Оганесов О.А., Кайль В.А., Рябикова И.М., Кузенева Н.Н. Курс лекций по начертательной геометрии. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Задана призматическая поверхностьПРИМЕР 7.1.

{l(l,a)(l a, l l)} a[A,B,D,E]

M N N

, (рис. 7.5). 1. Построить проекции произ-

вольной точки . 2. Построить проекцию точки по

известной проекции . 3. Определить, принадлежит ли поверхнос-

ти заданная точка .

Произвольную точку строят с

помощью произвольной образую

щей :

i i

Проекцию точки находят

с использованием образующей ,

проходящей через точку :

N N

2 2

2l N

1 1

Для определения принадлежности

точки поверхности делается попытка

построить образующую , проходящую

через точку :

Рис. 7.5

M l

l a

1. 3

2. 3

l 3. 4.

l Fl . a . a .

l l l

2 2 2 2 2

1 1

11 1

Вывод: .F l F l F

1 1

7.1.3. Коническая и пирамидальная поверхности

Формула конической поверхности имеет вид:

. Если кривая линия, то формула определяет

коническую поверхность, если ломаная линия, то пирамидаль

ную (в обоих случаях и не лежат в одной плоскости), если пря-

мая линия, то плоскость. Точку называют вершиной поверхности.

{l(a,S)(l a, l S)} a

a S a

На рис. 7.6 приведен элементарный чертеж конической поверх-

ности, на рис. 7.8 - пирамидальной поверхности (направляющая -

треугольник ), на рис. 7.7 - основной чертеж отсека конической

поверхности, а на рис. 7.9 - отсека пирамидальной поверхности.

ABDA

i i

Рис. 7.6

Рис. 7.8

На элементарных чертежах поверхностей заданы элементы их

определителей. Контурными линиями отсека конической поверхнос

ти (рис. 7.7) являются: линия обреза кривая , вершина , образую

щие и , а также образующие и - линии касания поверхнос-

ти проецирующими лучами, перпендикулярными и соответ

ственно. Контурные линии отсека пирамидальной поверхности -

линия обреза ломаная , точка и ребра поверхности , и .

Коническая и пирамидальная поверхности в общем случае

имеют две полости, простирающиеся в бесконечность от вершины

в обе стороны. На рис. 7.7 и 7.9 показано только по одной “нижней”

полости поверхностей.

a S

l l l l

a S AS BS DS

2 31 4

Рис. 7.7

Рис. 7.9

На рис. 7.9 задана произвольная точка пирамидальной

поверхности, для чего строилась её произвольная образующая :

M l

l a

7.1.4. Поверхности Каталана

Поверхности Каталана - это линейчатые поверхности с двумя на

правляющими и плоскостью параллелизма: .

{t(b,d, )(t b, t d, t )}

Все образующие этих поверхностей пересекают обе направляющие

и параллельны плоскости параллелизма.

В зависимости от формы направляющих образуются различ-

ные поверхности: если направляющие скрещивающиеся прямые, то

поверхность называется гиперболический параболоид (косая

плоскость); если одна направляющая кривая линия, а вторая прямая,

то поверхность называется коноид; если обе направляющие кривые

линие, то поверхность называют цилиндроидом. Элементарные

чертежи гиперболического параболоида, коноида и цилиндроида

показаны соответственно на рис. 7.10 - 7.12.

Ã Ã

i i

Рис. 7.10 Рис. 7.11 Рис. 7.12

На рис. 7.13 приведен основной чертеж отсека гиперболичес-

кого параболоида , границами которо-

го являются линии , и образующие и , проходящие соответ-

ственно через точки , . Для получения чертежа сначала строят

достаточно плотный дискретный каркас образующих , включая

образующие и . В результате определяют отрезки линий

обреза отсека: , , , , и получают

возможность провести проекцию параболы как огибающую

{t(a, b, )(t a b; t )}

a b t t

A B a

t A t B

[A,B] a [D,E] b [A,D] t [B,E] t

p p

i i

проекций образую-

щих . Парабола -

линия касания поверх-

t p

ности гиперболичес

к ого п арабол о ид а

проецирующими луча-

ми, перпендикуляр

ными .

