Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

МОСКОВСКИЙ

АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

О.А.ОГАНЕСОВ, В.А.КАЙЛЬ,

И.М.РЯБИКОВА, Н.Н.КУЗЕНЕВА

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Часть 1

МОСКВА 2009

для студентов строительных

специальностей

Утверждено

в качестве учебного пособия

редсоветом МАДИ(ГТУ)

Учебное пособие

технический университет), 2009

Вашему вниманию предлагается второе, исправленное и

дополненное издание курса лекций по начертательной геометрии.

Этот курс предназначен для студентов строительных специальнос-

тей Московского автомобильно-дорожного института (государствен-

ного технического университета) и полностью соответствует

содержанию программы по начертательной геометрии государ-

ственных образовательных стандартов для указанного контингента

обучаемых.

Курс лекций приводится в двух частях учебного пособия и

состоит из трех разделов. Раздел “Комплексный чертеж в

ортогональных проекциях” излагается в данной первой части

пособия, а разделы “Проекции с числовыми отметками” и

“Перспективные проекции” - во второй его части. Первая часть

пособия рекомендуется также студентам факультета управления

МАДИ(ГТУ), изучающим начертательную геометрию.

Под редакцией канд. техн. наук, доц. Оганесова О.А.

канд. техн. наук, доц Г.Г.Наумов. (МАДИ(ГТУ)).

Рецензенты: канд. техн. наук, проф. О.В. Георгиевский (МГСУ),

Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н.

Курс лекций по начертательной геометрии: Учебное

строительных асть . - 2-е изд., перераб.

и доп. 9. -98с

пособие для

студентов специальностей: Ч 1

/ МАДИ(ГТУ). -М., 200 .

ББК 22.151.3

УДК 514.18

I. Сокращения

ПРИНЯТАЯ СИСТЕМА СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ТИПЫ ЛИНИЙ

ГА - графический алгоритм;

ГО - геометрический образ;

ГПЗ - главная позиционная задача;

1ГПЗ, 2ГПЗ - 1-я ГПЗ, 2-я ГПЗ;

1ГПЗ-1, 1ГПЗ-2, 1ГПЗ-3 - 1-я ГПЗ соответственно 1-й случай,

2-й случай, 3-й случай расположения пересекающихся ГО;

2ГПЗ-1, 2ГПЗ-2, 2ГПЗ-3 - 2-я ГПЗ соответственно 1-й случай,

2-й случай, 3-й случай расположения пересекающихся ГО;

КЧ - комплексный чертеж;

НГ - начертательная геометрия;

ОЗПЧ - основная задача преобразования чертежа;

1ОЗПЧ, 2ОЗПЧ, ... - соответственно 1-я ОЗПЧ, 2-я ОЗПЧ, ...;

ОМЗ - основная метрическая задача;

1ОМЗ, 2ОМЗ - соответственно 1-я ОМЗ, 2-я ОМЗ;

ОПЗ - основная позиционная задача;

ПА - пространственный алгоритм;

ПП - плоскость проекций.

1. Точки

II. Обозначения геометрических образов в пространстве

a b c

l t

c m

AB A,B A B

[A,B] A B

, , ,... - строчные буквы латинского алфавита;

- только горизонтальная прямая (горизонталь);

- только фронтальная прямая (фронталь);

, - только прямые линии;

, - только окружности или их дуги;

- только кривая линия;

, ( ) - прямая, определяемая точками и ;

- отрезок прямой, ограниченный точками и .

2. Линии

A B C, , , ... - прописные буквы латинского алфавита;

1 2 3, , , ... - арабские цифры (числа, записанные арабскими цифрами).

3. Поверхности

, , , , , ... - прописные буквы греческого алфавита;

Ï - прописная буква греческого алфавита “ПИ”, используемая для

обозначения плоскости проекций;

4. Углы

5. Натуральные величины, длины, расстояния

6. Однотипные геометрические элементы, образующие ряд

- плоскость , заданная точками , , ;(A,B,D) A B D

- плоскость, заданная точкой и прямой ;(A,d) A d

- плоскость, заданная параллельными прямыми и ;(b d) b d

- плоскость, заданная пересекающимися прямыми и ;(a b) a b

, - плоскость, заданная треугольным отсеком .( ABD) (A,B,D,A) ABD

, , ,... - строчные буквы греческого алфавита;

- угол между прямыми и b;a b a

, - длина отрезка [ , ], расстояние между точками и ;

, - расстояние от точки до прямой ;

- расстояние между параллельными прямыми и ;

- расстояние между скрещивающимися прямыми и ;

, - расстояние между параллельными прямой и плоскостью ;

- расстояние между параллельными плоскостями и ;

- натуральный вид треугольника ;

- величина угла между прямыми и .

