Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления

188

‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚ¸˛ Ô‡ÎÓ˜ÂÍ (Â‰ËÌËˆ), ÔË˜ÂÏ ‚ Í‡Ê‰ÓÈ ﬂ˜ÂÈÍÂ ÎÂÌ-

Ú˚ Á‡ÔËÒ˚‚‡ÂÚÒﬂ Ó‰Ì‡ Â‰ËÌËˆ‡. ç‡ÔËÏÂ, ˜ËÒÎÓ ÔﬂÚ¸ Á‡ÔË-

¯ÂÚÒﬂ ‚ ÔﬂÚË ﬂ˜ÂÈÍ‡ı ‚ ‚Ë‰Â ÍÓ‰‡ 11111. ÅÛ‰ÂÚ ÔÓÍ‡Á‡Ì‡ ‚ÓÁ-

ÏÓÊÌÓÒÚ¸ ÔÂÂ‚Ó‰‡ Ó‰ÌÓ„Ó ÍÓ‰‡ ‚ ‰Û„ÓÈ, Ë, Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ‰Îﬂ

Ó·˚˜Ì˚ı åí ‚˚·Ó ÚÓÈ ËÎË ËÌÓÈ ÒËÒÚÂÏ˚ ÍÓ‰ËÓ‚‡ÌËﬂ ÌÂ ﬂ‚-

ÎﬂÂÚÒﬂ ÔËÌˆËÔË‡Î¸Ì˚Ï.

è  Ë Ï Â  2. åí2, ÔÂÂ‚Ó‰ﬂ˘‡ﬂ ˜ËÒÎ‡ ËÁ Â‰ËÌË˜ÌÓÈ ÒËÒÚÂ-

Ï˚ Ò˜ËÒÎÂÌËﬂ ‚ ‰‚ÓË˜Ì˚È ÍÓ‰. àÏÂÂÚÒﬂ „‡ÌËˆ‡ Ä ÒÔ‡‚‡. ÉÓ-

ÎÓ‚Í‡ ‚ ËÒıÓ‰ÌÓÏ ÒÓÒÚÓﬂÌËË Ì‡ıÓ‰ËÚÒﬂ ÔÓÚË‚ Ò‡ÏÓÈ ÎÂ‚ÓÈ

Â‰ËÌËˆ˚ ˜ËÒÎ‡ (ËÒ. 4.4, ‡). êÂÁÛÎ¸Ú‡Ú ÙÓÏËÛÂÚÒﬂ ÎÂ‚ÂÂ

ËÒıÓ‰ÌÓ„Ó ÒÓÒÚÓﬂÌËﬂ „ÓÎÓ‚ÍË.

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. èËÏÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ ÔÎ‡Ì ÔÓÒÚÓÂÌËﬂ ‡Î„ÓËÚ-

Ï‡: ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ, Ó‰Ì‡ Á‡ ‰Û„ÓÈ ÒÍÎ‡‰˚‚‡Ú¸ ÌÂËÒÔÓÎ¸ÁÓ-

‚‡ÌÌÛ˛ Â‰ËÌËˆÛ Â‰ËÌË˜ÌÓ„Ó ÍÓ‰‡. àÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡ÌÌ˚Â Â‰ËÌËˆ˚

ÒÚË‡Ú¸. äÓ„‰‡ ‚ÒÂ Â‰ËÌËˆ˚ Â‰ËÌË˜ÌÓ„Ó ÍÓ‰‡ ·Û‰ÛÚ ÒÚÂÚ˚,

ÔÓ˜ËÚ‡Ú¸ Ì‡ ÎÂÌÚÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú ‚ ‰‚ÓË˜ÌÓÏ ÍÓ‰Â (ËÒ. 4.4, ·).

é˜ÂÂ‰Ì‡ﬂ Â‰ËÌËˆ‡ ÔË·‡‚ÎﬂÂÚÒﬂ Í ÏÎ‡‰¯ÂÏÛ ‡Áﬂ‰Û ÙÓÏË-

ÛÂÏÓ„Ó ‰‚ÓË˜ÌÓ„Ó ÍÓ‰‡. Ç ÒÎÛ˜‡Â ‚ÓÁÌËÍÌÓ‚ÂÌËﬂ Â‰ËÌËˆ˚ ÔÂ-

êàë. 4.4

189

ÂÌÓÒ‡ ÒÎÓÊÂÌËÂ ‡ÒÔÓÒÚ‡ÌﬂÂÚÒﬂ Ì‡ ÒÓÒÂ‰ÌËÂ ÒÚ‡¯ËÂ ‡Á-

ﬂ‰˚.

äÓÌÂˆ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂ Ì‡ÒÚÛÔ‡ÂÚ, ÍÓ„‰‡ „ÓÎÓ‚Í‡ Ï‡¯ËÌ˚

í¸˛ËÌ„‡, ‰‚Ë„‡ﬂÒ¸ ‚Ô‡‚Ó, Û‚Ë‰ËÚ ÒËÏ‚ÓÎ Ä. ➤

Ç ‡Î„ÓËÚÏÂ, ËÁÓ·‡ÊÂÌÌÓÏ ‚ ‚Ë‰Â ·ÎÓÍ-ÒıÂÏ˚ Ì‡

ËÒ.

4.4, ‚,

ËÒıÓ‰Ì˚Â ‰‡ÌÌ˚Â ‚ ÏÓÏÂÌÚ ÓÍÓÌ˜‡ÌËﬂ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂ ËÒ-

˜ÂÁ‡˛Ú. ãÂ„ÍÓ ÔÓÒÚÓËÚ¸ ‡Î„ÓËÚÏ, ÒÓı‡Ìﬂ˛˘ËÈ ËÒıÓ‰Ì˚È

Â‰ËÌË˜Ì˚È ÍÓ‰. ÑÎﬂ ˝ÚÓ„Ó ‚ ÏÓÏÂÌÚ Ó·ÓÁÂ‚‡ÌËﬂ ÒËÏ‚ÓÎ‡ Ä

‰ÓÎÊÂÌ ‚˚‡·‡Ú˚‚‡Ú¸Òﬂ ÌÂ ÒË„Ì‡Î Y

‰

= ëÚ, ‡ Y

‰

, ÔÓÒ-

ÎÂ ˜Â„Ó, Ó·ÓÁÂ‚‡ﬂ ‚ ﬂ˜ÂÈÍ‡ı ÒËÏ‚ÓÎ˚ Â, „ÓÎÓ‚Í‡ ‰ÓÎÊÌ‡ Á‡-

ÔËÒ˚‚‡Ú¸ ‚ ÌËı ÒËÏ‚ÓÎ˚ 1. Ç ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡ÂÏÓÏ ‡Î„ÓËÚÏÂ

ÁÓÌ‡ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚ ÌÂ ÓÚÏÂ˜ÂÌ‡ „‡ÌËˆ‡ÏË. Ç‚Â‰ﬂ ‚ ‡Î„ÓËÚÏ

‰ÓÔÓÎÌËÚÂÎ¸Ì˚Â ·ÎÓÍË, ÌÂÚÛ‰ÌÓ Á‡ÒÚ‡‚ËÚ¸ Ï‡¯ËÌÛ ÔÓÒÚ‡-

‚ËÚ¸ „‡ÌËˆ˚ ÎÂ‚ÂÂ Ë Ô‡‚ÂÂ ÒÙÓÏËÓ‚‡‚¯Â„ÓÒﬂ ‰‚ÓË˜ÌÓ„Ó

ÍÓ‰‡.

