Овчаров Л.А. и др. Математические модели информационых процессов и управления

Подождите немного. Документ загружается.

168

„Ë˜ÂÒÍÓ„Ó ‡Î„ÓËÚÏ‡ (4.15). ÑÎﬂ ˝ÚÓ„Ó ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ‚ (4.6) Á‡ÏÂ-

ÌËÚ¸ ÔÂÂÏÂÌÌ˚Â Ëı ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚﬂÏË:

= p

+ p

– 2p

. (4.7)

èËÌËÏ‡ﬂ, ˜ÚÓ ‚ÒÂ Û˜‡ÒÚÌËÍË Ó‰ËÌ‡ÍÓ‚Ó ÍÓÏÔÂÚÂÌÚÌ˚ (P

= P

= P), ÔÓÎÛ˜ËÏ ËÁ‚ÂÒÚÌÓÂ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ

= 3p

– 2p

. (4.8)

êÂÁÛÎ¸Ú‡Ú ‡·ÓÚ˚ ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚÌÓ„Ó ‡Î„ÓËÚÏ‡, ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡‚-

¯Â„Ó ‡ÎÙ‡‚ËÚÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ (4.8), ËÁÓ· ‡ÊÂÌ Ì‡ ËÒ. 4.1.

èË ÌËÁÍÓÏ ÛÓ‚ÌÂ ÍÓÏÔÂÚÂÌÚÌÓÒÚË (p < 0,5) ËÎË, ˜ÚÓ ÚÓ

ÊÂ Ò‡ÏÓÂ, ÔË Ï‡ÎÓÈ ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚË Ô‡‚ËÎ¸ÌÓÒÚË ÒË„Ì‡ÎÓ‚, ÔÓ-

ÒÚÛÔ‡˛˘Ëı Ì‡ ‚ıÓ‰ Ï‡ÊÓËÚ‡ÌÓÈ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓÈ ÒıÂÏ˚, ‰ÓÒÚÓ-

‚ÂÌÓÒÚ¸ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ˚ı ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÓ‚ ·Û‰ÂÚ ÌËÁÍ‡. óÂÏ ·ÓÎ¸¯Â

˜ËÒÎÓ n ÍÓÏÔÂÚÂÌÚÌ˚ı Û˜‡ÒÚÌËÍÓ‚ „ÓÎÓÒÓ‚‡ÌËﬂ, ÚÂÏ ‚ÂÓﬂÚÌÂÂ

ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ Ô‡‚ËÎ¸Ì˚È ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú. èË ·ÓÎ¸¯Ëı n ÍË‚‡ﬂ P

= f(p) ÔË·ÎËÊ‡ÂÚÒﬂ Í Ò‚ÓËÏ ‡ÒËÏÔÚÓÚË˜ÂÒÍËÏ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂÏ, ÓÚ-

ÏÂ˜ÂÌÌ˚Ï Ì‡ ËÒ. 4.1 ÔÛÌÍÚËÓÏ. ÇË‰ÌÓ, ˜ÚÓ ÔË n >> 3 Ë ÔË

P > 0,5 P

Ô‡ÍÚË˜ÂÒÍË ‡‚Ì‡ Â‰ËÌËˆÂ. ùÚÓ Ë Ó·˙ﬂÒÌﬂÂÚ ÔÓ-

‚ÒÂÏÂÒÚÌÓ ÔËÌﬂÚÓÂ Ô‡‚ËÎÓ ÔËÌﬂÚËﬂ Â¯ÂÌËﬂ “ÔÓ ÔËÌˆËÔÛ

‡·ÒÓÎ˛ÚÌÓ„Ó ·ÓÎ¸¯ËÌÒÚ‚‡”.

ÑÎﬂ ˜ËÒÎÓ‚ÓÈ ÓˆÂÌÍË P

ÔË n > 3 ÒÎÂ‰ÛÂÚ ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡Ú¸

ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ (4.4).

àÌÚÂÂÒÌÓ Ò‡‚ÌËÚ¸ ‡ËÙÏÂÚËÁËÓ‚‡ÌÌÛ˛ ÙÓÏÛÎÛ – ‡Î-

Ù‡‚ËÚÌ˚È ÓÔÂ‡ÚÓ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍËı ÒıÂÏ (4.4) – Ò ÙÛÌ‰‡ÏÂÌÚ‡Î¸-

ÌÓÈ ‡ÍÒËÓÏÓÈ ÚÂÓËË ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚË – ÙÓÏÛÎÓÈ, ÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛˘ÂÈ

‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚ¸ ÒÛÏÏ˚ ÒÓ‚ÏÂÒÚÌ˚ı ÒÓ·˚ÚËÈ [2].

êàë. 4.1

169

ë‡‚ÌÂÌËÂ Ó·Ì‡ÛÊË‚‡ÂÚ Ëı ÔÓÎÌÛ˛ ÒÚÛÍÚÛÌÛ˛ Ë‰ÂÌÚË˜-

ÌÓÒÚ¸. ùÚÓ Ò‚ÓÈÒÚ‚Ó, ‚ÔÂ‚˚Â Ì‡È‰ÂÌÌÓÂ ‚ 1985 „. ÛÒÒÍËÏ ÎÓ-

„ËÍÓÏ èÓÂˆÍËÏ, ‰‡ÂÚ ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚ¸ ÎÂ„ÍÓ ‚˚˜ËÒÎﬂÚ¸ ‚Â ÓﬂÚ-

ÌÓÒÚ¸ ÔÓﬂ‚ÎÂÌËﬂ ‚˚ıÓ‰ÌÓ„Ó ÒË„Ì‡Î‡ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍÓÈ ÒıÂÏ˚ ÔÓÒÚÓÈ

ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚ÍÓÈ ‚ (4.4) ‚ÏÂÒÚÓ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ ÌÂÁ‡‚ËÒËÏ˚ı ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚

Ëı ‚ÂÓﬂÚÌÓÒÚÂÈ, ˜ÚÓ Ë ·˚ÎÓ Ò‰ÂÎ‡ÌÓ Ì‡ÏË ÔË ‡Ì‡ÎËÁÂ ‡Î„Ó-

ËÚÏ‡ Ï‡ÊÓËÚ‡ÌÓ„Ó Ó„‡Ì‡. ➤

éÍ‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ, ˜ÚÓ ÌÂ ÚÓÎ¸ÍÓ ÓÔÂ‡ˆËË Ò ·ÛÎÂ‚˚ÏË ÙÛÌÍˆËﬂ-

ÏË, ÌÓ Ë Î˛·ÓÈ ‰Û„ÓÈ ÎÓ„Ë˜ÂÒÍËÈ ‡Î„ÓËÚÏ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂ

ËÌÙÓÏ‡ˆËË ÏÓÊÌÓ Ò‚ÂÒÚË Í ˜ËÒÎÂÌÌÓÏÛ. ë ˝ÚÓÈ ˆÂÎ¸˛ ‡Ò-

ÒÏÓÚËÏ Ë‰Â˛ ÏÂÚÓ‰‡, ÔÂ‰ÎÓÊÂÌÌÓ„Ó Éﬁ‰ÂÎÂÏ.

