Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Образующие и - границы видимости точек конической по-

верхности относительно : точки, расположенные на , и выше

их относительно видны, а остальные не видны. Поэтому види

мость кривой относительно менялась в точках и .

t t

k 3 t 4 t

3 4

В третьем случае пересекаются непроецирующие ГО. В

лекции 4 рассматривалось решение 1ГПЗ-3 для прямой и

плоскости. Сформулируем алгоритм решения 1ГПЗ, когда пере

секаются непроецирующие линия и поверхность в общем

случае (1ГПЗ-3):

9.2. Третий случай 1ГПЗ (1ГПЗ-3)

Линию заключают во вспомогательную поверхность :

Строят линию пересечения вспомогательной поверхности

и данной : .

Искомая точка есть точка пересечения построенной линии

и заданной : (точек пересечения может быть

несколько).

k g K = k g

Ô Ô

Вспомогательную по

верхность обычно выбирают

такой, чтобы линия

k =

строилась по возможности

точно, просто и удобно.

Универсальным является

использование в качестве

поверхности проецирующей

плоскости для прямой линии и

проецирующей цилиндричес-

кой (призматической) поверх-

ности для кривой (ломаной)

линии, когда решение задачи

сводится к решению 2ГПЗ-2.

На рис. 9.5 строятся точ-

ки пересечения конической по-

верхности

и прямой :

{t(T,m)(t m,t T)}

i i

, .

t t

1 2

Рис. 9.5

2. - построение линии пересечения конической

поверхности и плоскости подробно разобрано в примере 9.1.

Точка видна относительно , а точка не видна (см. пример

9.1 и рис. 9.4). Поэтому прямая видна относительно левее

точки и не видна между точками и и на небольшом участке

правее точки . Граница видимости точек конической поверхности

относительно - контурные образующие и . Точки, лежащие на

них и перед ними, относительно видны, а остальные не видны.

Следовательно, относительно прямая видна правее точки и не

видна между точками и и на участке левее точки .

K N

K K N

t t

K N K

3. :K,N = k a

K =k a ; N =k a ;K a ; N a .

1 1 1 1

12 2 2

1 2

2 2

Рис. 9.6

Построить точки пересечения прямой и сферы

. Определить видимость прямой относитель

но плоскостей проекций (рис. 9.6).

ПРИМЕР 9.2. a

{m(m,j;C j)(m =m j)} -

Пояснения к решению:

g = (2ГПЗ-2).

- окружность, проецирую-

щаяся на в отрезок , а на

- в эллипс . проводят через

проекции точек , которые

строят по известным проекциям

g g

K K g

K g q

с помощью окружностей из

условия согласно ГА:

1 1

i i

3. A

m .

Характерные точки и лежат

на главном меридиане сферы, и

- на её экваторе, и задают

вторую ось эллипса, их проекции

и строятся подобно проекции .

1 2

3 4

5 6

6 K

Ï,a

2 2

Отрезок прямой между точками и находится внутри сфе-

ры и не виден. Видимость прямой на других участках зависит от

видимости точек и относительно той или иной ПП (относи-

тельно видна, не видна, а относительно и , и ).

На рис. 9.7 при нахождении точек и пересечения

горизонтали с конической поверхностью вращения заключали в

плоскость , пересекающую поверхность по окружности .

a M N

M N

M N M N

M N

h h

видныÏ

1 2

Рис. .79

1 1

2 2

Рис.9.8

На рис. 9.8 строятся точки и пересечения прямой с

призматической поверхностью , .

Пояснения к решению:

1. , .

2. ( , а треугольник , где , , - точки

пересечения плоскости с ребрами поверхности ).

3. .

Видимость прямой на участках левее точки и правее точки

определяется видимостью и относительно той или иной ПП, а

между точками и прямая не видна.

M N l

{t(t,b)(t b, t t)} b[A,B,D,A]

l l

g = g g - 1 2 3 1 2 3

M,N = g l

l M

N M N

M N

i i

2 2

Рис. 9.9

1 2

На рис. 9.9 кривая пересекается с

коноидом .

{t(a,b, )(t a, t b, t )}

Порядок нахождения точки :K=k

1. - заключи-

ли в цилиндрическую поверхность .

k kk

2. ( , а проекциюe= e e

строили по проекциям точек ,

которые искали с помощью образующих

, проводимых через проекции ,

причем ).

M M e

t M e

3. .K=e k

Конкурирующие относительно точ-

ки , и аналогичные не

обозначенные точки использовали для

определения видимости кривой .

1 k 2

i i i

2 2

Рис.9.10

9.3. Частные случаи решения ГПЗ

Из множества частных случаев

решения ГПЗ рассмотрим два - пере-

сечение соосных поверхностей вращения

и теорему Монжа.