ÖÒÎË ‰ÓÔÓÎÌËÚÂÎ¸Ì˚È ·ÎÓÍ Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÓÚ‰ÂÎ¸ÌÓÈ Ï‡¯ËÌÓÈ

í¸˛ ËÌ„‡ (Ï‡¯ËÌ‡ í¸˛ËÌ„‡, ÔÓÒÚ‡‚Îﬂ˛˘‡ﬂ „‡ÌËˆ˚ ÁÓÌ˚

ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡), ÚÓ ÏÓÊÌÓ „Ó‚ÓËÚ¸ Ó ÍÓÏÔÓÁËˆËË ‰‚Ûı Ï‡¯ËÌ:

Ï‡¯ËÌ˚, ÔÂÓ·‡ÁÛ˛˘ÂÈ Â‰ËÌË˜Ì˚È ÍÓ‰ ‚ ‰‚ÓË˜ÌÓÈ, Ë Ï‡¯Ë-

Ì˚, ÔÓÒÚ‡‚Îﬂ˛˘ÂÈ „‡ÌËˆ˚ ÁÓÌ˚ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡.

Ç˚¯Â ‡ÒÒÏÓÚÂÌ˚ ‰‚‡ ÔËÏÂ‡, ‚ ÔÂ‚ÓÏ ËÁ ÍÓÚÓ˚ı åí1

Â¯ËÎ‡ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍÛ˛ Á‡‰‡˜Û ‡ÒÔÓÁÌ‡‚‡ÌËﬂ Ô ‡‚ËÎ¸ÌÓÒÚË ÒÍÓ-

·Ó˜Ì˚ı ‚˚‡ÊÂÌËÈ. ÇÚÓ‡ﬂ Ï‡¯ËÌ‡ åí2 Â‡ÎËÁÓ‚˚‚‡Î‡ ‡Î„Ó-

ËÚÏ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂ ÍÓ‰Ó‚. é˜Â‚Ë‰ÌÓ, ÏÓÊÌÓ ÔÓÒÚÓËÚ¸ Ï‡¯Ë-

ÌÛ í¸˛ËÌ„‡, ÔÂÓ·‡ÁÛ˛˘Û˛ Ó‰ËÌ Á‡‰‡ÌÌ˚È ÔÓËÁ‚ÓÎ¸Ì˚È

ÍÓ‰ ‚ ‰Û„ÓÈ.

ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÚÂÔÂ¸ ÔËÏÂ˚ Ï‡¯ËÌ í¸˛ËÌ„‡, ‚˚ÔÓÎÌﬂ˛-

˘Ëı ‡ËÙÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÓÔÂ‡ˆËË.

è  Ë Ï Â  3. åí3, ‚˚ÔÓÎÌﬂ˛˘‡ﬂ ÓÔÂ‡ˆË˛ ÛÏÌÓÊÂÌËﬂ

è = a

⋅

m ‚ Â‰ËÌË˜ÌÓÏ ÍÓ‰Â. àÏÂÂÚÒﬂ „ ‡ÌËˆ‡ Ä ÒÔ‡‚‡ ÓÚ m

(ËÒ. 4.5, ‡). ê‡Á‰ÂÎËÚÂÎ¸Ì˚È ÁÌ‡Í ÏÂÊ‰Û ÒÓÏÌÓÊËÚÂÎﬂÏË – ∗.

êÂÁÛÎ¸Ú‡Ú – Ô‡‚ÂÂ „‡ÌËˆ˚ Ä. ëÓÏÌÓÊËÚÂÎË a Ë m ‚ ÔÂ‚Ó-

Ì‡˜‡Î¸ÌÓÏ ‚Ë‰Â ÌÂ ÒÓı‡Ìﬂ˛ÚÒﬂ.

êÂ¯ÂÌË˛ ÓÚ‚Â˜‡ÂÚ ÔÎ‡Ì ‡Î„ÓËÚÏ‡: ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡Ú¸ Ë‰Â˛ ÔÂ-

ÂÌÓÒ‡ “‡” ˜ÂÂÁ “m”, ÌÓ ˜ËÒÎ‡ “‡” Ë “m” ÌÂ ÒÚË ‡Ú¸, ‡ ÔÂÂ-

Ó·ÓÁÌ‡˜‡Ú¸. ç‡ÔËÏÂ, Â‰ËÌËˆ˚ “‡” ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜‡Ú¸ ·ÛÍ‚‡ÏË

“ë”, ‡ Â‰ËÌËˆ˚ “m” – ·ÛÍ‚‡ÏË “Ç”. äÓ„‰‡ ‚ÒÂ Â‰ËÌËˆ˚ ÏÌÓÊË-

ÚÂÎﬂ m ·Û‰ÛÚ ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜ÂÌ˚ – ÍÓÌÂˆ ‡·ÓÚ˚ ‡Î„ÓËÚÏ‡ (ËÒ.

4.5, ·). ÅÎÓÍ-ÒıÂÏ‡ ‡Î„ÓËÚÏ‡ ËÁÓ·‡ÊÂÌ‡ Ì‡  ËÒ. 4.5, ‚. éÚÏÂ-

ÚËÏ, ˜ÚÓ ÔË ÔÂÂıÓ‰Â äñÄ åí ËÁ ÒÓÒÚÓﬂÌËﬂ Q

‚ ÒÓÒÚÓﬂÌËÂ

ÏÌÓÊËÏÓÂ ‡ ·Û‰ÂÚ ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛ ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜ÂÌÓ ·ÛÍ‚‡ÏË “ë”.

ëÓÒÚÓﬂÌËÂ Q

Ó·ÂÒÔÂ˜Ë‚‡ÂÚ ÔÓÏÂÚÍÛ Ó˜ÂÂ‰ÌÓÈ Â‰ËÌËˆ˚ ÏÌÓ-

ÊËÚÂÎﬂ m ·ÛÍ‚ÓÈ Ç; ÒÓÒÚÓﬂÌËÂ Q

– ËÎË ÓÒÚ‡ÌÓ‚, ËÎË ‰‚ËÊÂ-

ÌËÂ Í ·ÛÍ‚‡Ï ë ÏÌÓÊËÏÓ„Ó ‡; ÒÓÒÚÓﬂÌËÂ Q

– ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜ÂÌËÂ

190

·ÛÍ‚ ë ‚ Â‰ËÌËˆÛ Ë ‰‚ËÊÂÌËÂ Í Ì‡˜‡ÎÛ ÛÏÌÓÊÂÌËﬂ Ì‡ Ó˜ÂÂ‰-

ÌÛ˛ Â‰ËÌËˆÛ. ➤

è  Ë Ï Â  4. åí4, ‚˚˜ËÒÎﬂ˛˘‡ﬂ ÙÛÌÍˆË˛ ÒÎÂ‰Ó‚‡ÌËﬂ

s′(x) = x + 1.

