Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

1.5. Введение новой плоскости проекций

При решении ряда инженерно-геометрических задач удобно

использовать дополнительные изображения ГО, позволяющие

упростить решение задачи, сделать его более точным и т. д. Получе-

ние новой проекции (новых проекций) ГО по уже имеющимся

является результатом преобразования КЧ. Из множества способов

преобразования КЧ здесь рассмотрим один: способ введения

(задания) новой ПП.

Суть этого способа заключается в том, что дополнительно к

ПП и вводится новая ПП , проецируя на которую ГО по-

лучают его новую проекцию. На новую ПП накладывают только одно

ограничение: она должна быть перпендикулярна хотя бы одной из

ПП или . Новое направление проецирования параллельно ,

если , или , если .

Ï Ï Ï

Ï Ï Ï Ï Ï

1 2 3

3 2 3 2

Зададим и найдем проекции и точки на

ПП , и (рис. 1.11). В старой системе ПП ( , ) точка

задавалась проекциями и , а в новой системе ПП ( , ) -

проекциями и . Для перехода к плоскому изображению повер-

нем и вокруг прямой (линия пересечения и ) до их

совпадения, а затем повернем вокруг (линия пересечения и

A A A A

A A

) до совпадения с и . В результате получим трехкартинный КЧ

точки - плоскость, содержащую проекции точки на три ПП (рис. 1.12).

Линия связи ( на КЧ образуется линиями ( и

( при развороте ПП и в плоскость чертежа. Анало

гично новая линия связи ( образуется линиями (

и при совмещении с и .

A A A A x

A A x Ï Ï

A A A A x

A A x Ï Ï Ï

, ) , )

, ) -

, ) , )

( , )

Ï Ï

3 1

1 2 3

Ï Ï Ï

Ï Ï

1 2

1 3

Ï Ï

1 2

3 1 2

Рис. 1.11 Рис. 1.12

Аналогично можно последовательно задавать любое число

новых ПП и получать многокартинный КЧ, лишь бы вновь вводимая

ПП была перпендикулярна хотя бы одной из имеющихся ПП.

. На рис. 1.13

приведен семикартинный КЧ точки A, полученный при введении

новых ПП в такой последовательности: , , , ,

(все оси проекций задавались произвольно, а откладываемые

расстояния отмечены).

общем случае расстояние новой проекции точки от новой оси равно

расстоянию заменяемой проекции от предыдущей оси

Ï Ï

и :

Правило построения новой проекции точки по двум задан-

ным проекциям и новому направлению проецирования

A A

1 2

1. Перпендикулярно линии связи ( , ) проводят ось проекций

, если она на КЧ не задана.

2. В заданном направлении проводят новую ось проекций ,

являющуюся отображением линии пересечения и .

3. Из ( ) проводят новую линию связи ( , ) .

4. На новой линии связи ( от новой оси откладывают

расстояние от точки до плоскости , так как (см.

помеченные расстояния на рис. 1.11 и 1.12).

À À

x Ï Ï

A Ï Ï À À

A A x

A Ï Ï Ï

, )

1 2

1 3

1 3 1 1 3

1 3 31

1 3 1

Рис. 1.13

Новую ПП задают с точностью до параллельного переноса: уже

отмечалось, что при таком переносе проекция фигуры не меняется.

Решение любой задачи с применением преобразования черте-

жа сводится к решению четырех задач, называе-

мых основными задачами преобразования чертежа (ОЗПЧ)

в конечном счете

Наиболее часто используется -

. Три взаимно перпендикуляр-

ные ПП обычно рассматривают как координатные (рис. 1.14).

профильная ПП новая ПП,

перпендикулярная и ПП , и ПП

Ï Ï

При переходе к плоскому изображению будем считать, что

система ПП мысленно разрезана по оси , а ПП жестко связанаy Ï

ЛИНИЯ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Л Е К Ц И Я 2

2.1. Общие вопросы задания линии на чертеже

Линия - это одномерный ГО, имеющий одно измерение (длину)

и рассматриваемый как траектория точки, перемещающейся в

пространстве по определенному закону.

делятся на .