Поверхности вращения, имеющие

общую ось вращения, называются соос-

ными поверхностями. : две

соосные поверхности вращения пересе-

каются по окружностям-параллелям,

которые образуют при вращении точки

пересечения меридианов этих поверх-

ностей. На рис. 9.10 по окружностям и

пересекаются имеющие общую ось

вращения коническая поверхность вра

щения и пересекающийся тор. Окруж

ности и образуются при вращении

точек и пересечения меридианов ( и

) указанных поверхностей проекции ,

, и на рис. 9.10 не обозначены).

Теорема

j -

q g

A B t

m A

B t m

(

1 1 1

A B d

e e

2 2

1 1

Рис. 9.11

Теорему Монжа исполь-

зуют при пересечении особым

о б р а з о м р а с п о л о ж е н н ы х

поверхностей второго порядка.

Поверхностями 2-го порядка

называют поверхности, опреде-

ляющиеся в декартовой системе

координат алгебраическим урав-

нением 2-ой степени. К ним

относятся поверхности враще-

ния 2-го порядка, образующиеся

вращением кривой второго

порядка вокруг своей оси: сфе-

ра, эллипсоид, параболоид,

однополостный и двухполостный

гиперболоиды вращения, ци-

линдрическая и коническая

поверхности вращения, а также

другие поверхности - эллип-

тические, параболические и

гиперболические конические и

цилиндрические поверхности и т. д. В общем случае поверхности

2-го порядка пересекаются между собой по пространственной

кривой 4-го порядка.

: если две поверхности 2-го порядка описаны

около третьей поверхности 2-го порядка или вписаны в неё, то

линия их пересечения распадается на две кривые 2-го порядка,

плоскости которых проходят через прямые, соединяющие точки

пересечения линий касания.

На рис. 9.11 пересекаются коническая и цилиндрическая

поверхности, описанные вокруг сферы. Сфера касается конической

поверхности по окружности , а цилиндрической поверхности - по

окружности . Окружности и пересекаются в точках и ,

определяющих прямую . Поверхности пересекаются по двум

эллипсам и , плоскости которых проходят через прямую .

Теорема Монжа

m q m A B

e e d

1 2

Л Е К Ц И Я 10

10.1. Общие замечания

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА

Геометрическим телом называют замкнутую часть пространст-

ва, ограниченного отсеками поверхностей.

делят на - тела, образован-

ные одной поверхностью (шар, тор и т. д.) или ограниченные

отсеком исходной поверхности и поверхностями (обычно плоскос-

тями), образующими границы отсека исходной поверхности

(цилиндр, конус, призма, пирамида т. д.), - тела,

состоящие из нескольких простейших тел (рис. 10.7).

На рис. 10.1 дан КЧ простейших геометрических тел: шара -

части пространства, ограниченного сферой; цилиндра вращения -

части пространства, ограниченного отсеком цилиндрической

поверхности вращения и двумя плоскостями уровня и ; конуса

вращения - части пространства, ограниченного конической

поверхностью вращения, плоскостью уровня и вершиной .

Геометрические тела простейшие

и сложные

TÃ

Рис. 10.1

10.2. Построение изображений геометрических тел с вырезами

Особо важно для дальнейшего обучения научиться строить

изображения простейших геометрических тел с вырезами на

горизонтальную , фронтальную и профильную ПП (

). Для установления проекционной связи

изображений на и тело связывают с системой координат

и проецируют её оси вместе с телом. Координатные плоскости ,

и задают и по

возможности совпадающими с плоскостями симметрии тела, с его

гранями, основанием и т. д. В этом случае проекционное

соответствие между полями проекций и (см. рис. 10.3 - 10.6)

устанавливает общая для этих полей координата .

в разделе

10.2 - профильная ПП

Oxyz

Oxz

Oxy Oyz

параллельно плоскостям проекций

ÏÏ

Ось пространственной системы координат, устанавливающей

проекционную связь изображений пирамиды на и , совместили

с высотой, проведенной из вершины пирамиды на плоскость ,

начало системы отсчета точку взяли в точке пересечения этой

высоты с , а координатные плоскости и расположили

параллельно и соответственно.

Oxz Oyz

Для построения изображения пирамиды на на свободном

месте чертежа правее провели , с помощью линии связи

( , ) на нашли проекцию вершины и задали проекции

z z z

T T z z T

плоскости и оси (рис. 10.3). От точки влево по оси

отложили координату и получили точку , а затем от точки

y O =z

y Y A O

по оси вправо отложили координату и получили точку . и

брали с поля . Так как , то . Грань также

перпендикулярна , поэтому её проекция на совпадает с

y Y B Y

Y AD D A DTA

T A T D

Секущие плоскости и пересекаются с пирамидальной

поверхностью по ломаной , а между собой - по

отрезку .

[ , , , , , , ]

[ , ]

1 2 4 6 7 5 1

4 5

1 3

2 23

23 3 3 3

3 3 3 3

3 3

3 A

1 3

3 3

3 3 3 3

Заданы изображения пирамиды на (вид

сверху) и (вид спереди) и основные проекции фронтально прое

ПРИМЕР 10.1.

цирующих плоскостей, образующих сквозной

вырез (рис. 10.2). Построить изображения

пирамиды с вырезом на горизонтальную и

профильную ПП (рис. 10.3).