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. ç‡ ËÒ. 4.6, ‡ ÔËÌﬂÚÓ x = 4. É‡ÌËˆ‡ ËÒıÓ‰-

Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı ÒÎÂ‚‡ ÔÓÏÂ˜ÂÌ‡ ÒËÏ‚ÓÎÓÏ Ä. Ç Ì‡˜‡Î¸ÌÓÏ ÔÓ-

ÎÓÊÂÌËË Q

„ÓÎÓ‚Í‡ Ó·ÓÁÂ‚‡ÂÚ ÎÂ‚˚È ÒËÏ‚ÓÎ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡Ì-

Ì˚ı.

èÎ‡Ì ‡Î„ÓËÚÏ‡. ÉÓÎÓ‚Í‡ ‰‚ËÊÂÚÒﬂ ‚Ô‡‚Ó Ë ÛÒÚ‡Ì‡‚ÎË‚‡ÂÚ

êàë. 4.5

191

Ô‡‚Û˛ „‡ÌËˆÛ Ä Ò ÚÂÏ, ˜ÚÓ·˚ Ô‡‚ÂÂ ÂÂ ÙÓÏËÓ‚‡Ú¸ Â-

ÁÛÎ¸Ú‡Ú s

′

(x) = x + 1. è‡‚ÂÂ ˝ÚÓÈ „‡ÌËˆ˚ Á‡ÔËÒ˚‚‡ÂÚÒﬂ ÒËÏ-

‚ÓÎ 1, ÔÓÒÎÂ ˜Â„Ó „ÓÎÓ‚Í‡ ‰‚ËÊÂÚÒﬂ ‚ÎÂ‚Ó Ë, ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ

ÓÚÏÂ˜‡ﬂ ÒËÏ‚ÓÎ‡ÏË ë Â‰ËÌˆ˚ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı, ÍÓÔËÛÂÚ Ëı ‚

ÁÓÌÛ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡. êÂÁÛÎ¸Ú‡Ú ‡·ÓÚ˚ Ï‡¯ËÌ˚ ËÁÓ·‡ÊÂÌ Ì‡ ËÒ.

4.6, ·.

ÅÎÓÍ-ÒıÂÏ‡ ‡Î„ÓËÚÏ‡ ËÁÓ· ‡ÊÂÌ‡ Ì‡ ËÒ. 4.6, ‚. éÚÏÂÚËÏ,

˜ÚÓ ‚ÏÂÒÚÓ ‡Á‰ÂÎﬂ˛˘Â„Ó ËÒıÓ‰Ì˚Â ‰‡ÌÌ˚Â Ë ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú ÒËÏ-

‚ÓÎ‡ Ä ÏÓÊÌÓ ·˚ÎÓ ·˚ ÔÓÒÚ‡‚ËÚ¸ Î˛·ÓÈ ‰Û„ÓÈ, Ì‡ÔË-

ÏÂ

∗

. ➤

çÂÚÛ‰ÌÓ ·˚ÎÓ ·˚ ÔÓÒÚÓËÚ¸ Ï‡¯ËÌÛ í¸˛ ËÌ„‡ åí6, ÍÓÚÓ-

‡ﬂ ÒÓı‡ÌﬂÂÚ ËÒıÓ‰Ì˚È ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú ÏÂÊ‰Û „‡ÌËˆ‡ÏË Ä. ÇÓÒ-

ÒÚ‡ÌÓ‚ÎÂÌËÂ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı ‚˚ÔÓÎÌﬂÎ‡ ·˚ Ï‡¯ËÌ‡ åí5,

êàë. 4.6

192

ÔÓÒÎÂ ÓÍÓÌ˜‡ÌËﬂ ‡·ÓÚ˚ åí4. í‡ÍÓÂ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ ËÒÔÓÎ¸-

ÁÓ‚‡ÌËÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡ ‡·ÓÚ˚ Ó‰ÌÓÈ Ï‡¯ËÌ˚ ‰Û„ÓÈ Ì‡Á˚‚‡˛Ú

ÍÓÏÔÓÁËˆËÂÈ ËÎË ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂÏ Ï‡¯ËÌ, ‡ Ò‡ÏÛ ÓÔÂ‡ˆË˛ ÔÓ-

ÎÛ˜ÂÌËﬂ ÔÓ ‰‚ÛÏ Á‡‰‡ÌÌ˚Ï Ï‡¯ËÌ‡Ï ÚÂÚ¸ÂÈ – ÛÏÌÓÊÂÌËÂÏ. Ç

Ì‡¯ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â ÍÓÏÔÓÁËˆËﬂ åí4 Ë åí5 ‰‡ÂÚ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ

åí6:

åí6 = åí4

⋅

åí5.

ÑÎﬂ ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ Ï‡¯ËÌ ‡·ÓÚ‡ÎÓ ‡‚ÚÓÏ‡ÚË˜ÂÒ-

ÍË, ÒË„Ì‡Î Y

‰

= ëÚ ÒÎÂ‰ÛÂÚ Á‡ÏÂÌËÚ¸ Ì‡ Y

‰

= è. ÅÎÓÍ-ÒıÂÏ‡

‡Î„ÓËÚÏ‡ åí5 ËÁÓ·‡ÊÂÌ‡ Ì‡ ËÒ. 4.6, „; ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú ‡·ÓÚ˚

‡Î„ÓËÚÏ‡ – Ì‡ ËÒ. 4.6, ‰.

è  Ë Ï Â  5. åí7, ‚˚˜ËÒÎﬂ˛˘‡ﬂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÌÛÎ¸-ÙÛÌÍˆËË

0 = 0

,..., x

ëÚÛÍÚÛ‡ ˝ÚÓÈ Ï‡¯ËÌ˚ Ó˜Â‚Ë‰Ì‡. çÂÁ‡‚ËÒËÏÓ ÓÚ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ

‡„ÛÏÂÌÚÓ‚, Á‡ÔËÒ‡ÌÌ˚ı Ì‡ ÎÂÌÚÂ ˜ÂÂÁ ‡Á‰ÂÎËÚÂÎ¸Ì˚Â ÁÌ‡ÍË,

‚ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡ ‰ÓÎÊÂÌ ·˚Ú¸ Á‡ÔËÒ‡Ì ÌÛÎ¸.

á‰ÂÒ¸ ÛÏÂÒÚÌÓ ÔËÏÂÌËÚ¸ ÏÓ‰ËÙËˆËÓ‚‡ÌÌ˚È Â‰ËÌË˜Ì˚È

ıÓ‰ “C + 1”, Û ÍÓÚÓÓ„Ó ÔË ËÁÓ·‡ÊÂÌËË ˆËÙ ˜ËÒÎÓ Â‰ËÌËˆ

ÔÂ‚˚¯‡ÂÚ ˜ËÒÎÓ ë Ì‡ Â‰ËÌËˆÛ. í‡Í, ÌÛÎ¸ ËÁÓ·‡Ê‡ÂÚÒﬂ Ì‡

ÎÂÌÚÂ Ó‰ÌÓÈ Â‰ËÌËˆÂÈ, Â‰ËÌËˆ‡ – ‰‚ÛÏﬂ Ë Ú.‰.

