Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления

Подождите немного. Документ загружается.

ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ, Û ‰ÂÂ‚‡ í, Í‡Í ÓÚÏÂ˜‡ÎÓÒ¸, χ(í) = 1,

m(T) = n – 1 Ë ÔÓ˝ÚÓÏÛ

ν(í) = (n – 1) – (n) + (1) = 0.

ÖÒÎË ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍËÈ „‡Ù ËÏÂÂÚ χ = χ(G) Ò‚ﬂÁÌ˚ı ÍÓÏÔÓ-

ÌÂÌÚ, ÚÓ Í‡Ê‰‡ﬂ ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ‡ ‰ÓÎÊÌ‡ ·˚Ú¸ ‡ˆËÍÎË˜ÂÒÍÓÈ Ë

Ò‚ﬂÁÌÓÈ, Ú.Â. ‰ÂÂ‚ÓÏ. ìÔÓÚÂ·Îﬂﬂ Ì‡„Îﬂ‰Ì˚Â ÔÓÌﬂÚËﬂ, ÒÍ‡ÊÂÏ,

˜ÚÓ ˝ÚÓÚ „‡Ù ÂÒÚ¸ ÎÂÒ ËÁ χ ‰ÂÂ‚¸Â‚.

èÓ‰Ò˜ËÚ‡ÂÏ ˜ËÒÎ‡ „‡Ù‡ ËÁ K ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ:

nnmm k

((),()(), (),G) = G G G (G) = G

== =

∑∑∑

11 1

χχ

ÔÓÚÓÏÛ ˜ÚÓ G

Ò‚ﬂÁÂÌ.

èÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌË˛ ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓ„Ó ˜ËÒÎ‡,

ν(G) = m(G) – n(G) + χ(G).

Ç ÒËÎÛ ‡‰‰ËÚË‚ÌÓÒÚË n, m Ë χ, ÓÚÏÂ˜ÂÌÌÓÈ ‚˚¯Â, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ

‡‰‰ËÚË‚ÌÓÒÚ¸ ν:

νχν( (() () ().G) = G G (G )) = Gmn

ii i

∑∑

− +

ñËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÂ ˜ËÒÎÓ Î˛·Ó„Ó ‡ÁÎÓÊËÏÓ„Ó „‡Ù‡ ‡‚ÌÓ

ÒÛÏÏÂ ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍËı ˜ËÒÂÎ ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ. Ç ÛÒÎÓ‚Ëﬂı ÚÂÓÂÏ˚

– ‰ÂÂ‚¸ﬂ, Ëı ν

= 0. ñËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÂ ˜ËÒÎÓ ÎÂÒ‡ ÓÍ‡Á˚‚‡-

ÂÚÒﬂ ‡‚Ì˚Ï ÌÛÎ˛ Í‡Í ÒÛÏÏ‡ k ÌÛÎÂÈ. ➤

ñËÍÎ˚ „‡Ù‡. ñËÍÎ˚ „‡Ù‡ G ÏÓÊÌÓ ÎÂ„ÍÓ Ì‡ÈÚË ÔÓ ÓÒÚÓ‚Û

„‡Ù‡ í

. ñËÍÎ˚ „‡Ù‡ ÏÓÊÌÓ ‡ÁÎÓÊËÚ¸ ‚ ÎËÌÂÈÌÛ˛ ÍÓÏ·Ë-

Ì‡ˆË˛ ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ ‰‚‡ Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡ÂÏ˚ı ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚.

êÂ·‡ ÓÒÚÓ‚ÌÓ„Ó ‰ÂÂ‚‡ í

Ì‡Á˚‚‡˛Ú Â„Ó ‚ÂÚ‚ﬂÏË, ‡ Â·‡

„‡Ù‡ G, ÌÂ ‚Ó¯Â‰¯ËÂ ‚ ÓÒÚÓ‚ í

, Ì‡Á˚‚‡˛Ú ıÓ‰‡ÏË ‰ÂÂ‚‡

. óËÒÎÓ ıÓ‰ ÂÒÚ¸ ˜ËÒÎÓ Â·Â m(G) ÏËÌÛÒ ˜ËÒÎÓ ‚ÂÚ‚ÂÈ

ËÎË m(T

). ÑÎﬂ ÓÒÚÓ‚‡ m(T

) = n(G) – 1. óËÒÎÓ ıÓ‰ ÓÍ‡Á˚-

‚‡ÂÚÒﬂ ‡‚Ì˚Ï m(G) – n(G) + 1 ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÏÛ ˜ËÒÎÛ

ν(G) ËÒıÓ‰ÌÓ„Ó „‡Ù‡.

í Â Ó  Â Ï ‡ 7. óËÒÎÓ ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚ı ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚ Ò‚ﬂÁÌÓ„Ó

„‡Ù‡ G ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò ˜ËÒÎÓÏ ıÓ‰ ‰ÂÂ‚‡ T

. éÌÓ ‡‚ÌÓ ˆËÍ-

ÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÏÛ ˜ËÒÎÛ „‡Ù‡ ν(G).

ÑÎﬂ ‰ÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚‡ ÚÂÓÂÏ˚ Ì‡‰Ó ÚÓÎ¸ÍÓ Û·Â‰ËÚ¸Òﬂ, ˜ÚÓ

Í‡Ê‰ÓÈ ıÓ‰Â ÓÒÚÓ‚‡ ÏÓÊÌÓ ÔÓÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËÂ ÌÂÁ‡‚Ë-

ÒËÏ˚È ˆËÍÎ „‡Ù‡. ÖÒÎË ÔÓÔÓÎÌËÚ¸ ÓÒÚÓ‚ ıÓ‰ÓÈ r = (v

, v

ÚÓ ‚ ÌÂÏ ‚ÓÁÌËÍÌÂÚ Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌ˚È ˆËÍÎ, ÒÓÒÚÓﬂ˘ËÈ ËÁ r Ë ÚÓÈ

Â‰ËÌÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ˆÂÔË r

, r

,..., r

‚ÂÚ‚ÂÈ ‰ÂÂ‚‡, ÍÓÚÓ‡ﬂ ÒÓÂ‰ËÌﬂÂÚ

c v

. ïÓ‰‡ Á‡Ï˚Í‡ÂÚ ˝ÚÓÚ ÔÛÚ¸ ‚ ˆËÍÎ, ÍÓÚÓ˚È ÔÓ ÔÓÒÚÓÂ-

ÌË˛ ÔËÌ‡‰ÎÂÊËÚ ËÒıÓ‰ÌÓÏÛ „‡ÙÛ.

ê‡ÁÎË˜Ì˚Ï

ıÓ‰‡Ï

ÓÚ‚Â˜‡˛Ú

ÔË ˝ÚÓÏ

ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚Â

‰Û„

ÓÚ

‰Û„‡

ˆËÍÎ˚,

Ë·Ó ‚ ÌËı ÒÓ‰ÂÊ‡ÚÒﬂ ‡ÁÎË˜Ì˚Â Â·‡

–

ıÓ‰˚.➤

íÂÓÂÏ‡ ‰ÓÍ‡Á‡Ì‡ Ë ‚ÏÂÒÚÂ Ò ÚÂÏ ÔÓÎÛ˜ÂÌ ÍÓÌÒÚÛÍÚË‚Ì˚È

ÏÂÚÓ‰ ‚˚ﬂ‚ÎÂÌËﬂ ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚, ˜ÂÂÁ ÎËÌÂÈÌ˚Â ÍÓÏ·ËÌ‡-

ˆËË ÍÓÚÓ˚ı (Ì‡‰ ÔÓÎÂÏ ËÁ ‰‚Ûı ˜ËÒÂÎ 0 Ë 1, ÛÏÌÓÊ‡ÂÏ˚ı

Ó·˚˜ÌÓ Ë ÒÍÎ‡‰˚‚‡ÂÏ˚ı ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ 2) ÔÓÎÛ˜‡˛Ú ‚ÒÂ ˆËÍÎ˚ (Ë

Â˘Â ÔÒÂ‚‰ÓˆËÍÎ˚) „ ‡Ù‡ G.

ñÂÎÓÒÚÌÓÂ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËÂ Ó ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎ‡ı ‰‡ÂÚ ˆËÍÎÓÏ‡-

ÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ C(G) ÔÓﬂ‰Í‡ ν×m.

