÓÒÚÓfl˘Â ËÁ ‚ÒÂı ˆÂÎ˚ı ˜ËÒÂÎ,
fl‚ÎflÂÚÒfl Ò˜ÂÚÌ˚Ï. ÑÎfl ˝ÚÓ„Ó ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ÛÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÂ
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ:
fl‰ ̇ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ 1, 2, 3, 4, 5,...
fl‰ ˆÂÎ˚ı ˜ËÒÂÎ 0, 1, –1, 2, –2,...
é·ÓÁ̇˜ËÏ n ˝ÎÂÏÂÌÚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ̇ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ N, ‡
w – ˝ÎÂÏÂÌÚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ W ‚ÒÂı ˆÂÎ˚ı ˜ËÒÂÎ. íÓ„‰‡ Ó‰ÌÓÁ̇˜-
ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÏÂÊ‰Û ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ N Ë W ÛÒÚ‡-
̇‚ÎË‚‡ÂÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ:
wnn
wn n
= − =
( )/ ( , , , ,...),121357
= /2 ( = 2, 4, 6, 8,...).
(1.35)
ÏÂÌÚ Ú‡·Îˈ˚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ëfl ÏÂÊ‰Û ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË n Ë w
‚˚„Îfl‰ËÚ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ:
ùÚÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Ë ‚ ‰Û„ÓÏ ‚ˉÂ:
nww
nww
= −≤
12 0 ˆÂÎÓÂ
= 2 ( >, ˆÂÎÓÂ).
(, ),
(1.36)
è Ë Ï Â 19. ìÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ ӉÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÏÂʉÛ
ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ W ‚ÒÂı ˆÂÎ˚ı ˜ËÒÂÎ Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ v = (3, 9,
27,..., 3
n
,...), „‰Â n – ̇ÚۇθÌÓ ˜ËÒÎÓ (Û͇Á‡ÌË – ‚ÓÒÔÓθ-
ÁÛÈÚÂÒ¸ ÙÓÏÛ·ÏË (1.35).
è Ë Ï Â 20. èÓ͇ÊËÚÂ, ˜ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó R ‚ÒÂı ‡ˆËÓ̇θ-
Ì˚ı ˜ËÒÂÎ r = p/q, „‰Â p, q – ˆÂÎ˚ ˜ËÒ· (q ≠ 0), ÚÓÊÂ
Ò˜ÂÚÌÓ.
è Ë Ï Â 2 1. ÑÓ͇ÊËÚÂ, ˜ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‚ÒÂı ÏÓÎÂÍÛÎ ‚Ó‰˚
‚ áÂÏÎÂ, ̇ ÔÓ‚ÂıÌÓÒÚË áÂÏÎË Ë ‚ ‡ÚÏÓÒÙÂÂ Í Ó Ì Â ˜ Ì Ó
(Û͇Á‡ÌË – ËÒÔÓθÁÛÈÚ ‰‚‡ ÔÓÌflÚËfl: χÒÒ‡ ÏÓÎÂÍÛÎ˚ ‚Ó‰˚ Ë
χÒÒ‡ áÂÏÎË, ‚Íβ˜‡fl  ‡ÚÏÓÒÙÂÛ). ➤
ëÔ‡‚‰ÎË‚Ó ÒÎÂ‰Û˛˘Â ÛÚ‚ÂʉÂÌËÂ: ‚ÒflÍÓ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ-
‚Ó Ò˜ÂÚÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ÍÓ̘ÌÓ ËÎË Ò˜ÂÚÌÓ. Ç ˝ÚÓÏ ÏÓÊÌÓ
۷‰ËÚ¸Òfl ıÓÚfl ·˚ ̇ Ú‡ÍÓÏ ÔËÏÂÂ. åÌÓÊÂÒÚ‚Ó ê ‚ÒÂı ÔÓÎÓ-
ÊËÚÂθÌ˚ı ˜ÂÚÌ˚ı ˜ËÒÂÎ fl ‚ÎflÂÚÒfl ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡
N ‚ÒÂı ̇ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ. çÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ê Ò˜ÂÚÌÓ, Ú‡Í Í‡Í
n 1 234567...
w 0 1 –1 2 –2 3 –3 ...
31
ÏÂÊ‰Û Â„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚÓÏ Ë ˝ ÎÂÏÂÌÚÓÏ n ∈ N ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡ÂÚÒfl
ÒÎÂ‰Û˛˘Â ӉÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ: = 2n.
í‡ÍÊ ÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó ÛÚ‚ÂʉÂÌË (Ï˚ Â„Ó ‰Ó͇Á˚‚‡Ú¸ ÌÂ
·Û‰ÂÏ) Ó ÚÓÏ, ˜ÚÓ ÒÛÏχ β·Ó„Ó ÍÓ̘ÌÓ„Ó ËÎË Ò˜ÂÚÌÓ„Ó ˜ËÒ-
· Ò˜ÂÚÌ˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ fl‚ÎflÂÚÒfl Ú‡ÍÊ ҘÂÚÌ˚Ï ÏÌÓÊÂÒÚ-
‚ÓÏ.
å˚ ۷‰ËÎËÒ¸, ˜ÚÓ ‰Îfl β·˚ı Ò˜ÂÚÌ˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ÏÓÊÌÓ ÛÒ-
Ú‡ÌÓ‚ËÚ¸ ‚Á‡ËÏÌÓ ӉÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ.