A B A B A B

A d A d

b d b d

t Ã t Ã

Ã Ã

ABD ABD

b d b d

h h h, , , ... , , , , ... - ряд однотипных элементов обозначают

надстрочными индексами из натуральных чисел.

1. Проекции геометрических элементов

III. Обозначения геометрических элементов чертежа

Проекции геометрических элементов обозначаются теми же

знаками, что и в пространстве, с добавлением подстрочного индекса,

соответствующего индексу плоскости проекций:

, , , ... , , , , ... - проекции точек;

, , , ... , , , ... - проекции линий;

, , ... , , , ... - проекции проецирующих поверхностей.

A A A 1 2 3

a a a h h

2. Оси проекций на комплексном чертеже

1 2 3

1 2 3 1 2

Ã Ã

1 2 1 2

- ось проекций в системе плоскостей проекций ( , );x

- ось проекций в системе плоскостей проекций ( , ) при

задании новой плоскости проекций перпендикулярно .

Ï Ï

, , , ... - плоскости проекций с соответствующим порядковым

подстрочным индексом;

ÏÏ

IV. Обозначения зависимостей и другие символы

- тождественно совпадают;

- равны, результат действия;

- параллельность;

- перпендикулярность;

- скрещивающиеся (прямые);

- проецирование;

- пересечение;

- касание;

- проходит через, включает в себя, содержит;

- не принадлежит;

- вращение вокруг оси;

- задать, взять, построить, найти, определить, провести;

- союз “и”, ставящийся между двумя различными условиями;

- союз “или”, ставящийся между двумя условиями;

- бергштрих, указывающий направление уклона поверхности.

V. Используемые на рисунках типы линий

- для вычерчивания заданных

в условиях изображений исходных ГО и изображения или

изображений искомого ГО в положении, являющимся

сплошная основная линия

результатом выполнения примера или задачи;

- линия для вычерчивания

осей проекций, изображений различных ГО, появляющихся по

ходу решения, и проекций некоторых элементов определителя

менее толстая основная

поверхности на её основном чертеже;

- для нанесения линий связи исплошная тонкая линия

линий-выносок;

- для вычерчивания изображений неви-штриховая линия

димых контуров геометрических образов;

- для вычерчивания осевых иштрихпунктирная линия

центральных линий.

3. Линии связи

( , ) - линия связи в системе плоскостей ( , );A A

A A( , ) - линия связи в системе плоскостей ( , ).

i i

Ï Ï

- следовательно, тогда, поэтому;

- принадлежит;

Л Е К Ц И Я 1

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ ТОЧКИ

1.1. Предмет и метод начертательной геометрии

. Но , как

математическая наука, не реальные объекты, а отделенные

от их содержания

. Поэтому

три абстрактных геометрических образа (ГО):

- нульмерный ГО, не имеющий измерений; - одно-

мерный ГО, имеющий одно измерение; - двумерный

ГО, имеющий два измерения.

Точку, линию, поверхность и любую их совокупность в общем случае

называют геометрической фигурой.

Предмет изучения в начертательной геометрии (НГ) - формы

окружающего мира, их отношения и взаимосвязи НГ

изучает

абстрактные образы объектов, задаваемые опре-

деленной совокупностью точек, линий и поверхностей в НГ

рассматриваются

точка линия

поверхность

Договоримся в дальнейшем точки

обозначать прописными буквами латинского алфавита или арабски-

ми цифрами (числами), линии - строчными буквами латинского

алфавита, поверхности - прописными буквами греческого алфавита.

: формы и положения

геометрических фигур изучаются в НГ по чертежу - графической

модели фигур, полученной посредством операции проецирования и

представляющей собой некое конечное множество точек и линий,

нанесенных на какой-то поверхности, обычно плоскости.