, если все их точки лежат в одной плос-

кости, . Из плоских кривых выделяют кривые

второго порядка - эллипс, его частный случай окружность, параболу

и гиперболу, а из пространственных - винтовую линию, широко

используемую в технике.

Линии кривые, ломаные и прямые Кривые и лома-

ные линии бывают плоские

и пространственные

- линия

задана на чертеже, если относительно любой точки пространства

можно однозначно ответить на вопрос, принадлежит точка линии или

нет, :

При задании линии используют критерий её заданности

и следующие свойства ортогонального проецирования

осью с ПП . Повернем и вокруг оси до их совпадения, а

затем вокруг оси развернем до совпадения с и и получим

трехкартинный КЧ (рис.1.15). Новая линия связи проводилась из

точки перпендикулярно оси (проекция оси на ПП и ),

после чего на ней откладывали координату точки и -

проекции оси на плоскости и . Вместо обозначений , и

применяют упрощенные обозначения и .

z Ï Ï Ï x

z Ï Ï Ï

À z z Ï Ï

Y A (y y

y Ï Ï ) z y

y z y

1 2

2 3

1 3

2 1

В заключении лекции отметим, что используемые в курсе

понятия “комплексный чертеж” и “чертеж” - синонимы.

Рис. 1.14 Рис. 1.15

В общем случае (свойство 1)

(проекциями всех

своих точек) (рис. 2.1). Воз-

можность определить по чертежу, что

точка принадлежит линии ( ),

так как и , а точки и

нет (свойство 2), подтверж-

дает: линия своими проекциями

линия

на КЧ задается непосредственно

своими проекциями

на и

Ï Ï

M k M k

M k M k E N

E k N k

k k

( , )

и задана.k

Иногда для установления одно-

значного проекционного соответствия

точек линии помимо её проекций

необходимо задавать ещё проекции

какой-то точки (каких-то точек) линии

(рис. 2.2).

на КЧ

1. В общем случае проекцией кривой линии является кривая

линия, ломаной - ломаная, прямой - прямая.

2. Если точка принадлежит линии, то соответствующая проекция

точки принадлежит соответствующей проекции линии.

3. Если точка делит отрезок прямой в каком-то отношении, то

проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении.

4. Длина проекции отрезка прямой равна длине отрезка, умно-

женной на косинус угла его наклона к плоскости проекций.

5. Прямая, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется

на эту ПП в точку.

6. Если прямые параллельны, то параллельны их проекции.

1 2

1 1 2 2

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Прямая общего положения

Прямая общего положения задается на КЧ своими

проекциями на и

или проекциями двух

своих точек и на рис. 2.5)

- это прямая, не параллельная

и, следовательно, не перпендикулярная ни одной из ПП (прямая

на рис. 2.3).

- прямыми, не параллельными и не перпен-

дикулярными оси проекций ( и на рис. 2.4)

, определяющими положение проек-

ций прямой. На рис. 2.3 - угол наклона прямой к , - к .

a a

a Ï Ï

Ï Ï

A B(

2.2. Задание прямой линии

2.2.1. Прямая общего положения

: (свойство 4 и рис. 2.3).

На КЧ (рис. 2.5) величины длин отрезков прямой общего положения,

углов и наклона её к и не заданы и при необходимости

ищутся путем построений на КЧ.

Для трех точек , , прямой (рис. 2.3, 2.5) справедливы отно

шения (свойство 3): .

Длина отрезка прямой общего положения всегда больше дли

ны его проекции

A,B A ,B A,B A ,B

Ï Ï

A B C

A,C C,B = A ,C C ,B = A ,C C ,B

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Рис. 2.5

1 1

2 2

1 1

1 2 2 2 2

2.2.2. Прямые частного положения

К прямым частного пложения относятся прямые уровня и

проецирующие прямые.

- это прямая, параллельная какой-либо

плоскости проекций. Прямую, параллельную , называют

; параллельную -

; параллельную профильной ПП -

. Обычно горизонталь обозначают , фронталь - ,

профильную прямую - .