Ç Ì‡¯ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â ‚ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡ ‰ÓÎÊÌ‡ ·˚Ú¸ Á‡ÔËÒ‡Ì‡

Ó‰Ì‡ Â‰ËÌËˆ‡. ➤

è  Ë Ï Â  6. åí8, ÓÔ Â‰ÂÎﬂ˛˘‡ﬂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË ÚÓÊ‰Â-

ÒÚ‚‡

IIx x x

= ( ,..., ,..., ).

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. á‰ÂÒ¸ Ì‡ ÎÂÌÚÂ Ï‡¯ËÌ˚ í¸˛ ËÌ„‡ ‰ÓÎÊÌ˚

·˚Ú¸ Á‡ÔËÒ‡Ì˚ ‡„ÛÏÂÌÚ˚ (

xx x

,..., ,...,

) Ë ˜ËÒÎÓ m, ÛÍ‡Á˚-

‚‡˛˘ÂÂ ÌÓÏÂ ‡„ÛÏÂÌÚ‡, ‰Îﬂ ÍÓÚÓÓ„Ó ‚˚˜ËÒÎﬂÂÚÒﬂ ÁÌ‡˜Â-

ÌËÂ I. ÉÓÎÓ‚Í‡ ‰ÓÎÊÌ‡ Ì‡ÈÚË ˝ÚÓÚ ‡„ÛÏÂÌÚ Ë Ì‡ÔÂ˜‡Ú‡Ú¸ Â„Ó ‚

ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡. ç‡ ÎÂÌÚÂ (ËÒ. 4.7, ‡) ÔËÌﬂÚÓ n = 3, ÎÂ‚ÂÂ

„‡ÌËˆ˚ Ä ÛÍ‡Á‡ÌÓ ˜ËÒÎÓ m = 2 (11); Á‚ÂÁ‰Ó˜Í‡ÏË ‡Á‰ÂÎÂÌ˚

‡„ÛÏÂÌÚ˚ x

= 1, x

= 4, x

= 5. èË ÔÓÒÏÓÚÂ Ó˜ÂÂ‰ÌÓ„Ó

‡„ÛÏÂÌÚ‡ x

‡Á‰ÂÎËÚÂÎ¸Ì˚Â ÁÌ‡ÍË ∗ Ë ÎÂ‚‡ﬂ „‡ÌËˆ‡ Ä ÔÂÂ-

Ó·ÓÁÌ‡˜‡˛ÚÒﬂ ÒËÏ‚ÓÎÓÏ R. èÓÒÎÂ Â‡ÎËÁ‡ˆËË ‡·ÓÚ˚ ‡Î„ÓËÚ-

Ï‡ ‚ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡ (Ô‡‚ÂÂ ÒÚ‡¯Â„Ó ‡„ÛÏÂÌÚ‡ x

= 3)

‰ÓÎÊÌÓ ·˚Ú¸ Ì‡ÔÂ˜‡Ú‡ÌÓ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ x

= x

= 4. ÖÒÎË ‚ÓÁÏÓÊÌ˚

ÌÛÎÂ‚˚Â ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚, ÚÓ ˆÂÎÂÒÓÓ·‡ÁÓ ÔËÏÂÌËÚ¸ ÍÓ‰

“C + 1”. èË ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡ÌËË Ó˜ÂÂ‰ÌÓÈ Â‰ËÌËˆ˚ ˜ËÒÎ‡ m, ÓÌ‡

ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜ÂÌ‡ ÒËÏ‚ÓÎÓÏ C (ËÒ. 4.7, ·). ÅÎÓÍ-ÒıÂÏ‡ ‡Î„ÓËÚ-

Ï‡ ËÁÓ·‡ÊÂÌ‡ Ì‡ ËÒ. 4.7, ‚.

ÄÎ„ÓËÚÏ (ËÒ. 4.7, ‚) ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸Ì˚È ‚ ÚÓÏ ÒÏ˚ÒÎÂ, ˜ÚÓ ÓÌ

193

ÔËÏÂÌËÏ Í n-ÏÂÒÚÌ˚Ï ÙÛÌÍˆËﬂÏ Ò Î˛·˚Ï n > 0 Ë ‚˚˜ËÒÎﬂÂÚ

ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË ÚÓÊ‰ÂÒÚ‚‡ – ÔÂ˜‡Ú‡ÂÚ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ x

‰Îﬂ Î˛ -

·Ó„Ó m > 0.

èÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜ÂÌËÂ Â‰ËÌËˆ ˜ËÒÎ‡ m ÒËÏ‚ÓÎ‡ÏË ë ÔÓÁ‚ÓÎﬂÂÚ

ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ ÍÓÌÂˆ ÔÓÒÏÓÚ ‡ ˜ËÒÎ‡ m. ÖÒÎË ÔÓÒÏÓÚ ÌÂ ÓÍÓÌ-

˜ÂÌ, ÚÓ ÔÓÒÎÂ ÔÓÏÂÚÍË Ó˜ÂÂ‰Ì˚Ï ÒËÏ‚ÓÎÓÏ ë, ÏÂÊ‰Û ÌËÏ Ë

ÎÂ‚ÓÈ „‡ÌËˆÂÈ Ä, ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡˜ÂÌÌÓÈ Á‡ÚÂÏ ÒËÏ‚ÓÎÓÏ R

(ÔÓ˝ÚÓÏÛ Ì‡ ‰Û„‡ı „‡Ù‡ ‰‚ÓÈÌÓÂ Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÄVR), ·Û‰ÛÚ Ì‡-

ıÓ‰ËÚ¸Òﬂ Ó‰Ì‡ ËÎË ÌÂÒÍÓÎ¸ÍÓ Â‰ËÌËˆ ˜ËÒÎ‡ m; ˝ÚÓ ‚˚ÁÓ‚ÂÚ ÔÂ-

ÂıÓ‰ Q

ëè Ë ‚ÓÁÌËÍÌÂÚ ˆËÍÎË˜ÂÒÍËÈ ÔÓˆÂÒÒ ÔÂÂÓ·ÓÁÌ‡-

êàë. 4.7

194

˜ÂÌËÈ Â‰ËÌËˆ ˜ËÒÎ‡ ÒËÏ‚ÓÎ‡ÏË ë Ë ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ „‡ÌËˆ

ÏÂÊ‰Û ‡„ÛÏÂÌÚ‡ÏË x

Ë ÒËÏ‚ÓÎ‡ÏË R (ÔÂÂıÓ‰ Q

∗

Ä).