åÂÚÓ‰ Éﬁ‰ÂÎﬂ ÔÓÁ‚ÓÎﬂÂÚ Î˛·ÓÂ ÙÛÌÍˆËÓÌ‡Î¸ÌÓÂ ‚˚‡ÊÂÌËÂ,

ÒÓ‰ÂÊ‡˘ÂÂ ÔÓËÁ‚ÓÎ¸Ì˚Â ÒËÏ‚ÓÎ˚, Á‡ÔËÒ‡ÌÌ˚Â ‚ ‚Ë‰Â ÎË-

ÌÂÈÌÓÈ ÒÚÓÍË, ÔÂ‰ÒÚ‡‚ËÚ¸ ‚ ‚Ë‰Â ˆÂÎÓ„Ó ˜ËÒÎ‡, ÍÓÚÓÓÂ Ò˜Ë-

Ú‡ÂÚÒﬂ ÌÓÏÂÓÏ ‚˚·‡ÌÌÓ„Ó ÙÛÌÍˆËÓÌ‡Î¸ÌÓ„Ó ‚˚‡ÊÂÌËﬂ. ñÂ-

ÎÓÂ ˜ËÒÎÓ c ‚˚·Ë‡ÂÚÒﬂ Ú‡Í, ˜ÚÓ·˚ ÔÓ ÌÂÏÛ ÏÓÊÌÓ ·˚ÎÓ Ó‰ÌÓ-

ÁÌ‡˜ÌÓ ‚ÓÒÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ ÙÛÌÍˆËÓÌ‡Î¸ÌÓÂ ‚˚‡ÊÂÌËÂ. èË ˝ÚÓÏ

ˆÂÎÓÂ ˜ËÒÎÓ c Ô Â‰ÒÚ‡‚Îﬂ˛Ú ‚ ‚Ë‰Â ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËﬂ ÒÚÂÔÂÌÂÈ

ÔÓÒÚ˚ı ˜ËÒÂÎ:

cccc c

= ⋅⋅⋅⋅235711

1 234 5

.,K

„‰Â c

, c

,... – ÛÔÓﬂ‰Ó˜ÂÌÌ‡ﬂ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÒÚ¸ ˜ËÒ-

ÎÓ‚˚ı ÍÓ‰Ó‚ ÒËÏ‚ÓÎÓ‚ ÙÛÌÍˆËÓÌ‡Î¸ÌÓ„Ó ‚˚‡ÊÂÌËﬂ.

ç‡ÔËÏÂ, ÂÒÎË c = 529375000, ÚÓ, ‡ÁÎ‡„‡ﬂ c Ì‡ ÔÓÒÚ˚Â

ÏÌÓÊËÚÂÎË, Ó‰ÌÓÁÌ‡˜ÌÓ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÏ

c = ⋅⋅⋅⋅235711

3541 2

éÚÍÛ‰‡ c

= 3, c

= 5, c

= 4, c

= 1, c

= 2. ÖÒÎË, Ì‡ÔËÏÂ,

ÌÂÍÓÚÓÓÂ ÙÛÌÍˆËÓÌ‡Î¸ÌÓÂ ‚˚ ‡ÊÂÌËÂ a + b

⋅

c ÔÂÂ‰ ÍÓ‰ËÓ-

‚‡ÌËÂÏ ·˚ÎÓ Á‡ÔËÒ‡ÌÓ ‚ ‚Ë‰Â ÒÚÓÍË ÔÓÎÌÓÈ ËÌ‚ÂÒÌÓÈ Á‡ÔËÒË

abc

⋅

+, ÚÓ ˝Ú‡ ÛÔÓﬂ‰Ó˜ÂÌÌ‡ﬂ Á‡ÔËÒ¸ ÔÂÂ‚Ó‰ËÚÒﬂ ‚ ÛÔÓﬂ‰Ó-

˜ÂÌÌ˚È ÒÔËÒÓÍ – ÒÚÓÍÛ c

(a = c

, b = c

, c = c

, ⋅ = Ò

+ = c

). á‡ÚÂÏ ÔÓËÁ‚Ó‰ËÚÒﬂ ÍÓ‰ËÓ‚‡ÌËÂ (Ì‡ÔËÏÂ: a = 3, b =

= 5, c = 4, ⋅ = 1, + = 2). í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ˜ËÒÎÓ 529375000 ÂÒÚ¸

ÌÓÏÂ ÙÛÌÍˆËÓÌ‡Î¸ÌÓ„Ó ‚˚‡ÊÂÌËﬂ a + b ⋅ c. ÅÓÎÂÂ ÒÎÓÊÌ˚Â

ÔËÏÂ˚ „ﬁ‰ÂÎËÁ‡ˆËË ‡ÒÒÏÓÚÂÌ˚ ‚ ‡·ÓÚ‡ı [3–8, 10–12].

Ç‡ÊÌÓ, ˜ÚÓ Ò ‚‚Â‰ÂÌËÂÏ „ﬁ‰ÂÎÂ‚ÒÍËı ÌÓÏÂÓ‚ ÓÔÂ‡ˆËË Ì‡‰

ÙÛÌÍˆËﬂÏË Ò‚Ó‰ﬂÚÒﬂ Í ÓÔÂ‡ˆËﬂÏ Ì‡‰ Ëı ÌÓÏÂ‡ÏË – ˆÂÎ˚ÏË

ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì˚ÏË ˜ËÒÎ‡ÏË – Ë ÚÂÏ Ò‡Ï˚Ï – Í ÂÍÛÒË‚Ì˚Ï

ÙÛÌÍˆËﬂÏ.

èÓ‰˚ÚÓÊË‚‡ﬂ Ï‡ÚÂË‡Î, ÏÓÊÌÓ ÒÍ‡Á‡Ú¸, ˜ÚÓ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‡·-

ÒÚ‡ÍÚÌÓÂ Ó·˘ÂÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËÂ ÔÓÌﬂÚËﬂ ‡Î„ÓËÚÏ‡ ‚ ËÌÚÛËÚË‚-

ÌÓÏ ÒÏ˚ÒÎÂ. é·˘Â„Ó Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍË ÒÚÓ„Ó„Ó ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ‡Î„Ó-

ËÚÏ‡ ÌÂÚ, Ó‰Ì‡ÍÓ ‰Îﬂ ‡ÁÎË˜Ì˚ı ÍÎ‡ÒÒÓ‚ ÙÛÌÍˆËÈ Ë ‡ÁÂ-

170

¯ËÏ˚ı ÔÓ·ÎÂÏ ËÒÔÓÎ¸ÁÛ˛ÚÒﬂ ÚÓ˜Ì˚Â (“ÒÚÓ„ËÂ”) ÔÂ‰ÔËÒ‡-

ÌËﬂ – ‡Î„ÓËÚÏ˚, ‚ ÍÓÚÓ˚ı ÓÔ Â‰ÂÎÂÌ ÒÓÒÚ‡‚ ÓÔÂ‡ˆËÈ Ë ÔÓ-

¯‡„Ó‚˚È ÔÓﬂ‰ÓÍ Ëı ‚˚ÔÓÎÌÂÌËﬂ.