ë ÔÓÏÓ˘¸˛ Ú‡ÍÓ„Ó ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ëfl ÏÓÊÌÓ Ò‡‚ÌË‚‡Ú¸ β·˚Â
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡. Ñ‚‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒfl ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚-
ÏË (Ä ∼ Ç), ÂÒÎË ÏÂÊ‰Û Ëı ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ÏÓÊÌÓ ÛÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸
‚ Á ‡ Ë Ï Ì Ó Ó ‰ Ì Ó Á Ì ‡ ˜ Ì Ó Â ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ.
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ‚Ò ‚ˉ˚ Ò˜ÂÚÌ˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚
ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û Ì‡ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ Ë ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ ÏÂÊ‰Û ÒÓ·ÓÈ.
ç‡ÁÓ‚ÂÏ ÌÂÒ˜ÂÚÌ˚Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ Ú‡ÍÓÂ, ÍÓÚÓÓ ÒÓ‰ÂÊËÚ
·ÂÒÍÓ̘ÌÓ ˜ËÒÎÓ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ Ë Ì fl‚ÎflÂÚÒfl Ò˜ÂÚÌ˚Ï, Ú.Â. ÌÂ
˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û Ì‡ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ.
Ç Ì‡˜‡Î ˝ÚÓ„Ó ÔÛÌÍÚ‡ Ï˚ ÔË‚Ó‰ËÎË ÔËÏÂ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚,
ÍÓÚÓ˚ Ì ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û Ì‡ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ: ÏÌÓ-
ÊÂÒÚ‚Ó ÚÓ˜ÂÍ ‚ÌÛÚË ¯‡‡ ‡‰ËÛÒ‡ r; ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÚÓ˜ÂÍ, ÎÂʇ-
˘Ëı ̇ ÔÓ‚ÂıÌÓÒÚË ÒÙ ˚. ä Ú‡ÍËÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡Ï ÏÓÊÌÓ ÓÚÌÂ-
ÒÚË Ë ˜ËÒÎÓ ÚÓ˜ÂÍ Î˛·Ó„Ó ÓÚÂÁ͇ ÔflÏÓÈ.
ëÔ‡¯Ë‚‡ÂÚÒfl, ÏÓÊÌÓ ÎË ÛÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÏÂʉÛ
Ú‡ÍËÏË ÌÂÒ˜ÂÚÌ˚ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË? èÓ͇ÊÂÏ, Í‡Í ˝ÚÓ ‰Â·ÂÚÒfl.
è Ë Ï Â 22. ìÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ Ó‰ÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÏÂʉÛ
˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä = {0 ≤ a ≤ 1} Ë Ç = {0
≤ b ≤ 2}, A
⊂
B.
ç‡ ËÒ. 1.11 ÔÓ͇Á‡ÌÓ, Í‡Í ˝ÚÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡ÂÚÒfl.
ÇÓÁ¸ÏÂÏ ÓÚÂÁÓÍ, ‡‚Ì˚È Â‰ËÌˈÂ, Ë ËÁ ÚÓ˜ÍË 1 ‚ÓÒÒÚ‡ÌÓ‚ËÏ
ÔÂÔẨËÍÛÎfl, ‚˚ ÒÓÚÓÈ ‡‚Ì˚È Â‰ËÌˈÂ, ‡ ËÁ ÚÓ˜ÍË 2 – ‚˚ÒÓ-
ÚÓÈ ‡‚Ì˚È ‰‚ÛÏ. ÇÓÁ¸ÏÂÏ Î˛·Û˛ ÚÓ˜ÍÛ ‡ ∈ Ä Ë ÒÓ‰ËÌËÏ ÂÂ
ÔflÏÓÈ, ÔÓıÓ‰fl˘ÂÈ ˜ÂÂÁ ÚÓ˜ÍÛ ‡ Ë 0. Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÏÂʉÛ
β·˚ÏË ‰‚ÛÏfl ÚӘ͇ÏË ‡ ∈ Ä Ë b ∈ Ç ·Û‰ÂÚ ÛÒÚ‡ÌÓ‚ÎÂÌÓ Ó‰ÌÓ-
êàë. 1.11
32
Á̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë b = 2a. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç
˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚. çÓ ‚ ͇˜ÂÒÚ‚Â ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç ÏÓÊÌÓ ‚ÁflÚ¸ β·ÓÈ
ÓÚÂÁÓÍ. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÚÓ˜ÂÍ ÓÚÂÁ͇ [0, 1] Ë Î˛-
·Ó„Ó ‰Û„Ó„Ó ÓÚÂÁ͇ ÔflÏÓÈ, ‚Íβ˜‡fl Ë ‚Ò˛ ÔflÏÛ˛, ˝Í‚Ë‚‡-
ÎÂÌÚÌ˚. ➤
èË Ò‡‚ÌÂÌËË ‡Á΢Ì˚ı ÏÌÓÊÂÒÚ‚, ÍÓÏ ÔÓÌflÚËfl ˝Í‚Ë-
‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË, ÔÓθÁÛ˛ÚÒfl ÔÓÌflÚËÂÏ ÏÓ˘ÌÓÒÚË. Ñ‚‡ ÍÓ̘Ì˚ı
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌË ËϲÚ
Ó‰Ë̇ÍÓ‚Ó ÍÓ΢ÂÒÚ‚Ó ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚. ÖÒÎË Ê ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ ÔÓ-
ËÁ‚ÓθÌ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç, ÚÓ Ï˚ ·Û‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ ÓÌË
ËÏÂ˛Ú Ó‰Ë̇ÍÓ‚Û˛ ÏÓ˘ÌÓÒÚ¸.