ä‡Í ÓÚÏÂ˜‡ÎÓÒ¸, Í‡Ê‰˚È ˆËÍÎ „‡Ù‡ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÏ ÒÛÏÏÓÈ ÔÓ

ÏÓ‰ÛÎ˛ 2 ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚. í‡Í Í‡Í ˜ËÒÎÓ ·‡ÁËÒÌ˚ı

(ıÓ‰Ó‚˚ı) ˆËÍÎÓ‚  ‡‚ÌÓ ν, ÚÓ ËÁ ÌËı ÏÓÊÌÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸, ·Âﬂ

‡ÁÎË˜Ì˚Â ÎËÌÂÈÌ˚Â ÍÓÏ·ËÌ‡ˆËË α

⊕α

⊕...⊕α

, ÒÚÓÎ¸ÍÓ

ÒÛÏÏ ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ 2, ÒÍÓÎ¸ÍÓ ËÏÂÂÚÒﬂ ÌÂÌÛÎÂ‚˚ı ‰‚ÓË˜Ì˚ı ‚ÂÍ-

ÚÓÓ‚ (α

, α

,..., α

), ÚÓ ÂÒÚ¸ 2

– 1 ÒÛÏÏ ËÁ 2-ı, 3-ı,..., ν

ÒÎ‡-

„‡ÂÏ˚ı.

ã˛·ÓÈ ˆËÍÎ ı‡‡ÍÚÂËÁÛÂÚÒﬂ Ì‡·ÓÓÏ Â·Â „‡Ù‡ G, ‚ıÓ-

‰ﬂ˘Ëı ‚ ˝ÚÓÚ ˆËÍÎ, ÔÓ˝ÚÓÏÛ Â„Ó ÏÓÊÌÓ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ m-ÏÂÌ˚Ï

‰‚ÓË˜Ì˚Ï ‚ÂÍÚÓÓÏ (β

, β

,..., β

), ‚ ÍÓÚÓÓÏ β

= 1, ÂÒÎË r

‚ıÓ-

‰ËÚ ‚ ˆËÍÎ, Ë β

= 0, ÂÒÎË ‚ ˆËÍÎÂ Â·‡ r

ÌÂÚ. ÇÒÂ„Ó ÒÛ˘ÂÒÚ-

‚ÛÂÚ 2

– 1 ÌÂÌÛÎÂ‚˚ı Ì‡·ÓÓ‚ (β

, β

,..., β

), ÌÓ ÌÂ Í‡Ê‰˚È ËÁ

ÌËı ÓÚ‚Â˜‡ÂÚ ˆËÍÎÛ „‡Ù‡. ÖÒÎË β Ë β′ ‰‡˛Ú ˆËÍÎ˚ Ò Ë Ò′, ÚÓ

β⊕β′ ‰‡ÒÚ ˆËÍÎ ÎË¯¸ ÔË Ì‡ÎË˜ËË Û Ò Ë Ò′ ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘Ëı Â-

·Â. ÖÒÎË ÊÂ ˆËÍÎ˚ Ò Ë Ò′ ÌÂ ÔÂÂÒÂÍ‡˛ÚÒﬂ, ÚÓ ‚ÂÍÚÓ (β⊕β′)

‰‡ÂÚ ‰‚‡ ˆËÍÎ‡ ‚ÏÂÒÚÂ, Ú.Â. ÌÂ ˆËÍÎ, ‡ ÔÒÂ‚‰ÓˆËÍÎ, ÒÛÏÏÛ ‰‚Ûı

ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚ı ˆËÍÎÓ‚. áÌ‡˜ËÚ, ‚ÂÌ‡ ÒÎÂ‰Û˛˘‡ﬂ ÚÂÓÂÏ‡.

í Â Ó  Â Ï ‡ 8. ã˛·ÓÈ ˆËÍÎ „‡Ù‡ G ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎﬂÂÚ ÒÓ·ÓÈ ÒÛÏ-

ÏÛ ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ ‰‚‡ ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚, ÔÓÒÚÓÂÌÌ˚ı ÔÓ ÔÓËÁ-

‚ÓÎ¸ÌÓÏÛ ÓÒÚÓ‚Û T

. ä‡Ê‰‡ﬂ ÎËÌÂÈÌ‡ﬂ ÍÓÏ·ËÌ‡ˆËﬂ ·‡ÁËÒÌ˚ı

ˆËÍÎÓ‚ ‰‡ÂÚ ÔÒÂ‚‰ÓˆËÍÎ.

ñËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ C(G) ÓÔËÒ˚‚‡ÂÚ ‚ıÓ‰ËÏÓÒÚ¸ Â-

·Â „‡Ù‡ ‚ ·‡ÁËÒÌ˚Â ˆËÍÎ˚. Å‡ÁËÒÌ˚È ˆËÍÎ b

Í‡Í ÎËÌÂÈÌ‡ﬂ

ÍÓÏ·ËÌ‡ˆËﬂ Â·Â r

, r

,..., r

ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÏ ‚˚‡ÊÂÌËÂÏ b

= c

⊕c

⊕...⊕c

. äÓ˝ÙÙËˆËÂÌÚ Ò

= 1, ÂÒÎË r

‚ıÓ‰ËÚ ‚ b

Ë c

= 0 ‚ ÔÓÚË‚ÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â. å‡ÚËˆ‡

ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔË‚Â-

‰ÂÌ‡ Í Í‡ÌÓÌË˜ÂÒÍÓÏÛ ‚Ë‰Û:

C = (e

c

„‰Â ÎÂ‚‡ﬂ ˜‡ÒÚ¸ – Â‰ËÌË˜Ì‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ ÔÓﬂ‰Í‡ ν. ÑÎﬂ ˝ÚÓ„Ó Ì‡-

‰Ó ıÓ‰˚ ÓÒÚÓ‚‡ ÔÓÌÛÏÂÓ‚‡Ú¸ ÓÚ 1 ‰Ó ν Ë Ú‡ÍËÂ ÊÂ ÌÓÏÂ‡

‰‡Ú¸ ·‡ÁËÒÌ˚Ï ˆËÍÎ‡Ï, ‚ÍÎ˛˜‡˛˘ËÏ ˝ÚË ıÓ‰˚.

å‡ÚËˆ‡ ë

ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ Ò

(j > ν), ÛÍ‡Á˚‚‡˛˘Ëı ÓÚÌÓ-

ÒËÏÓÒÚ¸ ‚ÂÚ‚ÂÈ ÓÒÚÓ‚‡ Í ·‡ÁËÒÌ˚Ï ˆËÍÎ‡Ï. óËÒÎÓ ÒÚÓÎ·ˆÓ‚ Ï‡-

ÚËˆ˚ ë

m – ν Ò Û˜ÂÚÓÏ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ν = m – n + 1 ÓÍ‡Á˚‚‡-

ÂÚÒﬂ ‡‚Ì˚Ï n – 1 – ˜ËÒÎÛ ‚ÂÚ‚ÂÈ ÓÒÚÓ‚‡. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ‚ÒÂ

‚ÂÚ‚Ë ÓÒÚÓ‚‡ ÓÍ‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ‡ÁÌÂÒÂÌÌ˚ÏË ÔÓ ·‡ÁËÒÌ˚Ï ˆËÍÎ‡Ï.

àÁ Í‡ÌÓÌË˜ÂÒÍÓ„Ó Ô Â‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËﬂ ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚËˆ˚

‚Ë‰ÌÓ, ˜ÚÓ ‡Ì„ G ‡‚ÂÌ ν. à ˝ ÚÓ ‚ÂÌÓ ‰Îﬂ ·‡ÁËÒ‡, ÔÓÒÚÓÂÌ-

ÌÓ„Ó ÔÓ Î˛·ÓÏÛ ÓÒÚÓ‚Û.

ÖÒÎË „‡Ù ÓÔËÒ˚‚‡ÂÚ ˝ÎÂÍÚË˜ÂÒÍÛ˛ ˆÂÔ¸, ‚ÍÎ˛˜‡˛˘Û˛

ËÒÚÓ˜ÌËÍË ÚÓÍ‡, ÒÓÔÓÚË‚ÎÂÌËﬂ, ÂÏÍÓÒÚË Ë Í‡ÚÛ¯ÍË ËÌ‰ÛÍÚË‚-

ÌÓÒÚË, ÚÓ ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÂ ˜ËÒÎÓ ν ‰‡ÂÚ Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ˜ËÒÎÓ ÌÂ-

Á‡‚ËÒËÏ˚ı ÍÓÌÚÛÓ‚, Ú.Â. Ì‡Ë·ÓÎ¸¯ÂÂ ˜ËÒÎÓ ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚ı ÍÛ-

„Ó‚˚ı ÚÓÍÓ‚, ÔÓÚÂÍ‡˛˘Ëı ‚ ˆÂÔË.