Ç ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÚÂÁËÒÓÏ óﬁ˜‡ ‚ÒÂ ‚˚˜ËÒÎËÏ˚Â ÙÛÌÍˆËË

ÂÍÛÒË‚Ì˚, ÔÓ˝ÚÓÏÛ ‚ ÚÓ˜Ì˚ı Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍËı ÚÂÏËÌ‡ı ÏÓÊ-

ÌÓ ÒÙÓÏÛÎËÓ‚‡Ú¸ ‡Î„ÓËÚÏ, ÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛˘ËÈ Â¯ÂÌËÂ Á‡‰‡˜Ë,

Ò‚Ó‰ﬂ˘ÂÈÒﬂ Í ÓÔÂ‡ˆËﬂÏ Ì‡‰ ÂÍÛÒË‚Ì˚ÏË ÙÛÌÍˆËﬂÏË.

Ç˚ÔÓÎÌÂÌËÂ Î˛·Ó„Ó ÚÓ˜ÌÓ Á‡‰‡ÌÌÓ„Ó ‡Î„ÓËÚÏ‡ ÏÓÊÌÓ ‡‚ÚÓ-

Ï‡ÚËÁËÓ‚‡Ú¸, ÔÓÛ˜Ë‚ Â„Ó Â‡ÎËÁ‡ˆË˛ Ï‡¯ËÌÂ, Ì‡ÔËÏÂ,

ùÇå ËÎË ÂÂ Ï‡ÚÂÏ‡ÚË˜ÂÒÍÓÈ ÏÓ‰ÂÎË – Ï‡¯ËÌÂ í¸˛ËÌ„‡.

ëÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÔÓ·ÎÂÏ˚ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡ÌËﬂ ËÌÙÓÏ‡ˆËË, ÍÓÚÓ-

˚Â ÌÂÎ¸Áﬂ Ò‚ÂÒÚË Í ÂÍÛ ÒË‚Ì˚Ï ÙÛÌÍˆËﬂÏ Ë, ÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ,

‡Î„ÓËÚÏËÁËÓ‚‡Ú¸. í‡ÍËÂ ÔÓ·ÎÂÏ˚ Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒﬂ ‡Î„ÓËÚÏË˜Â-

ÒÍË ÌÂ‡ÁÂ¯ËÏ˚ ÏË. Ç˚¯Â ÓÚÏÂ˜‡ÎÓÒ¸, ˜ÚÓ ‡Î„ÓËÚÏË˜ÂÒÍË

ÌÂ‡ÁÂ¯ËÏÓÈ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔÓ·ÎÂÏ‡ ‡ÒÔÓÁÌ‡‚‡ÌËﬂ ‚˚‚Ó‰ËÏÓÒÚË

‚ ‡ÒÒÓˆË‡ÚË‚ÌÓÏ ËÒ˜ËÒÎÂÌËË. íÓ ÂÒÚ¸ ÌÂ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ ‡Î„ÓËÚ-

Ï‡, ÍÓÚÓ˚È ·˚ ‰Îﬂ ‰‚Ûı Î˛·˚ı ÒÎÓ‚ ÔÓÁ‚ÓÎËÎ ÓÚ‚ÂÚËÚ¸ Ì‡

‚ÓÔÓÒ: ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ ÎË ˝ÚË ‰‚‡ ÒÎÓ‚‡? Ñ‚‡ ÒÎÓ‚‡ Ò˜ËÚ‡˛ÚÒﬂ

˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ÏË, ÂÒÎË, ÓÚÔ‡‚ÎﬂﬂÒ¸ ÓÚ Ó‰ÌÓ„Ó ÒÎÓ‚‡ Ë ÔËÏÂ-

Ìﬂﬂ ‰ÓÔÛÒÚËÏ˚Â ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚ÍË, Â„Ó ÏÓÊÌÓ ÔÂÓ·‡ÁÓ‚‡Ú¸ ‚ ‰Û„ÓÂ

ÒÎÓ‚Ó.

ÖÒÎË ‰ÓÔÛÒÚËÚ¸, ˜ÚÓ ÔÓ·ÎÂÏ‡ ‡ÒÔÓÁÌ‡‚‡ÌËﬂ ‚˚‚Ó‰ËÏÓÒÚË

‡Î„ÓËÚÏË˜ÂÒÍË ‡ÁÂ¯ËÏ‡, ÚÓ ˝ÚÓ ·Û‰ÂÚ ÓÁÌ‡˜‡Ú¸, ˜ÚÓ ÏÓÊÌÓ

ÒÙÓÏÛÎËÓ‚‡Ú¸ Ó‰ËÌ Ó·˘ËÈ ‡Î„ÓËÚÏ ‰Îﬂ ‰ÓÍ‡Á‡ÚÂÎ¸ÒÚ‚‡ Î˛-

·˚ı ÚÂÓÂÏ.

Ç˚¯Â Ï˚ Û·Â‰ËÎËÒ¸ ‚ ÚÓÏ, ˜ÚÓ ÔÓÌﬂÚËÂ “ÒÎÓ‚Ó” ‚ÂÒ¸Ï‡ ¯Ë-

ÓÍÓÂ. é‰ÌËÏ ÒÎÓ‚ÓÏ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸, Ì‡ÔËÏÂ, ÙÓÏÛÎËÓ‚Í‡

(ÔÓÒ˚ÎÍ‡) ÚÂÓÂÏ˚, ‡ ‰Û„ËÏ ÒÎÓ‚ÓÏ – ÒÎÂ‰ÒÚ‚ËÂ ËÁ ÌÂÂ. èË-

ÏÂÌﬂﬂ Ó·˘ËÈ ‡Î„ÓËÚÏ Ë ÓÚÔ‡‚ÎﬂﬂÒ¸ ÓÚ ÔÓÒ˚ÎÍË, ‚ÒÂ„‰‡ ÏÓÊ-

ÌÓ ·˚ÎÓ ·˚ ÔËÈÚË Í ÒÎÂ‰ÒÚ‚Ë˛ Ë ÚÂÏ Ò‡Ï˚Ï ‰ÓÍ‡Á‡Ú¸ ÚÂÓÂÏÛ.

ÄÎ„ÓËÚÏË˜ÂÒÍ‡ﬂ ÌÂ‡ÁÂ¯ËÏÓÒÚ¸ ÔÓ·ÎÂÏ˚ ‡ÒÔÓÁÌ‡‚‡ÌËﬂ

ÓÁÌ‡˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ Ú‡ÍÓÈ Ó·˘ËÈ ‡Î„ÓËÚÏ ‚ ÔËÌﬂÚÓÈ ‡Î„ÓËÚÏË˜ÂÒ-

ÍÓÈ ÒËÒÚÂÏÂ ÔÓÒÚÓËÚ¸ ÌÂÎ¸Áﬂ.

4.2. êÖäìêëàÇçõÖ îìçäñàà

èÓÒÚÂÈ¯ËÂ ÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË. Ç ÚÂÓËË ÂÍÛÒË‚Ì˚ı

ÙÛÌÍˆËÈ ÓÒÌÓ‚ÌÓÈ ÓÔÂ‡ˆËÂÈ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÂÍÛÒËﬂ, Ú.Â. Ú‡ÍÓÈ

ÒÔÓÒÓ· Á‡‰‡ÌËﬂ ÙÛÌÍˆËË, ÍÓÚÓ˚È ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚ ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÂ ÁÌ‡-

˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË ˜ÂÂÁ ÔÂ‰˚‰Û˘ÂÂ. èÓÌﬂÚËﬂ “ÒÎÂ‰Û˛˘ËÈ” Ë

“ÔÂ‰˚‰Û˘ËÈ” ·Û‰ÛÚ ÛÚÓ˜ÌÂÌ˚ ÌËÊÂ.

