Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления

Подождите немного. Документ загружается.

ä ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚË Ó·ıÓ‰‡ Í‡Ê‰Ó„Ó Â·‡ „‡Ù‡ ıÓÚﬂ ·˚ ÔÓ

‡ÁÛ ÔË‚Ó‰ﬂÚ Á‡‰‡˜Ë ÚÂıÌË˜ÂÒÍÓ„Ó Ó·ÒÎÛÊË‚‡ÌËﬂ Ë ÂÏÓÌÚ‡

˝ÎÂÍÚË˜ÂÒÍËı Ë ÊÂÎÂÁÌÓ‰ÓÓÊÌ˚ı ÎËÌËÈ, ‰ÓÒÚ‡‚ÍË ÔÓ˜Ú˚ Ë

Ú.Ô.

É‡ÏËÎ¸ÚÓÌÓ‚˚Ï Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÒÚÓÈ ˆËÍÎ, ÔÓıÓ‰ﬂ˘ËÈ

ÒÚÓ„Ó ÔÓ Ó‰ÌÓÏÛ ‡ÁÛ ˜ÂÂÁ Í‡Ê‰Û˛ ‚Â¯ËÌÛ „‡Ù‡. éÌ ‰‚ÓÈ-

ÒÚ‚ÂÌ ˝ÈÎÂÓ‚Û ˆËÍÎÛ. ÑÎﬂ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ „‡ÏËÎ¸ÚÓÌÓ‚˚ı ˆËÍÎÓ‚

„‡Ù‡ G ÏÓÊÌÓ ÔÓÒÚÓËÚ¸ Â·ÂÌ˚È „‡Ù G

„‡Ù‡ G Ë ËÒ-

Í‡Ú¸ ‚ ÌÂÏ ˝ÈÎÂÓ‚˚ ˆËÍÎ˚. êÂ·ÂÌ˚È „‡Ù ËÏÂÂÚ ‚Â¯ËÌ˚,

ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÂ Â·‡Ï „‡Ù‡ G, ÍÓÚÓ˚Â ÒÓÂ‰ËÌÂÌ˚ ‰Û„ Ò

‰Û„ÓÏ, ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÂ ËÏ Â·‡

ÒÏÂÊÌ˚ ‚ G. ç‡ ËÒ. 2.35 ÔÓÍ‡Á‡Ì˚ „‡Ù G

Ë Â„Ó Â·ÂÌ˚È

„‡Ù G

ëÔ‡‚Â‰ÎË‚˚ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÂ ÛÚ‚ÂÊ‰ÂÌËﬂ:

ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËÂ ˝ÈÎÂÓ‚‡ ˆËÍÎ‡ ‚ G Ó·ÂÒÔÂ˜Ë‚‡ÂÚ ÒÛ˘ ÂÒÚ‚Ó-

‚‡ÌËÂ Í‡Í ˝ÈÎÂÓ‚‡, Ú‡Í Ë „‡ÏËÎ¸ÚÓÌÓ‚‡ ˆËÍÎÓ‚ ‚ G

;

Ì‡ÎË˜ËÂ „‡ÏËÎ¸ÚÓÌÓ‚‡ ˆËÍÎ‡ ‚ G Ó·ÂÒÔÂ˜Ë‚‡ÂÚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Ó‚‡-

ÌËÂ „‡ÏËÎ¸ÚÓÌÓ‚‡ ˆËÍÎ‡ ‚ G

ìÚ‚ÂÊ‰ÂÌËﬂ, Ó·‡ÚÌ˚Â ˝ÚËÏ, Í ÒÓÊ‡ÎÂÌË˛, ÌÂ ‰ÂÈÒÚ‚Ë-

ÚÂÎ¸Ì˚.

á‡‰‡˜‡ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ Ì‡ÎË˜Ëﬂ, ‡ Ú‡ÍÊÂ ÔÓÒÚÓÂÌËﬂ „‡ÏËÎ¸ÚÓ-

ÌÓ‚‡ ˆËÍÎ‡ „‡Ù‡ ËÏÂÂÚ ·ÓÎ¸¯ÓÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ‰Îﬂ Â¯ÂÌËﬂ ÔË-

ÍÎ‡‰Ì˚ı Á‡‰‡˜ ËÒÒÎÂ‰Ó‚‡ÌËﬂ ÓÔÂ‡ˆËÈ. ä ÌÂÈ Ò‚Ó‰ËÚÒﬂ ¯ËÓÍÓ

ËÁ‚ÂÒÚÌ‡ﬂ Á‡‰‡˜‡ ÍÓÏÏË‚ÓﬂÊÂ‡. éÌ‡ Á‡ÍÎ˛˜‡ÂÚÒﬂ ‚ ÚÓÏ, ˜ÚÓ·˚

ÁÌ‡ﬂ ÒÚÓËÏÓÒÚË ÔÂÂ‚ÓÁ‡ ËÁ „ÓÓ‰‡ ‚ „ÓÓ‰ ÔÓ ‡ÁÎË˜Ì˚Ï ‰ÓÓ-

„‡Ï, ÒÓÂ‰ËÌﬂ˛˘ËÏ Ëı, ‚˚·‡Ú¸ Ú‡ÍÓÈ Ï‡¯ÛÚ, ÔÓıÓ‰ﬂ˘ËÈ

˜ÂÂÁ ‚ÒÂ „ÓÓ‰‡, ÍÛ‰‡ Ì‡‰Ó ‰ÓÒÚ‡‚ËÚ¸ Á‡Í‡Á‡ÌÌ˚È ÚÓ‚‡, ÍÓÚÓ-

˚È ËÏÂÂÚ Ì‡ËÏÂÌ¸¯Û˛ ÒÚÓËÏÓÒÚ¸.

êàë. 2.35. É‡Ù˚ G

(‡) Ë G

‰Îﬂ G

(·)

2.4. éêàÖçíàêéÇÄççõÖ ÉêÄîõ

É‡Ù

G = (V, E), ‚ ÍÓÚÓÓÏ ‚ÒÂ Â·‡ r ∈ E ËÏÂ˛Ú ÓËÂÌ-

Ú‡ˆË˛, Ì‡Á˚‚‡˛Ú ÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌ˚Ï, ËÎË Ó„‡ÙÓÏ. êÂ·‡ Ó-

„‡Ù‡, Í‡Í Ô‡‚ËÎÓ, ËÏÂÌÛ˛Ú ‚ ÎËÚÂ‡ÚÛÂ ‰Û„‡ÏË, ËÏÂ˛˘ËÏË

Ì‡˜‡ÎÓ Ë ÍÓÌÂˆ. ÑÛ„‡ (v

, v

) = r Ò˜ËÚ‡ÂÚÒﬂ ÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌÓÈ

ÒÎÂ‚‡ Ì‡Ô‡‚Ó: v

– ÂÂ Ì‡˜‡ÎÓ, v

– ÍÓÌÂˆ. ç‡ ËÒÛÌÍ‡ı ÓËÂÌ-

Ú‡ˆËﬂ ‰Û„Ë ÛÍ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒÚ ÂÎÍÓÈ. ÖÒÎË Ì‡ ‰Ë‡„‡ÏÏÂ „‡Ù‡