Так как , то (рис. 2.6) ( все точки горизонтали уда-

лены от

Прямая уровня

горизон-

тальной прямой или горизонталью фронтальной

прямой или фронталью профиль-

ной прямой

h f

h Ï

h x

на одинаковое расстояние и на координированном КЧ

имеют одинаковые координаты ), отрезок горизонтали проецирует-

ся на Ï

A,B = A ,B

h h Ï

в натуральную величину - угол наклона

горизонтали к плоскости

: и

, определяемый углом между

горизонталью и её проекцией на (угол наклона горизон-

тали к равен 0 ).

1 1

Рис. 2.6

Аналогично (рис. 2.6)

Для профильной прямой помимо проекций и надо

ещё задавать проекции двух её точек (точки и на рис. 2.6). Если

точка задана на прямой одной проекцией, например,

ищется с использованием профильной ПП или, как по-

казано на рис. 2.6, с использованием условия:

для фронтали и -

угол наклона фронтали к плоскости

f x M,N = M ,N

p p p

E F

K p K , то

проекция K

2 2

F ,K F ,K

K ,E K ,E

1 2

ая аяПроецирующ прям - это прямая, перпендикулярная какой-

либо ПП. Прямую, перпендикулярную , называют горизонтально

проецирующей прямой, а перпендикулярную - фронтально

проецирующей. Прямые и показаны на рис. 2.7.

a Ï b Ï

Рис. 2.7

a A

b F E

222

Проецирующая прямая проецируется на ПП, к которой она

перпендикулярна, в точку называемую основной проек

цией прямой

( и ),

, а на вторую ПП - в прямую, перпендикулярную оси

проекций ( и ).

a b

A,B

M,N

Чтобы задать проецирующую прямую,

достаточно однокартинного чертежа (рис. 2.8):

- и . Поэтому проекции и

на КЧ (рис. 2.7) давать не обязательно.

основная проекция проецирующей прямой

однозначно задает её положение в прост-

ранстве d d d Ï a

1 1 2

: все

точки проецирующей прямой проецируются на ПП, перпендикуляр-

ную к ней, в её основную проекцию ( и ).

Основная проекция обладает собирательным свойством

A B a E F b

Горизонтально проецирующая прямая является фронталью:

, а фронтально проецирующая прямая -

горизонталью: .

a Ï a Ï A,B = A ,B

b Ï b Ï A,B = A ,B

На рис. 2.7 задана также профильно проецирующая прямая ,

которая одновременно параллельна и .

Ï Ï

их видимости относительно той ПП, к которой прямая перпендику-

лярна и на которую все точки проецируются в основную проекцию.

На рис. 2.7 точки прямой конкурируют относительно , прямой -

относительно

Все точки проецирующей прямой являются конкурирующими

a Ï b

Ï . Конкурирующие точки используют для опреде-

1 1 1 2 2 2

2 2

1 1 1

ления видимости ГО и их

элементов . Решая вопрос

видимости, надо учитывать

направление взгляда (проеци-

рования) и то, что проецируе-

мый ГО всегда расположен

между ПП и наблюдателем

(рис. 2.9). Поэтому

. Так,

на рис. 2.9 из двух конкурирую-

щих относительно точек и

видимой из

конкурирующих точек является

точка, находящаяся дальше от

ПП и ближе к наблюдателю

Ï B

C B B C Ï

A B A

Ï A B a A

видна точка ( выше ), а конкурирующих относительно

- более удаленная от точка . Аналогично на рис. 2.7

относительно из двух точек и прямой видна точка

выше , см. на проекции и ), относительно из двух точек

и прямой видна точка ( дальше от , см. на проекции

и ).

точек

B A B F

E b E E E

2 2

Рис. 2.9

Âçãëÿä

íà Ï

Рис. 2.8

(ñïåðåäè)

: прямую уровня

перевести в положение проецирующей

прямой.

Новую ПП задают перпендикулярно

прямой уровня. Горизонталь станет прое-

цирующей при (новая ось

), а фронталь - при

(новая ось ) На рис. 2.11

Условие 2ОЗПЧ

h f f

f . фронталь

, заданная проекциями и , переведена вf f f

: преобразовать КЧ так, чтобы прямая

общего положения стала прямой уровня.

