Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
2. - ищется точка пересечения и ( заключалась в
плоскость , строилась прямая , а затем точка .
3. , - определяется длина отрезка , (по правилу прямо-
угольного треугольника), равная искомому расстоянию , .
K=l K l l
t= K=t l)
M K M K
M
41
A
A
B
M
M
K
K
t
t
f
f
h
h
1
1
2
2
3
3
4
4
D
Рис. 5.4
à l
1
2 2 2
2 2
2
2
2
a
a
2
2
2
2
2
l
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Заданы точка и плоскость ( , ) (рис. 5.4).
, - найти расстояние от точки до плоскости без преобразо-
вания КЧ.
ПРИМЕР 5.1. M A a
M M
: 1. - из точки строится
перпендикуляр к плоскости , для чего в задаются горизонталь
( , и фронталь , , а затем проводят .
Пояснения к решению l M l M
l
h h h f f f l h l f) ( )
Заданы точка и плоскость (рис. 5.5).
, - найти расстояние от точки до плоскости .
ПРИМЕР 5.2. M
M M
: 1. - так как , то
перпендикуляр к является горизонталью ( ). 2.
- поскольку , то , а . 3. , ,
, , , .
Пояснения к решению h M h
h h K=h
K =h K h M = M K
[M K] h h M K = M K
-
M
M
M,
K
K
h
h
Рис. 5.5
2 2
2
1
K
1
1
1
Таким образом,
. Поэтому
(пример 5.3).
если плоскость проецирующая, то отрезок
перпендикуляра,
строится сразу, так как он параллелен одной из ПП при
нахождении расстояния от точки до плоскости общего положения
часто применяют преобразование чертежа, решая 3ОЗПЧ и
переводя плоскость в проецирующее положение
определяющий расстояние от точки до плоскости,
1 2
1 2
1 1 2 2
Ã
2
Ï Ã
1
Ï
1
Ï
1
Ï
1
1 1
Ï
1
1 1
22
1 1
M,K
отрезка , : .M K [M K] l l M K = M K, , ,
K =l K l K K
K
. Для получения
расстояние равно длине
из проводят линию
связи и откладывают от по линии связи расстоя-
ние, равное расстоянию от точки до оси . Через и про-
ходит .
(K ,K )
K M
l 4. , = , - искомоеM M K
Заданы точка и плоскость ( ) (рис. 5. ).ПРИМЕР 5.3. M a b 6
, - используя способ введения новой ПП, найти расстояние от
точки до плоскости .
M
M
Прямая на рис. 5.6 отношения к примеру 5.3 не имеет.t
В основе решения примера 5.3 лежат 3ОЗПЧ и пример 5.2
(рис. 5.5).
: 1. - задав новую ПП ,Пояснения к решению
плоскость делают проецирующей и строят её проекцию . Для
этого задают и оси проекций ( , ) и , а затем,
найдя проекции и точек и плоскости, проводят через и
h M M h
1 3 1 3 1 3
её проекцию . l M l l l2. - строят проекции и перпен-
дикуляра к плоскости , проходящего через точку : а)l M l h
l h
l M l h
; б)
l l l M l
.
3. K=l - строят проекции точки пересечения
l
и :
K l K
2
1
1
1 2
l
3
Ï
3
3
Ï Ï
13
Ï
3
x
31
3
3
1 3
1
1
1
3
Ï
3 3 3 3
3
Ï
3
3
1
1
x
21
1
x
31
3
42
M,
K
K
K
h
h
h
1
1
1
2
2
3
3
3
b
b
t
t
M
M
M
Рис. 5.6
2
1
3
l
l
a
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
K
x
31
x
21
3
Ï
3 3
3
x
21
1
2
2 2
2
3
Ï
x
21
3 3 3
43
Заданы параллельные прямая и плоскость
( ) (рис. 5.6). , - найти расстояние от прямой до плоскости.
ПРИМЕР 5.4. t
a b t
Для выполнения примера 5.4 достаточно
на прямой взять произвольную точку и
найти расстояние от неё до плоскости с ис-
пользованием новой ПП, как в примере 5.3, или
без преобразования КЧ, как в примере 5.1.