è  Ë Ï Â  1. ÇÓÁ¸ÏÂÏ ˝ ÎÂÍÚË˜ÂÒÍÛ˛ ˆÂÔ¸, ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌÌÛ˛

Ì‡ ËÒ. 2.32 ÏÛÎ¸ÚË„‡ÙÓÏ ·ÂÁ ÔÂÚÂÎ¸. Ç Í‡˜ÂÒÚ‚Â ÓÒÚÓ‚‡ ÔË-

ÏÂÏ ‰ÂÂ‚Ó r

, r

. Ö„Ó ıÓ‰‡ÏË ·Û‰ÛÚ Â·‡ r

, r

. àÏ ÓÚ‚Â˜‡˛Ú ·‡ÁËÒÌ˚ Â ˆËÍÎ˚ b

= (r

, r

), b

= (r

, r

), b

= (r

, r

), b

= (r

, r

), b

= (r

, r

), b

= (r

, r

) Ë ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡

C =

0 1100000000

000110 1 0000

00001110 1 00

11001 0 11000

0000001 0 110

1100001 0 1 0 1

êàë. 2.32 ùÎÂÍÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ˆÂÔ¸ (‡) Ë „‡Ù ˆÂÔË G

(·).

éÒÚÓ‚ – r

, r

; ˆËÍÎ˚ – (r

, r

), (r

, r

), (r

, r

), (r

, r

), (r

, r

), (r

, r

)

èÂÂÒÚ‡‚Ë‚ ÒÚÓÎ·ˆ˚ ‚ ÔÓﬂ‰ÍÂ ÌÓÏÂÓ‚ ÒÌ‡˜‡Î‡ ıÓ‰, ‡ Á‡-

ÚÂÏ ‚ÂÚ‚ÂÈ, ÔÓÎÛ˜ËÏ Ú‡ÍÛ˛ ¯‡ÔÍÛ Í‡ÌÓÌË˜ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚËˆ˚: r

, r

; r

, r

Ç˚ÔË¯ÂÏ ÂÂ ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛ .

3 4 6 8 10 11 1 2 5 7 9

1 00000

0 1 0000

001 000

0001 00

0000

ıÓ‰˚

0 1 000

00110

00111

11110

‚ÂÚ‚Ë

C =













1 0

000001

00011

110 11

124443444 1 24443444





ã˛·ÓÈ ˆËÍÎ „‡Ù‡ ˝ÎÂÍÚË˜ÂÒÍÓÈ ˆÂÔË ·Û‰ÂÚ ‚˚‡Ê‡Ú¸Òﬂ

ÍÓÓ‰ËÌ‡ÚÌÓÈ ÒÛÏÏÓÈ ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ 2 ‚ÂÍÚÓÓ‚ ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚.

Ö„Ó Â·ÂÌ˚È ÒÓÒÚ‡‚ ÓÔÂ‰ÂÎËÚÒﬂ ÒÛÏÏËÓ‚‡ÌËÂÏ ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ 2

ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı ÒÚÓÍ ‚˚ÔËÒ‡ÌÌÓÈ Ï‡ÚËˆ˚ ë

. ➤

ê‡ÁÂÁ˚ „ ‡Ù‡. íÂÒÌÓ Ò‚ﬂÁ‡ÌÓ Ò ÔÓÌﬂÚËÂÏ ˆËÍÎ‡ ÔÓÌﬂÚËÂ

‡ÁÂÁ‡ (ËÎË ÍÓ-ˆËÍÎ‡). åÌÓÊÂÒÚ‚Ó Â·Â, Û‰‡ÎÂÌËÂ ÍÓÚÓ˚ı

ËÁ Ò‚ﬂÁÌÓ„Ó „‡Ù‡ G (Ò ÒÓı‡ÌÂÌËÂÏ ‚ G ÍÓÌˆÓ‚ Û‰‡ÎÂÌÌ˚ı

Â·Â), ‡Á·Ë‚‡ÂÚ Â„Ó Ì‡ ÌÂÒ‚ﬂÁÌ˚Â ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ˚, Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ

‡ÁÂÁ‡˛˘ËÏ ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ. åÌÓÊÂÒÚ‚Ó ê Â·Â , ‡ÁÂÁ‡˛˘ÂÂ

„‡Ù, ÌËÍ‡ÍÓÂ ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ÍÓÚÓÓ„Ó ÌÂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‡ÁÂÁ‡˛-

˘ËÏ, Ì‡Á˚‚‡˛Ú ÔÓÒÚÓ ‡ÁÂÁÓÏ „‡Ù‡. éÒÚÓ‚ Ë ‡ÁÂÁ ‰‚ÓÈ-

ÒÚ‚ÂÌÌ˚ ‰Û„ ‰Û„Û. éÒÚÓ‚ – ˝ÚÓ ÏËÌËÏ‡Î¸ÌÓÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Â-

·Â, Ò‚ﬂÁ˚‚‡˛˘ÂÂ ‚ÒÂ ‚Â¯ËÌ˚ „‡Ù‡. ê‡ÁÂÁ – ÏËÌËÏ‡Î¸ÌÓÂ

ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó Â·Â, ‡Á‰ÂÎﬂ˛˘ÂÂ Ó‰ÌË ‚Â¯ËÌ˚ ÓÚ ‰Û„Ëı.

ÑÎﬂ Ó„‡Ù‡ ‡ÁÂÁ – ˝ÚÓ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó ‰Û„, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı

Â·‡Ï, ‡Á‰ÂÎﬂ˛˘ËÏ Â„Ó ÌÂÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌ˚È ‰Û·ÎËÍ‡Ú Ì‡ ‰‚Â

˜‡ÒÚË G

Ë G

. ç‡ ˝ÚËı Â·‡ı ÒÓı‡ÌﬂÂÚÒﬂ ‰ÓÔÂÂÒÚÓÂ˜Ì‡ﬂ

ÓËÂÌÚ‡ˆËﬂ. ÑÛ„Ë ‡ÁÂÁ‡ Ó„‡Ù‡ ˜‡ÒÚ¸˛ ‚Â‰ÛÚ ËÁ G

‚ G

, ‡

˜‡ÒÚ¸˛ ËÁ G

‚ G

ç‡ ËÒ. 2.33 ÔÛÌÍÚËÓÏ ÔÂÂÒÂ˜ÂÌ˚ ‰Û„Ë, ‡Á‰ÂÎﬂ˛˘ËÂ ÎÂ-

‚Û˛ Ë Ô‡‚Û˛ ˜‡ÒÚË „‡Ù‡ G

. ä‡Í ‰Îﬂ ˆËÍÎÓ‚ ÂÒÚ¸ ·‡ÁËÒÌ˚Â

ˆËÍÎ˚, Ú‡Í Ë ‰Îﬂ ‡ÁÂÁÓ‚ ÂÒÚ¸ ·‡ÁËÒÌ˚Â ‡ÁÂÁ˚. Å‡ÁËÒÌ˚È

‡ÁÂÁ ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ ÓÒÚÓ‚‡ í ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Í‡Í ‡ÁÂÁ, ‚ÍÎ˛-

˜‡˛˘ËÈ Ó‰ÌÓ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ Ó‰ÌÓ ËÁ n–1 Â·Â (‚ÂÚ‚ÂÈ) ‰Â Â‚‡ í.