Ç ‰‡Î¸ÌÂÈ¯ÂÏ, Í‡Í ˝ÚÓ ÔËÌﬂ ÚÓ ‚ ÚÂÓËË  ÂÍÛÒË‚Ì˚ı

ÙÛÌÍˆËÈ, ·Û‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ Í‡Í ÙÛÌÍˆËË, Ú‡Í Ë Ëı ‡„ÛÏÂÌÚ˚

171

ÏÓ„ÛÚ ÔËÌËÏ‡Ú¸ ÚÓÎ¸ÍÓ ˆÂÎ˚Â ÔÓÎÓÊËÚÂÎ¸Ì˚Â ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ. í‡-

ÍËÂ ÙÛÌÍˆËË Ì‡Á˚‚‡˛Ú ‡ËÙÏÂÚË˜ÂÒÍËÏË (˜ËÒÎÓ‚˚ÏË).

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ‡ ËÙÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÙÛÌÍˆËË Ë Ëı ‡ „ÛÏÂÌÚ˚

ÓÔÂ‰ÂÎÂÌ˚ Ì‡ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Â Ì‡ÚÛ‡Î¸Ì˚ı ˜ËÒÂÎ N = {0, 1, 2,

3...}. á‰ÂÒ¸ ‚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚Ó N ‚ÍÎ˛˜ÂÌÓ Ú‡ÍÊÂ ˜ËÒÎÓ 0.

ÉÓ‚ÓﬂÚ, ˜ÚÓ Á‡‰‡Ì‡ n-ÏÂÒÚÌ‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ f ÔÂÂÏÂÌÌ˚ı x

, x

..., x

, ÂÒÎË f ÓÔÂ‰ÂÎÂÌ‡ Ì‡ ‚ÒÂı ÁÌ‡˜ÂÌËﬂı x

. ëÚÓ„Ó „Ó‚Óﬂ,

ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ÔÂ‰ÛÒÏÓÚÂÚ¸ ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚ¸ Á‡‰‡ÌËﬂ ˜‡ÒÚË˜Ì˚ı

ÙÛÌÍˆËÈ, ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ˚ı ÌÂ Ì‡ ‚ÒÂı ÁÌ‡˜ÂÌËﬂı x

. ç‡ÔËÏÂ,

‡ËÙÏÂÚË˜ÂÒÍ‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ f(x

, x

) = x

– x

˜‡ÒÚË˜Ì‡ﬂ, Ú‡Í Í‡Í

ÔË ÁÌ‡˜ÂÌËﬂı x

> x

ÓÌ‡ ÌÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌ‡.

é‰Ì‡ÍÓ ÏÓÊÌÓ ÔËÌﬂÚ¸ ÒÓ„Î‡¯ÂÌËÂ, ÔÓ ÍÓÚÓÓÏÛ ‚ÏÂÒÚÓ f

·Û‰ÂÏ ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡Ú¸ ‚Ò˛‰Û ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛

ϕ = −

1 2

(4.9)

ËÎË ÙÛÌÍˆË˛

ψ = − =

−≥

xy xy

ÔË

(4.10)

ÑÎﬂ ÛÔÓ˘ÂÌËﬂ ÙÓÏÛÎËÓ‚ÓÍ ‚ ‰‡Î¸ÌÂÈ¯ÂÏ, Ú‡Ï, „‰Â ˝ÚÓ

ÌÂ ‚˚ÁÓ‚ÂÚ ÌÂ‰Ó‡ÁÛÏÂÌËÈ, ·Û‰ÂÏ ÔÓ‰‡ÁÛÏÂ‚‡Ú¸ ‚Ò˛‰Û ÓÔÂ‰Â-

ÎÂÌÌ˚Â ÙÛÌÍˆËË.

íËÔË˜Ì˚ÏË ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì˚ÏË ‡ËÙÏÂÚË˜ÂÒÍËÏË ÙÛÌÍˆËﬂÏË

ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ: ÒÛÏÏ‡ (x + y), ÔÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ (xy), ‡ÁÌÓÒÚ¸ (x

–

‚ ÚÓÎ¸ÍÓ ˜ÚÓ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÓÏ ÒÏ˚ÒÎÂ, ‰ÂÎÂÌËÂ Ì‡ˆÂÎÓ













. èÓ-

ÒÎÂ‰Ìﬂﬂ ÓÔÂ‡ˆËﬂ ˆÂÎÓ˜ËÒÎÂÌÌÓ„Ó ‰ÂÎÂÌËﬂ ‰‡ÂÚ ‚ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÂ

ÌÛÎ¸, ÂÒÎË x < y, Â‰ËÌËˆÛ ÔË x = y Ë ˆÂÎÛ˛ ˜‡ÒÚ¸ ˜‡ÒÚÌÓ„Ó

ÔË x > y. ç‡ÔËÏÂ,

























=,. èË y = 0 ÁÌ‡˜ÂÌËÂ

ÙÛÌÍˆËË













ÌÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÓ.

èËÏÂÌﬂﬂ ÍÓÌÂ˜ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ ÔÂÂ˜ËÒÎÂÌÌ˚ı ÓÔÂ‡ˆËÈ, ÔÓÎÛ-

˜‡˛Ú ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË.

ï‡‡ÍÚÂÌ‡ ‰Îﬂ ‚ÒÂı ˝ÚËı ÙÛÌÍˆËÈ Ëı ‚˚˜ËÒÎËÏÓÒÚ¸ Ò ÔÓ-

ÏÓ˘¸˛ ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡ÌËﬂ ËÁ‚ÂÒÚÌ˚ı ‡Î„ÓËÚÏÓ‚. ç‡Ï ‚‡ÊÌÓ ÔÓ‰-

˜ÂÍÌÛÚ¸, ˜ÚÓ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡ Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ ÏÓ„ÛÚ ·˚Ú¸ ‚˚-

˜ËÒÎÂÌ˚ Ì‡ ùÇå.

îÛÌÍˆËË ÏÓ„ÛÚ Á‡‰‡‚‡Ú¸Òﬂ ‡Î„ÓËÚÏË˜ÂÒÍË, Û‡‚ÌÂÌËﬂÏË,

172

ÙÓÏÛÎ‡ÏË, Ú‡·ÎË˜ÌÓ ËÎË ÔÛÚÂÏ Á‡‰‡ÌËﬂ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ ‰Û„Ëı

ÙÛÌÍˆËÈ. ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÔÓÒÚÂÈ¯ËÂ (ÔËÏËÚË‚Ì˚Â) ÙÛÌÍˆËË

′

SSxx() ;1 (4.11)

00 0

1 24

xx x( , ,..., ) ; (4.12)

IIxx x x

( , ,..., ) .