НГ рассматривает общие принципы построения проекционных

чертежей (прямая задача НГ) и методы определения по чертежу гео-

метрических характеристик изображенных ГО (обратная задача НГ).

Методом НГ является метод чертежа

1.2. Прямая задача НГ. Операция проецирования

Прямая задача НГ заключается в получении изображения

(проекции) ГО и неразрывно связана с операцией проецирования.

Для реализации операции проецирования надо задать:

- объект проецирования - какую-то геометрическую фигуру;

- плоскость проекций (ПП) - плоскость, на которую проецируют

фигуру (вообще-то проецировать можно на любую поверхность);

- систему проецирующих прямых определенного направления.

: через каждую точку фигуры прово-

дят проецирующую прямую и получают проекцию точки как точку пере-

сечения проецирующей прямой, проходящей через точку, с ПП, а проек-

цию фигуры, отличной от точки, как множество проекций всех её точек.

Суть операции проецирования

При центральном проецировании (рис. 1.1) все проецирую-

щие прямые проходят через центр проецирования точку (подроб-

нее см. раздел “Перспективные проекции”).

При параллельном проецировании все проецирующие прямые

параллельны друг другу и направлению проецирования . Если

угол между направлением и ПП не равен 90 (рис. 1.2), то

параллельное проецирование называют косоугольным, а при

= 90 (рис. 1.3) - ортогональным (прямоугольным). Параллельное

проецирование - частный случай центрального, когда центр проеци-

рования удаляют в бесконечность и принимают, что параллельные

прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке.

В двух первых разделах курса будет рассматриваться ортого-

нальное проецирование.

(на рис. 1.3 точка - ортогональ-

ная проекция точки на ПП ). Другие свойства ортогонального

проецирования приводятся в лекционном курсе по мере

необходимости их использования.

Ортогональной проекцией точки является

точка пересечения проецирующей прямой, проходящей через точку

перпендикулярно ПП, с этой ПП

Чертеж, полученный при однократном проецировании ГО на

ПП, называют однокартинным

(взаимному положению прое-

цирующих прямых),

Пусть объектом проецирования будут точки и , а плос-

костью проекций - плоскость . На рис. 1.1-1.3 показано получение

проекций и точек и на ПП при различных направле-

ниях проецирования.

По направлению проецирования

выделяют центральное, параллельное и

ортогональное проецирование

À Â

À Â À Â Ï

1 1

Рис. 1.1 Рис. 1.2 Рис. 1.3

1.3. Обратная задача НГ. Обратимость чертежа

Обратная задача НГ заключается в восстановлении формы

или (и) положения ГО по его изображению (проекции) Чертеж,

позволяющий решать обратную задачу НГ, называют обратимым.

Обратимость - необходимое требование к чертежу

: одна

проекция на ПП не задает положения точки в пространстве,

так как отсутствует информация об удалении её от ПП и точкой

может быть любая точка проецирующей прямой s (рис. 1.4).

Наибольшее распространение получили два способа дополнения

однокартинного чертежа, делающих его обратимым: способ допол-

нения проекций точек числами, определяющими удаление этих

точек от ПП, изложенный в разделе “Проекции с числовыми

отметками”, и рассматриваемый далее способ дополнения однокар-

тинного чертежа еще одним однокартинным чертежом на ПП,

перпендикулярную .

В общем случае однокартинный чертеж не обратим

A Ï A

1 1

Зададим две взаимно перпендикулярные ПП и и найдем

ортогональные проекции и точки на эти ПП (рис. 1.5).

В учебном курсе используют как координированные чертежи,

связанные с декартовой системой координат , так и

некоординированные. Для получения координированного чертежа

совместим плоскость с координатной плоскостью , плоскость

- с координатной плоскостью , а линию пересечения ПП и

- с координатной осью (рис. 1.5).