Û·‡Ú¸ ‚ÒÂ ÒÚÂÎÍË, ÚÓ ÔÓÎÛ˜ËÏ „‡Ù G, Ì‡Á˚‚‡ÂÏ˚È ÌÂÓËÂÌ-

ÚËÛÂÏ˚Ï ‰Û·ÎËÍ‡ÚÓÏ Ó„‡Ù‡

G . ë‚ÓÈÒÚ‚‡ Ó„‡ÙÓ‚ ‚ ÓÒÌÓ‚-

ÌÓÏ ‡Ì‡ÎÓ„Ë˜Ì˚ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡Ï ÌÂÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌ˚ı „‡ÙÓ‚, ÌÓ ÂÒÚ¸

Ë ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ‡ﬂ ÒÔÂˆËÙËÍ‡, ÔÓÓÊ‰ÂÌÌ‡ﬂ Ì‡ÎË˜ËÂÏ ÓËÂÌÚ‡-

ˆËË Û ‰Û„. í‡Í, Ì‡ „‡ÙÂ, ÏÓ‰ÂÎËÛ˛˘ÂÏ ÒıÂÏÛ „ÓÓ‰ÒÍËı

ÛÎËˆ, ÛÎËˆ˚ Ò Ó‰ÌÓÒÚÓÓÌÌËÏ ‰‚ËÊÂÌËÂÏ ÌÂÛ‰Ó·ÌÓ ‡ÒÒÏ‡ÚË-

‚‡Ú¸ Í‡Í ÌÂÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌ˚Â. òËÓÍËÈ ÍÎ‡ÒÒ Ó·˙ÂÍÚÓ‚, ËÁÛ˜‡-

ÂÏ˚ı ‚ ËÌÙÓÏ‡ÚËÍÂ, ÂÒÚÂÒÚ‚ÂÌÌÓ Ú‡ÍÚÓ‚‡Ú¸ Í‡Í ÓËÂÌÚËÓ-

‚‡ÌÌ˚Â „‡Ù˚.

é  „  ‡ Ù ˚ ‚ Ë Ì Ù Ó  Ï ‡ Ú Ë Í Â . íÂÓËﬂ „‡ÙÓ‚ ‚ Ì‡ÒÚÓﬂ˘ÂÂ

‚ÂÏﬂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ó‰ÌÓÈ ËÁ Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍËı ‰ËÒˆËÔÎËÌ, Ó·ÒÎÛÊË-

‚‡˛˘Ëı ÌÛÊ‰˚ ËÌÙÓÏ‡ÚËÍË. É‡Ù˚ ÔËÏÂÌﬂ˛ÚÒﬂ ‰Îﬂ Ï‡ÚÂ-

Ï‡ÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ÏÓ‰ÂÎËÓ‚‡ÌËﬂ ÔÓ„‡ÏÏ, ‰‡ÌÌ˚ı, ÒËÒÚÂÏ Ë ÔÓ-

ˆÂÒÒÓ‚ Ëı ÔÂÂ‡·ÓÚÍË.

á‰ÂÒ¸ Ï˚ Ó„‡ÌË˜ËÏÒﬂ ÌÂÒÍÓÎ¸ÍËÏË ÚËÔË˜Ì˚ÏË ÔËÏÂ‡ÏË,

ËÎÎ˛ÒÚËÛ˛˘ËÏË ÒÍ‡Á‡ÌÌÓÂ.

è  Ë Ï Â  1. ç‡ÔÓÏÌËÏ, ˜ÚÓ ‰Îﬂ Â¯ÂÌËﬂ Í‚‡‰‡ÚÌÓ„Ó Û‡‚-

ÌÂÌËﬂ ax

+ bx + c = 0 Ì‡‰Ó Ì‡ÈÚË Â„Ó ‰ËÒÍËÏËÌ‡ÌÚ D = b

–

– 4ac, ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ Â„Ó ÁÌ‡Í Ë Á‡ÚÂÏ ‚˚˜ËÒÎËÚ¸ Í‚‡‰‡ÚÌ˚È ÍÓ-

ÂÌ¸ ËÁ D (ÔË D > 0) ËÎË ËÁ –D (ÔË D < 0). äÓÌË Û‡‚-

ÌÂÌËﬂ, Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÏ˚Â x

Ë x

, ÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛Ú ÔÓ ÙÓÏÛÎ‡Ï

xbDaxbDa

= − +=−−()/,()/22

‰Îﬂ ÒÎÛ˜‡ﬂ D > 0, ‡ ÔË D < 0 – ÔÓ ÙÓÏÛÎ‡Ï

xbiDaxbiDa

= − + − = −− −()/,()/,22

„‰Â

i = −1 – ÏÌËÏ‡ﬂ Â‰ËÌËˆ‡.

Ç ÒÎÛ˜‡Â D = 0, ÏÓÊÌÓ ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡Ú¸ ÛÍÓÓ˜ÂÌÌÛ˛ ÙÓÏÛÎÛ

= x

= –b/2a.

ç‡ ËÒ. 2.36, ‡ ÔË‚Â‰ÂÌ‡ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍ‡ﬂ ÒıÂÏ‡ ‡Î„ÓËÚÏ‡ Ì‡-

ıÓÊ‰ÂÌËﬂ ÍÓÌÂÈ Í‚‡‰‡ÚÌÓ„Ó Û‡‚ÌÂÌËﬂ, Ì‡ ÍÓÚÓÓÈ ÔﬂÏÓ-

Û„ÓÎ¸ÌËÍ‡ÏË ËÁÓ·‡Ê‡˛ÚÒﬂ ‰ÂÈÒÚ‚Ëﬂ Ë ÓÔÂ‡ˆËË Ì‡‰ ˜ËÒÎ‡ÏË,

‡ ÓÏ·‡ÏË – ÎÓ„Ë˜ÂÒÍËÂ ÛÒÎÓ‚Ëﬂ P

: D ≠ 0?, Ë P

: D > 0?, ÓÔ-

Â‰ÂÎﬂ˛˘ËÂ ıÓ‰ ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ. ç‡ ËÒ. 2.36, · ‰‡Ì Ó„‡Ù,

Ô Â‰ÒÚ‡‚Îﬂ˛˘ËÈ ˝ÚÛ ÒıÂÏÛ. Ö„Ó ÏÓÊÌÓ Ì‡Á‚‡Ú¸ ÛÔ‡‚Îﬂ˛˘ËÏ

„‡ÙÓÏ ‡Î„ÓËÚÏ‡. ÄÌ‡ÎÓ„Ë˜Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ ÔÂ‰ÒÚ‡‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÛÔ-

‡‚Îﬂ˛˘ËÂ „‡Ù˚ ÔÓ„‡ÏÏ, Â‡ÎËÁÛ˛˘Ëı ‡Î„ÓËÚÏ˚ Ì‡

ùÇå. í‡ÍËÂ „‡Ù˚ Ì‡Á‚‡Ì˚ ÛÔ‡‚Îﬂ˛˘ËÏË ÔÓÚÓÏÛ, ˜ÚÓ ÓÌË

ÓÚ‡Ê‡˛Ú ‚ÓÁÏÓÊÌ˚Â ÔÛÚË ÔÂÂ‰‡˜Ë ÛÔ‡‚ÎÂÌËﬂ ÓÚ ÓÔÂ‡ÚÓ‡

Í ÓÔÂ‡ÚÓÛ, Á‡‚ËÒﬂ˘ËÂ ÓÚ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ Ëı ÓÔÂ‡Ì‰Ó‚. ÄÎ„ÓËÚÏ

Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ ÍÓÌÂÈ Í‚‡‰‡ÚÌÓ„Ó Û‡‚ÌÂÌËﬂ ÏÓÊÌÓ ÏÓ‰ÂÎËÓ-

‚‡Ú¸ Ë Ì Ù Ó  Ï ‡ ˆ Ë Ó Ì Ì ˚ Ï „‡ÙÓÏ, Ó·‡ÁÛ˛˘ËÏ Ò‚ﬂÁË ÏÂÊ‰Û

êàë. 2.36. ãÓ„Ë˜ÂÒÍ‡ﬂ ÒıÂÏ‡ (à) Ë ÛÔ‡‚Îﬂ˛˘ËÈ „‡Ù (á)

ËÒıÓ‰Ì˚ÏË ‰‡ÌÌ˚ÏË Ë ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡ÏË ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ. ç‡ ËÒ. 2.37

ÔË‚Â‰ÂÌ‡ ÒıÂÏ‡ ËÌÙÓÏ‡ˆËÓÌÌÓ„Ó „‡Ù‡. ➤

å‡¯ËÌÌ˚Â ‡Î„ÓËÚÏ˚, Í‡Í Ô‡‚ËÎÓ, ËÁÓ·‡Ê‡˛Ú ÛÔ‡‚Îﬂ-

˛˘ËÏË „‡Ù‡ÏË. Ç ÔÓ„‡ÏÏ‡ı ÛÍ‡Á˚‚‡˛Ú Ë ÔÛÚË ÔÂ Â‰‡˜Ë

ËÌÙÓÏ‡ˆËË ‚ ÔÓˆÂÒÒÂ ‚˚˜ËÒÎÂÌËÈ.

É‡Ù-ÏÓ‰ÂÎ¸ ‚˚˜ËÒÎËÚÂÎ¸ÌÓ„Ó ÔÓˆÂÒÒ‡ ÏÓÊÌÓ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÚ¸

‚ ‚Ë‰Â Í‡ÒÍ‡‰ÌÓ„Ó ËÌÙÓÏ‡ˆËÓÌÌÓ„Ó „‡Ù‡, Ó·‡ÁÛ˛˘Â„Ó Ò‚ﬂÁË

ËÒıÓ‰Ì˚ı, ÔÓÏÂÊÛÚÓ˜Ì˚ı Ë ÂÁÛÎ¸ÚËÛ˛˘Ëı ‰‡ÌÌ˚ı.

è  Ë Ï Â  2. ëÓ‚ÂÏÂÌÌ˚Â ‡‚ÚÓÏ‡ÚËÁËÓ‚‡ÌÌ˚Â ÒËÒÚÂÏ˚

ÛÔ‡‚ÎÂÌËﬂ, ‰ÂÈÒÚ‚Û˛˘ËÂ Ì‡ ÔÓÏ˚¯ÎÂÌÌ˚ı ÔÂ‰ÔËﬂÚËﬂı Ë

‚ ı ÓÁﬂÈÒÚ‚ÂÌÌ˚ı Û˜ÂÊ‰ÂÌËﬂı, ÔÂÂ‡·‡Ú˚‚‡˛Ú ·ÓÎ¸¯ÓÈ ÔÓÚÓÍ

ÚÂıÌËÍÓ-˝ÍÓÌÓÏË˜ÂÒÍËı ÔÓÍ‡Á‡ÚÂÎÂÈ, ı‡‡ÍÚÂËÁÛ˛˘Ëı Ô‡‡-

ÏÂÚ˚ ÔÓËÁ‚Ó‰ÒÚ‚‡ Ë ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú˚ ıÓÁﬂÈÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ‰ÂﬂÚÂÎ¸ÌÓÒ-

ÚË. íÂıÌËÍÓ-˝ÍÓÌÓÏË˜ÂÒÍËÈ ÔÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ Ì‡ËÏÂÌÓ-

‚‡ÌËﬂ Ë ˜ËÒÎÂÌÌÓ„Ó ÓÒÌÓ‚‡ÌËﬂ. ç‡ËÏÂÌÓ‚‡ÌËÂ, Ì‡ÔËÏÂ

“‰Ó·˚˜‡ ÌÂÙÚË ÔÂ‰ÔËﬂÚËﬂ ÏË í˛ÏÂÌÒÍÓÈ Ó·Î‡ÒÚË Á‡ 1 Í‚‡-

Ú‡Î 1990 „Ó‰‡ ‚ ÏËÎÎËÓÌ‡ı ÚÓÌÌ”, ı‡‡ÍÚÂËÁÛÂÚ ÒÓ‰ÂÊ‡ÚÂÎ¸-

Ì˚È ÒÏ˚ÒÎ ËÁÏÂﬂÂÏÓ„Ó ÍÓÎË˜ÂÒÚ‚‡, ‡ ÓÒÌÓ‚‡ÌËÂ, Ì‡ÔË-

ÏÂ 135, ‚˚‡Ê‡ÂÚ ˜ËÒÎÂÌÌÓÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ËÁÏÂÂÌÌÓ„Ó ÔÓÍ‡Á‡-

ÚÂÎﬂ.

Ä‚ÚÓÏ‡ÚËÁ‡ˆËﬂ ÛÔ ‡‚ÎÂÌËﬂ (Ì‡ ËÌÙÓÏ‡ˆËÓÌÌÓ-ÚÂıÌÓÎÓ„Ë-

˜ÂÒÍÓÏ ÛÓ‚ÌÂ) ÏÓÊÂÚ ÔÓÌËÏ‡Ú¸Òﬂ Í‡Í Ó„‡ÌËÁ‡ˆËﬂ Â¯ÂÌËﬂ

·ÓÎ¸¯ÓÈ ÒÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚË Á‡‰‡˜ ÔÎ‡ÌËÓ‚‡ÌËﬂ, Û˜ÂÚ‡, ÓÚ˜ÂÚÌÓÒÚË

Ë Ú.Ô. ä‡Ê‰‡ﬂ Á‡‰‡˜‡ ËÌÙÓÏ‡ˆËÓÌÌÓ Ó·ÂÒÔÂ˜Ë‚‡ÂÚÒﬂ ‚ıÓ‰Ì˚ÏË

Ë ‚˚ıÓ‰Ì˚ÏË ÔÓÍ‡Á‡ÚÂÎﬂÏË Ë Â‡ÎËÁÛÂÚÒﬂ Ì‡ Çñ Í‡Í ÒÓ‚ÓÍÛÔ-

ÌÓÒÚ¸ ‚Á‡ËÏÓÒ‚ﬂÁ‡ÌÌ˚ı ‡Î„ÓËÚÏÓ‚ ÔÂÂ‡·ÓÚÍË ËÌÙÓÏ‡ˆËË.