åÓ˘ÌÓÒÚ¸ β·Ó„Ó Ò˜ÂÚÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ·Û‰ÂÏ Ó·ÓÁ̇˜‡Ú¸
ÒËÏ‚ÓÎÓÏ ë
0
, ‡ ÏÓ˘ÌÓÒÚ¸ ÌÂÒ˜ÂÚÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡, ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ-
„Ó ‚ÒÂÏ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚Ï ˜ËÒÎ‡Ï ÓÚÂÁ͇ [0, 1], ·Û‰ÂÏ Ó·ÓÁ̇-
˜‡Ú¸ ÒËÏ‚ÓÎÓÏ ë Ë ·Û‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ˜ËÒÂÎ ÓÚÂÁ-
͇ [0, 1] ËÏÂÂÚ ÏÓ˘ÌÓÒÚ¸ ÍÓÌÚËÌÛÛχ. é·ÓÁ̇˜‡Ú¸ ÏÓ˘ÌÓÒÚ¸
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ·Û‰ÂÏ Ú‡Í: m(A). ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÂÒÎË ÍÓ̘Ì˚Â
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç Óڂ˜‡˛Ú ÛÒÎӂ˲ m(A) = m(B), ÚÓ ˝ÚÓ ÓÁ̇-
˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ ˝ÚË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ÒÓÒÚÓflÚ ËÁ Ó‰Ë̇ÍÓ‚Ó„Ó ˜ËÒ· ˝ÎÂÏÂÌ-
ÚÓ‚. ÖÒÎË Ò˜ÂÚÌ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç Óڂ˜‡˛Ú ÛÒÎӂ˲: m(A) =
= m(B), ÚÓ ˝ÚÓ ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚
fl‰Û ̇ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ. ÖÒÎË ÌÂÒ˜ÂÚÌ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ë Ç
Óڂ˜‡˛Ú ÛÒÎӂ˲: m(A) = m(B), ÚÓ ˝ÚÓ ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ ÏÌÓÊÂ-
ÒÚ‚‡ Ä Ë Ç ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Û ÚÓ˜ÂÍ ÓÚÂÁ͇ [0, 1].
èÓ͇ÊÂÏ, ˜ÚÓ ÏÓ˘ÌÓÒÚ¸ ë
0
Ò˜ÂÚÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ÏÂ̸¯Â
ÏÓ˘ÌÓÒÚË ë ÌÂÒ˜ÂÚÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç. ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ, ÔÓÒΉÓ-
‚‡ÚÂθÌÓÒÚ¸ ˜ËÒÂÎ
a
n
: , ,..., ,...,1
1
2
1
3
1
(„‰Â n ∈ N (ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó
̇ÚۇθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ)) fl‚ÎflÂÚÒfl Ò˜ÂÚÌ˚ Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ Ä, ÔË
˝ÚÓÏ Î˛·ÓÈ ˝ÎÂÏÂÌÚ ‡ ∈ [0, 1]. ë ‰Û„ÓÈ ÒÚÓÓÌ˚ , ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó
B = {0 ≤ b ≤ 1} ÒÓ‰ÂÊËÚ ‚ Ò· ҘÂÚÌÓ ˜ËÒÎÓ ÔÓÎÛÓÚÍ˚Ú˚ı
ÓÚÂÁÍÓ‚
1
2
1
2
1
4
1
3
1
1
1
+
; , ; , ; ,..., ; ,... 1
1
3 nn
í‡ÍËÏ Ó·‡-
ÁÓÏ, ͇ʉÓÏÛ ˝ Î Â Ï Â Ì Ú Û ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ÏÓÊÌÓ ÔÓÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ Ó‰-
ÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ÔÓÎÛÓÚÍ˚Ú˚È ÓÚÂÁÓÍ. ä‡Ê‰˚È ËÌ-
Ú‚‡Î (ËÎË ÓÚÂÁÓÍ, ËÎË ÔÓÎÛÓÚÂÁÓÍ) ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÂÌ ÏÌÓÊÂ-
ÒÚ‚Û ÚÓ˜ÂÍ, ÔË̇‰ÎÂʇ˘Ëı ÓÚÂÁÍÛ [0, 1], Ëϲ˘ÂÏÛ ÏÓ˘-
ÌÓÒÚ¸ ÍÓÌÚËÌÛÛχ. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, m(A) = C
0
< C = m(B).
åÓÊ- ÌÓ ÔÓ͇Á‡Ú¸, ˜ÚÓ ÏÂÊ‰Û ÏÓ˘ÌÓÒÚflÏË ‰‚Ûı β·˚ı ÏÌÓ-
ÊÂÒÚ‚ ÏÓÊÂÚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡Ú¸ ÚÓθÍÓ ÚË ‚Á‡ËÏÌÓ ËÒÍβ˜‡˛˘Ëı
‚˚‡ÊÂÌËfl:
m(A) = m(B) – ÏÓ˘ÌÓÒÚË ÏÌÓÊÂÒÚ‚ Ä Ë Ç ‡‚Ì˚;
33
m(A) > m(B) – ÏÓ˘ÌÓÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ·Óθ¯Â ÏÓ˘ ÌÓÒÚË
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç;
m(A) < m(B) – ÏÓ˘ÌÓÒÚ¸ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ÏÂ̸¯Â ÏÓ˘ÌÓÒÚË
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç.