ñËÍÎË˜ÂÒÍËÂ ÔÓˆÂÒÒ˚ Ì‡Á˚‚‡˛Ú ËÚÂ‡ˆËﬂÏË. ÑÛ„‡ﬂ ËÚÂ-

‡ˆËﬂ ‚ÓÁÌËÍÌÂÚ ÔÓÒÎÂ ÓÍÓÌ˜‡ÌËﬂ ÔÓÒÏÓÚ‡ Â‰ËÌËˆ ˜ËÒÎ‡ m.

èÓÒÎÂ ÔÂÂıÓ‰‡ Q

Rè ·ÎÓÍÓÏ Q

„ÓÎÓ‚Í‡ ·Û‰ÂÚ ÔÓ‰‚Â‰ÂÌ‡ Í

Ì‡˜‡ÎÛ ÁÓÌ˚ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚, ‡ Á‡ÚÂÏ ·ÎÓÍÓÏ Q

– Í Ë‰ÂÌÚËÙËˆË-

Ó‚‡ÌÌÓÏÛ ‡„ÛÏÂÌÚÛ x

‚ ÁÓÌÂ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı. ç‡˜ÌÂÚÒﬂ

ˆËÍÎ ÔÂÂÌÓÒ‡ Â‰ËÌËˆ x

‚ ÁÓÌÛ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡. ì˜ÚÂÌÌ˚Â Â‰ËÌË-

ˆ˚ ‡„ÛÏÂÌÚ‡ x

, Ì‡˜ËÌ‡ﬂ Ò Í‡ÈÌÂÈ Ô‡‚ÓÈ, ÔÂ ÂÓ·ÓÁÌ‡˜‡˛ÚÒﬂ

ÒËÏ‚ÓÎ‡ÏË D (·ÎÓÍ Q

) Ë ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‚ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚

ÔÓÒÚ‡‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ó˜ÂÂ‰Ì‡ﬂ Â‰ËÌËˆ‡ (ÔÂÂıÓ‰ Q

ÂQ

), Ú.Â. ÓÒÛ-

˘ÂÒÚ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÍÓÔËÓ‚‡ÌËÂ Â‰ËÌËˆ x

‚ ÁÓÌÛ ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú‡. äÓ„‰‡

ÍÓÔËÓ‚‡ÌËÂ ‚ÒÂı Â‰ËÌËˆ x

·Û‰ÂÚ ‚˚ÔÓÎÌÂÌÓ ÔË Ó˜ÂÂ‰ÌÓÏ

‚ıÓ‰Â ‚ ÁÓÌÛ x

, „ÓÎÓ‚Í‡ Ì‡ÚÍÌÂÚÒﬂ Ì‡ „‡ÌËˆÛ R (ÔÂÂıÓ‰

RëÚ). ê‡·ÓÚ‡ Ï‡¯ËÌ˚ í¸˛ËÌ„‡ Á‡ÍÓÌ˜ËÚÒﬂ.

ê‡ÒÒÏÓÚÂÌÌ˚È ÒÎÓÊÌ˚È ‡Î„ÓËÚÏ åí8 ÏÓÊÌÓ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÚ¸

Í‡Í ÍÓÏÔÓÁËˆË˛ Ë ËÚÂ‡ˆË˛ ·ÓÎÂÂ ÔÓÒÚ˚ı Ï‡¯ËÌ í¸˛ËÌ„‡.

ùÚÓ Ó·ÎÂ„˜‡ÂÚ ÒËÌÚÂÁ ÒÎÓÊÌ˚ı ‡Î„ÓËÚÏÓ‚.

àÁÓ·‡ÁËÏ åí8 ‚ ‚Ë‰Â ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÈ ÒËÏ‚ÓÎË˜ÂÒÍÓÈ Á‡ÔËÒË:

åí8 = åí9

Cè

ëè

åí10

åí

ëÚ

åí12

⋅

→





















⋅⋅

→





















QRQR

QRQ

QRQR

QDQD

0 1

3 1

KKK KKK

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, åí8 ÂÒÚ¸ ÍÓÏÔÓÁËˆËﬂ Ï‡¯ËÌ åí9, åí10,

åí11 Ë åí12, ÔË˜ÂÏ ËÚÂ‡ˆË˛ Â‡ÎËÁÛ˛Ú Ï‡¯ËÌ˚ åí10 Ë

åí12.

Ç ÙË„ÛÌ˚ı ÒÍÓ·Í‡ı åí10 ‚ıÓ‰ ‚ ˆËÍÎ ÔÓÍ‡Á˚‚‡ÂÚ ‚ÂıÌﬂﬂ

ÔﬂÚÂÍ‡, ÓÍÓÌ˜‡ÌËÂ ˆËÍÎ‡ – ÌËÊÌﬂﬂ, ÔÓ‚ÚÓÂÌËÂ ˆËÍÎ‡ ÓÚÏÂ-

˜ÂÌÓ ÚÓ˜Í‡ÏË. Ç˚ıÓ‰ ËÁ ˆËÍÎ‡ ÛÍ‡Á˚‚‡ÂÚ ÔﬂÚÂÍ‡ ÒÓ ÒÚÂÎÍÓÈ.

ÄÌ‡ÎÓ„Ë˜Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ ˜ËÚ‡ÂÚÒﬂ ËÚÂ‡ˆËÓÌÌ˚È ˆËÍÎ åí12. Ç˚-

ıÓ‰ ËÁ ˆËÍÎ‡ åí12 ÔË‚Ó‰ËÚ Í ÓÒÚ‡ÌÓ‚Û Ï‡¯ËÌ˚.

å‡¯ËÌ‡ åí9 ‚ÍÎ˛˜‡ÂÚ ·ÎÓÍ Q

, åí11 – ·ÎÓÍË Q

Ë Q

ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÚÂÔÂ¸ ÓÔÂ‡ÚÓ ÒÛÔÂÔÓÁËˆËË. éÒÛ˘ÂÒÚ‚ËÏ

ÒÛÔÂÔÓÁËˆË˛ ÙÛÌÍˆËÈ g(x, y) Ë f(u, z), ‚ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÂ ˜Â„Ó

ÔÓÎÛ˜ËÏ ÙÛÌÍˆË˛

ϕ(, , ) ((, ) ).xyz fgxyz =

îÛÌÍˆË˛

(

)

xyz

ÏÓÊÌÓ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ ‚Ë‰Â ÍÓÏÔÓÁËˆËË

‰‚Ûı Ï‡¯ËÌ, ‚ ÍÓÚÓ ÓÈ ÔÂ‚‡ﬂ ‚˚˜ËÒÎﬂÂÚ Ë ÔÂ˜‡Ú‡ÂÚ ‚ Ò‚Ó˛

ÁÓÌÛ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË

gx y

(

)

ÔË Á‡‰‡ÌÌ˚ı

ÁÌ‡˜ÂÌËﬂı x Ë y. ÇÚÓ‡ﬂ Ï‡¯ËÌ‡,

ÔÓ ËÁ‚ÂÒÚÌÓÏÛ ÁÌ‡˜ÂÌË˛ z

195

(Á‡ÔËÒ‡ÌÌÓÏÛ ‚ ÁÓÌÂ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı ˝ÚÓÈ Ï‡¯ËÌ˚) Ë ÔÓ

ÁÌ‡˜ÂÌË˛

gx y(, ) , ÔÓ˜ËÚ‡ÌÌÓÏÛ ‚ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚ ÔÂ‚ÓÈ

Ï‡¯ËÌ˚, ‚˚˜ËÒÎﬂÂÚ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ f(g(x, y), z), ÍÓÚÓÓÂ Ë ÔÂ˜‡Ú‡ÂÚ

‚ Ò‚ÓÂÈ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚.