í Â Ó  Â Ï ‡ 9. Å‡ÁËÒÌ˚È ‡ÁÂÁ ÌÂÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌÓ„Ó „‡Ù‡

ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Ó‰ÌËÏ Â·ÓÏ-‚ÂÚ‚¸˛ r ÓÒÚÓ‚ÌÓ„Ó ‰ÂÂ‚‡ Ë ÚÂÏË

ıÓ‰‡ÏË, ÍÓÚÓ˚Â ‚ÏÂÒÚÂ Ò r ÒÓÒÚ‡‚Îﬂ˛Ú ·‡ÁËÒÌ˚Â ˆËÍÎ˚ „‡-

Ù‡. ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ, Ó‰ÌÓ Ë ÚÓ ÊÂ Â·Ó r ‰ÂÂ‚‡ í ÏÓÊÂÚ ‚ıÓ-

‰ËÚ¸ ‚ ÌÂÒÍÓÎ¸ÍÓ ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚ b

, b

,..., b

. Ç Í‡Ê‰ÓÏ Ú‡-

ÍÓÏ ˆËÍÎÂ ÒÓ‰ÂÊËÚÒﬂ ÔÓ Ó‰ÌÓÈ ıÓ‰Â-Â·Û ËÁ G, ÌÂ ‚ıÓ‰ﬂ-

˘ÂÏÛ ‚ í. ÖÒÎË ÔÓÒÎÂ‰ÌÂÂ Û‰‡ÎËÚ¸, ÚÓ ˜‡ÒÚË G

Ë G

„‡Ù‡,

‰Îﬂ ÍÓÚÓ˚ı ˜‡ÒÚË í

Ë í

, Ì‡ ÍÓÚÓ˚Â  ‡Á·Ë‚‡ÂÚÒﬂ ‰ÂÂ‚Ó í

Â·ÓÏ r, ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÓÒÚÓ‚‡ÏË, ÓÍ‡ÊÛÚÒﬂ ÌÂ Ò‚ﬂÁÌ˚ÏË. ë‚ﬂÁË

ÏÂÊ‰Û ‚Â¯ËÌ‡ÏË G

Ë G

(‚ıÓ‰ﬂ˘ËÏË ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‚ í

) ‡ÁÓ‚ÛÚÒﬂ Í‡Í ÔÓ í, Ú‡Í Ë ÔÓ ‚ÒÂÏ ˆËÍÎÓ‚˚Ï Â·‡Ï G, ÌÂ

‚ıÓ‰Ë‚¯ËÏ ‚ í.

àÚ‡Í, Â·Ó r Ë ‰ÓÔÓÎÌﬂ˛˘ËÂ Â„Ó ‰Ó ˆËÍÎÓ‚ ıÓ‰˚ Ó·‡ÁÛ-

˛Ú ‚ ÒÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚË ‡Á ÂÁ ‚Â¯ËÌ, ÒÚﬂ„Ë‚‡ÂÏ˚ı í

Ë í

. Ç ˝ÚÓÚ

‡ÁÂÁ ÔÓ Â„Ó ÔÓÒÚ ÓÂÌË˛ ÌÂ ‚ıÓ‰ﬂÚ ÌËÍ‡ÍËÂ ‚ÂÚ‚Ë í, ÍÓÏÂ r,

ÔÓ˝ÚÓÏÛ ÓÌ ·‡ÁËÒÌ˚È ÒÓ„Î‡ÒÌÓ ÔË‚Â‰ÂÌÌÓÏÛ ‚˚¯Â ÓÔÂ‰ÂÎÂ-

ÌË˛. ➤

ÅÂﬂ ÔÓÓ˜ÂÂ‰ÌÓ ‚ÒÂ ‚ÂÚ‚Ë ‰ÂÂ‚‡ í Ë ‰ÓÔÓÎÌﬂﬂ Ëı ‰Ó ‡Á-

ÂÁÓ‚ ˆËÍÎÓÓ·‡ÁÛ˛˘ËÏË ıÓ‰‡ÏË, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ ‚ÒÂ n – 1 = m – ν

·‡ÁËÒÌ˚Â ‡ÁÂÁ˚. óËÒÎÓ ρ = m – ν Ì‡Á˚‚‡˛Ú ÍÓˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜Â-

ÒÍËÏ ˜ËÒÎÓÏ ËÎË ÔÓ˘Â – ‡Ì„ÓÏ ‡ÁÂÁÓ‚ „‡Ù‡ G.

ä‡Ê‰˚È ·‡ÁËÒÌ˚È ‡ÁÂÁ ÏÓÊÌÓ ÓÔËÒ‡Ú¸ ‚ıÓ‰ﬂ˘ËÏË ‚ ÌÂ„Ó

Â·‡ÏË. ç‡ ËÒ. 2.33 ‰‡Ì ‡ÁÂÁ {r

, r

} „‡Ù‡ G

ÄÌ‡ÎÓ„Ë˜ÌÓ ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÈ ÏÓÊÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ Ï‡ÚËˆÛ ·‡-

ÁËÒÌ˚ı ‡ÁÂÁÓ‚ ê(G) ÔÓﬂ‰Í‡ ρ×m. P = P(G) =

[]p

, „‰Â

= 1, ÂÒÎË r

‚ıÓ‰ËÚ ‚ ‡ÁÂÁ p

(i = 1, 2,..., ρ).

ÑÎﬂ Ï‡ÚËˆ˚ ‡ÁÂÁÓ‚ ê ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Í‡ÌÓÌË˜ÂÒÍÓÂ ÔÂ‰-

ÒÚ‡‚ÎÂÌËÂ, ‚ÍÎ˛˜‡˛˘ÂÂ Â‰ËÌË˜ÌÛ˛ Ï‡ÚËˆÛ ÔÓﬂ‰Í‡ ρ. ÖÒÎË

ÓÔﬂÚ¸ ‡ÒÔÓÎÓÊËÏ ÔÓ ÒÚÓÎ·ˆ‡Ï ÒÌ‡˜‡Î‡ ıÓ‰˚ í, ‡ ÔÓÚÓÏ Â„Ó

‚ÂÚ‚Ë Ë ÛÔÓﬂ‰Ó˜ËÏ ‡ÁÂÁ˚ p

‚ ÔÓﬂ‰ÍÂ ‡ÒÒÚ‡ÌÓ‚ÍË ‚ıÓ‰ﬂ-

˘Ëı ‚ ÌËı ıÓ‰, ÚÓ ÔÓÎÛ˜ËÏ

P = (p

ε

êàë. 2.33. ê‡ÁÂÁ Ó„‡Ù‡

„‰Â p

‡ÒÔÂ‰ÂÎﬂÂÚ ıÓ‰˚ ÔÓ ‡ÁÂÁ‡Ï. èÓﬂ‰ÓÍ p

ρ×ν. ïÓ-

‰‡ Ó‰ÌÓÁÌ‡˜ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Ô‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚ¸˛ Ò

Ï‡ÚËˆ˚ ë.

èÂÂÍÓÈÍ‡ Ï‡ÚËˆ ˆËÍÎÓ‚ Ë ‡ÁÂÁÓ‚. å‡ÚËˆÛ ‡ÁÂÁÓ‚

ê ÏÓÊÌÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ÔÂÂÍÓÈÍÓÈ (ÒÏ. [3]) Ï‡ÚËˆ˚ ë. ÑÎﬂ ÓÔ-

Â‰ÂÎÂÌËﬂ ÔÓˆÂÒÒ‡ ÔÂÂÍÓÈÍË Ï‡ÚËˆ ‚‚Ó‰ﬂÚ ‰‚Â ÍÓÌÒÚÛÍ-

ÚË‚Ì˚Â ·ËÌ‡Ì˚Â Ï‡ÚË˜Ì˚Â ÓÔÂ‡ˆËË: Ô ËÔËÒ˚‚‡ÌËÂ Ï‡ÚË-

ˆ˚ å

Í Ï‡ÚËˆÂ å

ÒÔ‡‚‡ Ë ÔÓ‰ÔËÒ˚‚‡ÌËÂ Ï‡ÚËˆ˚ å

ÔÓ‰

Ï‡ÚËˆÂÈ å

ÑÎﬂ ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÎÂÌËﬂ ÔËÔËÒ˚‚‡ÌËﬂ Û Ï‡ÚËˆ å

Ë å

‰ÓÎ-

ÊÂÌ ·˚Ú¸ ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘ËÈ ·ÓÍÓ‚ËÍ, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏ˚Ï ÛÒÎÓ‚ËÂÏ ˜Â„Ó

ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒÓ‚Ô‡‰ÂÌËÂ ˜ËÒÎ‡ ÒÚ ÓÍ. Ç ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÂ ÔËÔËÒ˚‚‡ÌËﬂ

ÔÓﬂ‰Í‡ n×m

Í M

ÔÓﬂ‰Í‡ n×m

ÒÔ‡‚‡ ÔÓÎÛ˜ËÚÒﬂ Ï‡ÚËˆ‡

å = (å

å

) ÔÓﬂ‰Í‡ n×(m

+ m

). èËÔËÒ˚‚‡ÌËÂ ÔÓ ÒÛ˘ÂÒÚ-

‚Û ‡‚ÌÓÒËÎ¸ÌÓ ÒÍÎÂË‚‡ÌË˛ ‰‚Ûı Ú‡·ÎËˆ Ò ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘ËÏË ·Ó-

ÍÓ‚ËÍ‡ÏË.