7.2. Поверхности вращения

7.2.1. Образование поверхностей вращения

(рис. 7.14).

При вращении линии вокруг точки

образующей вращаются вокруг оси по

окружностям, называемым параллелями.

Так, при вращении точки образуется

параллель . Плоскости параллелей пер-

пендикулярны оси вращения. Поэтому на

ПП, перпендикулярную оси, параллели

проецируются в окружности, а на другую

ПП - в отрезки прямых В этой связи точку

на поверхности вращения в общем

случае строят с помощью окружности

(параллели) согласно ПА (рис. 7.14):

{a(a,j)(a =a j)}

a j

K a

Поверхность вращения образуется при вращении вокруг не-

подвижной оси какой-то образующей линии :j a

Параллель наименьшего радиуса называют горлом, а наи

большего - экватором ( ). Параллель - граница или линия обреза

отсека. Плоская кривая, расположенная в плоскости, проходящей

через ось вращения, называется меридианом поверхности (кривая ,

m m

2 3

Рис. 7.13

Рис. 7.14

контурные кривые и ).k k Меридиан, лежащий в плоскости,

параллельной ПП, называют главным. При задании поверхности

вращения элементарным чертежом удобно, чтобы её образующая

являлась главным меридианом.

7.2.2. Поверхность вращения общего вида

Поверхность вращения общего вида образуется при вращении во-

круг оси произвольной кривой . Формула поверхности: .k {k(k,j)(k =k j)}

На рис. 7.15 задан элементарный чертеж поверхности вращения

общего вида, а на рис. 7.17 - основной чертеж отсека этой поверх-

ности с границами и . На основном чертеже главные мериди-m m

Рис. 7.15

Рис. 7.16 Рис. 7.17

аны и являются линиями касания поверхности проецирующими

лучами, перпендикулярными , а горло и экватор - пер-

пендикулярными (проекции и обычно не показывают, так

как относительно и не являются контурными линиями).

На рис. 7.16 решается ОПЗ: определяют, принадлежит ли рас-

сматриваемой поверхности точка ( , ). Для этого делается

попытка построить параллель поверхности, на которой может

располагаться точка :

k k

m m

M M M

1 2

1. . 1

. 4. ,

2 2 2

q 1

q j

Вывод: ; .M q M q M q M q q M

1 21 2

Ô Ô

Линейчатая поверхность вращения образуется при враще-

нии вокруг оси прямой : . Если , то образуется

цилиндрическая поверхность вращения, если - коническая по-

верхность вращения, если - однополостный гиперболоид

вращения.

j l {l(l,j)(l =l j)} l j

l j

На рис. 7.18 приведен элементарный чертеж цилиндрической

поверхности вращения, на рис. 7.19 - основной чертеж отсека этой

поверхности, ограниченного окружностями и ( и - линии ка

сания поверхности проецирующими лучами, перпендикулярными ).

m m l l -

7.2.3. Линейчатые поверхности вращения

1 2 1 2

Рис. 7.18

Рис. 7.19 Рис. 7.20

Чертежи конической поверхности вращения и примеры

решения ОПЗ - см. разделы 6.3.1 и 6.3.2, рис. 6.5 и 6.7.

Однополостный гиперболоид вращения можно получить также

вращением гиперболы вокруг её мнимой оси. Эта поверхность

широко используется в инженерной практике: телевизионная башня

известного ученого и инженера Шухова В.Г. на Шаболовке,

сооруженная из каркасов однополостных гиперболоидов, градирни

(трубы) ТЭЦ имеют такую форму и т. д.

На рис. 7.20 представлен элементарный чертеж однополостно

го гиперболоида вращения - заданы скрещивающиеся прямые

(образующая) и (ось вращения). На рис. 7.21 приведен основной

чертеж отсека рассматриваемой поверхности, образованный враще

нием отрезка образующей . Линиями обреза отсека являются

окружности и , проходящие через точки и соответственно.

[A,B] l

m m A B

Поверхность тора получает

ся при вращении окружности или

её дуги вокруг оси , причем

образующая окружность и ось

расположены в одной плоскости:

Если окружность и ось не

имеют общих точек, то тор называ-

m j

{m(m,j; m,j )(m =m j)}

m j

Рис. 7.21

1 1

Ветви и гиперболы на чертеже

- линии касания поверхности

проецирующими лучами, перпенди

кулярными , а горло - перпен-

дикулярными .