1.2. èêÖéÅêÄáéÇÄçàÖ åçéÜÖëíÇ
èË ËÁÛ˜ÂÌËË Ï‡ÚÂχÚËÍË Ó‰ÌËÏ ËÁ ÓÒÌÓ‚Ì˚ı ÔÓÌflÚËÈ fl‚-
ÎflÂÚÒfl ÔÓÌflÚË ÙÛÌ͈ËË f, ÍÓÚÓ‡fl ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ
Ó·‡ÁÓÏ: y ÂÒÚ¸ ÙÛÌ͈Ëfl x, ÂÒÎË Í‡Ê‰ÓÏÛ ˜ËÒÎÛ x, ÔË̇‰ÎÂ-
ʇ˘ÂÏÛ Ó·Î‡ÒÚË Â„Ó ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl X(x ∈ X), ÒÚ‡‚ËÚÒfl ‚ ÒÓÓÚ-
‚ÂÚÒÚ‚Ë ÓÔ‰ÂÎÂÌÌÓ ˜ËÒÎÓ y = f(x), ÔË̇‰ÎÂʇ˘Â ӷ·Ò-
ÚË Á̇˜ÂÌËÈ Y(y ∈ Y), ÔË ˝ÚÓÏ Ô‰ÔÓ·„‡ÂÚÒfl, ˜ÚÓ X Ë Y
fl‚Îfl˛ÚÒfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ÏË ˜ËÒÂÎ. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, Ò ÔÓÏÓ˘¸˛
ÙÛÌ͈ËË Ó‰ÌË ˜ËÒ· Ô Â Ó · ‡ Á Û ˛ Ú Ò fl ‚ ‰Û„ËÂ.
Ä̇Îӄ˘ÌÓ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌË ÏÓÊÌÓ ‚‚ÂÒÚË Ë ‰Îfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚
ÔÓËÁ‚ÓθÌÓÈ ÒÚÛÍÚÛ˚ Ä Ë Ç. ÉÓ‚ÓflÚ, ˜ÚÓ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Ä
ÓÔ‰ÂÎÂ̇ ÙÛÌ͈Ëfl f, ÔËÌËχ˛˘‡fl Á̇˜ÂÌËfl ËÁ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡
Ç, ÂÒÎË Í‡Ê‰ÓÏÛ ˝ÎÂÏÂÌÚÛ ‡ ∈ Ä ÔÓÒÚ‡‚ÎÂÌ ‚ Ó‰ÌÓÁ̇˜ÌÓ ÒÓ-
ÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ b ∈ Ç. é·˚˜ÌÓ ‚ ÚÂÓËË ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ÚÂÏËÌ
“ÙÛÌ͈Ëfl” Á‡ÏÂÌflÂÚÒfl ÚÂÏËÌÓÏ “ÓÚÓ·‡ÊÂÌË”. ëΉӂ‡ÚÂθ-
ÌÓ, ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ ÓÚÓ·‡ÊÂÌË ӉÌÓ„Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‚ ‰Û„ÓÂ. ç‡
ËÒ. 1.12 ÔÓ͇Á‡Ì‡ ÛÒÎӂ̇fl ÒıÂχ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡
Ä ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ç.
è Ë Ï Â 1. ê‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä ÒÚÛ‰ÂÌÚÓ‚ ÒÔÂ-
ˆË‡Î¸ÌÓÒÚË 22.02, ÔÓÊË‚‡˛˘Ëı ‚ Ó·˘ÂÊËÚËË, Ë ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ç
ÌÓÏÂÓ‚ ÍÓÏÌ‡Ú Ó·˘ÂÊËÚËfl. Ç Í‡˜ÂÒÚ‚Â ÓÚÓ·‡ÊÂÌËfl ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚
‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ‚ ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ b ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒχÚË-
‚‡Ú¸ Ôӈ‰ÛÛ f Á‡ÍÂÔÎÂÌËfl ÏÂÒÚ Á‡ ÒÚÛ‰ÂÌÚ‡ÏË ‚ Ó·˘ÂÊË-
ÚËË ‰Â͇̇ÚÓÏ. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡ÂÚÒfl Ó‰ÌÓÁ̇˜ÌÓÂ
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Ë b = f(a). á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ‚ ‰‡ÌÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ‡Á΢-
Ì˚Ï ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ Ó‰ËÌ ˝ÎÂÏÂÌÚ ËÁ
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç (‚ Ó‰ÌÓÈ ÍÓÏ̇Ú ÔÓÊË‚‡ÂÚ ÌÂÒÍÓθÍÓ ÒÚÛ‰ÂÌ-
ÚÓ‚). ➤
êàë. 1.12
34
ÖÒÎË ˝ÎÂÏÂÌÚ ‡ ∈ Ä, ÚÓ ˝ÎÂÏÂÌÚ b = f(a)∈B ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ó·-
‡ÁÓÏ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ ‡ ÔË Â„Ó ÓÚÓ·‡ÊÂÌËË f ‚Ó ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ç (ÒÏ.
ËÒ. 1.12). èÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä
1
⊂ Ä, ‰Îfl Í‡Ê‰Ó„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ ÍÓÚÓ-
Ó„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ b ∈ Ç fl‚ÎflÂÚÒfl Ó·‡ÁÓÏ, ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓÎÌ˚Ï ÔÓ-
Ó·‡ÁÓÏ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ b Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl f
–1
(b):f
–1
(b) = A
1
(ÒÏ. ËÒ.
1.13).