ÑÎﬂ ÔÓ‰ÔËÒ˚‚‡ÌËﬂ å

ÔÓ‰ å

ÚÂ·ÛÂÚÒﬂ ÒÓ‚Ô‡‰ÂÌËÂ ¯‡ÔÓÍ

(Ì‡ËÏÂÌÓ‚‡ÌËÈ ÒÚÓÎ·ˆÓ‚).

êÂÁÛÎ¸ÚËÛ˛˘‡ﬂ Ï‡ÚËˆ‡ ËÏÂÂÚ ÔÓﬂ‰ÓÍ (n

+ n

)× m Ë Á‡-

ÔËÒ˚‚‡ÂÚÒﬂ Í‡Í

. ÑÎﬂ ÛÔÓ˘ÂÌËﬂ Á‡ÔËÒÂÈ Ô ËÔËÒ˚-

‚‡ÌËÂ å

Í å

ÏÓÊÌÓ ÌÂ Ó·ÓÁÌ‡˜‡Ú¸ ÌËÍ‡ÍËÏ ÁÌ‡ÍÓÏ. èË¯ÂÏ

ÔÓÒÚÓ å = å

, ÔÓ‰ÔËÒ˚‚‡ÌËÂ Ó·ÓÁÌ‡˜‡ÂÏ ‰Ó·¸˛

éÌÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓ‰ÍÎÂÈÍÂ Ó‰ÌÓÈ Ú‡·ÎËˆ˚ ÔÓ‰ ‰Û„ÓÈ (ÔË

ÛÒÎÓ‚ËË Ë‰ÂÌÚË˜ÌÓÒÚË Ëı ¯‡ÔÓÍ).

Ç ÔËÌﬂÚ˚ı Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËﬂı Í‡ÌÓÌË˜ÂÒÍ‡ﬂ ÙÓÏ‡ ˆËÍÎÓÏ‡ÚË-

˜ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚËˆ˚ ë ÔÓÎÛ˜‡ÂÚÒﬂ ÔÓ‰ÔËÒ˚ ‚‡ÌËÂÏ ÒÔ‡‚‡ Í Â‰Ë-

ÌË˜ÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂ ε

Ï‡ÚËˆ˚ ËÌˆË‰ÂÌÚÌÓÒÚË ‚ÂÚ‚ÂÈ ÓÒÚÓ‚ÌÓ„Ó

‰ÂÂ‚‡ ·‡ÁÓ‚˚Ï ˆËÍÎ‡Ï ë

ÑÎﬂ ÔÓÎÌÓ„Ó ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ÔÓˆÂÒÒ‡ ÔÂÂÍÓÈÍË Ï‡ÚËˆ Ì‡‰Ó

‚‚ÂÒÚË ÚÂÚ¸˛ ÓÔÂ‡ˆË˛ – Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌËÂ Ï‡ÚËˆ˚. å‡Ú-

Ëˆ‡ å

Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌÓÈ Ï‡ÚËˆÂÈ å, ÂÒÎË ÓÌ‡

ÔÓÎÛ˜ÂÌ‡ ËÁ å Á‡ÏÂÌÓÈ ÒÚÓÍ Ì‡ ÒÚÓÎ·ˆ˚.

Ç ÔÓ˝ÎÂÏÂÌÚÌÓÈ Á‡ÔËÒË å Ë å

˝ÚÓ ÓÁÌ‡˜‡ÂÚ

mmi nj m

ij ji

== =; , ,..., ; , ,..., .1 2 1 2

èÓﬂ‰ÓÍ Ï‡ÚËˆ˚ å

m×n.

ë‚ﬂÁ¸ ÏÂÊ‰Û ÔËÔËÒ‡ÌËÂÏ, ÔÓ‰ÔËÒ‡ÌËÂÏ Ë Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡-

ÌËÂÏ ‰‡ÂÚÒﬂ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËﬂÏË

() , .AB A B













í‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌËÂ ÔËÔËÒ‡ÌÌ˚ı Ï‡ÚËˆ ‡‚ÌÓÒËÎ¸ÌÓ ÔÓ‰-

ÔËÒ‡ÌË˛ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌ˚ı Ï‡ÚËˆ, ‡ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌËÂ

ÔÓ‰ÔËÒ‡ÌÌ˚ı ‡‚ÌÓÒËÎ¸ÌÓ ÔËÔËÒ˚‚‡ÌË˛ Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌ˚ı.

ì Ô  ‡ Ê Ì Â Ì Ë Â. ÑÓÍ‡ÊËÚÂ Ô‡‚ËÎ¸ÌÓÒÚ¸ ˝ÚËı

ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ.

ä‡ÍÓ‚ ÔÓˆÂÒÒ ÔÂÂÍÓÈÍË ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÈ Ï‡ÚËˆ˚ ‚ Ï‡-

ÚËˆÛ ‡ÁÂÁÓ‚?

éÌ ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ ˆÂÔÓ˜ÍË ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËÈ C = ε

(ÓÚ·ÓÒËÚ¸ ε

) → ë

(ÔÓ‰ÔËÒ‡Ú¸ ÔÓ‰ ÌÂÂ ε

) →

(Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡Ú¸) →

= ê .

å‡ÚËˆ‡ ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË Â·Â ‡ÁÂÁ‡Ï ÔÓÎÛ˜‡ÂÚÒﬂ ËÁ

Ï‡ÚËˆ˚ ë

ÔËÌ‡‰ÎÂÊÌÓÒÚË ‚ÂÚ‚ÂÈ ÓÒÚÓ‚‡ ˆËÍÎ‡Ï ÔÛÚÂÏ

Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌËﬂ Ë ÔËÔËÒ˚‚‡ÌËﬂ Â‰ËÌË˜ÌÓÈ Ï‡ÚËˆ˚ ÔÓﬂ‰-

Í‡ ρ.

ÑÎﬂ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ ë

Ì‡‰Ó Ì‡Û˜ËÚ¸Òﬂ ÔÓÎÛ˜‡Ú¸ ÓÒÚÓ‚˚ Ò‚ﬂÁ-

Ì˚ı „‡ÙÓ‚. éÒÚÓ‚ÌÓÈ ÎÂÒ χ-ÍÓÏÔÓÌÂÌÚÌÓ„Ó „‡Ù‡ ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ

ÓÒÚÓ‚Ó‚ ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ.

ÖÒÎË G – ‰ÂÂ‚Ó, ÚÓ ‰Îﬂ ÌÂ„Ó ρ = m – ν = n – 1, ˜ÚÓ ÔÓÌﬂÚ-

ÌÓ Ë ·ÂÁ ‰ÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚‡, Ë·Ó Û ‰ÂÂ‚‡ Î˛·ÓÂ Â·Ó – ÌÂÁ‡‚Ë-

ÒËÏ˚È ‡ÁÂÁ.

é·ÓÒÌÓ‚‡ÌËÂÏ ÔËÏÂÌËÏÓÒÚË ÔÂÂÍÓÈÍË ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÒÎÂ‰Û˛-

˘‡ﬂ ÚÂÓÂÏ‡.

í Â Ó  Â Ï ‡ 10. å‡Ú Ëˆ‡ ·‡ÁËÒÌ˚ı ˆËÍÎÓ‚, ÛÏÌÓÊÂÌÌ‡ﬂ Ì‡

Ú‡ÌÒÔÓÌËÓ‚‡ÌÌÛ˛ Ï‡ÚËˆÛ ·‡ÁËÒÌ˚ı  ‡ÁÂÁÓ‚ (ÒÓ ÒÎÓÊÂÌË-

ÂÏ ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ 2), ‰‡ÂÚ ÌÛÎÂ‚Û˛ Ï‡ÚËˆÛ

ÔÓﬂ‰Í‡

ν×ρ,

‡

= C

Ñ Ó Í ‡ Á ‡ Ú Â Î ¸ Ò Ú ‚ Ó . ÖÒÎË ‚ÂÌÓ ÔÂ‚ÓÂ ÛÚ‚ÂÊ‰ÂÌËÂ Ó· ÛÏ-

ÌÓÊÂÌËË Ï‡ÚËˆ ë ê

= 0, ÚÓ ÓÌÓ ‰‡ÂÚ (ε

)

⋅ =













= ε

⊕ G

⊕ C

= 0.

ÇÓÁ¸ÏÂÏ ij ˝ÎÂÏÂÌÚ ÒÛÏÏ˚ Ï‡ÚËˆ ÒÎÂ‚‡ Ë ÔË‡‚ÌﬂÂÏ Â„Ó

ÌÛÎ˛:

⊕ c

= 0.