ÉÎÓ·‡Î¸ÌÓÂ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËÂ Ó· Äëì ÔÓÎÛ˜‡˛Ú ËÁ ‡ÒÒÏÓÚÂÌËﬂ

ÂÂ ËÌÙÓÏ‡ˆËÓÌÌÓ-ÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓÈ ÒÚÛÍÚÛ˚ (àãë). àãë ÒËÒÚÂ-

Ï˚ ÛÔ‡‚ÎÂÌËﬂ ‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ ‚ ÒÂ·ﬂ ÌÂ ÚÓÎ¸ÍÓ ÔÂ Â˜ÂÌ¸ Û‚ﬂÁ‡ÌÌ˚ı

êàë. 2.37. àÌÙÓÏ‡ˆËÓÌÌ˚È „‡Ù

‚ Â‰ËÌÓÂ ˆÂÎÓÂ ÔÓ Ó·‡·‡Ú˚‚‡ÂÏÓÈ ËÌÙÓÏ‡ˆËË ‡Î„ÓËÚÏÓ‚, ÌÓ

Ë ÛÍ‡Á‡ÌËﬂ Ó ÔÓﬂ‰ÍÂ Ë ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚË Ëı Â‡ÎËÁ‡ˆËË,

‰‡ÌÌ˚Â Ó ÔÓÚÓÍ‡ı ËÒıÓ‰ÌÓÈ ËÌÙÓÏ‡ˆËË, Ó·ÂÒÔÂ˜Ë‚‡˛˘ÂÈ  Â-

¯ÂÌËÂ ÔËÍÎ‡‰Ì˚ı Á‡‰‡˜ Ë Ú.Ô. ñÂÌÚ‡Î¸ÌÓÈ ˜‡ÒÚ¸˛ àãë ﬂ‚-

ÎﬂÂÚÒﬂ Ó„‡Ù ‡Î„ÓËÚÏÓ‚ ÒËÒÚÂÏ˚, ÓÚ‡Ê‡˛˘ËÈ ÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ

ÔÂ‰¯ÂÒÚ‚Ó‚‡ÌËﬂ ÏÂÊ‰Û ÌËÏË. ÇÂ¯ËÌ‡ÏË Ó„‡Ù‡ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ

‡Î„ÓËÚÏ˚ Ò Ëı ˝ÍÒÔÎÛ‡Ú‡ˆËÓÌÌ˚ÏË ı‡‡ÍÚÂËÒÚËÍ‡ÏË, ‡ ‰Û„‡-

ÏË – ÔÓÚÓÍË ÚÂıÌËÍÓ-˝ÍÓÌÓÏË˜ÂÒÍËı ÔÓÍ‡Á‡ÚÂÎÂÈ, ÍÓÚÓ˚ÏË

Ó·ÏÂÌË‚‡˛ÚÒﬂ ‡Î„ÓËÚÏ˚. ➤

Ç ÔÓÒÎÂ‰ÌÂÂ ‚ÂÏﬂ Ó„‡Ù˚ ÒÚ‡ÎË ¯ËÓÍÓ ÔËÏÂÌﬂÚ¸Òﬂ ‰Îﬂ

ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËﬂ ÒÚÛÍÚÛ ‰‡ÌÌ˚ı, Ëı Ï‡ÒÒË‚Ó‚ Ë Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡Â-

Ï˚ı ·‡Á ‰‡ÌÌ˚ı. èÓ‰ ·‡ÁÓÈ ‰‡ÌÌ˚ı ÔÓÌËÏ‡˛Ú ı‡ÌËÎË˘Â

ÒÚÛÍÚÛËÓ‚‡ÌÌ˚ı ‰‡ÌÌ˚ı (Ì‡ÔËÏÂ, ÚÂıÌËÍÓ-˝ÍÓÌÓÏË˜ÂÒÍËı

ÔÓÍ‡Á‡ÚÂÎÂÈ Ë ‰ÓÍÛÏÂÌÚÓ‚), ÔÂ‰Ì‡ÁÌ‡˜ÂÌÌÓÂ ‰Îﬂ Ó·˘Â„Ó ËÌ-

ÙÓÏ‡ˆËÓÌÌÓ„Ó Ó·ÂÒÔÂ˜ÂÌËﬂ ÒÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚË Á‡‰‡˜. åÓÊÌÓ, Ì‡-

ÔËÏÂ, ÔÓÒÚÓËÚ¸ ·‡ÁÛ ‰‡ÌÌ˚ı ÔÓ Á‡‰‡˜‡Ï ·Ûı„‡ÎÚÂ ÒÍÓ„Ó Û˜Â-

Ú‡, ÒÌ‡·ÊÂÌËﬂ ËÎË Â‡ÎËÁ‡ˆËË ÔÓ‰ÛÍˆËË, ÚÂıÌË˜ÂÒÍÓÏÛ Ó·ÂÒ-

ÔÂ˜ÂÌË˛ ÔÓËÁ‚Ó‰ÒÚ‚‡ Ë Ú.Ô.

è  Ë Ï Â  3. å‡ÒÒË‚ ‰‡ÌÌ˚ı ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚ ÒÓ·ÓÈ ÒÓ‚ÓÍÛÔ-

ÌÓÒÚ¸ Ó‰ÌÓÓ‰Ì˚ı ÔÓ ÒÚÛÍÚÛÂ Á‡ÔËÒÂÈ, ÛÔÓﬂ‰Ó˜ÂÌÌÛ˛ ÔÓ

ÁÌ‡˜ÂÌËﬂÏ ÚÓ„Ó ËÎË ËÌÓ„Ó ÔËÁÌ‡Í‡. á‡ÔËÒ¸ – ˝ÚÓ ËÌÙÓÏ‡ˆË-

ÓÌÌ‡ﬂ ÏÓ‰ÂÎ¸ Ó·˙ÂÍÚ‡. ç‡ÔËÏÂ, ‚ ÒËÒÚÂÏÂ Û˜ÂÚ‡ Í‡‰Ó‚ ‡·Ó-

˜ËÈ ËÎË ÒÎÛÊ‡˘ËÈ ı‡‡ÍÚÂËÁÛÂÚÒﬂ Á‡ÔËÒ¸˛:

î.à.é. ÉÓ‰ ÓÊ‰ÂÌËﬂ é·‡ÁÓ‚‡ÌËÂ ÑÓÎÊÌÓÒÚ¸ Ä‰ÂÒ

1 2345

ÒÓ‰ÂÊ‡˘ÂÈ ÔﬂÚ¸ Ó·˘Ëı ÔËÁÌ‡ÍÓ‚ Ó·˙ÂÍÚ‡. àÁ ÌËı ‰‚‡ ˝ÎÂ-

ÏÂÌÚ‡Ì˚Â – „Ó‰ ÓÊ‰ÂÌËﬂ, ‰ÓÎÊÌÓÒÚ¸, ‡ ÓÒÚ‡Î¸Ì˚Â ËÏÂ˛Ú

‚ÌÛÚÂÌÌÂÂ ˜ÎÂÌÂÌËÂ. ç‡ÔËÏÂ, “‡‰ÂÒ” ËÏÂÂÚ ÔËÁÌ‡ÍË:

ÉÓÓ‰ ìÎËˆ‡ ÑÓÏ ‹ äÓÔÛÒ ‹ ä‚‡ÚË‡ ‹

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

èËÁÌ‡Í “Ó· ‡ÁÓ‚‡ÌËÂ” ‡ÒÔ‡‰‡ÂÚÒﬂ Ì‡ ÚË ˜‡ÒÚË Ë ÏÓÊÂÚ

ËÏÂÚ¸ ÌÂÒÍÓÎ¸ÍÓ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ j ‰Îﬂ Ó‰ÌÓ„Ó Ó·˙ÂÍÚ‡:

óÚÓ ÓÍÓÌ˜ËÎ äÓ„‰‡ ëÔÂˆË‡Î¸ÌÓÒÚ¸

3.1.j 3.2.j 3.3.j

Ñ‡‚ ‡Á·ËÂÌËÂ Ì‡ ÔÓ‰ÔËÁÌ‡ÍË ‚ÒÂı ÔﬂÚË ËÒıÓ‰Ì˚ı ÔË-

ÁÌ‡ÍÓ‚ Á‡ÔËÒË, ÔÓÎÛ˜ËÏ „‡ÙÓ‚ÓÂ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËÂ ÒÚÛÍÚÛ˚

Á‡ÔËÒË Ì‡ ËÒ. 2.38.