Для определения расстояния между
плоскостями ( ) ( ) (рис. 5.7) достаточ-
но найти расстояние от какой-то точки ,
например , до плоскости так, как
это сделано в примерах 5.1 или 5.3.
t M
a b d g
M
M = d g
d
d
M
M
Рис.
g
g
b
b
5.7
2
a
a
2
2
2
2
1
1
1
1
1
Ã
Ã
K
K
h
h
1
1
2
b
b
t
t
M
M
2
1
e
a
a
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
K
h
2
M
3
l
3
3
3
3
x
31
x
21
2
2
1
3
3
e
2
Рис. 5.8
Задана плоскость ( ) (рис. 5.8). Построить плос-
кость , параллельную плоскости и удаленную от неё на 20 мм.
ПРИМЕР 5. .5 a b
Ã
Для выполнения примера надо через какую-то точку плоскости
провести к отрезок перпендикуляра длиной 20 мм, а затем за-
дать плоскость , проходящую через конец отрезка.Ã
: 1. Плоскость делают проецирующей,Пояснения к решению
задав , гдеh h - произвольная горизонталь плоскости, и строят
её проекцию , используя точки , . 2. Через точку проводят1 M M
l
:
l h l M l h и l l
l M l . 3.Так как l , то от M по l отложили отрезок
3
Ï
3
Ï
3
3
1
1 1 1
3
Ï
3
Ï
3 3
3
3
3
Ã
3
l
2
l
1
; l h l M
44
длиной 20 мм и получили точку , а затем на . ТочкуK l K- точку K
нашли на линии связи, проведенной из перпендикулярно осиK
K, с использованием расстояния от точки до оси .
4. - в поле провели , а в полях и плоскость
задали пересекающимися прямыми и ( ).
K
à t e t a e h
3 1 1 2
1
x
21
x
31
3
Ã
3
Ï Ï
1 2
Ï
3
à Ã
3
5.3. Определение расстояния от точки до прямой линии
равно длине отрезка
перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
равно длине
отрезка перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной
прямой на другую прямую. Поэтому для определения расстояния
между параллельными прямыми достаточно на одной из них взять
какую-то точку и решить ключевую задачу - найти расстояние от
этой точки до второй прямой.
Заданы точка и прямая (рис. 5.9). , -
найти расстояние от точки до прямой.
Расстояние от точки до прямой линии
Расстояние между параллельными прямыми
ПРИМЕР 5.6. M a M a
Ï
1
K
1
K
2
h
2
M
2
M
1
a
1
h
1
a
2
M
2
h
2
M
1
h
1
l
l
2
K
2
1
K
1
D
M,K
M,
K
M
2
h
2
M
1
h
1
l
l
2
K
2
1
K
1
x
21
3
x
31
M
K
3
h
3
Рис. 5.11Рис. 5.10Рис. 5.9
: 1. - так как , то пер-
пендикуляр к параллелен . 2. - .
3. , , , - поскольку , , то отрезок ,
проецируется на в натуральную величину.
Таким образом, если прямая является проецирующей, то
перпендикуляр к ней параллелен одной из ПП и расстояние от точки
до прямой ищется с использованием простейших свойств прямых
частного положения.
Пояснения к решению h M h a a
a K=h a K a K =h a
M a = M K = M K [M K] h h [M K]
Ï
1
Ï
1
1 21 2 2
1 1
Ï
1
Ï
1
M,
K
45
Заданы точка и прямая , - найти
расстояние от точки до прямой без преобразования КЧ (рис.
5.10) и с преобразованием КЧ (рис. 5.11).
ПРИМЕР 5.7. M h . M h
M h
: 1. -
так как , то строят , ищут =
и проводят , . 2. , = , - длина отрезка ,
найдена по правилу прямоугольного треуголь-
ника ( ), построенного в поле .
Пояснения к решению на рис. 5.10 l M l h l h
l h h l M l h K l h K h
l M K M h M K M K прямой
общего положения l
M K D
Ï
1
1 1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 2
Ï
1
1 1
Ï
1
: 1. -
см. пояснения к рис. 5.10. 2. Чтобы отрезок , прямой общего
положения проецировался на ПП в натуральную величину, надо
чтобы эта ПП была параллельна отрезку и, следовательно, перпен-
дикулярна : - проводят ( , ) и ,
строят и и получают , = , .