Для построения проекций и

ветвей гиперболы строят доста-

точно плотный каркас параллелей

(включая , , ), которые

на проецируются в окружности, а

на - в отрезки прямых. Проекции

и проводят через крайние ле-

вые и правые точки отрезков .

g g

m m m m

g g

2 31

7.2.4. Торы

ют открытым или кольцом; если окружность и ось касаются

( ), то образуется закрытый тор с одной конической точкой; если

ось пересекает окружность ( ), то образуется закрытый тор с

двумя коническими точками, называемый также пересекающимся

тором. Элементарные чертежи перечисленных торов изображены

соответственно на рис. 7.22 - 7.24.

m j

j m m j

Рис. 7.23Рис. 7.22 Рис. 7.24

На рис. 7.25 представлен основной чертеж открытого тора, а

на рис. 7.26 - пересекающегося. Контурными линиями открытого

тора относительно являются окружности экватора и горла,

а относительно - образующие окружности и , а также

окружности (параллели) и , получаемые при вращении верхней

и нижней точек образующей окружности . Контурными линиями

пересекающегося тора являются аналогичные линии.

q q

m m

q q

1 1

1 2

3 4

Рис. 7.26Рис. 7.25

Частным случаем пересекающегося тора, у которого центр C

образующей окружности расположен на оси вращения, является сфе

ра. Формулу сферы часто записывают так: .

{m(m,j;C j)(m =m j)}

На рис. 7.27 и 7.28 показаны соответственно элементарный

и основной чертежи. На элементарном чертеже задана образующая

- главный меридиан и ось . Контурными линиями сферы на её ос-

новном чертеже являются окружность экватора и

уже упомянутая окружность главного меридиана .

На рис. 7.26 - 7.28 показано построение произвольной точки ,

принадлежащей соответствующей поверхности , для чего исполь

зовались проекции и произвольной окружности .

её

относительно

m j

q q q

1 2

1 1

j j

C C

q q

j j

q q

m m

2 2

1 11 1

1 1

Рис. 7.27 Рис. 7.28

7.3. Винтовые поверхности

В курсе рассматривают только

, формула которых имеет вид:

линейчатые винтовые

поверхности - геликоиды

, где - образующая, прямая ли-

ния; - цилиндрическая винтовая линия; - прямая, ось винтовой

линии; - постоянный угол наклона образующей к оси .

{t(k,j, )(t k, t j, t j = )} t

k j

t j

Если = 90 , то геликоид называется прямым, если = 90 , то

наклонным (косым). Формулу прямого геликоида можно записать

так: . Если при вращении точки вокруг оси

по часовой стрелке, точка удаляется от наблюдателя, то винтовая

линия и геликоид являются правыми, а если приближается, то

левыми.

{t(k,j)(t k, t j, t j)}

На рис. 7.29 приведен элементарный чертеж прямого геликои-

да, а на рис. 7.30 - наклонного. На чертежах для наглядности

построены проекции нескольких образующих, а также заданы

направление вращения и проекции точки , определяющие направ-

ление винтовой линии (на рис. 7.29 линия правая, на рис. 7.30 -

левая).

Для построения образующих наклонного геликоида при-

нимают, что любая его образующая параллельна соответ-

ствующей образующей вспомогательной конической поверхнос-

ти вращения , у которой все образующие{ l (l, j; l j)(l = l j)}

i i i

Рис. 7.29 Рис. 7.30

1 1

наклонены к оси вращения под тем же углом . Поскольку геликоид

и коническая поверхность имеют общую ось , перпендикуляр-

ную , то горизонтальные проекции образующих поверхностей

совпадают: . Задав проекции , строят проекцию обра-

зующей конической поверхности, проходящей через её точку и

вершину, а затем через проекцию точки винтовой линии

проводят .

Винтовые поверхности широко используются в технике: винты,

сверла, пружины, конструкции винтовых аппарелей и лестниц и

многое другое изготовлено с использованием этих поверхностей.

t l t l l

2 2 k

t l

1 1

i i

1 1

i i