êàë. 2.38. ëÚÛÍÚÛ‡ “‰‡ÌÌ˚Â Ó ‡·ÓÚÌËÍÂ”

ëÚÛÍÚÛ‡ Á‡ÔËÒË “‰‡ÌÌ˚Â Ó ‡·ÓÚÌËÍÂ” ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚÒﬂ

ÍÓÌÂ‚˚Ï ‰ÂÂ‚ÓÏ ÔÓ ÓÚÌÓ¯ÂÌË˛ “‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ”. á‡ÔËÒ¸ ‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ

ÔËÁÌ‡ÍË 1÷5; ÔËÁÌ‡ÍË ‚ÍÎ˛˜‡˛Ú ÔÓ‰ÔËÁÌ‡ÍË – ˝ÎÂÏÂÌÚ˚.

Ç Ï‡ÒÒË‚Â ˝ÍÁÂÏÔÎﬂ˚ Á‡ÔËÒË, ‰‡˛˘ËÂ ÓÔËÒ‡ÌËÂ ÍÓÌÍÂÚ-

Ì˚ı ‡·ÓÚÌËÍÓ‚, ÏÓ„ÛÚ ËÏÂÚ¸ Ò‚ﬂÁË ÔÓ ÒÏ˚ÒÎÛ. ç‡ÔËÏÂ,

ÓÍÓÌ˜ËÎË Ó‰ËÌ Ë ÚÓÚ ÊÂ ‚ÛÁ, ÊË‚ÛÚ Ì‡ Ó‰ÌÓÈ ÛÎËˆÂ. ÑÎﬂ Ó·-

ÎÂ„˜ÂÌËﬂ ÔÓËÒÍ‡ Á‡ÔËÒÂÈ ÒÓ ÁÌ‡˜ÂÌËÂÏ ÔËÁÌ‡ÍÓ‚ Ï‡ÒÒË‚ ÏÓ-

ÊÂÚ ÒÌ‡·Ê‡Ú¸Òﬂ ÛÍ‡Á‡ÚÂÎﬂÏË. ç‡ÔËÏÂ, Ì‡Ò ˜‡ÒÚÓ ËÌÚÂÂÒÛ˛Ú

Î˛‰Ë, ÔÓÊË‚‡˛˘ËÂ Ì‡ Ó‰ÌÓÈ ÛÎËˆÂ. íÓ„‰‡ ÏÓÊÌÓ ÒÓÒÚ‡‚ËÚ¸

Ï‡ÒÒË‚-ÛÍ‡Á‡ÚÂÎ¸, ‚ ÍÓÚÓÓÏ ÔÂÂ˜ËÒÎËÚ¸ ‚ÒÂ ÛÎËˆ˚, ‚ÒÚÂ˜‡-

˛˘ËÂÒﬂ ‚ Á‡ÔËÒﬂı, Ë ÛÍ‡Á‡Ú¸ ÔÓÚË‚ Í‡Ê‰ÓÈ ÛÎËˆ˚ ÌÓÏÂ Á‡-

ÔËÒÂÈ, „‰Â ÓÌ‡ ‚ÒÚÂ˜‡ÂÚÒﬂ. ùÚÓ ÓÔÂ‰ÂÎËÚ ÒÏ˚ÒÎÓ‚˚Â Ò‚ﬂÁË

ÏÂÊ‰Û ˝ÍÁÂÏÔÎﬂ‡ÏË Á‡ÔËÒÂÈ, ÍÓÚÓ˚Â ÏÓÊÌÓ ÓÚ‡ÁËÚ¸ „‡ÙÓÏ

Ì‡‰ ˝ÍÁÂÏÔÎﬂ‡ÏË Á‡ÔËÒÂÈ. ➤

ï‡‡ÍÚÂËÒÚËÍË „‡ÙÓ‚. ÇÂ¯ËÌ‡, Û ÍÓÚÓÓÈ ÌÂÚ ‚ıÓ‰ﬂ˘Ëı

‰Û„, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ì‡˜‡Î¸ÌÓÈ. ÇÂ¯ËÌ‡, Û ÍÓÚÓÓÈ ÌÂÚ ‚˚ıÓ‰ﬂ˘Ëı

‰Û„, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÍÓÌÂ˜ÌÓÈ. èÛÚ¸ ËÁ ‚Â¯ËÌ Ë ‰Û„ – ˝ÚÓ ÔÓÒÎÂ-

‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚ¸ L = (v

, r

, v

,..., r

, v

), „‰Â ‚Â¯ËÌ‡ v

i–1

–

Ì‡˜‡ÎÓ ‰Û„Ë r

i–1, i

, ‡ v

– ÂÂ ÍÓÌÂˆ; v

– Ì‡˜‡ÎÓ ÔÛÚË, v

– ÍÓÌÂˆ,

‡ n – ‰ÎËÌ‡ ÔÛÚË. L = (v

) ËÏÂÂÚ ‰ÎËÌÛ ÌÛÎ¸.

ÖÒÎË ‚ L ÌÂ ÛÍ‡Á‡Ì˚ ‚Â¯ËÌ˚, ÚÓ ÔÓÎÛ˜‡ÂÚÒﬂ ÔÛÚ¸ ËÁ ‰Û„, ‡

ÂÒÎË ÓÔÛ˘ÂÌ˚ ‰Û„Ë, ÚÓ ÔÛÚ¸ ËÁ ‚Â¯ËÌ. èÛÚ¸ ËÁ ‚Â¯ËÌ ÌÂÓ‰-

ÌÓÁÌ‡˜ÌÓ Á‡‰‡ÂÚ Ï‡¯ÛÚ ‰‚ËÊÂÌËﬂ Ì‡ ÏÛÎ¸ÚË„‡ÙÂ.

èÛÚ¸ Z = (v

, r

,..., r

n–1, 0

) Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÓˆËÍÎÓÏ ËÎË ÍÓÌ-

ÚÛÓÏ. ç‡˜‡Î¸ÌÓÈ Â„Ó ÚÓ˜ÍÓÈ ÏÓÊÌÓ Ò˜ËÚ‡Ú¸ Î˛·Û˛ Â„Ó ‚Â-

¯ËÌÛ. ÇÒÂ ÔÛÚË ÔÓÎÛ˜‡˛ ÚÒﬂ ‰Û„ ËÁ ‰Û„‡ ˆËÍÎË˜ÂÒÍËÏ Ò‰‚Ë-

„ÓÏ.