Пояснения к решению на рис. 5.11 l M l h l h
[M K]
h h M M h
M K h M K M K
3
Ï Ï
13
Ï x
21
1 2
x
31
1
3 3 3 3 3
t
t
Ã
1
1
2
2
E
M
M
K
K
h
h
f
f
b
b
F
M,K
Рис. 5.12
a
a
x
21
2
1
2
2
2
2
2
2
222
1
1
1
1
1
1
фронталью была
задана плоскость , содержащая мно-
жество всех прямых, проходящих через
точку перпендикулярно прямой .
f M f a f a( )
M a
2. (1ГПЗ) - для нахожде-
ния точки использованы построе-
ния: 1. ; 2. ; 3.
K= a
K
a t= K=t a.
Через точку K
[ ]
пересечения прямой
с плоскостью проходит определяю-
щий искомое расстояние отрезок
перпендикуляра, опущенного из точки
на прямую .
a
M K
M a
,
3. (2ОМЗ) - длина отрез-
ка ка
M a = M K
M K = E K
, ,
, ,
, ,
найдена из треугольни
, в котором .K E E M = K FM
1 1
2 2
Ã
2
ÏÃ Ã
2 2 2
1
ПРИМЕР 5.8. Заданы прямая и точка (рис. 5.12). Без
преобразования КЧ найти расстояние от точки до прямой .
a M
M a
Прямая на рис. 5.12 отношения к примеру 5.8 не имеет.b
Пример выполнялся согласно такому ПА (первые два пункта
ПА нужны для получения отрезка, определяющего искомое
расстояние):
1. (1ОМЗ) - горизонталью ( ) иM a h M h a h a
2
46
M
M
M
M
K
K
K
K
M,K
1
1
1
2
2
2
2
x
21
x
31
x
43
1
3
1
a
a
a
a
b
b
4
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
3
3
3
3
4 4 4
Заданы прямая (рис. 5.13). -
используя способ введения новой ПП, найти расстояние от точки
до прямой .
ПРИМЕР 5.9.
Прямая на рис. 5.13 отношения к примеру 5.9 не имеет.
a
M
a
точка иM M,a
b
Цель введения новой ПП в
примере - сделать прямую
общего положения проецирую-
щей, чтобы несущий искомое
расстояние отрезок , перпен-
дикуляра, опущенного из точки
на прямую , проецировался на
ПП в натуральную величину. Для
этого на прямой взяли произ-
вольные точки и и последова-
тельно задали две новые ПП:
1. - прямая стала
прямой уровня.
2. - прямая стала
проецирующей.
В итоге получили:
a
[M K]
M
a
a
1 2
a a
a a
a
M K a M K a
K
[M K ] a
, ,[ ] [ ] M K M
M K
, ,
, . Точка найдена из
условия , (теорема о
проецировании прямого угла).
=
3
Ï Ï
13
Ï
4
Ï
3
Ï
4
Ï
4
Ï
4
Ï
=
=
4 4
Рис. 5.13
3
3 3 3
Заданы прямые (рис. 5.12 и 5.13). Найти
расстояние между этими прямыми.
Для определения расстояния между параллельными прямыми
и на прямой берут произвольную точку и находят расстояние
от неё до прямой без преобразования КЧ (см. пример 5.8 и рис.
5.12) или с использованием новой ПП (см. пример 5.9 и рис. 5.13).
ПРИМЕР 5.10. a b
a b b M
a
5.4. Расстояние между скрещивающимися прямыми
определяется
длиной отрезка общего перпендикуляра, проведенного к обеим
прямым. В учебном курсе это расстояние определяется с
использованием способа введения новой ПП.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
47
K
K
M
M
M,K
b
b
Рис. 5.14
a
a
l
l
2
1
2 2
2
2
1
1
1
1
Заданы скрещивающиеся прямые и
(рис. 5.14). , найти расстояние между этими прямыми.