ÖÒÎË, Ì‡ÔËÏÂ, g(x, y) = x + y, ‡ f(u, z) = u ⋅ z, ÚÓ Â-

ÁÛÎ¸Ú‡ÚÓÏ ÒÛÔÂÔÓÁËˆËË ·Û‰ÂÚ

(

)( )

.xyz x y z=+⋅

ê‡ÒÒÏÓÚÂÌÌ˚Â Ô ËÏÂ˚ ÔÓÍ‡Á˚‚‡˛ Ú, ˜ÚÓ Ì‡ Ï‡¯ËÌ‡ı í¸˛ -

ËÌ„‡ ÏÓÊÌÓ ‚˚ÔÓÎÌﬂÚ¸ ‚ÒÂ ÔËÏËÚË‚ÌÓ-ÂÍÛ ÒË‚Ì˚Â ÔÓˆÂ‰Û-

˚: ÓÔÂ‡ÚÓ ÒÎÂ‰Ó‚‡ÌËﬂ, ÓÔÂ ‡ÚÓ ÚÓÊ‰ÂÒÚ‚‡, ÌÛÎ¸-ÙÛÌÍˆË˛

Ë ÓÔÂ‡ÚÓ ÒÛÔÂÔÓÁËˆËË.

ëÛÔÂÔÓÁËˆË˛ ÏÓÊÌÓ ËÁÓ·‡ÁËÚ¸ ‚ ‚Ë‰Â ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÈ ÒıÂÏ˚:

á‰ÂÒ¸ Ï‡¯ËÌ‡ åí1, Â‡ÎËÁÛ˛˘‡ﬂ ÙÛÌÍˆË˛ g(x, y), ÓÒÛ˘Â-

ÒÚ‚ÎﬂÂÚ ÒÛÔÂÔÓÁËˆË˛ ÔÓ ÍÓÓ‰ËÌ‡ÚÂ u Ï‡¯ËÌ˚ åí2, Â‡ÎË-

ÁÛ˛˘ÂÈ ÙÛÌÍˆË˛ f(u, z).

í‡Í Í‡Í ÒıÂÏ‡ ÔËÏËÚË‚ÌÓÈ ÂÍÛÒËË Ë ÓÔÂ‡ÚÓ ÏËÌËÏË-

Á‡ˆËË ÚÂ·Û˛Ú ‚˚ÔÓÎÌﬂÚ¸ ÎË¯¸ ÔÂÂ˜ËÒÎÂÌÌ˚Â ‚˚¯Â ÔËÏË-

ÚË‚ÌÓ-ÂÍÛÒË‚Ì˚ Â ÔÓˆÂ‰Û˚ , ÚÓ, ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚Îﬂﬂ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛-

˘Û˛ ÍÓÏÔÓÁËˆË˛, ËÚÂ‡ˆË˛ Ë ÒÛÔÂÔÓÁËˆË˛, ÏÓÊÌÓ Ò ÔÓÏÓ-

˘¸˛ Ó·˚˜Ì˚ı Ï‡¯ËÌ í¸˛ËÌ„‡ ‚˚˜ËÒÎﬂÚ¸ Î˛·˚Â ÂÍÛÒË‚Ì˚Â

ÙÛÌÍˆËË. é˜Â‚Ë‰ÌÓ, ˜ÚÓ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸Ì‡ﬂ ùÇå Ó·Î‡‰‡ÂÚ ‚ÒÂÏË

‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚﬂÏË Ï‡¯ËÌ í¸˛ËÌ„‡. èÓ˝ÚÓÏÛ ‚ÒÂ, ˜ÚÓ ÏÓÊÌÓ ‚˚-

˜ËÒÎËÚ¸ Ì‡ Ó·˚˜Ì˚ı Ï‡¯ËÌ‡ı í¸˛ËÌ„‡, ÏÓÊÌÓ ‚˚˜ËÒÎËÚ¸ Ë

Ì‡ ùÇå.

çËÊÂ ·Û‰ÂÚ ÔÓÍ‡Á‡ÌÓ, ˜ÚÓ, ÔÂÂıÓ‰ﬂ Í ·ÓÎÂÂ Ó·Ó·˘ÂÌÌÓÏÛ

‡Î„ÓËÚÏÛ – ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÈ Ï‡¯ËÌÂ í¸˛ËÌ„‡, – ÔÓÎÛ˜ËÏ Ï‡-

ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍÛ˛ ÏÓ‰ÂÎ¸ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÈ ùÇå.

ìÌË‚ÂÒ‡Î¸Ì‡ﬂ Ï‡¯ËÌ‡ í¸˛ËÌ„‡. ä‡Ê‰‡ﬂ ËÁ ‡ÒÒÏÓÚÂÌ-

Ì˚ı ‚˚¯Â Ï‡¯ËÌ í¸˛ËÌ„‡ ÏÓ„Î‡ Â¯‡Ú¸ ÚÓÎ¸ÍÓ Ó‰ËÌ ÍÎ‡ÒÒ

Á‡‰‡˜, ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏ˚È ÒÚÛÍÚÛÓÈ äñÄ åí. ç‡ÔËÏÂ, åí1

ÏÓÊÂÚ ÚÓÎ¸ÍÓ ÔÓ‚ÂﬂÚ¸ Ô‡‚ËÎ¸ÌÓÒÚ¸ ÒÍÓ·Ó˜Ì˚ı ‚˚‡ÊÂÌËÈ,

‡ åíá ÚÓÎ¸ÍÓ ÔÂÂÏÌÓÊ‡Ú¸ ‰‚‡ ˜ËÒÎ‡. í‡ÍËÂ Ï‡¯ËÌ˚ Ï˚ Ì‡-

Á‚‡ÎË Ó·˚˜Ì˚ÏË (åíé). äÎ‡ÒÒ Á‡‰‡˜ ÔÓÌËÏ‡ÂÚÒﬂ ‚ÂÒ¸Ï‡ ¯Ë-

ÓÍÓ. ç‡ÔËÏÂ, åíé, ÒÌ‡˜‡Î‡ ÒÍÎ‡‰˚‚‡˛˘‡ﬂ ‰‚‡ ˜ËÒÎ‡ x Ë

y, Á‡ÚÂÏ ‚ÓÁ‚Ó‰ﬂ˘‡ﬂ ÒÛÏÏÛ ‚ Í‚‡‰‡Ú Ë ‚˚˜ËÒÎﬂ˛˘‡ﬂ ‚˚˜ÂÚ r

ÔÓ ÏÓ‰ÛÎ˛ m, Â¯‡ÂÚ Ó‰ÌÛ Á‡‰‡˜Û ËÁ ÍÎ‡ÒÒ‡ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ‚˚˜Â-

ÚÓ‚:

q(x, y) f(u, z)

x →

→

åí1

{}

→

åí2





















ϕ(x, y, z)

196

rxy m≡ +( ) mod .