äÓÌÚÛ ÔÓÒÚÓÈ, ÂÒÎË ÒÚÂÔÂÌË Â„Ó ‚Â¯ËÌ ‡‚Ì˚ ‰‚ÛÏ. Ç

ÌÂÔÓÒÚÓÏ ÍÓÌÚÛÂ Ó‰Ì‡ Ë Ú‡ ÊÂ ‚Â¯ËÌ‡ ÏÓÊÂÚ ÔÓ‚ÚÓﬂÚ¸Òﬂ.

ÖÒÎË ÂÂ ÒÚÂÔÂÌ¸ ‡‚Ì‡ 2k, ÚÓ ÓˆËÍÎ ‚ ˝ÚÓÈ ‚Â¯ËÌÂ ÏÓÊÌÓ

‡Á·ËÚ¸ Ì‡ “k” ˆËÍÎÓ‚.

ê‡ÌÊËÓ‚Í‡ ‚Â¯ËÌ. Ç ·ÂÒÍÓÌÚÛÌÓÏ (‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓÏ) „‡-

ÙÂ ÂÒÚ¸ ıÓÚﬂ ·˚ Ó‰Ì‡ Ì‡˜‡Î¸Ì‡ﬂ Ë ıÓÚﬂ ·˚ Ó‰Ì‡ ÍÓÌÂ˜-

Ì‡ﬂ ‚Â¯ËÌ‡. Ç ÔÛÚﬂı ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓ„Ó „‡Ù‡ ÌËÍ‡ÍËÂ ‚Â¯Ë-

Ì˚ ÌÂ ‚ÒÚÂ˜‡˛ ÚÒﬂ ·ÓÎÂÂ Ó‰ÌÓ„Ó ‡Á‡ (˝ÚÓ ·˚Î ·˚ ˆËÍÎ). ä‡Ê-

‰˚È ÔÛÚ¸ ËÏÂÂÚ ‰ÎËÌÛ, ÏÂÌ¸¯Û˛ ˜ËÒÎ‡ ‚Â¯ËÌ n, ‡ ˜ËÒÎÓ

‡ÁÎË˜Ì˚ı ÔÛÚÂÈ ÍÓÌÂ˜ÌÓ. ëÂ‰Ë ÌËı Ì‡È‰ÂÚÒﬂ (ıÓÚﬂ ·˚

Ó‰ËÌ) ÔÛÚ¸ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ‰ÎËÌ˚, ÍÓÚÓ˚È ÌÂÎ¸Áﬂ Û‰ÎËÌËÚ¸ ÌË

Ò Ì‡˜‡Î‡, ÌË Ò ÍÓÌˆ‡. ç‡˜‡ÎÓ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓ„Ó ÔÛÚË ·Û‰ÂÚ Ì‡-

˜‡Î¸ÌÓÈ ‚Â¯ËÌÓÈ, ‡ ÍÓÌÂˆ – ÍÓÌÂ˜ÌÓÈ ‚Â¯ËÌÓÈ „‡Ù‡. ÑÎË-

Ì˚ ÔÛÚÂÈ ‚ Ó„‡ÙÂ Ò ÍÓÌÚÛ‡ÏË ÌÂ Ó„‡ÌË˜ÂÌ˚. èÛÚË, ÌÂ

‚ÍÎ˛˜‡˛˘ËÂ ÍÓÌÚÛÓ‚, ËÏÂ˛Ú Ë ‚ Ú‡ÍËı „‡Ù‡ı Ó„‡ÌË˜ÂÌÌÛ˛

‰ÎËÌÛ.

Ç Ó„‡Ù‡ı Ò ÌÂÌ‡˜‡Î¸Ì˚ÏË ‚Â¯ËÌ‡ÏË ÏÓÊÌÓ ‰Îﬂ Í‡Ê‰ÓÈ

‚Â¯ËÌ˚ v ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ ‰ÎËÌ˚ ÔÛÚÂÈ, ÓÍ‡Ì˜Ë‚‡˛˘ËıÒﬂ ‚ ÌÂÈ.

å‡ÍÒËÏÛÏ Ú‡ÍËı ‰ÎËÌ L(v) Ì‡Á˚‚‡˛Ú Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸Ì˚Ï, ‡ ÏËÌË-

ÏÛÏ l(v) – ÏËÌËÏ‡Î¸Ì˚Ï ‡Ì„ÓÏ ‚Â¯ËÌ˚ v.

í Â Ó  Â Ï ‡ 13. Ç ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓÏ Ó„‡ÙÂ

G ‰Îﬂ Î˛·ÓÈ ÌÂÌ‡-

˜‡Î¸ÌÓÈ ‚Â¯ËÌ˚ ‚˚ÔÓÎÌﬂ˛ÚÒﬂ Û‡‚ÌÂÌËﬂ ‰Îﬂ ‡Ì„Ó‚

max

min

Lv lv

lv()

() ,()

() .=

′

∈

′

∈

′

ÑÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚Ó ÔË‚Â‰ÂÏ ‰Îﬂ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓ„Ó ‡Ì„‡ L(v),

˜ÚÓ·˚ ÌÂ ÔÓ‚ÚÓﬂÚ¸ ‡ÒÒÛÊ‰ÂÌËÈ.

ã˛·ÓÈ ÔÛÚ¸ L Ò ÍÓÌˆÓÏ ‚ v ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ ÔÛÚË L′ Ò ÍÓÌˆÓÏ ‚

v′ Ë ‰Û„Ë (v′, v):L = L′ + 1. çÓ L′ ≤ max L′ = L(v′), ‡

ÔÓ˝ÚÓÏÛ

Lv()

() .≤

′

∈

′

+max

ë ‰Û„ÓÈ ÒÚÓÓÌ˚, ÂÒÎË L′ – ÔÛÚ¸ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÈ ‰ÎËÌ˚ Ò

ÍÓÌˆÓÏ v′ Ë (v′, v) – ‰Û„‡

G , ÚÓ L Í‡Í ÔÛÚ¸ Ò ÍÓÌˆÓÏ ‚ v ÏÓ-

ÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔÓ‰ÓÎÊÂÌËÂÏ Ì‡ Â‰ËÌËˆÛ ÔÛÚË L′.

ÑÎËÌ‡ L ‡‚Ì‡ L(v′) + 1; L(v) Í‡Í Ï‡ÍÒËÏÛÏ ‰ÎËÌ L, Ó˜Â-

‚Ë‰ÌÓ, ÌÂ ÏÂÌ¸¯Â ‰ÎËÌ˚ L. èÓ˝ ÚÓÏÛ

Lv()

().≥

′

∈

max

ëÓÔÓÒÚ‡‚Ë‚ ÔÓÎÛ˜ÂÌÌ˚Â ÌÂ‡‚ÂÌÒÚ‚‡, ÔÓÎÛ˜ËÏ ÔÂ‚ÓÂ ÛÚ-

‚ÂÊ‰ÂÌËÂ ÚÂÓÂÏ˚ .