ùÚÓ ‚˚ÔÓÎÌﬂÂÚÒﬂ ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡ ‰Îﬂ ‰‚ÓË˜Ì˚ı ÒÎ‡„‡Â-

Ï˚ı, ÍÓ„‰‡ ÓÌË ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú:

= c

Ç Ï‡ÚË˜ÌÓÈ ÙÓÏÂ ˝ÚÓ ÂÒÚ¸

= C

ËÎË P

éÒÚ‡ÂÚÒﬂ Û·Â‰ËÚ¸Òﬂ ‚ ÓÚÓ„ÓÌ‡Î¸ÌÓÒÚË ë Ë P

. ç‡È‰ÂÏ

ij-˝ÎÂÏÂÌÚ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËﬂ ë⋅ P

. éÌ ÔÓÎÛ˜‡ÂÚÒﬂ ÔÓ˝ÎÂÏÂÌÚÌ˚Ï

ÔÂÂÏÌÓÊÂÌËÂÏ i-È ÒÚÓÍË ë Ë j-„Ó ÒÚÓÎ·ˆ‡ P

Ë ÒÛÏÏËÓ‚‡ÌË-

ÂÏ Ô‡Ì˚ı ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÈ ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ 2. èÓÒÍÓÎ¸ÍÛ j-È ÒÚÓÎ·Âˆ

ÂÒÚ¸ j-ﬂ ÒÚÓÍ‡ P , ÚÓ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ

cp cp c p

i j i j im jm11 22

⊕⊕⊕... .

ùÚÓÚ ij-˝ÎÂÏÂÌÚ ÓÚÎË˜ÂÌ ÓÚ ÌÛÎﬂ ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ‚ ‚˚ÔË-

Ò‡ÌÌÓÈ

ÒÛÏÏÂ ÌÂ˜ÂÚÌÓÂ ˜ËÒÎÓ ÒÎ‡„‡ÂÏ˚ı ‡‚ÌÓ

Â‰ËÌËˆÂ.

= 1

ÚÓÎ¸ÍÓ ÔË c

= p

= 1, ˜ÚÓ ÒÓ‰ÂÊ‡ÚÂÎ¸ÌÓ ÓÁÌ‡˜‡ÂÚ ‚ıÓÊ‰ÂÌËÂ

Â·‡ r

Í‡Í ‚ ˆËÍÎ b

, Ú‡Í Ë ‚ ‡ÁÂÁ p

åÓÊÂÚ ÎË ·‡ÁËÒÌ˚È ˆËÍÎ b

ËÏÂÚ¸ Ò ·‡ÁËÒÌ˚Ï ‡ÁÂÁÓÏ p

ÌÂ˜ÂÚÌÓÂ ˜ËÒÎÓ ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘Ëı Â·Â?

éÍ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÌÂÚ. íÂÓÂÏ‡ 10 ‰ÓÍ‡Á‡Ì‡, Ú.Â. ‚ÂÌ‡.

í Â Ó  Â Ï ‡ 11. ñËÍÎ Z Ë ‡ÁÂÁ‡˛˘ÂÂ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó S Ò‚ﬂÁÌÓ„Ó

„‡Ù‡ G ËÏÂ˛Ú ˜ÂÚÌÓÂ ˜ËÒÎÓ Ó·˘Ëı Â·Â.

ÑÂÈÒÚ‚ËÚÂÎ¸ÌÓ, ÔÛÒÚ¸ G

Ë G

– ÎÂ‚‡ﬂ ËÎË Ô‡‚‡ﬂ ˜‡ÒÚË

G – S. ÖÒÎË Z ÔËÌ‡‰ÎÂÊËÚ G

ËÎË G

, ÚÓ, ÓÌ Ò S ÌÂ ËÏÂÂÚ

Ó·˘Ëı Â·Â. ÖÒÎË ÊÂ Z ‡ÁÏÂ˘‡ÂÚÒﬂ Í‡Í ‚ G

, Ú‡Í Ë ‚ G

, ÚÓ,

‚Áﬂ‚ Ì‡ ˆËÍÎÂ ÚÓ˜ÍÛ, Ì‡ÔËÏÂ v

∈ V(G

), Ë ‰‚Ë„‡ﬂÒ¸ ÔÓ Â·-

‡Ï G ÓÚ ÌÂÂ Í ÚÓ˜Í‡Ï ˆËÍÎ‡ Z ËÁ V(G

), Ì‡‰Ó Ó·ﬂÁ‡ÚÂÎ¸ÌÓ

Ô ÓÈÚË ÔÓ Ó‰ÌÓÏÛ ËÁ Â·Â S, ‡ ˜ÚÓ·˚ ‚ÂÌÛÚ¸Òﬂ ‚ ÚÓ˜ÍÛ ËÁ

V(G

), Ì‡‰Ó ‚ ‡ÁÂÁÂ ËÏÂÚ¸ Â·Ó ˆËÍÎ‡, ÒÓÂ‰ËÌﬂ˛˘ÂÂ

V(G

)⊂V(G

). èÓÈ‰ﬂ ÔÓ Ô‡Â Â·Â ‡ÁÂÁ‡ ÚÛ‰‡ Ë Ó·‡ÚÌÓ,

ÓÍ‡Á˚‚‡ÂÏÒﬂ ‚ ÚÓ˜ÍÂ v

∈ V(G

ÖÒÎË v

= v

, ÚÓ ˜ËÒÎÓ Ó·˘Ëı Â·Â Z Ë S ‡‚ÌÓ ‰‚ÛÏ, ‚

ÔÓÚË‚ÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÌÛÊÌÓ Â˘Â ‰‚‡ Â·‡ ‰Îﬂ ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ËÁ

≠ v

ÒıÓ‰ËÚ¸ ‚ G

Ë ‚ÂÌÛÚ¸Òﬂ ÒÌÓ‚‡ ‚ ÚÓ˜ÍÛ v

∈ V(G

). ÖÒ-

ÎË v

= v

, ÚÓ ˜ËÒÎÓ Ó·˘Ëı Â·Â Z Ë S ‡‚ÌÓ ˜ÂÚ˚ ÂÏ. èÓ-

‰ÓÎÊ‡ﬂ ˝ÚÓÚ ÔÓˆÂÒÒ ıÓÊ‰ÂÌËﬂ ËÁ G

‚ G

Ë Ó·‡ÚÌÓ, Ì‡ Í‡ÍÓÏ-

ÚÓ Ú‡ÍÚÂ Ï˚ Ó·ﬂÁ‡ÚÂÎ¸ÌÓ ÔÓÔ‡‰ÂÏ ‚ ËÒıÓ‰ÌÛ˛ ÚÓ˜ÍÛ v

. ÖÒÎË

ÔÂ‚‡ﬂ ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘‡ﬂ Ò v

ÚÓ˜Í‡ ËÏÂÂÚ ÌÓÏÂ k, ÚÓ ˜ËÒÎÓ Ó·˘Ëı

Â·Â Û Z Ë S ·Û‰ÂÚ 2(k – 1), Ú.Â. ˜ÂÚÌÓÂ. ➤

éÚÓ„ÓÌ‡Î¸ÌÓÒÚ¸ ˆËÍÎÓ‚ Ë ‡ÁÂÁÓ‚. íÂÓÂÏ‡ 11 ‚˚ÌÂÒÂÌ‡

ËÁ ÚÂÍÒÚ‡ ‰ÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚‡ ÚÂÓÂÏ˚ 10 ÔÓÚÓÏÛ, ˜ÚÓ ÓÌ‡ ËÏÂÂÚ

‚‡ÊÌÓÂ Ò‡ÏÓÒÚÓﬂÚÂÎ¸ÌÓÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ. éÌ‡ ÊÂ ÛÚ‚ÂÊ‰‡ÂÚ ÓÚÓ„Ó-

Ì‡Î¸ÌÓÒÚ¸ ˆËÍÎÓ‚ Ë ‡ÁÂÁÓ‚ ‚ÓÓ·˘Â.

ÖÒÎË

‚ÂÍÚÓ˚

(β

, β

,...,

)

(γ

, γ

,..., γ

)

ÓÔËÒ˚‚‡˛Ú

Â·ÂÌ˚È

ÒÓÒÚ‡‚

ˆËÍÎ‡

‡ÁÂÁ‡,

ÚÓ

Ëı

ÒÍ‡ÎﬂÌÓÂ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ

( , ) ...zs

= ⊕⊕⊕ =βγ βγ β γ

11 22

Í‡Í ÒÛÏÏ‡ ˜ÂÚÌÓ„Ó ˜ËÒÎ‡ Â‰ËÌËˆ, ËÏÂ˛˘Ëı Ó·˘ËÂ Â·‡ Z Ë S.