è Ë Ï Â 2. ÑÓÔÛÒÚËÏ, ˜ÚÓ ˜ËÒÎÓ ÒÚÛ‰ÂÌÚÓ‚, Ó·Û˜‡˛˘ËıÒfl
ÔÓ ÒÔˆˇθÌÓÒÚË 22.02 Ë ÔÓÊË‚‡˛˘Ëı ‚ Ó·˘ÂÊËÚËË, ‡‚ÌÓ
30, ‡ ˜ËÒÎÓ ÍÓÏÌ‡Ú ‚ Ó·˘ÂÊËÚËË – 15, ÔË ˝ÚÓÏ ‚ ͇ʉÓÈ ÍÓÏ-
̇Ú ÔÓÊË‚‡ÂÚ ÔÓ ‰‚‡ ÒÚÛ‰ÂÌÚ‡. ÇÒ ÒÚÛ‰ÂÌÚ˚, ÔÓÊË‚‡˛˘ËÂ
‚ Ó·˘ÂÊËÚËË, ÔÓÌÛÏÂÓ‚‡Ì˚ ‚ ‡ÎÙ‡‚ËÚÌÓÏ ÔÓfl‰ÍÂ: Ä = {1,
2,..., 30}, ‡ ÍÓÏ̇Ú˚ ‰Îfl ÒÔˆˇθÌÓÒÚË 22.02 ËÏÂ˛Ú ÌÓχ
405, 406,..., 419: Ç = {405, 406,..., 419}. èË ˝ÚÓÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ç ÔÓ‚Ó‰ËÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ:
405 = f(1), 405 = f(2); 406 = f(3); 406 = f(4),..., 419 = f(29);
419 = f(30), Ú.Â. ‡ÒÒÂÎÂÌËÂ Ô Ó‚Ó‰ËÚÒfl ‚ ÔÓfl‰Í ‚ÓÁ‡ÒÚ‡ÌËfl
ÌÓχ ÒÚÛ‰ÂÌÚ‡ Ë ÌÓχ ÍÓÏ̇Ú˚. íÓ„‰‡ ÔÓÎÌ˚Ï ÔÓÓ·‡ÁÓÏ
ÔÂ‚Ó„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ b
1
ËÁ B (ÍÓÏ̇Ú˚ ‹ 405) ·Û‰ÂÚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó
Ä
1
= {1, 2} = f
–1
(b
1
) = f
–1
(405). чÎÂÂ
Ä
2
= {3, 4} = f
–1
(b
2
) = f
–1
(406),..., A
15
= {29, 30} =
= f
–1
(b
15
) = f
–1
(419). ➤
Ä̇Îӄ˘ÌÓ ÓÔ‰ÂÎflÂÚÒfl ÓÚÓ·‡ÊÂÌË ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä
1
‚
Ç. èÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ç
1
‚ÒÂı ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ b = f(a)(a ∈ A
1
) ̇Á˚‚‡ÂÚ-
Òfl Ó·‡ÁÓÏ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä
1
: Ç
1
= f(A
1
) (ËÒ. 1.14)
èÓıÓÊ ÓÔ‰ÂÎÂÌË ‰‡ÂÚÒfl Ë ‰Îfl ÔÓÎÌÓ„Ó ÔÓÓ·‡Á‡ ÔÓ‰-
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç. èÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä
1
⊂ Ä fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÌ˚Ï ÔÓÓ·‡-
ÁÓÏ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç
1
(Ä
1
= f
–1
(B
1
)),ÂÒÎË Í‡Ê‰˚È Â„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ
‡ ∈ Ä
1
fl‚ÎflÂÚÒfl ÔÓÎÌ˚Ï ÔÓÓ·‡ÁÓÏ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ b(a = f
–1
(b); b ∈
∈ B
1
) (ËÒ. 1.14). ç ËÒÍβ˜‡ÂÚÒfl ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚ¸, ˜ÚÓ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂ-
ÒÚ‚Ó Ä
1
·Û‰ÂÚ ÔÛÒÚ˚Ï. ç‡ÔËÏÂ, ‰Îfl ÔËÏÂÓ‚ 1, 2 ˝ÚÓ ·Û‰ÂÚ
êàë. 1.13 êàë. 1.14
35
ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ Û ‰Â͇̇ڇ ·Û‰ÛÚ Â˘Â ‰‚ ÍÓÏ̇Ú˚: 420, 421, ÍÓÚÓ-
˚ Ó͇ÊÛÚÒfl ÌÂÁ‡ÒÂÎÂÌÌ˚ÏË.
è Ë Ï Â 3. ç‡ÈÚË ÔÓÎÌ˚È ÔÓÓ·‡Á ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç
1
=
= {407, 408, 409, 412} ‰Îfl ÛÒÎÓ‚ËÈ ÔËÏÂÓ‚ 1 Ë 2.
é Ú ‚ Â Ú : Ä
1
= f
–1
(B
1
) = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 16}.
è Ë Ï Â 4. ç‡ÈÚË ÔÓÎÌ˚È Ô ÓÓ·‡Á ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ç
1
=
= {406, 411, 414} ‰Îfl ÛÒÎÓ‚ËÈ ÔËÏÂÓ‚ 1, 2. éÚ‚ÂÚ ÔÓ͇Á‡Ú¸
ÔÂÔÓ‰‡‚‡ÚÂβ. ➤
ÖÒÎË f(A) = D, ÚÓ ·Û‰ÂÏ „Ó‚ÓËÚ¸, ˜ÚÓ f ÂÒÚ¸ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËÂ
ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä “̇” ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ç; ÂÒÎË f(A) ⊂ B, ÚÓ ·Û‰ÂÏ „Ó‚Ó-
ËÚ¸, ˜ÚÓ f ÂÒÚ¸ ÓÚÓ·‡ÊÂÌË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä “‚” ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ç.
åÓÊÌÓ ‰Ó͇Á‡Ú¸ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ÛÚ‚ÂʉÂÌËfl.