Ï Ï

À À À

Oxyz

Ï xOy

Ï xOz Ï

Ï x

Система двух взаимно перпендикулярных ПП с проекциями

точек на них является обратимой: если убрать точку , то для опре-

деления её положения в пространстве надо найти точку пересечения

1 2

Рис. 1.4

Рис. 1.5

x x x

z z

y y

O O O

y z

1 2 2 1

Прямая линия на КЧ, являющаяся

отображением (проекцией) на нем линии

пересечения ПП и , называется осью

проекций и обозначается

Проекцию точки на ПП назы-

вают горизонтальной проекцией точки, а

на - фронтальной

Ï Ï

Плоскость называют горизонталь-

ной ПП, а - фронтальной

Множество проекций

всех точек пространства на образуют

À A

проецирующих прямых к и , проведенных из точек и . Таким

образом,

Однако система ПП и с проекциями точки не удобна для

использования в качестве чертежа, так как является пространствен-

ной: проекции точки расположены в разных плоскостях.

Ï Ï À À

Ï Ï

для задания точки на чертеже достаточно задать две её

проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций

1.4. Двухкартинный комплексный чертеж точки

Для перехода к плоскому изображению плоскости и по-

ворачивают вокруг линии их пересечения до образования ими

плоскости чертежа (рис. 1.5).

. Эту плоскость

преподаватель совмещает с плоскостью доски, а студент - с плос-

костью листа тетради (рис. 1.6).

Ï Ï

Ï Плоскость чертежа , содержащую

две проекции точки на две взаимно перпендикулярные ПП, называ-

ют двухкартинным комплексным чертежом (КЧ) точки

1 2

Рис. 1.6

горизонтальное поле проекций а на

- фронтальное

(ему принадлежит проекция ),

(ему принадлежит проекция ). На КЧ носителем

горизонтального и фронтального полей проекций является плоскость

чертежа .

A A

Поля проекций на КЧ находятся в проекционной связи,

которую устанавливают

(прямая ( , ) - линия связи).

линии связи - прямые, проходящие через пары

проекций одной и той же точки перпендикулярно оси проекций

Координаты откладывают от проекции начала отсчета

по проекциям осей , и соответственно .

X Y Z

x y z

, ,

1 2

на рис. 1.5 и 1.6 - проекции начала отсчета

точки , координатных осей и на ПП

O O y y z z

O y z Ï Ï .

, , , , ,

и соответственно

1 1 12 2 2

Так как границы ПП на рис. 1.5 условны (плоскости бесконечны),

то проекции этих границ на КЧ не показывают (рис. 1.7).

, ,

Обычно на

КЧ не указывают направления проекций осей, обозначения проекций

осей и , а вместо обозначений , , и на двухкартин-

ном КЧ используют упрощенные обозначения и (рис. 1.7).

Часто на КЧ на оси отмечается только начало отсчета, которое

может быть не обозначено (рис. 1.8). В случаях, показанных на рис.

1.7 и 1.8, координаты точек откладывают, учитывая положительное

направление проекций координатных осей, показанное на рис. 1.6.

y z x y z O O

x y z O

x x( )

2 2

Рис. 1.9

Рис. 1.10

На некоординированных КЧ либо не

указывается начало отсчета на оси проекций

(рис. 1.9), либо ось проекций отсутствует

(рис. 1.10), но имеется хотя бы одна линия

связи. При необходимости начало отсчета на

оси проекций указывают произвольно,

задавая ГО с точностью до параллельного

переноса вдоль координатной оси , а на бе-

зосных КЧ произвольно, но перпенди-

кулярно линиям связи проводят ось

проекций, задавая ГО с точностью до параллельного переноса.

Основанием для использования таких КЧ является свойство

ортогонального проецирования:

Применение для получения чертежа метода ортогонального

проецирования на две ПП с последующим разворотом их в плоскость

чертежа было предложено французским ученым

(1746-1818). Поэтому такой чертеж часто называют эпюром Монжа.

проекция фигуры не меняется при

параллельном переносе плоскости проекций

Гаспаром Монжем

ПП и разбивают пространство на четыре квадранта. Прое-

цируемый ГО, как правило, будет находиться в первом квадранте.

Ï Ï

Расстояние от точ-

ки до плоскости

деляется координатой ,

а до плоскости - коор-

динатой . Проекция

точки задается её

координатами и , а

проекция - координа-

тами и .

Y A

X Y

X Z

опре-

A A

Рис. 1.7 Рис. 1.8

x x