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÏÓÊÌÓ ÍÓÌÒÚ‡ÚËÓ‚‡Ú¸, ˜ÚÓ Ò Í‡Ê‰˚Ï Ò‚ﬂÁ-

Ì˚Ï „‡ÙÓÏ [ÚËÔ‡ (n, m)] ‡ÒÒÓˆËËÛ˛ÚÒﬂ ‰‚‡ ÎËÌÂÈÌ˚ı ‚ÂÍ-

ÚÓÌ˚ı ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ m ËÁÏÂÂÌËÈ, ÔÂ‰ÒÚ‡‚Îﬂ˛˘Ëı Â·Â-

Ì˚Â Ì‡·Ó˚ ˆËÍÎÓ‚ Ë ‡ÁÂÁÓ‚ ˝ÚÓ„Ó „‡Ù‡. óËÒÎÓ ÌÂÁ‡‚ËÒË-

Ï˚ı ·‡ÁÓ‚˚ı

‡ÁÂÁÓ‚

ρ,

‡‚ÌÓÂ

m – ν = n – 1 ˜ËÒÎÛ ‚ÂÚ‚ÂÈ Î˛-

·Ó„Ó ÓÒÚÓ‚ÌÓ„Ó ‰ÂÂ‚‡ „‡Ù‡, ÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛Ú ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÔÓ‰ÔÓ-

ÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ‡ÁÂÁÓ‚. óËÒÎÓ ν = m – n + 1 – ˆËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÂ

˜ËÒÎÓ „‡Ù‡ – ÓÔÂ‰ÂÎﬂ ÂÚ ‡ÁÏÂÌÓÒÚ¸ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ˆËÍ-

ÎÓ‚. ùÚË ‰‚‡ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ÔÓ˝ÎÂÏÂÌÚÌÓ ÓÚÓ„ÓÌ‡Î¸Ì˚ ‰Û„

‰Û„Û: ÒÍ‡ÎﬂÌÓÂ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ ˆËÍÎ‡ Ì‡ ‡ÁÂÁ ‡‚ÌÓ ÌÛÎ˛.

ÖÒÎË ËÒıÓ‰Ì˚È „‡Ù ÒÓÒÚÓËÚ ËÁ χ = χ(G) ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ (χ >

1), ÚÓ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‡ÁÂÁÓ‚ G ‡ÒÔ‡‰‡ÂÚÒﬂ Ì‡ χ ÌÂÁ‡‚ËÒË-

Ï˚ı ˜‡ÒÚÂÈ, ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ËÁ ÍÓÚÓ˚ı ÔÓ‰Ô ÓÒÚ‡ÌÒÚ‚‡ ˆËÍÎÓ‚ Ë

‡ÁÂÁÓ‚ ÓÚÓ„ÓÌ‡Î¸Ì˚. ñËÍÎÓÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÂ ˜ËÒÎÓ χ ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ-

ÌÓ„Ó „‡Ù‡ ν, Í‡Í ÓÚÏÂ˜‡ÎÓÒ¸, ‡‚ÌÓ m – n – χ.

èÓ˝ÚÓÏÛ

ρ =

m –

– ν = n – χ. Ö„Ó Ì‡Á˚‚‡˛Ú ‡Ì„ÓÏ „ ‡Ù‡ ρ = ρ(G). í‡Í Í‡Í

‚ÒÂ„‰‡ ρ(G) + ν(G) = m, ÚÓ ÏÓÊÌÓ ÒÍ‡Á‡Ú¸, ˜ÚÓ „‡Ù G ÔË-

‚ÌÓÒËÚ ‚ m-ÏÂÌÓÂ ‚ÂÍÚÓÌÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ı‡‡ÍÚÂËÒÚË˜ÂÒ-

ÍËı ‚ÂÍÚÓÓ‚ (α

, α

,..., α

) ÓÚÓ„ÓÌ‡Î¸ÌÓÂ ‡Á·ËÂÌËÂ Ì‡

ρ-ÏÂÌÓÂ ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó  ‡ÁÂÁÓ‚ (γ

, γ

,..., γ

) Ë ν-ÏÂÌÓÂ

ÔÓ‰ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ˆËÍÎÓ‚ (β

, β

,..., β

àÒıÓ‰ÌÓÂ m-ÏÂÌÓÂ ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó ‚ÂÍÚÓÓ‚ α

ÏÓÊÌÓ Ú‡Í-

ÚÓ‚‡Ú¸ Í‡Í ÒÓ‚ÓÍÛÔÌÓÒÚ¸ ‚ÒÂı ÔÓ‰ÏÌÓÊÂÒÚ‚ (ËÎË ·ÛÎÂ‡Ì) Ì‡·Ó-

‡ m Â·Â R = {r

, r

,..., r

}. éÌÓ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌÓ ‚ÒÂÏ r

˜‡ÒÚﬂÏ

R ËÎË B(R). ã˛·ÓÈ „‡Ù Ò m Â·‡ÏË Ë n ‚Â¯ËÌ‡ÏË Í‡Í ·˚

Ì‡ÍË‰˚‚‡ÂÚ ÒÂÚ¸, Ò‚ﬂÁ˚‚‡˛˘Û˛ ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ·ÛÎÂ‡Ì‡ B(R)

n-˜ÎÂÌÌ˚Ï ÏÌÓÊÂÒÚ‚ÓÏ ËÌˆË‰ÂÌÚÌ˚ı Â·‡Ï ‚Â¯ËÌ. ë‚ﬂÁ‡Ì-

ÌÓÂ „‡ÙÓ‚˚Ï ÓÚÌÓ¯ÂÌËÂÏ ËÌˆË‰ÂÌÚÌÓÒÚË ÔÓÒÚ‡ÌÒÚ‚Ó m-

ÏÂÌ˚ı ‰‚ÓË˜Ì˚ı ‚ÂÍÚÓÓ‚ ÓÍ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ‡Á·ËÚ˚Ï Ì‡ ‰‚Â ÓÚÓ-

„ÓÌ‡Î¸Ì˚Â ‰Û„ ‰Û„Û ˜‡ÒÚË – ˆËÍÎ˚ Ë ‡ÁÂÁ˚.

ùÈÎÂÓ‚˚ Ë „‡ÏËÎ¸ÚÓÌÓ‚˚ ˆËÍÎ˚. Ç ÌÂÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌÓÏ

„‡ÙÂ

(ËÎË

–

„‡ÙÂ, „‰Â s – Ï‡ÍÒËÏ‡Î¸ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ Ô‡‡ÎÎÂÎ¸-

Ì˚ı Â·Â) ˝ÈÎÂ Ó‚˚Ï Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ˆËÍÎ, ÔÓıÓ‰ﬂ˘ËÈ Ó‰ËÌ ‡Á

ÔÓ

Í‡Ê‰ÓÏÛ

Â·Û

„‡Ù‡.

ùÈÎÂÓ‚˚

ˆËÍÎ˚ ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÌÂ Û Í‡Ê-

‰Ó„Ó

„‡Ù‡.ÖÒÎË

„‡Ù

‰ÓÔÛÒÍ‡ÂÚ

‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚ¸

ËÁÓ·‡ÊÂÌËﬂ

Ì‡ ·Û-

Ï‡„Â ·ÂÁ

ÓÚ˚‚‡

Í‡‡Ì‰‡¯‡

‚ÒÂı

Ò‚ÓËı

Â·Â,

ÚÓ

˝ÚÓ Ë ÁÌ‡˜ËÚ, ˜ÚÓ

ÓÌ ËÏÂÂÚ ˝ÈÎÂÓ‚ ˆËÍÎ, ÓÔ Â‰ÂÎﬂ˛˘ËÈ Ú‡ÂÍÚÓË˛ Í‡‡Ì‰‡¯‡.