Пирамида образована отсеком трех-

гранной пирамидальной поверхности, огра-

ниченным вершиной и плоскостью ,

пересекающей пирамиду по (рис. 10.3).

Поскольку секущие плоскости перпенди-

кулярны , то фронтальные проекции линий

пересечения этих плоскостей с пирамидаль-

ной поверхностью и между собой извес ны -

они совпадают с основными проекциями

секущих плоскостей на . Решение задачи

ABD

Рис. 10.2

сводится к построению горизонтальных и профильных проекций

указанных линий пересечения по их известным фронтальным

проекциям и условию их принадлежности пирамиде.

Y Y

1 1

Рис. 10.3

2 2

3 3

Точка принадлежит проецирующей на грани , поэтому

. Точка строится аналогично точкам и : ис-

пользуется координата точки (расстояние от точки до оси

, откладываемую от оси по линии связи .

5 ATD

5 [A ,T ] 4 A B

Y 4 4

y z (4 ,4 ))

Точка лежит в грани , а точка - в грани , причем эти

точки конкурируют относительно ( ). Обе точки и при-

надлежат , по которому плоскость пересекает пирами-

дальную поверхность. Так как , то подобен и прое-

цируется на в отрезок, параллельный , а на - в ,

подобный . При этом , .

4 BTD 5 ATD

4 5 4 5

123

123 ABD

1 2 3

A B D 4 [2 ,3 ] 5 [1 ,3 ]

Точки , , и расположены на ребрах пирамиды: ,

и . Их горизонтальные и профильные проекции найдены

по известным фронтальным проекциям с помощью линий связи.

1 2 6 7 1 7 [A,T]

2 6 [B,T],

Относительно и видны все звенья ломаной

на пирамидальной поверхности. Отрезок находится внутри

пирамиды и не виден относительно , но виден относительно

[1,2,4,6,7,5,1]

[4,5]

благодаря вырезу.

2 2

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 11

3 3 3 3 3 3

ÏÏ

1 3

Заданы вид конуса вращения на (вид

спереди) и основные проекции фронтально проецирующих плоскос-

тей, образующих сквозной вырез (см. вид конуса на на рис. 10.4

без обозначений). Построить виды конуса со сквозным вырезом

на и .

Конус вращения ограничен конической поверхностью враще-

ния, вершиной и плоскостью основания.

Так как секущие плоскости фронтально проецирующие, то

проекции линий пересечения конической поверхности с секущими

плоскостями и секущих плоскостей между собой на известны:

они совпадают с основными проекциями секущих плоскостей и

ПРИМЕР 10.2.

2 2

1 2

3 3

Рис. 10.4

обозначены на рис. 10.4. Решение задачи сводится к построе-

нию горизонтальных и профильных проекций указанных линий

пересечения по их фронтальным проекциям.

Виды конуса на (окружность) и (треугольник) распола

гают в проекционной связи с видом конуса на . Положение

проекций осей и начала отсчета системы координат, связанной с

конусом, указаны на рисунке.

Плоскость пересекает поверхность конуса по эллипсу, кото-

рый на проецируется в отрезок , а на и в эллипсы.

Для их построения использовали характерные точки , , , , , ,

, и не обозначенные промежуточные точки, взятые между харак-

терными точками. Точки и расположены на контурных относи-

тельно образующих и , а точки и - на контурных

относительно образующих и . Точки и определяют одну

ось эллипса, а точки и , проекция которых делит отрезок

пополам, вторую его ось. На и являются самой бли-

жайшей и дальней точками эллипса, а на - его самой правой и

левой точками соответственно. и - общие точки эллипса и

прямолинейных образующих, по которым плоскость пересекает

коническую поверхность.

Плоскость пересекает коническую поверхность по дуге

гиперболы (точка - её вершина, точки и - общие точки

гиперболы и дуг окружности, по которым поверхность конуса пере-

секает плоскость ). Гипербола на и проецируется в отрезки

прямых, а на в натуральную величину, для построения которой

кроме точек , и используются промежуточные точки, фронталь-

ные проекции которых расположены между и .

Уже отмечалось, что коническая поверхность пересекается

плоскостью , проходящей через вершину конуса, по отрезкам

образующих ( и ), а плоскостью , перпендикулярной оси

конуса, - по дугам окружностей ( и ), которые на и прое-

цируются в отрезки прямых, а на - в дуги окружностей ( и

- общие точки образующих и дуг окружностей).

Секущие плоскости пересекаются между собой по отрезкам:

; ; .

[A ,L ]

A G N B L C

S Q

A L

l l N S

l l A L

G Q Q G

[A ,L ] G Q

B C

KAF A K F

A K F

[B,D] [C,E] Ô j

F,D K,E

E D

= [B,C] = [D,E] = [F,K]

Дуга эллипса не существует, но

строится и обводится тонкой линией

BLC

2 2

1 3

2 1

2 2

Ô Ï

1 2

2 2

ÃÔÔ