1 24

(4.13)

′

– ÙÛÌÍˆËﬂ ÒÎÂ‰Ó‚‡ÌËﬂ, 0 – ÌÛÎ¸-ÙÛÌÍˆËﬂ, 1 – ÙÛÌÍˆËﬂ ÚÓÊ-

‰ÂÒÚ‚‡. àÌ‰ÂÍÒ˚ “n” ‚ Ó·ÓÁÌ‡˜ÂÌËﬂı ÙÛÌÍˆËÈ ÓÚÏÂ˜‡˛Ú, ˜ÚÓ

ÓÌË n-ÏÂÒÚÌ˚Â. îÛÌÍˆËﬂ S

′

– Ó‰ÌÓÏÂÒÚÌ‡ﬂ. îÛÌÍˆËË (4.11) –

(4.13) Ú‡ÍÊÂ ÏÓ„ÛÚ ·˚Ú¸ ‚˚˜ËÒÎÂÌ˚ Ì‡ ùÇå.

éÔÂ‡ˆËﬂ Ì‡‰ ˜ËÒÎÓ‚˚ÏË ÙÛÌÍˆËﬂÏË

Ì‡Á˚‚‡˛Ú

ÓÔÂ‡ÚÓ‡ÏË.

Ç‚Â‰ÂÌÌ˚Â ÔÓÒÚÂÈ¯ËÂ ÓÔÂ‡ÚÓ˚ ‰‡˛Ú ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚ¸ ÙÓ-

ÏËÓ‚‡Ú¸ ÌÂÍÓÚÓ˚Â ‰Û„ËÂ ÙÛÌÍˆËË. ç‡ÔËÏÂ, ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡-

ÚÂÎ¸ÌÓ ÔËÏÂÌﬂﬂ ÓÔÂ‡ÚÓ ÒÎÂ‰Ó‚‡ÌËﬂ Í ÌÛÎ¸-ÙÛÌÍˆËË, ÔÓÎÛ-

˜ËÏ

′

=+=

S ()0011

′′

′

=SS S(()) ()0 1 2

......................................

′′′ ′

SSS S

( ( (....

‡Á

1244 344

(0)....) = k.

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ˆÂÎ˚Â ˜ËÒÎ‡ ÒÓÒÚ‡‚Îﬂ˛Ú ÍÎ‡ÒÒ ÔËÏËÚË‚ÌÓ

ÂÍÛÒË‚Ì˚ı – ÌÛÎ¸ÏÂÒÚÌ˚ı ÙÛÌÍˆËÈ.

éÚÏÂÚËÏ Â˘Â ‡Á ı ‡‡ÍÚÂÌÓÂ Ò‚ÓÈÒÚ‚Ó ÂÍÛÒË‚Ì˚ı ÔÓ-

ˆÂ‰Û: ÒÎÂ‰Û˛˘ÂÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÙÛÌÍˆËË ‚˚˜ËÒÎﬂÂÚÒﬂ ÔÛÚÂÏ ËÒ-

ÔÓÎ¸ÁÓ‚‡ÌËﬂ ÔÂ‰˚‰Û˘Â„Ó. Ç Ì‡¯ÂÏ ÔËÏÂÂ ÔÓËÁ‚ÓÎ¸-

ÌÓÂ ˜ËÒÎÓ m (m ≤ k) ‚˚˜ËÒÎﬂÂÚÒﬂ ÔÓÒÎÂ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ ˜ËÒÎ‡

(m – 1).

ÑÎﬂ ÙÓÏËÓ‚‡ÌËﬂ ÔÓËÁ‚ÓÎ¸Ì˚ı ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì˚ı

n-ÏÂÒÚÌ˚ı ÙÛÌÍˆËÈ (n > 0) ‡ÒÒÏÓÚÂÌÌ˚ı ÔÓÒÚÂÈ¯Ëı ÓÔÂ-

‡ÚÓÓ‚ ÌÂ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ. äÓÏÂ ÚÓ„Ó, ÍÎ‡ÒÒ ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛ-

ÒË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ ÌÂ ÔÓÍ˚‚‡ÂÚ ÏÌÓÊÂÒÚ‚‡ ‚ÒÂı ‚˚˜ËÒÎËÏ˚ı

ÙÛÌÍˆËÈ, ÔÓ˝ÚÓÏÛ ÚÂ·ÛÂÚ ‡Ò¯ËÂÌËﬂ ‰Ó Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡ÂÏ˚ı Ó·-

˘ÂÂÍÛÒË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ.

íË ÓÔÂ‡ÚÓ‡, ‡ÒÒÏ‡ÚË‚‡ÂÏ˚Â ÌËÊÂ, ÙÓÏËÛ˛Ú ËÁ ˝ÎÂ-

ÏÂÌÚ‡Ì˚ı Ë ÔÓÒÚÂÈ¯Ëı ÙÛÌÍˆËÈ (4.11) – (4.13) ÍÎ‡ÒÒ Ó·˘Â-

ÂÍÛÒË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ (ËÎË, ÍÓÓ˜Â, ÂÍÛÒË‚Ì˚ı).

ìÍ‡Á‡ÌÌ˚Â ÓÔÂ‡ÚÓ˚ ÓÔÂ‰ÂÎﬂ˛Ú:

ÓÔÂ‡ˆË˛ ÒÛÔÂÔÓÁËˆËË;

173

ÓÔÂ‡ˆË˛ ÔËÏËÚË‚ÌÓÈ ÂÍÛÒËË;

ÓÔÂ‡ˆË˛ ÏËÌËÏËÁ‡ˆËË.

éÔÂ‡ˆËﬂ ÒÛÔÂÔÓÁËˆËË (ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚ÍË) ÓÁÌ‡˜‡ÂÚ ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚-

ÍÛ ‚ÏÂÒÚÓ ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ ÌÂÍÓÚÓ˚ı ÙÛÌÍˆËÈ.

ç‡ÔËÏÂ, ÒÛÔÂÔÓÁËˆËﬂ Ó‰ÌÓÏÂÒÚÌ˚ı ÙÛÌÍˆËÈ f(x) Ë g(x)

ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚ Ó‰ÌÓÏÂÒÚÌÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛

ϕ( ) ( ( )).xfgx=

(4.14)

Ç ÚÂıÌË˜ÂÒÍÓÈ ËÌÚÂÔÂÚ‡ˆËË ÒÛÔÂÔÓÁËˆËﬂ ÓÁÌ‡˜‡ÂÚ ÔÓ‰-

ÍÎ˛˜ÂÌËÂ ‚˚ıÓ‰Ó‚ ÌÂÍÓÚÓ˚ı ÒıÂÏ (‚ Ì‡¯ÂÏ ÔËÏÂÂ ÒıÂÏ˚

g(x)) ÍÓ ‚ıÓ‰‡Ï ‰Û„Ëı ÒıÂÏ (‚ Ì‡¯ÂÏ ÔËÏÂ Â ÍÓ ‚ıÓ‰Û ÒıÂ-

Ï˚ f(x)).

èËÏËÚË‚Ì˚Â ÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË. éÔÂ‡ˆËﬂ ÔËÏËÚË‚-

ÌÓÈ ÂÍÛ ÒËË ÚÂ·ÛÂÚ Ì‡ÎË˜Ëﬂ ‰‚Ûı ÙÛÌÍˆËÈ: n-ÏÂÒÚÌÓÈ Ë

(n + 2)-ÏÂÒÚÌÓÈ. èË ˝ ÚÓÏ ‚ ÂÁÛÎ¸Ú‡ÚÂ ÔËÏËÚË‚ÌÓÈ ÂÍÛ-

ÒËË ÙÓÏËÛÂÚÒﬂ (n + 1)-ÏÂÒÚÌ‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ.