1. èÓÓ·‡Á ÒÛÏÏ˚ ‰‚Ûı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ‡‚ÂÌ ÒÛÏÏ Ëı ÔÓÓ·-
‡ÁÓ‚:
f
–1
(A + B) = f
–1
(A) + f
–1
(B). (1.37)
ùÚÓ ‚˚‡ÊÂÌˠ΄ÍÓ Ó·Ó·˘‡ÂÚÒfl ̇ ÍÓ̘ÌÓ ËÎË Ò˜ÂÚÌÓÂ
˜ËÒÎÓ Ò·„‡ÂÏ˚ı
fA fA
i
ii
i
−−
∑∑
=
11
( ), (1.38)
ÍÓÚÓÓ ˜ËÚ‡ÂÚÒfl Ú‡Í: ÔÓÓ·‡Á ÒÛÏÏ˚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ‡‚ÂÌ ÒÛÏÏÂ
ÔÓÓ·‡ÁÓ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚.
2. èÓÓ·‡Á ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl ‰‚Ûı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ‡‚ÂÌ ÔÓËÁ‚Â-
‰ÂÌ˲ Ëı ÔÓÓ·‡ÁÓ‚:
f
–1
(A⋅B) = f
–1
(A)⋅f
–1
(B). (1.39)
Ä̇Îӄ˘ÌÓ (1.38) Ó·Ó·˘ÂÌË ËÏÂÂÚ ÏÂÒÚÓ Ë ‰Îfl ‚˚‡ÊÂ-
ÌËfl (1.39)
fA fA
i
ii
i
−−
∏∏
=
11
( ), (1.40)
ÑÛ„ËÏË ÒÎÓ‚‡ÏË, ÁÌ‡Í ÒÛÏÏ˚ (ÁÌ‡Í ÔÓËÁ‚‰ÂÌËfl) ÏÓÊÌÓ ÏÂ-
ÌflÚ¸ ÏÂÒÚ‡ÏË ÒÓ Á̇ÍÓÏ Ì‡ıÓʉÂÌËfl ÔÓÓ·‡ÁÓ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚.
3. é·‡Á ÒÛÏÏ˚ ‰‚Ûı ÏÌÓÊÂÒÚ‚ ‡‚ÂÌ ÒÛÏÏ Ëı Ó·‡ÁÓ‚:
f(A + B) = f(A) + f(B) (1.41)
ËÎË
fA fA
i
ii
i
∑∑
= ( ), (1.42)
Ú.Â. ÁÌ‡Í ÒÛÏÏ˚ ÏÓÊÌÓ ÏÂÌflÚ¸ ÏÂÒÚ‡ÏË ÒÓ Á̇ÍÓÏ Ì‡ıÓʉÂÌËfl
Ó·‡Á‡.
36
1.3. ëèéëéÅõ áÄÑÄçàü éíçéòÖçàâ, ÅàçÄêçõÖ
éíçéòÖçàü. ùäÇàÇÄãÖçíçéëíú, èéêüÑéä
èË ÒÓÒÚ‡‚ÎÂÌËË ÏÓ‰ÂÎÂÈ ËÌÙÓχˆËÓÌÌ˚ı ÔÓˆÂÒÒÓ‚ Ë
ÛÔ‡‚ÎÂÌËfl Ì‡Ï Ì‰ÍÓ ÔËıÓ‰ËÚÒfl ‡Á·Ë‚‡Ú¸ ÌÂÍÓÚÓÓ ÏÌÓ-
ÊÂÒÚ‚Ó Ä Ì‡ ÔÓÔ‡ÌÓ ÔÂÂÒÂ͇˛˘ËÂÒfl ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä
1
, Ä
2
,...,
Ä
i
,... í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ,
AA
i
i
=
∑
. (1.43)
Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â „Ó‚ÓflÚ, ˜ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä ‡Á·ËÚÓ Ì‡ Í·ÒÒ˚.
è Ë Ï Â 1. èË ÔÓÒÚÛÔÎÂÌËË ËÌÙÓχˆËË ‚ Äëì ͇ʉ‡fl
Ô‚˘̇fl ËÌÙÓχˆËfl (èà) ÏÓÊÂÚ ËÏÂÚ¸ ‡Á΢Ì˚È ÔËÓË-
ÚÂÚ ‚ ÂÂ Ó·‡·ÓÚÍÂ: èà
1
ӷ·‰‡ÂÚ Ô‚˚Ï ÔËÓËÚÂÚÓÏ Ë Ó·‡-
·‡Ú˚‚‡ÂÚÒfl ‚ ÔÂ‚Û˛ Ә‰¸ (‚Ò ÓÒڇθÌ˚ ‚ˉ˚ èà ‚ ˝ÚÓÏ
ÒÎÛ˜‡Â Ì ӷ‡·‡Ú˚‚‡˛ÚÒfl Ë ÓÊˉ‡˛Ú Ò‚ÓÂÈ Ó˜Â‰Ë). ÖÒÎË
‚Òfl èà
1
Ó·‡·Óڇ̇, ÚÓ ÔËÒÚÛÔ‡˛Ú Í Ó·‡·ÓÚÍ èà
2
. ÖÒÎË ‚
˝ÚÓ ‚ÂÏfl ÔÓÒÚÛÔ‡ÂÚ èà
1
, ÚÓ Ó·‡·ÓÚ͇ èà
2
ÔÂ͇˘‡ÂÚÒfl ‰Ó
ÚÂı ÔÓ, ÔÓ͇ Ì ·Û‰ÂÚ Ó·‡·Óڇ̇ èà
1
. ÖÒÎË Ó·‡·ÓÚ‡Ì˚ èà
1
Ë èà
2
, ÚÓ Ì‡˜Ë̇˛Ú Ó·‡·‡Ú˚‚‡Ú¸ èà
3
Ë Ú.‰. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
‚Òfl ÔÓÒÚÛÔ‡˛˘‡fl Ô‚˘̇fl ËÌÙÓχˆËfl ‡Á·Ë‚‡ÂÚÒfl ̇ Í·Ò-
Ò˚ ÔÓ ÔËÓËÚÂÚÛ (Ә‰ÌÓÒÚË)  ӷ‡·ÓÚÍË. ➤
ê‡Á·ËÂÌË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ̇ Í·ÒÒ˚ ¯ËÓÍÓ ÔËÏÂÌflÂÚÒfl ÔË
ÓÔËÒ‡ÌËË ËÌÙÓχˆËÓÌÌ˚ı ÔÓˆÂÒÒÓ‚. ÖÒÎË ˝ÎÂÏÂÌÚ ‡ ∈ Ä
i
,
ÚÓ ÓÌ fl‚ÎflÂÚÒfl Í‡Í ·˚ Ô‰ÒÚ‡‚ËÚÂÎÂÏ Ò‚ÓÂ„Ó Í·ÒÒ‡. á̇fl ËÌ-
ÙÓχˆËÓÌÌ˚ ҂ÓÈÒÚ‚‡ ˝ÚÓ„Ó Ô‰ÒÚ‡‚ËÚÂÎfl, ÏÓÊÌÓ ‚˚fl‚ËÚ¸
‚Ò ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ‰‡ÌÌÓ„Ó Í·ÒÒ‡ Ä
i
.