➤

ùÚ‡ ÚÂÓÂÏ‡ ÔÓÁ‚ÓÎﬂÂÚ Ì‡ıÓ‰ËÚ¸ ‡Ì„ ‚Â¯ËÌ˚ ÔÛÚÂÏ Û‚Â-

ÎË˜ÂÌËﬂ Ì‡ 1 ˝ ÍÒÚÂÏ‡Î¸Ì˚ı ‡Ì„Ó‚ ÚÂı ‚Â¯ËÌ, ËÁ ÍÓÚÓ˚ı

ÏÓÊÌÓ ÔÓÔ‡ÒÚ¸ Á‡ Ó‰ËÌ ¯‡„. ÇÒÔÓÏÌË‚ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËÂ Ï‡ÍÒË-

Ï‡Î¸ÌÓ„Ó ‡Ì„‡, ÏÓÊÌÓ ÔÂÂÔËÒ‡Ú¸ ‰ÓÍ‡Á‡ÌÌÓÂ ÛÚ‚ÂÊ‰ÂÌËÂ

Ú‡Í: ˝ÍÒÚÂÏ‡Î¸Ì˚È ÔÓ ‰ÎËÌÂ ÔÛÚ¸, ‚Â‰Û˘ËÈ ‚ v, ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ

˝ÍÒÚÂÏ‡Î¸ÌÓ„Ó ÔÛÚË, ‚Â‰Û˘Â„Ó ‚ v′, Ò ‰Ó·‡‚ÎÂÌËÂÏ ‰ÎËÌ˚ ÔÛÚË

ËÁ v′ ‚ v.

ë Î Â ‰ Ò Ú ‚ Ë Â. èÛÒÚ¸ ‰Û„Ë Ó„‡Ù‡

G (v

, v

) ËÏÂ˛Ú ‰ÎËÌÛ

= l(v

, v

). èÛÚ¸ ËÁ v

‚ v

L(v

,..., v

) ËÏÂÂÚ ÔË ˝ ÚÓÏ ÒÛÏ-

Ï‡ÌÛ˛ ‰ÎËÌÛ l

, ‡‚ÌÛ˛ ÒÛÏÏÂ ‰ÎËÌ ‰Û„, ‚ıÓ‰ﬂ˘Ëı ‚ ÌÂ„Ó:

Lii

−

∑

é·ÓÁÌ‡˜ËÏ ˜ÂÂÁ l

(v) Ë l

(v) ÏËÌËÏ‡Î¸ÌÛ˛ Ë Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸-

ÌÛ˛ ‰ÎËÌÛ ÔÛÚË, ÓÍ‡Ì˜Ë‚‡˛˘Â„ÓÒﬂ ‚ ‚Â¯ËÌÂ v. ÑÎﬂ ÌËı ÒÓ-

ı‡Ìﬂ˛Ú ÒËÎÛ Û‡‚ÌÂÌËﬂ:

lv v

()

() (, ),=

′

∈

′

∈

′

min

(,)G

lv v

()

(,).=

′

∈

′

∈

′

max

ä ‡Ú˜‡È¯ËÈ ÔÛÚ¸ ËÁ Ì‡˜‡Î¸ÌÓÈ ÚÓ˜ÍË ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓ„Ó „‡Ù‡

G ‚ ÌÂÌ‡˜‡Î¸ÌÛ˛ ‚Â¯ËÌÛ v ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ Í‡Ú˜‡È¯ÂÈ ‰Û„Ë,

‚ıÓ‰ﬂ˘ÂÈ ‚ v, Ë Í‡Ú˜‡È¯Â„Ó ÔÛÚË Ò ÍÓÌˆÓÏ ‚ v′.

➤

ÑÎﬂ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓ„Ó ÔÛÚË ‚ ‚Â¯ËÌÛ v, Ì‡‰Ó

Ì‡ÈÚË ‰ÎËÌÌÂÈ¯Û˛ ‰Û„Û (v′, v) Ë ‰ÎËÌÌÂÈ¯ËÈ ÔÛÚ¸ ‚ ÂÂ Ì‡-

˜‡ÎÓ.

Ç ˝ÚÓÏ ÒÓÒÚÓËÚ ÔËÌˆËÔ ÅÂÎÎÏ‡Ì‡, Ì‡ ÍÓÚÓÓÏ ÓÒÌÓ‚‡Ì Ï‡-

¯ËÌÌ˚È ÏÂÚÓ‰ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ ˝ÍÒÚÂÏÛÏÓ‚ ‡‰‰ËÚË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÓ-

Ì‡ÎÓ‚, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ˚ı Ì‡ ÔÛÚﬂı Ó„‡ÙÓ‚, ËÁÛ˜‡ÂÏ˚È ‚ ÍÛÒÂ

“ËÒÒÎÂ‰Ó‚‡ÌËÂ ÓÔÂ‡ˆËÈ”.

èÛÚË ‚ „‡ÙÂ ÏÓÊÌÓ ËÁÛ˜‡Ú¸ Ë Ì‡ ÓÒÌÓ‚Â ÓÔÂ‡ˆËÈ Ì‡‰ Ï‡-

ÚËˆÂÈ ÒÏÂÊÌÓÒÚË. è Ë ˝ÚÓÏ Ì‡ÎË˜ËÂ ËÎË ÓÚÒÛÚÒÚ‚ËÂ Ó ËÂÌ-

Ú‡ˆËË Â·Â ÌÂ ËÏÂÂÚ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ.

ç‡ÎË˜ËÂ Ë ˜ËÒÎÓ ÔÛÚÂÈ ‚ Ó„‡ÙÂ. èÛÒÚ¸

–

„‡Ù ËÌÙÓ-

Ï‡ˆËÓÌÌ˚ı Ò‚ﬂÁÂÈ ÏÂÊ‰Û Û˜ÂÊ‰ÂÌËﬂÏË. éÚ ‚˚Ò¯Ëı Í ÌËÁ¯ËÏ

Ë‰ÂÚ ÛÍÓ‚Ó‰ﬂ˘‡ﬂ, ‡ ÓÚ ÌËÁ¯Ëı Í ‚˚Ò¯ËÏ – ÓÒ‚Â‰ÓÏËÚÂÎ¸Ì‡ﬂ

ËÌÙÓÏ‡ˆËﬂ. é„‡Ù

G ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚ ÔﬂÏ˚Â Ò‚ﬂÁË ÏÂÊ‰Û

Û˜ÂÊ‰ÂÌËﬂÏË.

å‡ÚËˆ‡ ÒÏÂÊÌÓÒÚË

(

G) = ÏÓÊÂÚ ËÌÚÂÔÂÚËÓ‚‡Ú¸Òﬂ

Ú‡Í: a

‰‡ÂÚ ˜ËÒÎÓ ÔÛÚÂÈ ‰ÎËÌ˚ I ÏÂÊ‰Û i-Ï Ë j-Ï Û˜ÂÊ‰ÂÌËﬂ-

ÏË. ä‡Í ÔÓ‰Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÍÓÎË˜ÂÒÚ‚Ó ÔÛÚÂÈ ‰ÎËÌ˚ 2 ÓÚ v

Í v

? óÚÓ-

·˚ ÔÓÔ‡ÒÚ¸ ËÁ v

‚ v

ÔÛÚÂÏ ‰ÎËÌ˚ 2, Ì‡‰Ó ÔÓÔ‡ÒÚ¸ Á‡ Ó‰ËÌ ¯‡„

ËÁ v

‚ v

, ‡ Á‡ÚÂÏ Á‡ ‰Û„ÓÈ ¯‡„ – ËÁ v

‚ v

. óËÒÎÓ ÔÛÚÂÈ

‰ÎËÌ˚ 2 ËÁ v

‚ v

()2

ÓÍ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡‚Ì˚Ï a

+ a

+ ... +

+ a

, ËÎË ÍÓÓ˜Â

aaaij n

ij ik

()

, , ,..., .