Пусть - перпендикуляр к прямым и , пересекающий в
точке и в точке ( , ). Тогда искомое расстояние равно
длине отрезка . Поскольку , то перпендикуляр к
прямой и, следовательно, к является фронталью
ПРИМЕР 5.11. a b
a b
l a b a
M b K [M K] l
M K a l a l
a b
-
,
2
Ï
2
Ï
:
1. . 2.
. 3.
. 4.
. 5.
. 6. .
7.
Пояснения к решению примера
M a a M a l a
a l l M l b
K=l b K =l b
K b l l K l K
l a M = l a M = l a
[M,K] a,b = M,K = M ,K
l M l b
искомое расстояние .
-
определено
Таким образом, для нахождения
расстояния между скрещивающимися
2
Ï
2 2
2
Ï
1 1
1 1 1
1
2
Ï
2 2
прямыми одну из них целесообразно сделать проецирующей, чтобы
отрезок перпендикуляра, определяющий искомое расстояние, был
параллелен одной из ПП.
K
K
K
K
M,K
D
D
D
D
B
B
B
B
A
A
A
A
M
M
M
M
Рис. 5.15
C
2
x
43
x
21
1
4
3
2
2
2
2
2
C
1
1
1
1
1
x
31
4
4
C
C
3
4 4
4 3
3
3
3
a
b
2
2
b
1
a
1
b
3
a
3
b
4
a
4
ПРИ МЕР 5.12. Заданы
скрещивающиеся прямые и
(рис. 5.15). , найти расстоя-
ние между этими прямыми.
Согласно приведенной выше
рекомендации сначала прямую
делают проецирующей, последо-
вательно задавая две новые ПП:
1. (новая ось проек-
ций ). 2.
(новая ось проекций
).
a b
a b
a
a
a a
a
-
3
Ï Ï
1
x
31
3
Ï
4
Ï
4
Ï
3
Ï
x
43
3
1
2
Ï
2
Ï
2 2 2 2
2 22
1 1
1
В примере , поэтому
проецирующей делают прямую ,
используя новая
ось проекций . Для по-
строения проекций и на пря-
мых брали точки: , и .
Р , равно длине -
ка ( ,
2. В поле - ;
. В поле -
.
b
b
b
a b
A B a D b
b
M a K b
M a b
b b M a
K b
b (
a b
a
новую ПП
)
асстояние от
рез
, ). Пояснения к решению :
1. В поле -
;
[M,K]
b K
b a
a M ,K = M,K
[M,K] [M,K]
[M,K] b
[M,K] [M,K] [M,K]
[M ,K ]
[M,K]
[M ,K ]
.
x
32
Для построения новых проекций прямых на каждой из них
взяты две произвольные точки ( на , и на ).A и B a C D b
Дальнейшие рассуждения следующие: 1. , где
- отрезок общего перпендикуляра к прямым и , несущий
искомое расстояние (пусть , ). 2. Так как , то это
расстояние найдено: ( ).
a [M,K]
[M,K] a b
M a K b [M,K]
a,b = M,K = M ,K M a [M ,K ] b
3. . 4. Проекция точки найдена на
из условия ( ), а и - на и
K b K b K b K b M M
a [M ,K ] a a [M,K] a M M a a
соответственно.
48
4
Ï
4
Ï
4
Ï
4 4 4 4 44 4
2
1
3 3
1
2
3
Ï
3
3 3
1
2
Заданы скрещивающиеся прямые и (рис.
5.16). - найти расстояние между этими прямыми.
ПРИМЕР 5.13. a b
a,b
K
K
K
M,K
B
B
B
M
M
M
A
A
A
x
21
a
1
3 3 3
Db
a
2
b
2
3
3
3
3
2
2
2
2
D
2
D
1
1
1
11
b
1
a
Рис. 5.16
x
32
3
Ï
3
Ï
2
2
Ï
3 3
3
Ï
3
3
3
3
Ï
2
Ï
3 3
2 2
2
2
Ï
Ï
1
1 1
5.5. Определение натурального вида треугольника
Задача на определение натурального вида треугольника -
ключевая задача для группы задач, в которую, в частности, входят
задачи на определение натурального вида других плоских фигур, на
построение биссектрисы угла между пересекающимися прямыми,
центра окружности, вписанной в треугольник или описанной вокруг
него, плоских фигур по заданным условиям.