ÑÎfl ÚÓ„Ó ˜ÚÓ·˚ ‡Á·ËÚ¸ ‚Ò ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä Ì‡ Í·ÒÒ˚, ÌÂÓ·-
ıÓ‰ËÏÓ ‚‚ÂÒÚË ÌÂÍÓÚÓÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌË ϕ ÏÂÊ‰Û Â„Ó ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ÏË ‡
Ë ‚, ÍÓÚÓÓ ӷÓÁ̇˜ËÏ Ú‡Í
aba Ab A
˜
,).ϕ ( ∈∈ (1.44)
éÚÌÓ¯ÂÌË ϕ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÓÚÌÓ¯ÂÌËÂÏ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË, ÂÒ-
ÎË ÓÌÓ Ó·Î‡‰‡ÂÚ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ÏË:
1) ÂÙÎÂÍÒË‚ÌÓÒÚË:
aa
˜
ϕ ‰Îfl β·Ó„Ó ‡ ∈ Ä
i
.
2) ÒËÏÏÂÚ˘ÌÓÒÚË: ÂÒÎË
ab ba
˜
,
˜
ϕϕ ÚÓ (‡ ∈ Ä
i
; b ∈ A
i
).
3) Ú‡ÌÁËÚË‚ÌÓÒÚË: ÂÒÎË
ab bc ac
˜˜
,
˜
.ϕϕ ϕ Ë ÚÓ Ë
îÓÏÛÎÛ (1.44) ÒΉÛÂÚ ˜ËÚ‡Ú¸ Ú‡Í: “˝ÎÂÏÂÌÚ ‡ ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚
ÚÓÏ Ê Í·ÒÒÂ, ˜ÚÓ Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ b; ÂÒÎË ˝ÚÓÚ Í·ÒÒ ÒÓÒÚ‡‚ÎflÂÚ
ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó A
i
, ÚÓ a ∈ A
i
Ë b ∈ A
i
.
ë‚ÓÈÒÚ‚‡ ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË ÒΉÛÂÚ ˜ËÚ‡Ú¸ Ú‡Í:
1.
ùÎÂÏÂÌÚ ‡ ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚ ÚÓÏ Ê Í·ÒÒÂ,
˜ÚÓ
Ë
Ò‡Ï
˝ÎÂÏÂÌÚ
‡.
2. ÖÒÎË ˝ÎÂÏÂÌÚ ‡ ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚ ÚÓÏ Ê Í·ÒÒÂ, ˜ÚÓ Ë
˝ÎÂÏÂÌÚ
b, ÚÓ Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ b ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚ ÚÓÏ Ê Í·ÒÒÂ, ˜ÚÓ Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ a.
37
3. ÖÒÎË ˝ÎÂÏÂÌÚ a ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚ ÚÓÏ Ê Í·ÒÒÂ, ˜ÚÓ Ë ˝ÎÂ-
ÏÂÌÚ b, ‡ ˝ ÎÂÏÂÌÚ b – ‚ ÚÓÏ Ê Í·ÒÒÂ, ˜ÚÓ Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ Ò, ÚÓ
˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ‡ Ë Ò Ì‡ıÓ‰flÚÒfl ‚ Ó‰ÌÓÏ Í·ÒÒÂ.
è Ë Ï Â 2. èÓ͇ÊËÚÂ, ˜ÚÓ ‡Á·ËÂÌË Ô‚˘ÌÓÈ ËÌÙÓχ-
ˆËË Ì‡ Í·ÒÒ˚ ÔÓ ÔËÓËÚÂÚÛ Â ӷ‡·ÓÚÍË ‚ Äëì Óڂ˜‡ÂÚ
Ò‚ÓÈÒÚ‚‡Ï ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË.
çÂÚÛ‰ÌÓ Û·Â‰ËÚ¸Òfl ‚ ÚÓÏ, ˜ÚÓ ‡Á·ËÂÌË ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä Ì‡
Í·ÒÒ˚ ÚÂÒÌÓ Ò‚flÁ‡ÌÓ Ò ÔÓÌflÚËÂÏ ÓÚÓ·‡ÊÂÌËfl ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡, ‡Ò-
ÒÏÓÚÂÌÌ˚Ï ‚˚¯Â.