èÛÒÚ¸ Á‡‰‡Ì‡ n-ÏÂÒÚÌ‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ g(x

, x

,..., x

) Ë (n + 2)-

ÏÂÒÚÌ‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ

hx x x yfx x x y

( , ,..., , , ( , ,..., , )).

1 2 1 2

íÓ„‰‡ (n + 1)-ÏÂÒÚÌ‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ f Á‡ÔË¯ÂÚÒﬂ ‚ ‚Ë‰Â ÂÍÛ-

ÂÌÚÌ˚ı ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ

fx x gx x

( ,..., , ) ( ,..., ),

0 = (4.15)

fx xy hx xyfx xy

nnn

( ,..., , ) ( ,..., , , ( ,..., , ).

111

1 += (4.16)

á‡‰‡‚‡ﬂ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ y = 0, 1, 2, 3,...., ÔÓÎÛ˜ËÏ

ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÂ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ f ‰Îﬂ ‚˚·‡ÌÌÓ„Ó Ì‡·Ó‡ ‡„ÛÏÂÌ-

ÚÓ‚.

Ç ˜‡ÒÚÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÙÛÌÍˆËﬂ g ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ÌÛÎ¸ÏÂÒÚÌÓÈ (n =

= 0); g = a (a – ÍÓÌÒÚ‡ÌÚ‡), ÙÛÌÍˆËﬂ h – ‰‚ÛÏÂÒÚÌÓÈ: h(x,

f(x)).

èË ˝ÚÓÏ ÔËÏËÚË‚Ì‡ﬂ ÂÍÛÒËﬂ ‰‡ÂÚ

fx hx fx

() ,

( ) ( , ( )).







(4.17)

îÛÌÍˆËﬂ f Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒﬂ ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌÓÈ ÔËÏËÚË‚-

ÌÓ ÂÍÛÒË‚ÌÓÈ, ÂÒÎË ÂÂ ÏÓÊÌÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ÍÓÌÂ˜Ì˚Ï ˜ËÒÎÓÏ

Ô ËÏÂÌÂÌËÈ ÓÔÂ‡ˆËË ÒÛÔÂÔÓÁËˆËË Ë ÔËÏËÚË‚ÌÓÈ  ÂÍÛÒËË,

ËÒıÓ‰ﬂ ÎË¯¸ ËÁ ÔÓÒÚÂÈ¯Ëı ÙÛÌÍˆËÈ S′, 0 Ë 1.

ë‡ÏË ÙÛÌÍˆËË S′, 0 Ë 1 (‚ ÚÓÏ ˜ËÒÎÂ Ë I = I′(x) = x) ÔË-

ÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì˚. èÓÌﬂÚËÂ ÔËÏËÚË‚ÌÓÈ ÂÍÛÒËË ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ

Ó‰ÌËÏ ËÁ „Î‡‚Ì˚ı ‚ ÚÂÓËË ÂÍÛÒË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ.

174

ê‡ÒÒÏÓÚËÏ ÌÂÍÓÚÓ˚Â ÚËÔË˜Ì˚Â ÔËÏÂ˚ ÔÓÒÚÓÂÌËﬂ ÔË-

ÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ.

è  Ë Ï Â  1. ëÛÏÏ‡ f(x, y) = x + y.

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. ÑÎﬂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËﬂ ÒÛÏÏ˚ Á‡‰‡‰ËÏ ÒÎÂ‰Û˛˘Û˛

ÒıÂÏÛ ÔËÏËÚË‚ÌÓÈ ÂÍÛÒËË:

ϕϕ

(, ) ,

(, ) ((, ).

xy xy

′







(4.18)

íÓ„‰‡

ÔË yx x xx==

′

=+0 1 0 1ϕϕ(, ) ((, )) () ,

ÔË

y = 1

ϕϕ( , ) ( ( , )) ,xxx 2 1 2=

′

...................................................................

ÔË y = k – 1

ϕϕ

(, ) ((, ))xk xk x k

= −

′

Ë ‚ÓÓ·˘Â

(, ) .xy x y

=+ ➤

è  Ë Ï Â 

2. èÓËÁ‚Â‰ÂÌËÂ

= xy.

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. á‡‰‡‰ËÏ ÒıÂÏÛ ÂÍÛÒËË

ψψ

(, ) ,

(, ) (, ) .

xy xy x

+= +







(4.19)

á‰ÂÒ¸ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÔËÏÂÓÏ 1 ‚ÚÓÓÂ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ ﬂ‚-

ÎﬂÂÚÒﬂ ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚ÌÓÈ ÙÛÌÍˆËÂÈ.

àÏÂÂÏ

y = 0

ψψ(, ) (, ) ,xxxx 1 0=+=

y = 1

ψψ(, ) (, )xxxx 2 1 2=+=

Ë ‚ÓÓ·˘Â ψ

(x,

y) = xy. ➤

è  Ë Ï Â  3. ëÚÂÔÂÌ¸ F(x, y) = x

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. á‡‰‡‰ËÏ ÒıÂÏÛ

Fx y Fx y x

(, ) ,

(, ) (, ) .

0 1

+= ⋅







(4.20)

á‰ÂÒ¸, ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò ÔËÏÂÓÏ 2, ‚ÚÓÓÂ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ

ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì˚Ï.

èË y = 0

Fx Fx x x(, ) (, ) , 1 0= ⋅ =

ÔË y = 1

Fx Fx x x(, ) (, ) 2 1

= ⋅ =

Ë ‚ÓÓ·˘Â F(x, y) = x

. ➤

175

è  Ë Ï Â  4. î‡ÍÚÓË‡Î

(x) = x!

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. ëıÂÏ‡ ÂÍÛÒËË:

() ,0 1

ϕϕ

()()().xxx

+= +

11 (4.21)

èË x = 0

ϕϕ

() ( ) ,1 0 11

= ⋅ =

ÔË x = 1

ϕϕ

() ()

2 1 22

= ⋅ =

ÔË x = 2

ϕϕ

() () ,3231 23

= ⋅ = ⋅⋅

ÔË x = 3

ϕϕ

() () .4341 234

= ⋅ = ⋅⋅⋅

.............................................................

Ë ‚ÓÓ·˘Â

(x) = x!

➤

á‡ÏÂÚËÏ, ˜ÚÓ ‚ÒÂ ˝ ÎÂÏÂÌÚ‡Ì˚Â ‡ËÙÏÂÚË˜ÂÒÍËÂ ÙÛÌÍˆËË

ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì˚ÏË. Ç‡ÊÌÓ ÓÚÏÂÚËÚ¸, ˜ÚÓ

ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË ‚˚˜ËÒÎËÏ˚ Ì‡ ùÇå.

é·˘ÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË. éÔÂ‡ˆËﬂ ÏËÌËÏËÁ‡ˆËË ÔÓÁ‚Ó-

ÎﬂÂÚ ÔÓÎÛ˜‡Ú¸ ËÁ ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ ÌÓ‚˚È

ÍÎ‡ÒÒ – Ó·˘ÂÂÍÛ ÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË.

èÛÒÚ¸ ËÏÂÂÚÒﬂ ÔËÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚Ì‡ﬂ (n + 1)-ÏÂÒÚÌ‡ﬂ

ÙÛÌÍˆËﬂ ϕ (x

,..., x

, y).