1 2==

∑

; (2.4)

Ç Ï‡ÚËˆ‡ı ˝ÚË ‡‚ÂÌÒÚ‚‡ ‰‡˛Ú

AAAA

()

((

G) = G).⋅ =

óËÒÎÓ ÔÛÚÂÈ ‰ÎËÌ˚ 3 ÓÚ v

Í v

‡‚ÌÓ

aaaij n

ij ik

() ()

, , ,...,

1 2==

∑

;

ËÎË

AAAA

()

((

323

G) = G).⋅ =

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, Û·ÂÊ‰‡ÂÏÒﬂ, ˜ÚÓ ˜ËÒÎÓ ÔÛÚÂÈ ‰ÎËÌ˚ s ËÁ v

‚

ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚ ÒÓ·ÓÈ i-, j-È ˝ÎÂÏÂÌÚ Ï‡ÚËˆ˚ A

ä‡Í ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸, ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ËÎË ÌÂÚ ÔÛÚ¸ ‰ÎËÌ˚ 2 ËÁ ‚Â-

¯ËÌ˚ v

‚ v

? é˜Â‚Ë‰ÌÓ, Ú‡ÍÓÈ ÔÛÚ¸ ËÏÂÂÚÒﬂ, ÂÒÎË

()

0> á‡-

ÏÂÌË‚ ‚ (2.41) ÒÛÏÏÛ Ì‡ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍÛ˛ ÒÛÏÏÛ (‰ËÁ˙˛ÌÍˆË˛), ÔÓ-

ÎÛ˜ËÏ

ik kj i j i j in nj

aa aa aa aa

∨

= ∨∨∨

11 22

... , (2.5)

‚ÂÎË˜ËÌÛ, ‡‚ÌÛ˛ 1, ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ

ıÓÚﬂ ·˚ Ó‰ËÌ ÔÛÚ¸ ‰ÎËÌ˚ 2 ÓÚ v

Í v

. éÔÂ‡ˆËﬂ ‚ (2.5) Ì‡Á˚-

‚‡ÂÚÒﬂ ·ÛÎÂ‚ÒÍËÏ ÛÏÌÓÊÂÌËÂÏ i-È ÒÚÓÍË Ï‡ÚËˆ˚ Ä Ì‡ j-È

ÒÚÓÎ·Âˆ Ï‡ÚËˆ˚ A. ÅÛÎÂ‚ÒÍËÈ Í‚‡‰‡Ú Ï‡ÚËˆ˚ Ä ·Û‰ÂÏ Ó·Ó-

ÁÌ‡˜‡Ú¸ Ä

[2]

å‡ÚËˆÂ Ä =

G) ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ËÒıÓ‰Ì˚È „‡Ù

G , Ï‡Ú-

ËˆÂ A

[2]

– „‡Ù

[2]

ÔÂ‰ÒÚ‡‚Îﬂ˛˘ËÈ ÒÓ·ÓÈ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ

„‡Ù‡

G Ì‡ „‡Ù

[5]

ÓÚ‚Â˜‡˛˘ËÈ Ï‡ÚËˆÂ A

[5]

, ·Û‰ÂÏ

Ì‡Á˚‚‡Ú¸ s-È ÒÚÂÔÂÌ¸˛ ËÒıÓ‰ÌÓ„Ó „‡Ù‡ Ë Á‡ÔËÒ˚‚‡Ú¸ ÔÓÒÚÓ

Í‡Í

Ç ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓÏ „‡ÙÂ ‚ÒÂ ÔÛÚË ËÏÂ˛Ú ‰ÎËÌÛ, ÌÂ ÔÂ‚ÓÒıÓ-

‰ﬂ˘Û˛ ˜ËÒÎ‡ n – ÒÚÂÔÂÌË „‡Ù‡. èÛÒÚ¸ n

– Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ˜ËÒÎÓ

‚Â¯ËÌ, ‚ıÓ‰ﬂ˘Ëı ‚ Ó‰ËÌ ÔÛÚ¸. èÛÚÂÈ ‰ÎËÌ˚ n

+ 1, n

0 +

,...

ÌÂÚ. ä‡Í ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ ˜ËÒÎÓ n

ÔÓ Ï‡ÚËˆÂ ÒÏÂÊÌÓÒÚË Ä „‡Ù‡?

í‡Í Í‡Í

0≠ , ‡

2++

== ... = 0, ÚÓ ‰ÎËÌ‡ n

Ï‡ÍÒË-

Ï‡Î¸ÌÓ„Ó ÔÛÚË ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓ„Ó „‡Ù‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯ËÏ ˆÂ-

Î˚Ï ÍÓÌÂÏ Ï‡ÚË˜ÌÓ„Ó Û‡‚ÌÂÌËﬂ Ä

x+1

= 0.

å‡ÚËˆ‡ ‰ÓÒÚËÊËÏÓÒÚË. èÛÒÚ¸ Q =

– Ï‡ÚËˆ‡, i-, j-È

˝ÎÂÏÂÌÚ ÍÓÚÓÓÈ ‡‚ÂÌ 1, ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û-

ÂÚ ÔÛÚ¸ Î˛·ÓÈ ‰ÎËÌ˚ ÓÚ v

Í v

‚ „‡ÙÂ

G Ò Ï‡ÚËˆÂÈ ÒÏÂÊ-

ÌÓÒÚË Ä. ÖÒÎË Ú‡ÍÓ„Ó ÔÛÚË ÌÂÚ, ÚÓ q

= 0.

ä‡Í ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ Ï‡ÚËˆÛ ‰ÓÒÚËÊËÏÓÒÚË? ÖÒÎË ‰ÓÔÛÒÍ‡Ú¸

ÔÛÚË ‰ÎËÌ˚ ÌÛÎ¸, ÚÓ Ï‡ÚËˆ‡ ε

+ A + A

+ ... + A

ÔÓ‰Ò˜ËÚ‡ÂÚ

˜ËÒÎ‡ ÔÛÚÂÈ, ‰ÎËÌ˚ ÍÓÚÓ˚ı ÌÂ ÔÂ‚ÓÒıÓ‰ﬂÚ k. èÂÂıÓ‰ﬂ Í

·ÛÎÂ‚ÒÍËÏ Ï‡ÚËˆ‡Ï Ë Á‡ÏÂÌﬂﬂ ÒÎÓÊÂÌËÂ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍËÏ ÒÛÏÏËÓ-

‚‡ÌËÂÏ (‰ËÁ˙˛ÌÍˆËÂÈ), ÔÓÎÛ˜ËÏ Ï‡ÚËˆÛ

∨ A ∨ A

[2]

∨ ... ∨ A

[k]

i-, j-È ˝ÎÂÏÂÌÚ ÍÓÚÓÓÈ ‡‚ÂÌ 1, ÂÒÎË ÒÛ˘ ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÛÚ¸ ÓÚ v

Í v

‰ÎËÌ˚ ≤ k. ÑÎﬂ ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓ„Ó „‡Ù‡ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ‚ÁﬂÚ¸ k = n

ËÎË ‚ÓÓ·˘Â k = n, ˜ÚÓ·˚ Ì‡ÈÚË Ï‡ÚËˆÛ ‰ÓÒÚËÊËÏÓÒÚË