ǂ‰ÂÏ ÔÓÌflÚË ·Ë̇ÌÓ„Ó ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl, ‰Îfl ÍÓÚÓÓ„Ó ÔÓÌfl-
ÚË ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË fl‚ÎflÂÚÒfl ˜‡ÒÚÌ˚Ï ÒÎÛ˜‡ÂÏ. ê‡ÒÒÏÓÚËÏ
ÔÓËÁ‚ÓθÌÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä Ë Ó·ÓÁ̇˜ËÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ Ä
2
ÒÓ‚Ó-
ÍÛÔÌÓÒÚ¸ ‚ÒÂı ÛÔÓfl‰Ó˜ÂÌÌ˚ı Ô‡ ˝ÎÂÏÂÌÚÓ‚ (‡, ‚), ÔË ˝ÚÓÏ
‡ ∈ Ä Ë b ∈ B. Ç˚‰ÂÎËÏ ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Ä
2
ÌÂÍÓÚÓÓ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂ-
ÒÚ‚Ó Ä
ϕ
(Ä
ϕ
⊂ Ä
2
). ùÎÂÏÂÌÚ ‡ ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚ ÓÚÌÓ¯ÂÌËË ϕ Í ˝ÎÂ-
ÏÂÌÚÛ
ba b
(
˜
)ϕ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓθÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ Ô‡‡ (
‡, ‚) ∈ Ä
ϕ
. Ç
͇˜ÂÒÚ‚Â ·Ë̇ÌÓ„Ó ÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒχÚË‚‡Ú¸Òfl ÓÚÌÓ-
¯ÂÌË ÚÓʉÂÒÚ‚‡ Ö (‡ Ö b), ÍÓÚÓÓ ÒÔ‡‚‰ÎË‚Ó, ÂÒÎË a = b.
í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÔË ÓÚÌÓ¯ÂÌËË ÚÓʉÂÒÚ‚‡ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Ä
Ö
ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ Ô‡ (‡, ‡) (‡ ∈ Ä; (‡, ‡) ∈ Ä
Ö
).
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÓÚÌÓ¯ÂÌË ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓÒÚË ϕ ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â
Ä Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ·Ë̇Ì˚Ï ÓÚÌÓ¯ÂÌËÂÏ, ÂÒÎË ÓÌÓ Óڂ˜‡ÂÚ ÚÂÏ
ÛÒÎÓ‚ËflÏ:
1. ä‡Ê‰‡fl Ô‡‡ (‡, ‡), „‰Â ‡ ∈ Ä, fl‚ÎflÂÚÒfl ˝ÎÂÏÂÌÚÓÏ ÏÌÓ-
ÊÂÒÚ‚‡ Ä
ϕ
((‡, ‡) ∈ Ä
ϕ
) – ÂÙÎÂÍÒË‚ÌÓÒÚ¸.
2. ÖÒÎË ˝ÎÂÏÂÌÚ (‡, ‚) ∈ Ä
ϕ
Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ (b, c) ∈ Ä
ϕ
, ÚÓ ˝ÎÂ-
ÏÂÌÚ (‡, c) ∈ Ä
ϕ
– Ú‡ÌÁËÚË‚ÌÓÒÚ¸.
3. ÖÒÎË ˝ÎÂÏÂÌÚ (‡, b) ∈ Ä
ϕ
, ÚÓ Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ (b, a) ∈ Ä
ϕ
–
ÒËÏÏÂÚ˘ÌÓÒÚ¸.
è Ë Ï Â 3. Ç Í‡˜ÂÒÚ‚Â ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä ‡ÒÒÏÓÚËÏ ‚Ò ‰ÂÈ-
ÒÚ‚ËÚÂθÌ˚ ˜ËÒ·, ‚ ͇˜ÂÒÚ‚Â ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ Ä
ϕ
– ÌÂÓÚˈ‡-
ÚÂθÌ˚ ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚ ˜ËÒ·, ‡ ‚ ͇˜ÂÒÚ‚Â ·Ë̇ÌÓ„Ó ÓÚÌÓ-
¯ÂÌËfl ϕ – ÓÔ‡ˆË˛ ‚ÁflÚËfl ÏÓ‰ÛÎfl ‡ÁÌÓÒÚË ‰‚Ûı ˜ËÒÂÎ:
(
˜
)ab abϕ = − . èÓ͇ÊÂÏ, ˜ÚÓ ‚‚‰ÂÌÌÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌË fl‚ÎflÂÚÒfl ·Ë-
̇Ì˚Ï ÓÚÌÓ¯ÂÌËÂÏ:
1. ÑÎfl β·Ó„Ó ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ„Ó ˜ËÒ· a(a ∈ A)a – a =
= 0 ∈ A
ϕ
.
2. ÑÎfl β·˚ı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚ı ˜ËÒÂÎ ‡ ∈ Ä, b ∈ A Ë Ò ∈ Ä:
a – b∈ A
ϕ
; b – c∈A
ϕ
; a – c∈ A
ϕ
.
3. ÖÒÎË a – b∈ A
ϕ
, ÚÓ Ë b – a∈ A
ϕ
.
ÅË̇ÌÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌË ϕ ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Ä Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ˜‡ÒÚ˘-
ÌÓÈ ÛÔÓfl‰Ó˜ÂÌÌÓÒÚ¸˛, ÂÒÎË ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ÛÒÎÓ-
‚Ëfl.