Для решения 1ОЗПЧ новую ПП задают параллельно прямой

и перпендикулярно или ( ). При

новая ось проекций , а при новая ось .

На рис. 2.10,а прямая , заданная проекциями и

переведена в положение прямой уровня с использованием .

Для этого нанесли новую ось , на прямой взяли две

произвольные точки ( , ) и ( , ), нашли их проекции и

(используемые для этого расстояния помечены), через которые и

провели проекцию прямой . На рис 2.10,б та же задача решена

с применением . Заметим, что на рис. 2.10 найдены длина

отрезка ,

Условие 1ОЗПЧ a

a Ï Ï Ï a Ï Ï Ï Ï Ï Ï

a a a

A A A B B A B

a a

[A B] = A B a

( A B , ) и углы и наклона к и со-

ответственно.

2.3. Решение 1-й и 2-й основных задач преобразования

чертежа способом задания новой ПП

1 2 3 3 1 3 2 3 1

Ï x

1 2

Ï Ï

3 3

1 12 2

Ï Ï

A,B

Рис. 2.10

à) á)

Ï Ï

Ï Ï Ï

Рис. 2.11

3 2

положение последовательно вводят две новые ПП (сразу задать

новую ПП перпендикулярно нельзя: такая ПП не перпендикулярна

ни , ни ):

Ï Ï

2. Задают (новая ось проекций )Ï a Ï Ï a - решают

2ОЗПЧ.

1. Задают (новая ось проекций )Ï a Ï Ï a Ï Ï

(новая ось проекций ) - решают 1ОЗПЧ.a

3 3 1

На рис. 2.12 (были заданы

для перевода прямой в

проецирующее положение на 1-м эта-

пе использовали . Проекции и

строили с помощью произвольных

точек , (откладываемые рас

стояния на рис. 2.12 обозначены).

a a

A B a

, ,

)

1 2

Ï Ï

2.4. Задание пар прямых

Прямые могут пересекаться, быть параллельными, скрещиваться.

. На рис. 2.13

заданы пары пересекающихся прямых

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их однои-

менных проекций находятся на одной линии связи

a b d g l t, , .

Рис. 2.13

1 1

2 2

Рис. 2.14

проецирующее положение ( ). Для построения прове-

ли , на фронтали взяли точку , ) и нашли её проекцию

f A A A

A f

(

Для перевода прямой общего положения в проецирующееa

1 2

Рис. 2.12

A Ba

4 4

(свойство 6). На рис. 2.14 ( )

Если прямые параллельны, то параллельны их соответствую-

щие проекции a b a b a b d g l t; , , .

. На рис. 2.15 приведены пары скрещивающихся прямых

Скрещивающиеся прямые - прямые, не лежащие в одной плос-

кости a b

d g l t

, .

2 2

1 1

Скрещивающиеся прямые всегда имеют одну или две пары то-

чек, конкурирующих относительно и . У прямых и точки

и конкурируют относительно (видна точка ), а точки и

- относительно (видна точка ); у прямых и точки и

Ï Ï a b A a

B b Ï A C b

D a Ï C l t E l

Рис. 2.15

F t Ï F g d

G g Q d Ï G

конкурируют относительно (видна точка ), у прямых и

точки и конкурируют относительно (видна точка ).

Введем понятие угла между скрещивающимися прямыми.

Величина угла между скрещи-

вающимися прямыми

равна величине угла

между пересекающимися пря-

мыми соот-

ветственно параллельными

данным скрещиваю щимся

прямым

( и на

рис. 2.16)

( и на рис. 2.16),

( ).

a b

t l

t a l b,

Рис. 2.16

2.5. Теорема о проецировании прямого угла

В общем случае прямой угол между пересекающимися или

скрещивающимися прямыми проецируется на ПП с искажением.

Теорема о проецировании прямого угла выделяет частный, но

важный для практики случай, когда прямой угол проецируется на ПП

без искажения. Так как теорема о проецировании прямого угла

связывает три ГО (рис. 2.17) - прямой угол, некую плоскость