é‰Ì‡ÍÓ ÌËÍ‡ÍËÂ ‰Û„ËÂ Á‡‰‡˜Ë ‰‡ÌÌ‡ﬂ åíé Â¯‡Ú¸ ÌÂ ÏÓ-

ÊÂÚ. ë‡ÏÓÈ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÂÌÌÓÈ ÓÒÓ·ÂÌÌÓÒÚ¸˛ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÚÓ, ˜ÚÓ Ì‡

ÎÂÌÚÂ åíé Á‡ÔËÒ˚‚‡˛ ÚÒﬂ ÚÓÎ¸ÍÓ ËÒıÓ‰Ì˚Â ‰‡ÌÌ˚Â Á‡‰‡˜Ë, ‡

‡Î„ÓËÚÏ ÂÂ Â¯ÂÌËﬂ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ ÒÚÛÍÚÛÓÈ äñÄ åí. í‡-

ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÏÓÊÌÓ ÒÍ‡Á‡Ú¸, ˜ÚÓ äñÄ åí – ˝ ÚÓ ÔÓ„‡ÏÏ‡

Â¯ÂÌËﬂ Á‡‰‡˜Ë ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò Á‡‰‡ÌÌ˚Ï ‡Î„ÓËÚÏÓÏ.

ÑÎﬂ ÚÓ„Ó ˜ÚÓ·˚ åí ÒÚ‡Î‡ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÈ (åíì), ÌÂÓ·ıÓ-

‰ËÏÓ ÂÂ äñÄ ÔË‰‡Ú¸ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÛ˛ ÒÚÛÍÚÛÛ, ‡ Ì‡ ÎÂÌÚÛ

åíì Á‡ÔËÒ˚‚‡Ú¸ ÌÂ ÚÓÎ¸ÍÓ ËÒıÓ‰Ì˚Â ‰‡ÌÌ˚Â ‚ ÁÓÌÂ ËÒıÓ‰Ì˚ı

‰‡ÌÌ˚ı, ÌÓ Ú‡ÍÊÂ Ë ‡Î„ÓËÚÏ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂ ËÌÙÓÏ‡ˆËË,

ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÈ Â¯‡ÂÏÓÈ Á‡‰‡˜Â Ì‡ Ó·˚˜ÌÓÈ Ï‡¯ËÌÂ í¸˛-

ËÌ„‡. Ä Ú‡Í Í‡Í ‡Î„ÓËÚÏ åíé ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÔÂ‰ÒÚ‡‚ÎÂÌ ÒÔË-

ÒÍÓÏ ÔﬂÚÂÓÍ ÚËÔ‡ Q

t+1

‰

, ÚÓ Â„Ó ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ Ì‡

ÎÂÌÚÛ åíì. ç‡ÁÓ‚ÂÏ ˝ÚÛ ÁÓÌÛ ÁÓÌÓÈ ‡Î„ÓËÚÏ‡ Â¯‡ÂÏÓÈ Á‡-

‰‡˜Ë ËÎË, ÍÓÓ˜Â, ÁÓÌÓÈ ÔﬂÚÂÓÍ.

Ç‚Â‰ÂÏ Â˘Â Ó‰ÌÛ ÁÓÌÛ – ÁÓÌÛ ÚÂÍÛ˘Ëı ÁÌ‡˜ÂÌËÈ Ô‡˚ (Q

) åíé (ËÒ. 4.8). ëËÏ‚ÓÎ˚ Q

Ë X

‚ ÁÓÌÂ Q

·Û‰ÂÏ ÔÓÏÂ-

˜‡Ú¸ ËÌ‰ÂÍÒ‡ÏË

íí

:.QX

èÂÂ‰ Ì‡˜‡ÎÓÏ ‡·ÓÚ˚ åíì

, ‡ X

ÌÂ Á‡ÔËÒ‡ÌÓ

= e). èÂ‚ÓÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÒËÏ‚ÓÎ‡ X

„ÓÎÓ‚Í‡ åíì Á‡ÔË¯ÂÚ ‚

ﬂ˜ÂÈÍÛ ÁÓÌ˚

íí

ÔÓÒÎÂ ÚÓ„Ó, Í‡Í ÔÓ˜ÚÂÚ Â„Ó ‚ ÁÓÌÂ ËÒıÓ‰-

Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı.

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, Ì‡ ÎÂÌÚÂ åíì ËÏÂÂÚÒﬂ ˜ÂÚ˚Â ‡·Ó˜Ëı ÁÓ-

Ì˚ (ÒÏ. ËÒ. 4.8):

ÁÓÌ‡ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı Â¯‡ÂÏÓÈ Á‡‰‡˜Ë (Ä4...Ä5);

ÁÓÌ‡ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚ Â¯‡ÂÏÓÈ Á‡‰‡˜Ë;

ÁÓÌ‡ ÔﬂÚÂÓÍ – ‡Î„ÓËÚÏ‡ Â¯‡ÂÏÓÈ Á‡‰‡˜Ë (Ä3...Ä4);

ÁÓÌ‡ Ô‡ (Q

) =

íí

ÚÂÍÛ˘Ëı ÁÌ‡˜ÂÌËÈ Q

Ë X

(Ä1...Ä2...Ä3), ÔË˜ÂÏ ÒËÏ‚ÓÎ Q

Ë˘ÂÚÒﬂ ‚ ÁÓÌÂ ÔﬂÚÂÓÍ (ÍÓÏÂ

êàë. 4.8

197

ÔÂ‚Ó„Ó ¯‡„‡, ÍÓ„‰‡

= Q

), Ó˜ÂÂ‰ÌÓÈ ÒËÏ‚ÓÎ X

– ‚ ÁÓÌÂ

ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı, ‡ ‚ ‰‡Î¸ÌÂÈ¯ÂÏ Ë ‚ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚.

ÄÎ„ÓËÚÏ ‡·ÓÚ˚ ÛÌË‚ÂÒ‡Î¸ÌÓÈ Ï‡¯ËÌ˚ í¸˛ËÌ„‡ ÒÓÒÚÓËÚ

ËÁ ÒÎÂ‰Û˛˘Ëı ˆËÍÎÓ‚:

1. ÉÓÎÓ‚Í‡ Ó·ÓÁÂ‚‡ÂÚ Ó˜ÂÂ‰ÌÛ˛ ·ÛÍ‚Û X

ËÁ ﬂ˜ÂÈÍË u

ÁÓÌ˚

ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı Ë, ‰‚Ë„‡ﬂÒ¸ ‚ ÒÚÓÓÌÛ ÁÓÌ˚

íí

, Á‡ÔËÒ˚-

‚‡ÂÚ ÂÂ ‚ ﬂ˜ÂÈÍÛ X

ÁÓÌ˚

íí

. èË ˝ÚÓÏ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚÒﬂ Ó˜Â-

Â‰Ì‡ﬂ Ô‡‡ (Q

, X

) =

íí

2. Ñ‚Ë„‡ﬂÒ¸ ‚ ÒÚÓÓÌÛ ÁÓÌ˚ ÔﬂÚÂÓÍ, „ÓÎÓ‚Í‡ Ë˘ÂÚ ÒÂ‰Ë

ÔﬂÚÂÓÍ Ú‡ÍÛ˛, Û ÍÓÚÓÓÈ Ô‡‡ (Q

, X

) = (

íí

) (Ì‡ ËÒ. 4.8

‚˚‰ÂÎÂÌ‡ ÊËÌ˚Ï ¯ËÙÚÓÏ).