Ç 1 736 „. ãÂÓÌ‡‰ ùÈÎÂ, „ÛÎﬂﬂ ÔÓ äÂÌË„Ò·Â„Û, Á‡‰‡ÎÒﬂ ‚Ó-

ÔÓÒÓÏ Ó ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚË Ú‡Í Ó·ÓÈÚË ‚ÒÂ ˜ÂÚ˚Â ˜‡ÒÚË „ÓÓ‰‡,

‡ÒÔÓÎÓÊÂÌÌÓ„Ó Ì‡ ‰‚Ûı ·ÂÂ„‡ı ÂÍË Ë ‰‚Ûı ÂÂ ÓÒÚÓ‚‡ı, ÒÓ-

Â‰ËÌÂÌÌ˚ı ÏÂÊ‰Û ÒÓ·ÓÈ ÒÂÏ¸˛ ÏÓÒÚ‡ÏË, ˜ÚÓ·˚ ÌË ÔÓ Ó‰ÌÓÏÛ ËÁ

ÏÓÒÚÓ‚ ÌÂ ÔÓıÓ‰ËÚ¸ ‰‚‡Ê‰˚. èËÌﬂ‚ ˜‡ÒÚË „ÓÓ‰‡ Á‡ ˜ÂÚ˚Â

‚Â¯ËÌ˚ „‡Ù‡, ‡ ÏÓÒÚ˚ – Á‡ Â„Ó ÒÂÏ¸ Â·Â, ÓÌ ÔÓÎÛ˜ËÎ Ï‡-

ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍÛ˛ ÏÓ‰ÂÎ¸ Á‡‰‡˜Ë: Ó·ÓÈÚË ‚ÒÂ ‚Â¯ËÌ˚ „‡Ù‡ ÚËÔ‡

[4, 7] Ò ‰‚ÛÏﬂ Ô‡‡ÏË Ô‡‡ÎÎÂÎ¸Ì˚ı Â·Â (ËÒ. 2.34) Ú‡Í,

˜ÚÓ·˚ ÔÓ Í‡Ê‰ÓÏÛ Â·Û Ô ÓıÓ‰ËÚ¸ ÔÓ ‡ÁÛ. èÓÒÎÂ Ú˘‡ÚÂÎ¸-

Ì˚ı ‡ÁÏ˚¯ÎÂÌËÈ ã. ùÈÎÂ ÔË¯ÂÎ Í ‚˚‚Ó‰Û, ˜ÚÓ Û „‡Ù‡

, ÔÂ‰ÒÚ‡‚Îﬂ˛˘Â„Ó ÍÂÌË„Ò·Â„ÒÍËÂ ÏÓÒÚ˚, ÌÂÚ ˝ÈÎÂÓ‚‡

ˆËÍÎ‡. çÓ ÓÌ ‰ÓÍ‡Á‡Î ÒÎÂ‰Û˛˘Û˛ ÚÂÓÂÏÛ.

í Â Ó  Â Ï ‡ 12. ë‚ﬂÁÌ˚È ÌÂÓËÂÌÚËÓ‚‡ÌÌ˚È s-„‡Ù ÒÓ‰Â-

ÊËÚ ˝ÈÎÂÓ‚ ˆËÍÎ, ÚÓ„‰‡ Ë ÚÓÎ¸ÍÓ ÚÓ„‰‡, ÍÓ„‰‡ ÓÌ ÌÂ ËÏÂÂÚ

‚Â¯ËÌ ÌÂ˜ÂÚÌÓÈ ÒÚÂÔÂÌË.

èË‚Â‰ÂÏ ‰ÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚Ó ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚË ÓÚÒÛÚÒÚ‚Ëﬂ ÌÂ˜ÂÚ-

Ì˚ı ‚Â¯ËÌ. Ç ˝ÈÎÂÓ‚ÓÏ ˆËÍÎÂ ‚ Í‡Ê‰Û˛ ‚Â¯ËÌÛ ÔËıÓ‰ﬂÚ

ÔÓ Ó‰ÌÓÏÛ Â·Û, ‡ ÛıÓ‰ﬂÚ ÔÓ ‰Û„ÓÏÛ. ÖÒÎË Í‡Í‡ﬂ-ÚÓ ‚Â¯ËÌ‡

ËÏÂÂÚ ÌÂ˜ÂÚÌÛ˛ ÒÚÂÔÂÌ¸, ÚÓ ÂÂ ÌÂÎ¸Áﬂ ‚‚ÂÒÚË ‚ ˝ÈÎÂÓ‚ ˆËÍÎ.

ÑÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸ ‰ÓÍ‡Á˚‚‡Ú¸ ÌÂ ·Û‰ÂÏ. í‡Í Í‡Í ‚ „‡ÙÂ ‚ÒÂ ‚Â-

¯ËÌ˚ ËÏÂ˛Ú ÌÂ˜ÂÚÌÛ˛ ÒÚÂÔÂÌ¸, ÚÓ ÔÓ ÏÓÒÚ‡Ï äÂÌË„Ò·Â„‡

ÌÂÎ¸Áﬂ ÔÓÎÓÊËÚ¸ ˝ÈÎÂÓ‚ ˆËÍÎ. ➤

ëÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÔÓÒÚÓÈ ÏÂÚÓ‰ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ ˝ÈÎÂÓ‚‡ ˆËÍÎ‡.

éÚÔ‡‚ÎﬂﬂÒ¸ ÓÚ ÒÚ‡ÚÓ‚ÓÈ ‚Â¯ËÌ˚, ÒÚË‡Ú¸ ÔÓÈ‰ÂÌÌÓÂ Â·-

Ó. Ç˚·Ë‡ﬂ Â·‡ ‰Îﬂ ‰‚ËÊÂÌËﬂ, ÌÂ Ë‰ÚË ÔÓ “ÏÓÒÚÛ” „‡Ù‡,

Ú.Â. ÔÓ Ú‡ÍÓÏÛ Â·Û, Û‰‡ÎÂÌËÂ ÍÓÚÓÓ„Ó ÔË‚Ó‰ËÚ Í ‡Á·ËÂÌË˛

Ì‡ ‰‚Â Ò‚ﬂÁÌ˚Â ‡ÁÌ˚Â ÍÓÏÔÓÌÂÌÚ˚, ÓÚÎË˜Ì˚Â ÓÚ ËÁÓÎËÓ‚‡Ì-

Ì˚ı ‚Â¯ËÌ.

äÓÏÂ ˝ÈÎÂÓ‚˚ı ˆËÍÎÓ‚ ‚ „‡ÙÂ ÏÓ„ÛÚ ·˚Ú¸ ˝ÈÎÂÓ‚˚ ˆÂ-

ÔË, ÍÓÚÓ˚Â Ì‡˜ËÌ‡˛ÚÒﬂ ‚ Ó‰ÌÓÈ ‚Â¯ËÌÂ, ÓÍ‡Ì˜Ë‚‡˛ÚÒﬂ ‚ ‰Û-

„ÓÈ Ë ‚ÍÎ˛˜‡˛Ú ‚ÒÂ Â·‡ „‡Ù‡.

ä ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚË ÔÓËÒÍ‡ ˝ÈÎÂÓ‚˚ı ˆËÍÎÓ‚ ÔË‚Ó‰ﬂÚ ‡Á-

ÎË˜Ì˚Â Á‡‰‡˜Ë Ì‡ËÎÛ˜¯Ëı Ï‡¯ÛÚÓ‚.

è  Ë Ï Â  2. êÂ·‡ „‡Ù‡ – ÛÎËˆ˚ „ÓÓ‰‡, ÔÓıÓ‰ Â·‡ r

‚Â‰ÂÚ Í Á‡Ú‡Ú‡Ï w(r

) = w

Â‰ËÌËˆ ÂÒÛÒ‡; ÚÂ·ÛÂÚÒﬂ ÔÓÎÓ-

ÊËÚ¸ Ï‡¯ÛÚ, ÔÓıÓ‰ﬂ˘ËÈ ÔÓ Í‡Ê‰ÓÈ ÛÎËˆÂ ıÓÚﬂ ·˚ ‡Á, ÔË

ÍÓÚÓÓÏ Á‡Ú‡Ú˚ ÏËÌËÏ‡Î¸Ì˚.

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. ÖÒÎË ‚ Ï‡¯ÛÚÂ Â·Ó r

ÔÓıÓ‰ﬂÚ n

‡Á, ÚÓ

ÒÛÏÏ‡Ì˚Â ‡ÒıÓ‰˚

∑

·Û‰ÛÚ ÏËÌËÏ‡Î¸Ì˚, ÂÒÎË Ï‡¯ÛÚ

ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ˝ÈÎÂÓ‚˚Ï ˆËÍÎÓÏ „‡Ù‡ „ÓÓ‰ÒÍËı ÛÎËˆ. ÑÎﬂ ÌÂ„Ó

‚ÒÂ n

= 1. ➤

êàë. 2.34. äÂÌË„Ò·Â„ XVIII ‚ÂÍ‡:

ÒÎÂ‚‡ – ÔÎ‡Ì, ÒÔ‡‚‡ – „‡Ù G