ëÙÓÏËÛÂÏ ÌÓ‚Û˛ ÂÍÛÒË‚ÌÛ˛ n-ÏÂÒÚÌÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛ ϕ (x

..., x

) ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ.

á‡‰‡‰ËÏ ÔÂÂÏÂÌÌ˚Ï x

(

in= 1, ) ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ

∗

Ë ‚˚·ÂÂÏ

ÍÓÌÒÚ‡ÌÚÛ K. Ç ˜‡ÒÚÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â K = 0.

èÓÒÚ‡‚ËÏ Á‡‰‡˜Û: Ì‡ÈÚË Ì‡ËÏÂÌ¸¯ÂÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ y, ÔË ÍÓÚÓ-

ÓÏ

ϕ ( ,..., , ) .xxyK

∗∗

= (4.22)

ùÚÓ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ “y” Ô ËÒ‚ÓËÏ ÙÛÌÍˆËË ψ:

ψ ( ,..., , ) .xxyy

∗∗

= (4.23)

èË‚Â‰ÂÌÌ˚Â ‡ÒÒÛÊ‰ÂÌËﬂ Ë ÂÁÛÎ¸Ú‡Ú˚ ÓÔÂ‡ˆËË ÏËÌËÏË-

Á‡ˆËË ÏÓÊÌÓ Á‡ÔËÒ‡Ú¸ ‚ ‚Ë‰Â Ú‡Í Ì‡Á˚‚‡ÂÏÓ„Ó ÓÔÂ‡ÚÓ‡ Ì‡Ë-

ÏÂÌ¸¯Â„Ó ˜ËÒÎ‡

µ ϕψ

yn n

xxyK xx( ( ,..., , ) ) ( ,..., ).

2 1

∗∗ ∗∗

== (4.24)

ç‡ËÏÂÌÓ‚‡ÌËÂ “ÓÔÂ‡ÚÓ Ì‡ËÏÂÌ¸¯Â„Ó ˜ËÒÎ‡” Ó·˙ﬂÒÌﬂÂÚÒﬂ

ÚÂÏ, ˜ÚÓ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËÂ ÔÓ‰ıÓ‰ﬂ˘Â„Ó ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ y ÔÓËÁ‚Ó‰ËÚÒﬂ

ÏÂÚÓ‰ÓÏ ÔÂÂ·Ó‡, Ì‡˜ËÌ‡ﬂ Ò y = 0, Á‡ÚÂÏ y = 1 Ë Ú.‰. ‰Ó ÚÂı

ÔÓ, ÔÓÍ‡ ϕ = K.

176

é˜Â‚Ë‰ÌÓ, ˜ÚÓ ‰Îﬂ ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ·˚ ÔÓÎÌÓÒÚ¸˛ ÓÔÂ‰ÂÎËÚ¸ ÌÓ‚Û˛

ÙÛÌÍˆË˛

, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ÔË ‚˚·‡ÌÌÓÏ K Ì‡ÈÚË ‚ÒÂ Ì‡ËÏÂÌ¸-

¯ËÂ ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ “y”, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÂ ‚ÒÂ‚ÓÁÏÓÊÌ˚Ï Ì‡·Ó‡Ï

ÔÂÂÏÂÌÌ˚ı x

,..., x

èË ‚˚·ÓÂ ‰Û„Ó„Ó ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ K ÒÙÓÏËÛÂÚÒﬂ ‰Û„‡ﬂ – ÓÚ-

ÎË˜Ì‡ﬂ ÓÚ

– ÂÍÛÒË‚Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ.

Ç ˜‡ÒÚÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â – ÔË K = 0 – Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËÂ Ì‡ËÏÂÌ¸¯Â„Ó

ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ “y” Ò‚Ó‰ËÚÒﬂ Í Â¯ÂÌË˛ Û‡‚ÌÂÌËﬂ

( ,..., , ) .xxy

∗∗

(4.25)

Ç ÓÔÂ‡ÚÓÂ

ÏÓÊÌÓ

ËÒÔÓÎ¸ÁÓ‚‡Ú¸ ÙÓÏÛ,

ÔÓ‰Ó·ÌÛ˛ (4.25),

Ë Á‡ÔËÒ‡Ú¸ (4.2.16) Ú‡Í:

µ ϕψ

yn n

xxyK xx( ( ,..., , ) ) ( ,..., ).

∗∗ ∗∗

− ==

èË ˝ÚÓÏ ÒÎÂ‰ÛÂÚ ÓÔÂ‰ÂÎﬂÚ¸ y

min

ËÁ Û‡‚ÌÂÌËﬂ

( , ..., , ) .xxyK

∗∗

− =

(4.26)

ëÎÂ‰ÛÂÚ ÓÚÏÂÚËÚ¸, ˜ÚÓ ÌÂ ‚ÒÂ„‰‡ ÓÔÂ‡ÚÓ Ì‡ËÏÂÌ¸¯Â-

„Ó ˜ËÒÎ‡ ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ Â‡ÎËÁÓ‚‡Ì. ç‡ÔËÏÂ, ÂÒÎË ‰Îﬂ

‚ÒÂı ÁÌ‡˜ÂÌËÈ y = 0, 1, 2, 3,... ÁÌ‡˜ÂÌËﬂ ÙÛÌÍˆËË

ϕ ( ,..., , ) ,xxyK

∗∗

≠ ÚÓ ÔÓˆÂÒÒ Ì‡ıÓÊ‰ÂÌËﬂ y ·Û‰ÂÚ ÔÓ‰ÓÎ-

Ê‡Ú¸Òﬂ ·ÂÒÍÓÌÂ˜ÌÓ Ë ÁÌ‡˜ÂÌËÂ ÓÔÂ‡ÚÓ‡

µ ϕ

xxyK( ( ,..., , ) )

∗∗

− = (4.27)

Ò˜ËÚ‡ÂÚÒﬂ ÌÂÓÔÂ‰ÂÎÂÌÌ˚Ï. Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â „Ó‚ÓﬂÚ, ˜ÚÓ ‡Î„Ó-

ËÚÏ ÌÂ ÔËÏÂÌËÏ Í ÔËÌﬂÚ˚Ï ËÒıÓ‰Ì˚Ï ‰‡ÌÌ˚Ï.

èË‚Â‰ÂÏ ÔÓÒÚÂÈ¯ËÈ ÔËÏÂ Ì‡ ÙÓÏËÓ‚‡ÌËÂ ÌÂÒÍÓÎ¸ÍËı

ÁÌ‡˜ÂÌËÈ ÌÓ‚ÓÈ Ó‰ÌÓÏÂÒÚÌÓÈ ÙÛÌÍˆËË ψ(x) ÔÓ ËÁ‚ÂÒÚÌÓÈ ÔË-

ÏËÚË‚ÌÓ ÂÍÛÒË‚ÌÓÈ ‰‚ÛÏÂÒÚÌÓÈ ÙÛÌÍˆËË ϕ(x, y).

è  Ë Ï Â  5. èÛÒÚ¸

ϕ (, )xy x x y = −−

2 Ë K = 5.