3. äÓ„‰‡ Ú‡Í‡ﬂ ÔﬂÚÂÍ‡ Ë‰ÂÌÚËÙËˆËÓ‚‡Ì‡, „ÓÎÓ‚Í‡ Ò˜ËÚ˚‚‡-

ÂÚ ËÁ ÌÂÂ ·ÛÍ‚Û Q

t+1

, ÍÓÚÓ‡ﬂ Á‡ÚÂÏ Á‡ÔËÒ˚‚‡ÂÚÒﬂ ‚ ﬂ˜ÂÈÍÛ

ÁÓÌ˚

íí

. ÅÛÍ‚‡ Q

t+1

‚ ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÏ Ú‡ÍÚÂ ·Û‰ÂÚ Ë„‡Ú¸ ÓÎ¸

ÒÓÒÚÓﬂÌËﬂ Q

4. Ñ‚Ë„‡ﬂÒ¸ Ó·‡ÚÌÓ Í Ë‰ÂÌÚËÙËˆËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÔﬂÚÂÍÂ, „ÓÎÓ-

‚Í‡ Ì‡ıÓ‰ËÚ ‚ÌÂÈ ·ÛÍ‚Û Y

, ÍÓÚÓÛ˛ Ë Á‡ÔËÒ˚‚‡ÂÚ ‚ ﬂ˜ÂÈÍÛ u

ÁÓÌ˚ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı.

5. Ñ‚Ë„‡ﬂÒ¸ Á‡ÚÂÏ Í Ë‰ÂÌÚËÙËˆËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÔﬂÚÂÍÂ, „ÓÎÓ‚Í‡

Ò˜ËÚ˚‚‡ÂÚ ÓÚÚÛ‰‡ ·ÛÍ‚Û Y

‰

, ÔÓÒÎÂ ˜Â„Ó ‚ÓÁ‚‡˘‡ÂÚÒﬂ Í ﬂ˜ÂÈÍÂ u

Ë Ò‰‚Ë„‡ÂÚÒﬂ ÓÚÌÓÒËÚÂÎ¸ÌÓ ÌÂÂ ‚ÎÂ‚Ó ËÎË ‚Ô‡‚Ó Ì‡ Ó‰ÌÛ ﬂ˜ÂÈ-

ÍÛ ‚ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË ÓÚ ÚÓ„Ó, Í‡ÍÓÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ËÏÂÂÚ ·ÛÍ‚‡ Y

‰

ç‡ ˝ÚÓÏ Ó˜ÂÂ‰ÌÓÈ Ú‡ÍÚ ‡·ÓÚ˚ åíì Á‡Í‡Ì˜Ë‚‡ÂÚÒﬂ. ÖÒÎË

‰

≠ CÚÓÔ, ÚÓ ÒÌÓ‚‡ Ì‡˜ËÌ‡˛Ú ‚˚ÔÓÎÌﬂÚ¸Òﬂ ˆËÍÎ˚ 1, 2 Ë Ú.‰.

‰Ó ÚÂı ÔÓ, ÔÓÍ‡ ÌÂ ‚ÓÁÌËÍÌÂÚ Y

‰

= ëÚÓÔ. ç‡ ˝ÚÓÏ ‡·ÓÚ‡ åíì

Á‡Í‡Ì˜Ë‚‡ÂÚÒﬂ Ë ‚ ÁÓÌÂ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚ ˜ËÚ‡ÂÚÒﬂ Â¯ÂÌËÂ Á‡‰‡˜Ë.

èË ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓÒÚË Â¯ÂÌËﬂ Á‡‰‡˜Ë ‰Û„Ó„Ó ÍÎ‡ÒÒ‡ Á‡ÌÓ‚Ó

Á‡ÔÓÎÌﬂ˛ÚÒﬂ ﬂ˜ÂÈÍË ÎÂÌÚ˚ åíì ‚ ÁÓÌÂ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı, ‚

ÁÓÌÂ ÔﬂÚÂÓÍ Ë ‚ ÁÓÌÂ Ô‡˚

(, ).QX

íí

èË Â¯ÂÌËË ‰Û„ÓÈ

Á‡‰‡˜Ë ÚÓ„Ó ÊÂ ÍÎ‡ÒÒ‡ ËÁÏÂÌﬂÂÚÒﬂ ÒÓ‰ÂÊ‡ÌËÂ ﬂ˜ÂÂÍ ÚÓÎ¸ÍÓ

ÁÓÌ˚ ËÒıÓ‰Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı.

á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ Í‡Ê‰˚È ˆËÍÎ ‡·ÓÚ˚ åíì ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜-

ÌÓ ÒÎÓÊÌ˚Ï ‡Î„ÓËÚÏË˜ÂÒÍËÏ ÔÓˆÂÒÒÓÏ, ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚ¸ ÍÓÚÓÓ„Ó

Á‡ÎÓÊÂÌ‡ ‚ ÒÚÛÍÚÛÂ äñÄ åíì. Ç Í‡Ê‰ÓÏ ˆËÍÎÂ äñÄ åíì

ÔËÌËÏ‡ÂÚ ‡ÁÎË˜Ì˚Â ÒÓÒÚÓﬂÌËﬂ, ÍÓÚÓ˚Â ÒÓ‚Â¯ÂÌÌÓ ÌÂ ÓÔË-

Ò˚‚‡ÎËÒ¸ ‚ ÚÂÍÒÚÂ Ó·˘Â„Ó ‡Î„ÓËÚÏ‡. é‰Ì‡ ËÁ Ô‡ÍÚË˜ÂÒÍË Â-

‡ÎËÁÓ‚‡ÌÌ˚ı ÒÚÛÍÚÛ äñÄ åíì ËÏÂÂÚ ·ÓÎÂÂ ‰‚ÛıÒÓÚ ÒÓÒÚÓﬂ-

ÌËÈ.

á‰ÂÒ¸ Â˘Â ‡Á ÒÎÂ‰ÛÂÚ ÔÓ‰˜ÂÍÌÛÚ¸ ‡ÁÎË˜ËÂ ÏÂÊ‰Û åíé Ë

åíì. Ç åíé ‡Î„ÓËÚÏ Â¯ÂÌËﬂ Á‡‰‡˜Ë Â‡ÎËÁÓ‚‡Ì ‚ ÒÚÛÍ-

Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления

Подождите немного. Документ загружается.