, ,
3 3
1
2
3
Ï
3 3
2 2
1 1
Плоская фигура проецируется на плоскость проекций в нату-
ральную величину, если плоскость фигуры параллельна этой ПП.
Если плоская фигура расположена в проецирующей
плоскости, то для определения натурального вида фигуры
достаточно решить 4ОЗПЧ, используя одну новую ПП (рис. 3.19 и
пояснения к нему).
Если плоская фигура расположена в плоскости общего поло-
жения , то для того, чтобы плоскость стала параллельна плоскос-
ти проекций (стала плоскостью уровня), надо последовательно задать
две новые ПП (сразу задать ПП параллельно плоскости нельзя, так
как эта ПП не будет перпендикулярна ни ни ):,
49
2
ÏÏ
1
1. Задают перпендикулярно горизонтали (новая осьh
) или фронтали (новая ось ) плоскости , решая
3ОЗПЧ и делая проецирующей.
h f f
2. Задают (новая ось , где - основная
проекция плоскости ), решая 4ОЗПЧ.
Задан (рис. 5.17), расположенный в плос-
кости общего положения . - найти натуральный вид .
ПРИМЕР 5.14. ABD
ABD ABD
3
Ï
x
31
1
x
32
2
4
Ï
3
Ï
4
Ï
x
43
3 3
B
B
B
A
A
A
x
21
3
D
3
3
2
2
D
2
D
1
1
1
Рис. 5.17
4
ABD
D
A
4
B
4
x
31
x
43
h
2
h
1
Н плос-
кости проводят гори-
зонталь и задают
(новая ось проекций
). Найдя проек-
ции точек , и ,
получают основную
проекцию плоскости
( .
На 2-ом этапе задают
(новая ось
) и определяют
натуральный вид тре
угольника:
а 1-ом этапе в
, ,
-
h
A B D
ABD =
A B D )
3
Ï
h
3
Ï
3
Ï Ï
1
x
3
1
h
1
3
3
4
Ï
3
Ï
x
43
4
Ï
= A B D
D
. На рис. 5.17 отмечены расстояния, откладываемые при
построении проекций точки .
4 4 4
В разделе 5.5 решение ключевой задачи осуществляется
только с использованием способа введения новой ПП.
3
3 3
3 3 3 3
Л Е К Ц И Я 6
6.1. Образование поверхности
ПОВЕРХНОСТИ
В математике под поверхностью понимают непрерывное
двухпараметрическое множество точек, координаты которых в
декартовой системе координат связаны уравнением . Если
- многочлен -ой степени, то он задает алгебраическую
поверхность го порядка. С плоскостью такая поверхность может
пересекаться по кривой порядка не выше , а с прямой линией - не
более чем в точках.
В НГ используется преимущественно кинематический способ
образования поверхности: поверхность образуется непрерывным
перемещением некой линии, двигающейся в пространстве по опре-
деленному закону.
Линия, перемещаемая в пространстве и образующая при этом
поверхность, называется , а закон её пере-
мещения - . Закон образования
поверхности определяет единый для данной образующей способ её
образования (получения) при движении и представляет собой
совокупность условий, которым должна подчиняться образующая
при формировании поверхности.
Все многообразие кинематических поверхностей определяется
разнообразием форм образующих линий и законов образования
поверхностей.
Внимание: используемые далее термины типа “образующая”,
“образующие”, “эта образующая”, “проведем образующую” и т. п.
относятся к различным положениям образующей.
Так как процесс перемещения образующей непрерывен, то
для графических построений удобно рассматривать поверхность как
непрерывную совокупность
линий-образующих, называемую непрерывным
каркасом этой поверхности. При этом образующую линию в каждом
своем положении называют элементом каркаса или линией каркаса.
Пусть некая кинематическая поверхность образуется непре-
рывным перемещением образующей , ряд положений которой
приведен на рис. 6.1. Линии являются
элементами каркаса этой поверхности.
F(x,y,z)=0
a a
a a a a a
F(x,y,z)=0 n
n
n
n
-
образующей поверхности
законом образования поверхности
имеющих единый закон образования
(получения)
,
, ..., , ... , , ...,
50
12
i
1
2
i