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Â‡ÎËÁÓ‚‡Ú¸ ÓÔÂ‡ÚÓ Ì‡ËÏÂÌ¸-

¯Â„Ó ˜ËÒÎ‡

µ ϕ µ

xy K x x y((, ) ) ( ). − == −−−=0250

ê Â ¯ Â Ì Ë Â. èË x = x

∗

= 0 ·Û‰ÂÏ ËÏÂÚ¸

ϕ (, ) .05 yy= −−

177

á‡‰‡‚‡ﬂ ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓ y = 0, 1, 2, 3,..., Ì‡È‰ÂÏ Ì‡ËÏÂÌ¸-

¯ÂÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÂ y, ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÂ Â¯ÂÌË˛ Û‡‚ÌÂÌËﬂ (4.26).

éÍ‡Á‡ÎÓÒ¸, ˜ÚÓ y

min

= 5 Ë, Ú‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ,

(0) = 5.

èË

xx y y

== − = −− − =

∗∗

11 5 1 50

(, ) ,

min

,().

4 1 4

èË

xx y y

== − = −− − =

∗∗∗

22 50 50

(, ) ,

min

,().

525

èË

xx y y

== − = −− − =

∗∗∗∗

33 53 50

(, ) ,

min

,()

838

Ë Ú.‰.

í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÔÓÒÎÂ‰Ó‚‡ÚÂÎ¸ÌÓÂ ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËÂ ÁÌ‡˜ÂÌËÈ Ì‡-

ıÓ‰ËÚÒﬂ ÔÂÂ·ÓÓÏ ‡„ÛÏÂÌÚÓ‚ ÙÛÌÍˆËË

(x, y) ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË

Ò ÔËÌﬂÚÓÈ ÒıÂÏÓÈ ‚˚ÔÓÎÌÂÌËﬂ ÓÔÂ‡ÚÓ‡ ÏËÌËÏËÁ‡ˆËË. ➤

éÔÂ‡ˆËﬂ ÏËÌËÏËÁ‡ˆËË ‚ Ó·˘ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â ÓÔÂ‰ÂÎﬂÂÚ ˜‡ÒÚË˜-

ÌÛ˛ ÂÍÛÒË‚ÌÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛.

îÛÌÍˆËË, ÍÓÚÓ˚Â ÏÓÊÌÓ ÔÓÎÛ˜ËÚ¸ ËÁ ÔËÏËÚË‚Ì˚ı S′(x),

Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÓÔÂ‡ˆËÈ ÒÛÔÂÔÓÁËˆËË, ÔËÏËÚË‚ÌÓÈ Â-

ÍÛÒËË Ë ÏËÌËÏËÁ‡ˆËË, Ì‡Á˚‚‡˛Ú Ó·˘ÂÂÍÛÒË‚Ì˚ÏË (ÂÍÛ-

ÒË‚Ì˚ÏË).

êÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË ‚˚˜ËÒÎËÏ˚ Ì‡ ùÇå.

íÂÁËÒ óﬁ˜‡. èÓ‰‚Ó‰ﬂ ËÚÓ„ ËÁÎÓÊÂÌÌÓÏÛ Ï‡ÚÂË‡ÎÛ, ÓÚÏÂ-

ÚËÏ, ˜ÚÓ Ì‡ ùÇå ÏÓ„ÛÚ ˝ÙÙÂÍÚË‚ÌÓ ‚˚˜ËÒÎﬂÚ¸Òﬂ ÔËÏËÚË‚ÌÓ

ÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË (‚ ÚÓÏ ˜ËÒÎÂ ‚ÒÂ ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì˚Â ‡ËÙÏÂ-

ÚË˜ÂÒÍËÂ ÔÓˆÂ‰Û˚) Ë Ó·˘ÂÂÍÛÒË‚Ì˚Â ÙÛÌÍˆËË. äÓÂÍÚÌÓ

˝ÚÓ ÏÓÊÌÓ ÔÓÍ‡Á‡Ú¸ ÎË¯¸ ÔÓÒÎÂ ‡ÒÒÏÓÚÂÌËﬂ ÚÂÓËË Ï‡¯ËÌ

í¸˛ËÌ„‡. ëÂÈ˜‡Ò ÊÂ ÔÓÒÚ‡‡ÂÏÒﬂ ÓÚ‚ÂÚËÚ¸ Ì‡ ÌÂËÁ·ÂÊÌÓ ‚ÓÁ-

ÌËÍ‡˛˘ËÈ ‚ÓÔÓÒ: ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú ÎË ÙÛÌÍˆËË, ÍÓÚÓ˚Â ÏÓ„ÛÚ

˝ÙÙÂÍÚË‚ÌÓ ‚˚˜ËÒÎﬂÚ¸Òﬂ, ÌÓ ÍÓÚÓ˚Â ÌÂ ﬂ‚Îﬂ˛ÚÒﬂ ÂÍÛÒË‚-

Ì˚ÏË?

éÚËˆ‡ÚÂÎ¸Ì˚È ÓÚ‚ÂÚ Ì‡ ˝ÚÓÚ ‚ÓÔÓÒ ‰‡ÂÚÒﬂ ÚÂÁËÒÓÏ óﬁ˜‡:

‚ÒﬂÍ‡ﬂ

˝ÙÙÂÍÚË‚ÌÓ ‚˚˜ËÒÎËÏ‡ﬂ ÙÛÌÍˆËﬂ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ ÂÍÛÒË‚ÌÓÈ.

íÂÁËÒ óﬁ˜‡ ﬂ‚ÎﬂÂÚÒﬂ Ì‡Û˜ÌÓÈ „ËÔÓÚÂÁÓÈ, ÍÓÚÓÛ˛ ÌÂÎ¸Áﬂ

‰ÓÍ‡Á‡Ú¸, Ú‡Í Í‡Í ÓÔÂ‰ÂÎÂÌËÂ ÂÍÛÒË‚ÌÓÈ ÙÛÌÍˆËË Ï‡ÚÂÏ‡ÚË-

˜ÂÒÍË ÒÚÓ„Ó, ‡ ÔÓÌﬂÚËÂ “˝ÙÙÂÍÚË‚ÌÓÈ ‚˚˜ËÒÎËÏÓÒÚË” ÓÔÂ‰Â-

ÎÂÌÓ ÎË¯¸ ‚ ËÌÚÛËÚË‚ÌÓÏ ÒÏ˚ÒÎÂ.

Ç Ì‡ÒÚÓﬂ˘ÂÂ

‚ÂÏﬂ ·ÓÎ¸¯ËÌÒÚ‚Ó Ï‡ÚÂÏ‡ÚËÍÓ‚ Û‚ÂÂÌÓ ‚ Ô‡-

‚ËÎ¸ÌÓÒÚË ÚÂÁËÒ‡ óﬁ˜‡, ÛÒÚ‡Ì‡‚ÎË‚‡˛˘Â„Ó, ˜ÚÓ ÍÎ‡ÒÒ ‚˚˜ËÒ-

ÎËÏ˚ı

ÙÛÌÍˆËÈ

ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ

Ò ÍÎ‡ÒÒÓÏ ÂÍÛÒË‚Ì˚ı, Ú.Â. Ò˜ËÚ‡˛Ú,

˜ÚÓ ‚˚˜ËÒÎËÏ˚ı, ÌÓ ÌÂ ÂÍÛÒË‚Ì˚ı ÙÛÌÍˆËÈ, ÌÂ ÒÛ˘ ÂÒÚ‚ÛÂÚ.